P3 - Álgebra Linear 2018 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2018 Nota: 3a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Seja A o conjunto de todas as matrizes A quadradas com coeficientes reais e de ordem n tais que o sistema linear Ax = 0 s´o tem a solu¸c˜ao trivial. Determine se A ´e ou n˜ao subespa¸co de Mnn. 2) (4 pontos) Sejam p1(x) = 2x3 − x2 + 3x + 1, p2(x) = −x3 + 2x − 2, p3(x) = −2x3 + x2 − 3x − 1 e p4(x) = −x2 + 7x − 3. Sendo S = {p1, p2, p3, p4}, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas: (a) O conjunto S ´e linearmente dependente ou linearmente independente? (b) Qual ´e a dimens˜ao do espa¸co gerado por S? (c) Encontre uma base para ger(S). (d) S gera P3? S ´e uma base para P3? 3) (2 pontos) Sejam A1 =   2 3 1 0 0 −1  , A2 =   −1 1 2 0 0 1  , A3 =   3 1 0 2 1 −2   e A =   −2 −5 1 4 2 1  . A ∈ ger{A1, A2, A3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse A como uma combina¸c˜ao linear de A1, A2 e A3. 4) Seja A =   5 6 2 0 −1 −8 1 0 −2  . (a) (1 ponto) Encontre a equa¸c˜ao caracter´ıstica de A. (b) (2 pontos) Encontre os autovalores de A, os autovetores associados e as bases dos seus auto-espa¸cos. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1