Slide - Subespaços e Combinações Lineares 2022 2

Subespaços e Combinações Lineares Seção 4.2 - Subespaços Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Teorema. Se W1, W2, ..., Wn são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção desses subespaços W = W1 Ո W2 Ո ... Ո Wn também será um subespaço de V. Subespaços Vetoriais 3 Definição. (Combinações Lineares) Sejam v1, v2, ..., vn vetores de um espaço vetorial V. Um vetor w є V é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn se w puder ser escrito na forma w = k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn , sendo k1, k2, ..., kn escalares. Combinações Lineares 4 Exemplo. Os vetores de R3 são combinações lineares dos vetores i, j e k, pois lembrando que i = (1,0,0) , j = (0,1,0) e k = (0,0,1) , e seja v = (a, b, c), então é fácil de ver que v = a·i + b·j + c·k = a·(1,0,0) + b·(0,1,0) + c·(0,0,1) = (a·1, a·0, a·0) + (b·0, b·1, b·0) + (c·0, c·0, c·1) = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = (a+0+0, 0+b+0, 0+0+c) = (a, b, c) Combinações Lineares 5 Exemplo. Seja v = (2, -4, 3) є R3, então v é a seguinte combinação linear dos vetores i, j e k: v = 2·i + (-4)·j + 3·k = 2·(1,0,0) + (-4)·(0,1,0) + 3·(0,0,1) = (2·1, 2·0, 2·0) + (-4·0, -4·1, -4·0) + (3·0, 3·0, 3·1) = (2, 0, 0) + (0, -4, 0) + (0, 0, 3) = (2+0+0, 0-4+0, 0+0+3) = (2, -4, 3) Exemplo (em R3). Sejam u = (1, 2, -1) e v = (6, 4, 2). Mostre que w = (9, 2, 7) é uma combinação linear de u e v. Solução. Para isso, devemos mostrar que existem escalares k1 e k2 tais que w = k1·u + k2·v = k1·(1, 2, -1) + k2·(6, 4, 2) = (k1, 2k1, -k1) + (6k2, 4k2, 2k2) = (k1+6k2 , 2k1+4k2 , -k1+2k2) (9, 2, 7) = (k1+6k2 , 2k1+4k2 , -k1+2k2) (k1+6k2 , 2k1+4k2 , -k1+2k2) = (9, 2, 7) Ou seja, devemos resolver o sistema linear: k1+6k2 = 9 2k1+4k2 = 2 -k1+2k2 = 7 Resolvendo o sistema linear seguinte por qualquer método k1+6k2 = 9 2k1+4k2 = 2 -k1+2k2 = 7 chegamos na seguinte solução: (k1, k2) = (-3, 2) Ou seja, k1 = -3 e k2 = 2 e então w é a seguinte combinação linear de u e v: w = -3·u + 2·v Verificando: w = -3·u + 2·v = -3·(1, 2, -1) + 2·(6, 4, 2) = (-3, 2·(-3), -(-3)) + (6·2, 4·2, 2·2) = (-3, -6, 3) + (12, 8, 4) = (-3+12, -6+8, 3+4) = (9, 2, 7) Resolvendo o sistema linear seguinte por qualquer método k1+6k2 = 9 2k1+4k2 = 2 -k1+2k2 = 7 chegamos na seguinte solução: (k1, k2) = (-3, 2) Ou seja, k1 = -3 e k2 = 2 e então w é a seguinte combinação linear de u e v: w = -3·u + 2·v Exemplo (em R3). Sejam u = (1, 2, -1) e v = (6, 4, 2). O vetor r = (4, -1, 8) é uma combinação linear de u e v ? Solução. r será uma combinação linear de u e v se existirem escalares k1 e k2 tais que r = k1·u + k2·v = k1·(1, 2, -1) + k2·(6, 4, 2) = (k1, 2k1, -k1) + (6k2, 4k2, 2k2) = (k1+6k2 , 2k1+4k2 , -k1+2k2) (4, -1, 8) = (k1+6k2 , 2k1+4k2 , -k1+2k2) (k1+6k2 , 2k1+4k2 , -k1+2k2) = (4, -1, 8) Ou seja, devemos resolver o sistema linear: k1+6k2 = 4 2k1+4k2 = -1 -k1+2k2 = 8 Resolvendo o sistema linear a seguir por qualquer método k1+6k2 = 4 2k1+4k2 = -1 -k1+2k2 = 8 chegaremos que esse sistema não tem solução, ou seja, não existem k1 e k2 de forma que r = k1·u + k2·v . Logo, r não é uma combinação linear de u e v. 11 Teorema. Seja S = {w1, w2, ..., wr} um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V. a) Seja W o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de vetores de S, ou seja, W = { w = k1·w1 + k2·w2 +...+ kr·wr | k1, k2, ..., kr são escalares }. Então W é subespaço de V. b) O conjunto W do item (a) é o “menor” subespaço de V que contém os vetores de S, no sentido de que qualquer outro subespaço de V que contém todos os vetores de S, contém W. V W w1 w2 ... wr S