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UNESP Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho ICT Instituto de Ciência e Tecnologia Professora Líliam Medeiros Curso Engenharia Ambiental Nome Data 2017 Nota 2ª Prova de Álgebra Linear 10 pontos 1 1 ponto Sejam A 2 1 4 2 e px 3x3 x2 4x 2 Calcule o polinômio matricial pA 2 Sejam A 0 3 0 1 1 0 1 0 0 3 2 0 6 0 2 e seja R a forma escalonada reduzida por linhas de A a 2 pontos Encontre matrizes elementares E F e G tais que R G F E A b 1 ponto Encontre as inversas das matrizes elementares encontradas no item a 3 Sejam A 2 1 2 2 3 1 0 1 0 1 6 4 6 3 0 3 B 2 2 4 6 4 3 1 5 3 0 2 2 2 1 4 0 C 2 1 3 2 1 2 4 4 1 1 3 2 4 3 1 6 D 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 e b 4 1 3 2 a 1 ponto Calcule o determinante e A por expansão em cofatores b 1 ponto Calcule o determinante de B usando redução por linhas c 1 ponto Calcule os determinantes de 2B B² C D e AᵀB d 1 ponto Sem resolver os sistemas o que você pode dizer com relação ao número de soluções dos sistemas lineares CᵀB¹x b e CᵀB¹x 0 4 2 pontos Sejam v₁ 1 1 0 2 v₂ 2 1 3 4 v₃ 2 3 23 v₄ 0 1 0 2 e v 5 0 8 3 Verifique se v é uma combinação linear dos vetores v₁ v₂ v₃ e v₄ e caso seja afirmativo encontre os coeficientes dessa combinação Obs TODAS as questões feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS 1 A 2 1 4 2 px 3x3 x2 4x 2 pA 3A3 A2 4A 2I₂ A2 A A 2 1 4 2 2 1 4 2 8 0 0 8 A3 A2 A 8 0 0 8 2 1 4 2 16 8 32 16 Daí pA 3 16 8 32 16 8 0 0 8 4 2 1 4 2 2 1 0 0 1 48 24 96 48 8 0 0 8 8 4 16 8 2 0 0 2 pA 66 28 112 46 2 A 0 3 0 1 1 0 1 0 0 3 2 0 6 0 2 a Encontrando a forma escalonada reduzida por linhas de A A 0 3 0 1 1 0 1 0 0 3 2 0 6 0 2 L₁ L₃ 2 0 6 0 2 0 1 0 0 3 0 3 0 1 1 L₁ 12 L₁ Oelem2 1 0 3 0 1 0 1 0 0 3 0 3 0 1 1 L₃ L₃ 3L₂ Oelem3 1 0 3 0 1 0 1 0 0 3 0 0 0 1 10 R Encontrando as matrizes elementares correspondente as op elementares aplicadas Oelem1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L₁ L₃ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 E Oelem2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L₁ 12 L₁ 12 0 0 0 1 0 0 0 1 F Oelem3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L₃ L₃ 3L₂ 1 0 0 0 1 0 0 3 1 G 3a A 2 1 2 2 3 1 0 1 0 1 6 4 6 3 0 3 Escolhendo a 3ª coluna de A para fazer expansão em cofatores detA 2C₁₃ 0C₂₃ 6C₃₃ 0C₄₃ 2113 M₁₃ 6133 M₃₃ 2 M₁₃ 6 M₃₃ 263 645 126 270 144 onde M₁₃ det3 1 1 0 1 4 6 3 3 9 24 0 6 0 36 9 24 6 36 63 M₃₃ det2 1 2 3 1 1 6 3 3 6 6 18 12 9 6 18 12 9 6 45 3b B 2 2 4 6 4 3 1 5 3 0 2 2 2 1 4 0 detB x L₁ 12 L₁ 1 1 2 3 4 3 1 5 3 0 2 2 2 1 4 0 B₁ detB₁ 12 detB x2 L₂ L₂ 4L₁ L₃ L₃ 3L₁ L₄ L₄ 2L₁ 1 1 2 3 0 7 7 7 0 3 4 11 0 1 8 6 B₂ detB₂ detB₁ x2 L₂ 17 L₂ 1 1 2 3 0 1 1 1 0 3 4 11 0 1 8 6 B₃ detB₃ 17 detB₂ 17 x2 x14 L₃ L₃ 3L₂ L₄ L₄ L₂ 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 8 0 0 7 5 B₄ detB₄ detB₃ x14 L₄ L₄ 7L₃ 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 8 0 0 0 51 B₅ detB₅ detB₄ x14 Por outro lado B₅ é uma matriz triangular superior e por isso detB₅ 11151 51 Daí x14 51 x 5114 714 detB 714 Logo as matrizes elementares E F e G tais que R GFEA são E 0 0 1 0 1 0 1 0 0 F 12 0 0 0 1 0 0 0 1 G 1 0 0 0 1 0 0 3 1 b Para encontrar as matrizes elementares inversas basta aplicar as operações elementares inversas sobre a Identidade 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 L3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 E¹ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 2L1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 F¹ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L3 L3 3L2 1 0 0 0 1 0 0 3 1 G¹ 3c det2B 24detB 16detB 16714 det2B 11424 B é uma matriz 4x4 detB2 detBB detBdetB detB2 7142 detB2 509796 C 2 1 3 2 1 2 4 4 1 1 3 2 4 3 1 6 como a 2ª e 4ª colunas de C são proporcionais então detC 0 Como D é uma matriz diagonal então seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal ou seja detD 2132 12 detD 12 detAT B detATdetB detAdetB 144714 detAT B 102816 3d sistemas lineares CT B1x b e CT B1x 0 detCT B1 detCTdetB1 detC1detB detCdetB 0714 0 como detCT B1 0 então O sistema linear CT B1x b ou tem infinitas soluções ou não tem solução O sistema linear homogêneo CT B1x 0 tem infinitas soluções 48min até aqui 4 v1 1 1 0 2 v2 2 1 3 4 v3 2 3 2 3 e v4 0 1 0 2 também v 5 0 8 3 Para que v seja combinação linear de v1 v2 v3 e v4 é necessário que existam escalares k1 k2 k3 e k4 tais que k1v1 k2v2 k3v3 k4v4 v Representando os vetores como matrizescoluna temos k11 1 0 2 k22 1 3 4 k32 3 2 3 k40 1 0 2 5 0 8 3 o que gera o sistema linear k1 2k2 2k3 5 k1 k2 3k3 k4 0 3k2 2k3 8 2k1 4k2 3k3 2k4 3 que pode ser representado na forma matricial por 1 2 2 0 1 1 3 1 0 3 2 0 2 4 3 2k1 k2 k3 k4 5 0 8 3 Resolvendo o sistema linear aplicando operações elementares na matriz aumentada temos 1 2 2 0 5 1 1 3 1 0 0 3 2 0 8 2 4 3 2 3 L2 L2 L1 L4 L4 2 L1 1 2 2 0 5 0 3 5 1 5 0 3 2 0 8 0 8 1 2 7 L3 L3 L3 L2 L4 L4 2 L2 1 2 2 0 5 0 3 5 1 5 0 0 7 1 3 0 2 9 4 3 L2 L2 L4 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 7 1 3 0 2 9 4 3 L4 L4 2 L2 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 7 1 3 0 0 37 14 19 L4 L4 5 L3 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 7 1 3 0 0 2 9 34 L3 L3 4 L4 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 1 35 139 0 0 2 9 34 L4 L4 2 L3 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 1 35 139 0 0 0 61 244 L4 L4 61 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 1 35 139 0 0 0 0 1 4 L2 L2 54 L4 L3 L3 35 L4 1 2 2 0 5 0 1 14 0 12 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 L1 L1 2 L3 L2 L2 14 L3 1 2 0 0 7 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 L1 L4 2 L2 1 0 0 0 3 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 transformando em sistema linear k1 3 k2 2 k3 1 k4 4 combinacao linear Logo v 3 v1 2 v2 v3 4 v4 Conferindo 3 v1 2 v2 v3 4 v4 3 1 1 0 2 2 2 1 3 4 2 3 2 3 4 0 1 0 2 3 3 0 6 4 2 6 8 2 3 2 3 0 4 0 8 3 4 2 0 3 2 3 4 6 2 5 0 8 3 v
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Sejam v₁ 1 1 0 2 v₂ 2 1 3 4 v₃ 2 3 23 v₄ 0 1 0 2 e v 5 0 8 3 Verifique se v é uma combinação linear dos vetores v₁ v₂ v₃ e v₄ e caso seja afirmativo encontre os coeficientes dessa combinação Obs TODAS as questões feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS 1 A 2 1 4 2 px 3x3 x2 4x 2 pA 3A3 A2 4A 2I₂ A2 A A 2 1 4 2 2 1 4 2 8 0 0 8 A3 A2 A 8 0 0 8 2 1 4 2 16 8 32 16 Daí pA 3 16 8 32 16 8 0 0 8 4 2 1 4 2 2 1 0 0 1 48 24 96 48 8 0 0 8 8 4 16 8 2 0 0 2 pA 66 28 112 46 2 A 0 3 0 1 1 0 1 0 0 3 2 0 6 0 2 a Encontrando a forma escalonada reduzida por linhas de A A 0 3 0 1 1 0 1 0 0 3 2 0 6 0 2 L₁ L₃ 2 0 6 0 2 0 1 0 0 3 0 3 0 1 1 L₁ 12 L₁ Oelem2 1 0 3 0 1 0 1 0 0 3 0 3 0 1 1 L₃ L₃ 3L₂ Oelem3 1 0 3 0 1 0 1 0 0 3 0 0 0 1 10 R Encontrando as matrizes elementares correspondente as op elementares aplicadas Oelem1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L₁ L₃ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 E Oelem2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L₁ 12 L₁ 12 0 0 0 1 0 0 0 1 F Oelem3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L₃ L₃ 3L₂ 1 0 0 0 1 0 0 3 1 G 3a A 2 1 2 2 3 1 0 1 0 1 6 4 6 3 0 3 Escolhendo a 3ª coluna de A para fazer expansão em cofatores detA 2C₁₃ 0C₂₃ 6C₃₃ 0C₄₃ 2113 M₁₃ 6133 M₃₃ 2 M₁₃ 6 M₃₃ 263 645 126 270 144 onde M₁₃ det3 1 1 0 1 4 6 3 3 9 24 0 6 0 36 9 24 6 36 63 M₃₃ det2 1 2 3 1 1 6 3 3 6 6 18 12 9 6 18 12 9 6 45 3b B 2 2 4 6 4 3 1 5 3 0 2 2 2 1 4 0 detB x L₁ 12 L₁ 1 1 2 3 4 3 1 5 3 0 2 2 2 1 4 0 B₁ detB₁ 12 detB x2 L₂ L₂ 4L₁ L₃ L₃ 3L₁ L₄ L₄ 2L₁ 1 1 2 3 0 7 7 7 0 3 4 11 0 1 8 6 B₂ detB₂ detB₁ x2 L₂ 17 L₂ 1 1 2 3 0 1 1 1 0 3 4 11 0 1 8 6 B₃ detB₃ 17 detB₂ 17 x2 x14 L₃ L₃ 3L₂ L₄ L₄ L₂ 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 8 0 0 7 5 B₄ detB₄ detB₃ x14 L₄ L₄ 7L₃ 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 8 0 0 0 51 B₅ detB₅ detB₄ x14 Por outro lado B₅ é uma matriz triangular superior e por isso detB₅ 11151 51 Daí x14 51 x 5114 714 detB 714 Logo as matrizes elementares E F e G tais que R GFEA são E 0 0 1 0 1 0 1 0 0 F 12 0 0 0 1 0 0 0 1 G 1 0 0 0 1 0 0 3 1 b Para encontrar as matrizes elementares inversas basta aplicar as operações elementares inversas sobre a Identidade 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 L3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 E¹ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 2L1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 F¹ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L3 L3 3L2 1 0 0 0 1 0 0 3 1 G¹ 3c det2B 24detB 16detB 16714 det2B 11424 B é uma matriz 4x4 detB2 detBB detBdetB detB2 7142 detB2 509796 C 2 1 3 2 1 2 4 4 1 1 3 2 4 3 1 6 como a 2ª e 4ª colunas de C são proporcionais então detC 0 Como D é uma matriz diagonal então seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal ou seja detD 2132 12 detD 12 detAT B detATdetB detAdetB 144714 detAT B 102816 3d sistemas lineares CT B1x b e CT B1x 0 detCT B1 detCTdetB1 detC1detB detCdetB 0714 0 como detCT B1 0 então O sistema linear CT B1x b ou tem infinitas soluções ou não tem solução O sistema linear homogêneo CT B1x 0 tem infinitas soluções 48min até aqui 4 v1 1 1 0 2 v2 2 1 3 4 v3 2 3 2 3 e v4 0 1 0 2 também v 5 0 8 3 Para que v seja combinação linear de v1 v2 v3 e v4 é necessário que existam escalares k1 k2 k3 e k4 tais que k1v1 k2v2 k3v3 k4v4 v Representando os vetores como matrizescoluna temos k11 1 0 2 k22 1 3 4 k32 3 2 3 k40 1 0 2 5 0 8 3 o que gera o sistema linear k1 2k2 2k3 5 k1 k2 3k3 k4 0 3k2 2k3 8 2k1 4k2 3k3 2k4 3 que pode ser representado na forma matricial por 1 2 2 0 1 1 3 1 0 3 2 0 2 4 3 2k1 k2 k3 k4 5 0 8 3 Resolvendo o sistema linear aplicando operações elementares na matriz aumentada temos 1 2 2 0 5 1 1 3 1 0 0 3 2 0 8 2 4 3 2 3 L2 L2 L1 L4 L4 2 L1 1 2 2 0 5 0 3 5 1 5 0 3 2 0 8 0 8 1 2 7 L3 L3 L3 L2 L4 L4 2 L2 1 2 2 0 5 0 3 5 1 5 0 0 7 1 3 0 2 9 4 3 L2 L2 L4 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 7 1 3 0 2 9 4 3 L4 L4 2 L2 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 7 1 3 0 0 37 14 19 L4 L4 5 L3 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 7 1 3 0 0 2 9 34 L3 L3 4 L4 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 1 35 139 0 0 2 9 34 L4 L4 2 L3 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 1 35 139 0 0 0 61 244 L4 L4 61 1 2 2 0 5 0 1 14 5 8 0 0 1 35 139 0 0 0 0 1 4 L2 L2 54 L4 L3 L3 35 L4 1 2 2 0 5 0 1 14 0 12 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 L1 L1 2 L3 L2 L2 14 L3 1 2 0 0 7 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 L1 L4 2 L2 1 0 0 0 3 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 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