Slide - Espaços Solução de Sistema Linear Homogêneo 2022 2

Espaço Solução de Sistema Linear Homogêneo Seção 4.2 - Subespaços Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Teorema. O conjunto solução de um sistema linear homogêneo Ax = 0 em n incógnitas é um subespaço de Rn. Demonstração. Lembremos que todo sistema linear homogêneo tem solução: Seja W o conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0, ou seja, W = { x Є Rn | Ax = 0 } Neste caso, sempre temos que W ≠ Փ, já que os sistemas lineares homogêneos sempre possuem solução. Sistema Linear Homogêneo Única solução (solução trivial) Infinitas soluções (solução trivial + outras infinitas soluções) Consistente Agora vamos mostrar que W = { x Є Rn | Ax = 0 } = conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 é um subespaço de Rn: 1) A soma é fechada em W, pois se x Є W e y Є W, então Ax = 0 e Ay = 0. Vamos verificar que x+y Є W : A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 Ou seja, mostramos que A(x+y) = 0, e portanto, x+y Є W. O produto matricial é distributivo com relação à soma Ax = 0 e Ay = 0 Agora vamos mostrar que W = { x Є Rn | Ax = 0 } = conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 é um subespaço de Rn: 2) A multiplicação por escalar é fechada em W, pois se x Є W, então Ax = 0. Seja k um escalar. Vamos verificar que k·x Є W : A(k·x) = k·(Ax) = k·0 = 0 Ou seja, mostramos que A(k·x) = 0, e portanto, k·x Є W. Como as operações de soma e multiplicação por escalar são fechadas em W, então W é um subespaço de Rn. matriz nxn Ax = 0 escalar matriz nx1 k vezes matriz nula nx1 Demonstramos o teorema: Teorema. O conjunto solução de um sistema linear homogêneo Ax = 0 em n incógnitas é um subespaço de Rn. Obs. A esse conjunto solução W = { x Є Rn | Ax = 0 } = conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 chamamos espaço-solução do sistema linear homogêneo Ax = 0. Exemplo. Encontre o espaço-solução do sistema linear homogêneo Solução. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que é um sistema com infinitas soluções com dois parâmetros s e t, cuja solução geral é Observe que a solução desse sistema homogêneo dá as equações paramétricas de um plano β que passa pela origem de R3: 1 -2 3 x 0 2 -4 6 ∙ y = 0 3 -6 9 z 0 x 2s - 3t y = s , s Є R e t Є R z t x = 2s - 3t β : y = s , s Є R e t Є R z = t Exemplo. Encontre o espaço-solução do sistema linear homogêneo Solução. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que é um sistema com infinitas soluções com dois parâmetros s e t, cuja solução geral é 1 -2 3 x 0 2 -4 6 ∙ y = 0 3 -6 9 z 0 x 2s - 3t y = s z t Exemplo. Encontre o espaço-solução do sistema linear homogêneo Solução. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que é um sistema com infinitas soluções com dois parâmetros s e t, cuja solução geral é Logo, o espaço-solução desse sistema homogêneo pode ser representado por 1 -2 3 x 0 2 -4 6 ∙ y = 0 3 -6 9 z 0 x 2s - 3t 2 -3 y = s = s · 1 + t · 0 , s Є R e t Є R z t 0 1 2 -3 S = s · 1 + t · 0 | s Є R e t Є R 0 1 Observe que nesse espaço-solução temos combinações lineares: Ou seja, podemos dizer que o espaço-solução S do sistema linear homogêneo do exercício é gerado pelos vetores u e v : 2 -3 S = s · 1 + t · 0 | s Є R e t Є R 0 1 v u combinações lineares dos vetores u e v 2 -3 S = ger 1 , 0 = plano β que passa pela origem de R3 0 1 Exemplo. Encontre o espaço-solução do sistema linear homogêneo Solução. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que é um sistema com infinitas soluções com um parâmetro t, cuja solução geral é Observe que a solução desse sistema homogêneo dá as equações paramétricas de uma reta r que passa pela origem de R3: 1 -2 3 x 0 -3 7 -8 ∙ y = 0 2 4 6 z 0 x -5t y = -t , t Є R z t x = -5t β : y = -t , t Є R z = t Exemplo. Encontre o espaço-solução do sistema linear homogêneo Solução. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que é um sistema com infinitas soluções com um parâmetro t, cuja solução geral é 1 -2 3 x 0 -3 7 -8 ∙ y = 0 2 4 6 z 0 x -5t y = -t , t Є R z t Exemplo. Encontre o espaço-solução do sistema linear homogêneo Solução. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que é um sistema com infinitas soluções com um parâmetro t, cuja solução geral é Logo, o espaço-solução desse sistema homogêneo pode ser representado por 1 -2 3 x 0 -3 7 -8 ∙ y = 0 2 4 6 z 0 x -5t -5 y = -t = t ∙ -1 , t Є R z t 1 -5 S = t · -1 | t Є R 1 Observe que nesse espaço-solução temos combinações lineares: Ou seja, podemos dizer que o espaço-solução S do sistema linear homogêneo do exercício é gerado pelo vetor u: u Os múltiplos do vetor u são combinações lineares de u -5 S = ger -1 = reta r que passa pela origem de R3 1 -5 S = t · -1 | t Є R 1 Obs. O conjunto solução do sistema linear homogêneo Ax = 0 sempre é subespaço de R3. O conjunto solução de um sistema linear Ax = b que não é homogêneo, nunca é subespaço de R3. Obs. Todo espaço vetorial tem conjunto de geradores, mas esse conjunto não é único. É o que diz o teorema seguinte: Teorema. Se S = {v1, v2, ..., vr} e S‘ = {w1, w2, ..., wk} são subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V, então ger{v1, v2, ..., vr} = ger{w1, w2, ..., wk} se, e somente se, cada vetor em S puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores de S‘, e cada vetor de S‘ puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores de S.