Slides - Cap 1-4 - Engenharia Econômica - 2023-2

Engenharia Econômica Prof. Renato de Campos Departamento de Engenharia de Produção DEP/FEB/UNESP renato.campos@unesp.br 1 1- Introdução RECURSOS HUMANOS PROJETO PRODUÇÃO MARKETING VENDAS FINANÇAS DIREÇÃO Organograma típico de uma Empresa: 2  Tipos de Decisões: - Decisões de Investimentos - Decisões de Financiamento - Destinação dos Lucros 1 - Introdução Principais Funções Financeiras  Tarefas básicas do setor financeiro:  Levantamento de Recursos e Alocação de Recursos 3 1 - Introdução Análise de Viabilidade Financeira Decisões de Investimentos: Análise de Viabilidade Econômica Viabilidade Econômica de Projetos, porém existe a necessidade de também serem Tecnicamente Corretos Interação entre Gerentes da Área Financeira com Gerentes, Engenheiros, e Técnicos de outras áreas, departamentos, setor ou funções dentro da empresa ! 4 1 – Introdução Análise de Viabilidade Financeira - NECESSIDADE DE TOMAR DECISÕES EM EMPRESAS COMERCIAIS, PRESTADORAS DE SERVIÇOS E INDÚSTRIAS. - BUSCA DO LUCRO NO CURTO, MÉDIO E LONGO PRAZO - DECISÕES SOBRE SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS, SOBRE A PRODUÇÃO DE DOIS PRODUTOS, TIPOS DE FINANCIAMENTOS, ... 5 1 - Introdução  EXEMPLOS de DECISÕES:  SETOR FINANCEIRO: INVESTIR DINHEIRO EM CAIXA POR ALGUM PERÍODO EM MERCADO DE AÇÕES OU EM TÍTULOS PÚBLICOS?  SETOR DE MARKETING: INVESTIR NA UTILIZAÇÃO DE UM OU MAIS CANAIS DE DISTRIBUIÇÃO / PUBLICIDADE ?  RECURSOS HUMANOS: FORNECER INCENTIVOS À PRODUTIVIDADE OU NÃO ?  SETOR DE PRODUÇÃO: COMPRAR UMA MÁQUINA NOVA OU CONTINUAR POR MAIS TEMPO COM A VELHA ? AUTOMATIZAR A MOVIMENTAÇÃO DE PEÇAS POR ESTEIRAS/ROBÔS, OU CONTINUAR COM O TRANSPORTE/MOVIMENTAÇÃO MANUAL ? 6 1 - Introdução  EXEMPLOS de DECISÕES:  Setor de Serviços: - Construir uma rede de abastecimento de água com tubos de menor ou maior diâmetro ? - Investir em um número de atendentes de clientes em uma loja ?  Decisões Pessoais: - Comprar um Veículo ou Casa por financiamento ou a vista ? - Como se aposentar (entrar em um plano de previdência privada, construir e alugar casas, investir ...) ? 7 1- Introdução Uso de Estratégias  Objetivo da Empresa: Lucro Imediato ?  Planejamento Estratégico da Empresa  Objetivos de Curto, Médio e Longo Prazo  Máximos Ganhos em Determinado Horizonte de Tempo  Pode ser conveniente que neste exercício a empresa não tenha lucro, para que se possa incrementar as vendas e chegar ao fim do triênio como lideres do setor 8 1- Introdução Métodos de Análise de Viabilidade - CONJUNTO DE TÉCNICAS QUE PERMITEM A COMPARAÇÃO DE FORMA CIENTÍFICA COM RELAÇÃO ÀS DECISÕES DAS DIFERENTES ALTERNATIVAS ECONÔMICAS. - Mudança de Comportamento nas Decisões Empresariais e Pessoais: DECISÕES POR SENTIMENTO X ANÁLISES ECONÔMICAS 9 1- Introdução Objetivos da Disciplina:  Proporcionar uma visão geral relacionada a decisões de Engenharia Econômica e apresentar métodos para resolução de problemas econômicos financeiros típicos de empresas. 10 1- Introdução Tópicos a serem abordados:  MATEMÁTICA FINANCEIRA - Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros equivalentes, Taxa de juros nominal e efetivo, Transformações de Valores no tempo.  MÉTODOS DE ANÁLISE - VPL, VFL, VUL, TIR, Tempo de Retorno (Payback), Benefício/Custo.  SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS: - Introdução, Métodos usuais aplicáveis à substituição: Método do valor presente, Método do custo anual. FINANCIAMENTOS DE PROJETOS 11 Referências Referência principal: HIRCSHFELD, H. Engenharia Econômica e Análise de Custos. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2001, 519 p. Outras Referências: ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas, 2008. BLANK, L.; TARQUIN, A. Engenharia Econômica. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. EHRLICH, P. J. Engenharia Econômica. São Paulo, Atlas, 2005. HUMMEL, P. R.; PILÃO, N. E. Matemática Financeira e Engenharia Econômica. LTC, 2000. HUMMEL, P. R. V. e TASCHNER, M. R. B. Análise e Decisão sobre Investimentos e Financiamentos – Engenharia Econômica. 4ª. Ed., São Paulo: Editora Atlas, 1995, 216 p. SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000. 12 AVALIAÇÃO:  Duas (2) provas  A aprovação se dará segundo a fórmula: MF = (P1+P2)/2  MF = Média final Matemática Financeira Taxa de Juros Conceito de Equivalência Fluxo de Caixa Taxa Nominal x Taxa Efetiva Transformação de Valores no Tempo 14 2- Matemática Financeira Taxa de Juros (i)  Juros é a manifestação do valor do dinheiro no tempo;  Em termos de cálculo, juros é a diferença entre a quantia de dinheiro no fim e no início de um período;  Pode ser: juros pagos ou juros ganhos (Blank; Tarquin, 2008) Valor do Juros = Valor Final – Valor Inicial Taxa de Juros (i) = Juros por unidade de tempo x 100% Valor Inicial 15 2- Matemática Financeira Taxa de Juros (i) Exemplo: Em um empréstimo, tomou-se $ 80 e pagou-se ao final do período $100. Valor do Juros = Valor Devido – Valor Inicial Valor do juros = $100 – $80 = $20 Taxa de Juros (i) = Valor do Juros por período x 100% Valor Inicial Taxa de Juros = (20/80) x 100% = 0,25 x 100% = 25 % ou  i = 25 % 16 2- Matemática Financeira EQUIVALÊNCIA CONCEITO BÁSICO: - UM FLUXO DE DINHEIRO PODE SER EQUIVALENTE A OUTRO EM DETERMINADAS CONDIÇÕES.  EXEMPLO: - EMPRÉSTIMO DE $ 1000 A UMA TAXA DE 10% AO ANO É EQUIVALENTE A RECEBER $ 1610,51 AO FINAL DO QUINTO ANO. 17 EXEMPLO DE SÉRIES DE PAGAMENTOS EQUIVALENTES: Supor Empréstimo PLANO I PLANO II PLANO III PLANO IV com taxa de 10% ao ano ANO $ 10.000 0 $1.627 $ 2.000 $ 1.000 1 1.627 1.900 1.000 2 1.627 1.800 1.000 3 1.627 1.700 1.000 4 1.627 1.600 1.000 5 1.627 1.500 1.000 6 1.627 1.400 1.000 7 1.627 1.300 1.000 8 1.627 1.200 1.000 9 $ 25.937 1.627 1.100 11.000 10 (HUMMEL; TASCHNER, 1995) 18 CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: - EXISTÊNCIA (OU NÃO) DE VALORES NO CAIXA AO LONGO DO TEMPO - (RE)APLICAÇÃO DE VALORES QUE ENTRAM EM CAIXA - Outras considerações conforme o caso/situação, como a inflação. 19 2- Matemática Financeira FLUXO DE CAIXA  É A APRECIAÇÃO DAS CONTRIBUIÇÕES MONETÁRIAS (ENTRADAS E SAÍDAS) AO LONGO DO TEMPO. - REPRESENTAÇÃO: INSTANTES ENTRADAS ou SAÍDAS ou Recebimentos (+) Investimentos (-) 0 5.000 1 2.000 2 4.000 3 1.000 4 9.000 20 2- Matemática Financeira FLUXO DE CAIXA  Eixo Horizontal representa o Tempo;  Segmentos (Setas) para Cima são Receitas / Recebimentos  Segmentos (Setas) para Baixo são Despesas / Investimentos  Exemplo do Fluxo de Caixa Anterior: 9.000 5.000 1 2 3 4 1.000 4.000 2.000 21 2- Matemática Financeira PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO - É UM PERÍODO EM QUE UMA QUANTIA RENDE UMA TAXA DE JUROS “i”, E APÓS OS VALORES RESULTANTES DOS JUROS SÃO SOMADOS A QUANTIA ANTERIOR. 22 2- Matemática Financeira Taxa de Juros Nominal  É uma taxa referencial em que os juros são capitalizados (incorporado ao principal) mais de uma vez no período a que ela se refere.  Isto é, unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização (SAMANEZ, 2007). 23 2- Matemática Financeira Taxa de Juros Efetiva  Quando a unidade de referência de seu tempo coincide com o período de capitalização.  É uma taxa por período de capitalização.  Para relacionar Taxas Nominal e Taxas Efetivas equivalentes usa-se Juros Composto (SAMANEZ, 2007). 24 2- Matemática Financeira Taxa Nominal x Taxa Efetiva EXEMPLO SIMPLES: - QUANTIA DE 10.000, APLICADA POR UM PERÍODO DE UM (1) ANO RENDENDO JUROS DE 10 % AO ANO, SENDO O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO IGUAL A UM ANO. 10.000 + 0,1*(10.000) = 11.000 * NESTE CASO A TAXA NOMINAL (Tn) COINCIDE COM A TAXA EFETIVA (te). Taxa Nominal = Taxa Efetiva = 10% a.a. 25 2- Matemática Financeira Taxa Nominal x Taxa Efetiva - QUANTIA DE 10.000, APLICADA POR UM PERÍODO DE UM (1) ANO RENDENDO JUROS DE 10 % AO ANO, SENDO O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO IGUAL A UM SEMESTRE.  Período de Capitalização não coincide, e a Taxa Nominal é Diferente da Taxa Efetiva.  Numero de períodos de capitalização dentre de um ano: 2 (semestres)  Taxa aplicada por semestre: 10%/2 = 5% 10.000 + 0,05*(10.000)=10.500 (primeiro semestre) 10.500 + 0,05*(10.500)=11.025 (segundo semestre) - Taxa Nominal = 10,00% ao ano - Taxa Efetiva = 10,25 % ao ano (Juros composto) 26 2- Matemática Financeira Alguns Métodos de Avaliação  Método do Valor Presente Líquido (VPL)  Método do Valor Futuro Líquido (VFL)  Método do Valor Uniforme Líquido (VUL)  Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)  Método do Tempo de Retorno /Payback  Método Benefício-Custo (B/C) * Apresentam nomes e abreviações diferentes dependendo do livro. 27 2- Matemática Financeira Transformação de valores Convenções:  P = Valor Presente  F = Valor Futuro  U = Valor Uniforme – valor de cada contribuição considerada em uma série uniforme de dispêndios ou recebimentos  i = Taxa de Juros por períodos de capitalização  n = número de períodos de capitalização * Os textos/livros podem apresentar nomes e abreviações diferentes! 28 2- Matemática Financeira Transformação de valores   QUANTIDADES EQUIVALENTES:  CONHECIDOS “n” E “i” PODEMOS TRANSFORMAR VALORES P, F ou U EM VALORES EQUIVALENTES U, P ou F, OU AINDA F, U ou P UTILIZANDO MATEMÁTICA FINANCEIRA. 29 2- Matemática Financeira Transformação de valores  CONHECIDOS “n” E “i”, podemos utilizar de equações ou fatores de transformações tabelados para transformação entre valores P, F e U:  Não será considerado o efeito da inflação. P U F 30 Exercício 1 Caso você empreste $1.000 a uma taxa de 10% ao ano, quanto seria equivalente receber ao final do quinto ano ? i = 10% a.a. n = 5 1.000 ? 0 1 2 3 4 5 31 QUAL O VALOR FUTURO F DADO O VALOR PRESENTE P ? 1O. PERÍODO: F1 = P + iP = P(1+i) 2O. PERÍODO: F2 = F1 + iF1 = P(1+i) + i *P(i+1) = P(1+i)2 3O. PERÍODO: F3 = F2 + iF2 = .......................................... = P(1+i)3 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… nO. PERÍODO: Fn = Fn-1 + iFn-1 = .............................................. = P(1+i)n  F = P(1+i)n 32 * USO DE TABELAS  F = P (1+i) n  (1+i)n = F/P (valores tabelados)  F = P x F/P = P(F/P, i, n) (notação adotada) Exemplo com i=10% e n=5 : F = P(F/P, 10, 5) Procurando F/P, linha (n=5) e coluna e tabela de 10%: (F/P, 10, 5) = 1,6105 33 QUAL O VALOR FUTURO F DADO O VALOR PRESENTE P ? Caso você empreste $1.000 a uma taxa de 10% ao ano, quanto seria equivalente receber ao final do quinto ano ?  P  F : F = P (1+i)n = 1.000 x (1+0,1)5 = 1.000 x 1,1 5 F = 1.000 x 1,61051 = $ 1.610,51 Pelas Tabelas: F = P x F/P = P x (F/P, i, n)= P x (F/P, 10, 5) F = 1000 x 1,6105 = $ 1.610,50 34 QUAL O VALOR PRESENTE P DADO O VALOR FUTURO F?  Quanto é o valor equivalente no presente caso você recebesse $ 25.937 após 10 anos, a taxa de 10 % ao ano ? i = 10% n = 10 ? 25.937 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 QUAL O VALOR PRESENTE P DADO O VALOR FUTURO F ?  Equação anterior: F = P (1+i) n  Relação Inversa: P = F x 1/(1+ i)n  1/(1+ i)n = P/F = (P/F, i , n) (F/P, i , n) = (P/F, i , n) –1  P = F x P/F = F(P/F, i, n) (fórmula inversa) 36 Exercício 2  Quanto é o valor equivalente no presente caso você recebesse $ 25.937 após 10 anos, a taxa de 10 % ao ano ? F  P : P = F /(1+ i)n = F /(1+ 0,1)10= 25.937/ 2,5937 = 10.000 P = F(P/F, i, n) = F(P/F, 10%, 10) P = 25.937x0,3855 = 10.000 37 Resumo Transformação entre valores P e F  Transformação P  F : F = P (1+i) n Ou pelas tabelas: F = P x F/P = P(F/P, i, n)  Transformação F  P : P = F /(1+ i)n Ou pelas tabelas: P = F x P/F = F(P/F, i, n) 38 Exercício 3a (HIRSCHFELD, 2001) Nos instantes finais deste ano e no instantes finais dos próximos anos, pretendo aplicar em cada ano a importância de $ 20.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano. Pergunta-se: Quanto dinheiro terei por ocasião da décima (10ª) aplicação, instantes após a aplicação ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.000 ? 39 QUAL O VALOR FUTURO F DADO O VALOR UNIFORME U ?  Representação Gráfica n= 10 i = 12%  Resolução por Equação: F = U (1+i) n -1 = 20.000 (1+0,12) 10 -1 = 350. 974 i 0,12  Resolução por Tabelas: F = U x F/U = U(F/U, i, n) = 20.000 (F/U, 12%, 10) 20.000*17,5487 = 350. 974 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U = 20.000 F=? 40 Exercício 3b (HIRSCHFELD, 2001) Nos instantes finais deste ano e no instantes finais dos próximos anos, pretendo aplicar em cada ano a importância de $ 20.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano. Pergunta-se: Quanto dinheiro terei no instante final do 10º período, isto é no instante 10, considerando que a última aplicação foi no instante 9, tendo essa aplicação rendido juros, pelo menos, por 1 período ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.000 ? 41 QUAL O VALOR FUTURO F DADO O VALOR UNIFORME U ?  Representação Gráfica n= 10 ; i = 12% U = 20.000  Resolução por Equação: F = U (1+i) n -1 - U = U (1+i) n – (1 + i) = 20.000x(1+0,12) n – (1 + 0,12) i i 0,12 F = 330.980 • Resolução por Tabelas: F = U (F/U, i, n) – U = U [(F/U, 12, 10) – 1] = 20.000x[17,5487 - 1] F = 330.980 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U=20.000 F=? 42 Exercício 4 (HIRSCHFELD, 2001)  Quanto deverei aplicar anualmente durante 7 períodos anuais a uma taxa de 8 % a.a., para obter ao fim do sétimo período a quantia de 200.000,00 ? 0 1 2 3 4 5 6 7 ? 200.000 43 QUAL O VALOR UNIFORME U DADO O VALOR FUTURO F ? Representação Gráfica: i = 8% n = 7 F= 200.000 Resolução por Equação: U= F i = 200.000 * 0,08 = 22.400 (1+i) n -1 (1+0,08) 7 -1 Resolução por Tabelas: U=F x U/F = F (U/F, i, n ) = F (U/F, 8%, 7 ) U = 200.000*0,11207 = 22.414 0 1 2 3 4 5 6 7 U =? F=200.000 44 Exercício 5 (HIRSCHFELD, 2001)  Desejo aplicar agora $ 300.000 por 3 anos a uma taxa de juros igual a 20% a.a. Com quanto poderei contar nos instantes finais de cada um destes 3 períodos anuais? i = 20 % a.a. n = 3 anos U = ? P = 300.000 0 1 2 3 45 QUAL O VALOR UNIFORME U DADO O VALOR PRESENTE P ?  Representação Gráfica N=3 ; i=20% a.a.  Resolução por Equação: U = P i (1+i) n = 300.000* 0,2 (1+0,2) 3 = 142.500 (1+i) n -1 (1+0,2) 3 – 1  Resolução por Tabelas: U = P(U/P, 20%, 3 ) = 300.000*0,47473 = 142.419 Exercício 6 (HIRSCHFELD, 2001)  Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 15% a.a., para poder obter receitas nos próximos 7 anos iguais a anuidades de $100.000,00? i = 15% a.a. n = 7 U = 100.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 47 QUAL O VALOR PRESENTE P DADO O VALOR UNIFORME U ?  Representação Gráfica: i=15% a.a. n=7 anos U = 100.000 P=?  Resolução por Equação: P= U (1+i) n - 1 = 100.000 x (1+0,15) 7 - 1 = 416.000 i (1+i) n 0,15(1+0,15)7  Resolução por Tabelas: P = U (P/U, 15%, 7 ) = 100.000 * 4,1604 = 416.040 U = 100.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 48 Exercício 7 (HIRSCHFELD, 2001)  A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente de forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, multiplando-se o primeiro valor por 1 , o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações considerando- se uma taxa anual de juros igual a 25% ? i = 25% a.a. n = 8 (ATENÇÃO) G = 10.000 ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 49 Qual o valor futuro F dado o Valor do Gradiente Aritmético G numa série em Gradiente ?  Se numa série contínua de compromissos financeiros existir um aumento contínuo em cada período, tal aumento é designado por G e se chama Gradiente Aritmético. Fn = (n-1)xG (ATENÇÃO) No exemplo: G = 10.000 F1= (1-1)xG = 0xG = 0 F2 = (2-1)xG = 1xG = 10.000 F3= (3-1)xG = 2xG = 20.000 F4 = (4-1)xG = 3xG = ................ 1xG 2xG 3xG 0xG 5xG 6xG 7xG 4xG G = 10.000 F = ? 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Qual o valor Futuro F dado o Valor do Gradiente Aritmético G numa série em Gradiente ?  Representação Gráfica i=25% a.a. n=8 G = 10.000 F= ?  Resolução por Equação: F = G (1+i) n - 1 - ni = 10.000x (1+0,25) 8 - 1 - 8x0,25 i2 0,252 F = 473.674  Resolução por Tabelas: F = G(F/G, i, n ) = 10.000x(F/G, 25%, 8) = 10.000x47,3674= 473.674 1xG 2xG 3xG 0xG 5xG 6xG 7xG 4xG G = 10.000 F = ? 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 51 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Exercício 8 (HIRSCHFELD, 2001) Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 6% a. a. para obter, a partir do próximo segundo ano, uma série de 5 pagamentos, sendo que o primeiro pagamento é G= $ 20.000,00 e os outros são gradativamente crescentes formando uma série gradiente aritmético igual a G, 2G, 3G, 4G e 5G ? i = 6% n = 6 (ATENÇÃO) 60.000 ? 0 1 2 3 4 5 6 0 20.000 40.000 100.00 0 52 80.000 Qual o valor Presente P dado o Valor do Gradiente Aritmético G numa série em Gradiente ?  Representação Gráfica i = 6% a.a. n = 6 G= 20.000  Resolução por Equação: P = G (1+i) n - 1 - ni = 20.000x (1+0,06) 6 - 1 - 6x0,06 i2 (1+i) n 0,062 (1+0,06) 6 P = 229.180  Resolução por Tabelas: P = G(P/G, i, n ) = 20.000x(P/G, 6%, 6 ) = 20.000x11,4594 P = 229.188 60.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 0 20.000 40.000 80.000 100.000 53 Exercício 9 (HIRSCHFELD, 2001)  Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente crescentes , de tal forma que o primeiro seja igual a G = $5.000,00 , formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G, 5G, 6G, 7G ? i = 15% n = 8 54 1xG 2xG 3xG 0xG 5xG 6xG 7xG 4xG 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? 0 Qual o valor uniforme U dado o Valor do Gradiente Aritmético G numa série Gradiente ?  Representação Gráfica i=15% a.a. n=8  Resolução por Equação: U = G (1+i) n - 1 - ni = ...... = 5.000x2.78 = 13.900 i (1+i) n - 1  Resolução por Tabelas: U = G(U/G, i, n) = 5.000x(U/G, 15%, 8 ) = 5.000x2,7813 U = 13.906,50 55 1xG 2xG 3xG 0xG 5xG 6xG 7xG 4xG 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 U =? 0 Gradiente Geométrico g  Se numa séria contínua de compromissos financeiros C existir uma variação contínua em cada período correspondente a uma porcentagem do valor inicial , tal porcentagem é designada por g e se chama gradiente Geométrico. 56 (HIRSCHFELD, 2001) Qual o valor Presente P dado o Valor do Gradiente Geometrico g numa série em Gradiente ?  Exercício 10 (HIRSCHFELD, 2001) : No cálculo do orçamento de um empreendimento , quer se saber quanto se gastará de mão-de-obra durante os primeiros 5 anos considerando que haverá um aumento anual dos ordenados de 10%, a taxa mínima de atratividade (juros) é de 15% a.a., e no primeiro ano tal mão de obra foi calculada como sendo igual a $ 2.000.000,00. 57 (HIRSCHFELD, 2001) n = 5 g = 10 % i = 15% F1 = 2.000.000  P = 7.971.676 Transformação de valores  Utilização de equações ou fatores de transformações tabelados para transformação entre valores P, F, U, G e g:  A princípio, não é considerado o efeito da inflação. 58 P U F g G Transformações Sucessivas  As fórmulas deduzidas para os problemas vistos pressupõem que cada insumo esteja localizado no fluxo de caixa da forma como foi apresentado.  Assim, no problema 4, o insumo F está localizado no instante n (no final). 59 Transformações Sucessivas  Se o insumo F não estivesse localizado no instante n, e sim num instante anterior a n, a solução do Exercício 4 poderia ser dada de duas formas: • A) faríamos o insumo F se deslocar para o instante inicial (problema 2 ), caindo então no tipo de problema 5, o qual seria resolvido. • B) faríamos o insumo F se deslocar para o instante final n (problema 1), caindo então no tipo do problema 4, o qual seria resolvido. 60 Exercício 11 (HIRSCHFELD, 2001)  Achar o valor uniforme U no fluxo de caixa com a seguinte representação gráfica, sendo i = 10%: Atenção: O fluxo de caixa não está no formato para utilizar as equações e tabelas diretamente !  Necessidade de transformações sucessivas ! U= ? 2.000 0 1 2 3 4 5 61 Primeiro Modo:  Transformar o Valor F2 = $2.000 em um valor Presente (P)  P = F2(P/F, i, n) com i = 10% e n =2 (Atenção)  P = 2.000x(P/F, 10, 2) = 2.000x0,8264 = 1652,8  Agora com o novo Fluxo de Caixa pode-se usar as equações ou tabelas para se achar U: U=P(U/P, i, n) = 1652,8x(U/P, 10, 5) = 1652,8x0,2638  U = 436 U = ? F2 = 2.000 0 1 2 3 4 5 P = ? U = ? 0 1 2 3 4 5 P = 1652,8 62 Segundo Modo:  Transformar o Valor F2 = $2.000 em um valor Futuro (F)  F5= P(F/P, i, n) com i = 10% e n = 3 (Atenção)  F5 = 2.000x(F/P, 10, 3) = 2.000x1,331 = 2662  Agora o novo Fluxo de Caixa pode-se usar as equações e tabelas para se achar U: U=F(U/F, i, n) = 2662x(U/F, 10, 5) = 2662x0,1638  U = 436,04 U = ? F2 = 2.000 0 1 2 3 4 5 F5 = ? U = ? 0 1 2 3 4 5 F5 = 2662 63 Fixação do presente no instante 2 Exercício 12 (HIRSCHFELD, 2001)  Quanto se deve depositar, no instante inicial, a fim de render uma taxa de juros igual a 10 % a. a. para se retirar $100.000,00 a cada 3 anos a partir do depósito até o ano 12 ? 64 U = 100.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 i= 10 % a. a. n = ? Exercício 12: Primeiro modo de resolução F1 = 100.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 i= 10 % a. a. n = ?  Solução 1 : - Transformação de todos os valores do fluxo de caixa do Futuro para o Presente P = P1 + P2 + P3 + P4 P1 = F1x(P/F, 10, 3)=100.000x0,7513 = 75.130 P2 = F2x(P/F, 10, 6)=100.000x0,5645 = 56.450 P3 = F3x(P/F, 10, 9)=100.000x0,4241 = 42.410 P4 = F4x(P/F, 10, 12)=100.000x0,3186 = 31.860 P = P1 + P2 + P3 + P4 = 205.850 F2 = 100.000 F3 = 100.000 F4 = 100.000 Exercício 12: Segundo modo de resolução (1) i= 10 % a. a. n = ?  Solução 2 : - Transformação de todos os valores do fluxo de caixa do Futuro para um Valor Uniforme. U = F1x(U/F, 10, 3) U = 100.000x0,3021 U= 30.210 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F2 = 100.000 F3 = 100.000 F4 = 100.000 F1 = 100.000 F2 = 100.000 F3 = 100.000 F4 = 100.000 U P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F3 = 100.000 F4 = 100.000 U U U U U P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F4 = 100.000 U U U U P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 U U U U Exercício 12: Segundo modo de resolução (2) P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 U U U U P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 U = 30.210 P = Ux(P/U,10,12) = 30.210 x 6,814 = 205.851 * Uma pequena diferença nos valores dos resultados dos exercícios com os diferentes modos de resolução é admitido. Exercício 13 (HIRSCHFELD, 2001)  Quanto devemos depositar em um fundo, a partir do primeiro período, com juros de 15% a.a., até o final do ano 10, para que possamos fazer três retiradas anuais de $ 100.000,00 durante os anos 11, 12 e 13 inclusive ? 68 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 U’ = 100.000 U=? Exercício 13: Primeiro modo de resolução U’ = 100.000 U = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - Foco no transformação da série uniforme de 11 a 13 para um valor no instante 10, fixando o presente no instante 10: U’ = 100.000 F10 = ? 10 11 12 13 - Com a configuração da figura a seguir e fixando o presente no instante 0 passamos a ter o caso da transformação de um valor conhecido Futuro (F10) no valor Uniforme U que queremos achar: i=15% F10 = U’x(P/U,15,3)  F10 = 100.000x 2,283 n=3 F10 = 228.300 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F10 = 228300 U = F10x(U/F,15,10) = 228.300x 0,0493  U = 11.255 U = ? Fixação do presente no instante 10 Fixação do presente no instante 0 Exercício 13: Segundo modo de resolução (1) U’ = 100.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - Foco no transformação da série uniforme de 11 a 13 para um valor no instante 13 (Futuro), fixando o presente no instante 10: U’ = 100.000 F13 = ? 10 11 12 13 - Com a configuração da figura a seguir e fixando o presente no instante 0 passamos a ter o caso da transformação de um valor conhecido Futuro (F10) em valor Presente no instante 0. i=15% F13 = U’x(F/U,15,3)  F13 = 100.000x 3,4725 n=3 F13 = 347.250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P = F13x(P/F,15,13) = 347.250x 0,1625  P = 56.428 F13 = 347.250 U = ? U = ? P = ? Fixação do presente no instante 10 Exercício 13: Segundo modo de resolução (2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P = F13x(U/F,15,13) = 347.250x 0,1625  P = 56.428 F13 = 347.250 U = ? P = ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 U = ? P = 56.428 Sabendo o valor Presente, podemos agora achar o valor U, transformando o valor P em um valor uniforme: U = Px(U/P, 15, 10) = 56.428 x 0,1993 = 11.246 Exercício 14 (HIRSCHFELD, 2001)  Qual o valor que daríamos, no instante inicial, à economia de um equipamento que faz economizar $ 10.000,00 no primeiro ano e traz uma economia crescente por ano de $10.000,00 até o quinto (5º.) ano de uso, considerando-se uma taxa de juros anuais igual a 12 % ? 72 30.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 10.000 20.000 40.000 50.000 Exercício 14: Primeiro modo de resolução  Considerar os valores separadamente como valores futuros, transformando todos para o presente (semelhante ao primeiro modo do Exercício 12), e depois somando os valores.  P = P1+P2+P3+P4+P5  P1 = F1x(P/F, 12,1) = 10.000x0,8929 = 8.929  P2 = F2x(P/F, 12,2) = 20.000x0,7972 = 15.944  P3 = F3x(P/F, 12,3) = 30.000x0,7118 = 21.354  P4 = F4x(P/F, 12,4) = 40.000x0,6355 = 25.420  P5 = F5x(P/F, 12,5) = 50.000x0,5674 = 28.370  P = P1+P2+P3+P4+P5 = 100.017 73 30.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 10.000 20.000 40.000 50.000 Exercício 14: Segundo modo de resolução  Dividir o fluxo de caixa em dois outros fluxos, um com uma série uniforme (U=10.000) e outra com uma série Gradiente Aritmético (G=10.000).  Calcular os valores equivalentes no presente: P1 e P2  Após fazer P=P1+P2 74 30.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 10.000 20.000 40.000 50.000 20.000 P2 = ? 0 1 2 3 4 5 10.000 30.000 40.000 P 1 = ? 0 1 2 3 4 5 U = 10.000 P1=Ux(P/U,12,5)=10.000x3,605=36.050 P2=Gx(P/G,12,5)=10.000x6,397=63.970 P=P1+P2= 36.050+63.970=100.020 G=10.000  Supor a referência do presente em um período (n=-1) antes do instante 0, formando uma série Gradiente Aritmético com n=6;  Calcular o valor presente no instante n=-1, e após transformar essa valor em um valor futuro no instante 0.  P-1=Gx(P/G,12,6)=10.000x 8,930  P-1=89.300 75 Exercício 14: Terceiro modo de resolução 30.000 P = ? 0 1 2 3 4 5 10.000 20.000 40.000 50.000 30.000 -1 0 1 2 3 4 5 10.000 20.000 40.000 50.000 G= 10.000 n= 6 P-1= ? -1 0 1 2 3 4 5 P-1= 89.300 P = ? P = P-1x(F/P,12,1)=89.300x1,12 P = 100.016 Presente Presente Presente 0 Exercício 15 (HIRSCHFELD, 2001)  Um banco faz empréstimos somando 20% à quantia emprestada e dividindo o total por 10 pagamentos iguais. Quanto é realmente a taxa de juros paga ?  Resolução: imaginar pegar o empréstimo de $10.000,00 do Banco. n= 10 P=10.000 U=(10.000+0,2x10.000)/10 = 12.000/10  U = 1.200 i = ? P = Ux(P/U, i, n)  10.000 = 1.200x(P/U, i, 10) (P/U, i, 10) = 10.000/1.200 = 8,333  P = 10.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U = 1.200 76 Usar as tabelas e fazer uma Interpolação Linear Exercício 15 (HIRSCHFELD, 2001) Interpolação Linear: (P/U, i, 10) = 10.000/1.200 = 8,333 Procurando nas Tabelas: (P/U, 3, 10) = 8,530 (P/U, 4, 10) = 8,111 Por interpolação linear: 8,530- 8,111 = 0,419 3-4 8,333- 8,111 = 0,222 i-4 i-4 = 0,222 3-4 0,419  i = 3,47 % a.m. 77 P/U 1 2 3 i 4 5 i(%) 8,530 8,333 8,111 TABELA PRICE  Prática mais comumente usada no financiamento de imóveis, entre outros bens (hoje em dia o termo price é utilizado para dizer que o pagamento será de valor uniforme, comparcelas iguais).  É uma Taxa Nominal (Rever Período de Capitalização, Taxa Nominal e Taxa Efetiva)  TP – Taxa anual baseada na Tabela Price  TEM – Taxa Efetiva Mensal  TEA – Taxa Efetiva Anual  TEM = TP/12 (Período de capitalização é mês, assim dentro de um ano temos 12 períodos de capitalização)  A TEA pode ser deduzida da TEM (ver Exercício 16 a seguir) Problema 16 (HIRSCHFELD, 2001)  Um imóvel foi vendido pela Tabela Price com a taxa anual de 36% a. a.. Qual a taxa anual efetivamente paga ? Resolução: 1) Calcular a TEM=TP/12: TEM=36/12  TEM = 3% 2) Imaginar o financiamento de P=$1 (recebimento de valor no Presente), e calcular o quanto você teria de pagar após um ano (12 meses): 3) Calcular a TEA pela equação ou tabela usando a relação F/P: F=Px(F/P,3,12) = 1x 1,426= 1,426  Ou seja, o pagamento no futuro (F) foi 42,6% maior que o recebimento, o que significa que a Taxa Efetiva Anual foi 42,6 %. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F=? P=1 TEA = 42,6% Período de um ano Problema 17 (HIRSCHFELD, 2001)  Admitamos que a taxa referencial diária, ou TRD, seja igual a 0,25% ao dia (a. d.). Sendo a taxa mensal de juros da caderneta de poupança igual a taxa referencial mensal (TR) mais 0,5% ao mês (a.m.), qual seria a taxa diária de rendimento da poupança?  De acordo com a legislação atual, a remuneração dos depósitos de poupança é composta de duas parcelas: I - a remuneração básica, dada pela Taxa Referencial - TR, e II - a remuneração adicional, correspondente a: - 0,5% ao mês, enquanto a meta da taxa Selic ao ano for superior a 8,5%; ou - 70% da meta da taxa Selic ao ano, mensalizada, vigente na data de início do período de rendimento, enquanto a meta da taxa Selic ao ano for igual ou inferior a 8,5%. Fonte: https://www4.bcb.gov.br/pec/poupanca/poupanca.asp?frame=1 Resolução do Exercício 17  Supor o Rendimento da Poupança Mensal: RPM=TR+0,5%  Rendimento da Poupança Diária é uma a soma da TRD (0,25%) mais o rendimento diário equivalente (RDE) a 0,5% ao mês (RPD=TRD+RDE).  Calcular a taxa de rendimento diário equivalente (RDE) referente a Taxa Mensal de 0,5%, supondo a aplicação de $100 na poupança durante um mês (supor 30 dias), recebendo $100,50 no futuro, e calcular o RDE:  Resolução pela equação:  F = Px(1+i)n  100,50 = 100x(1+i)30  100,50/100 = 1,005 = (1+i) 30  1+i = 1,000166  i= 0,000166 ou i=0,0166 %  RPD=TRD+RDE  RPD=0,25+0,0166  RPD=0,2666% 81 0 1 2 3 4 5............................................................................30 dias F=100,50 P=100 Custo Capitalizado (HIRSCHFELD, 2001)  Valor presente referente a uma alternativa em que o número de períodos do horizonte a ser considerado é igual a infinito (ou um número de períodos muito grande);  Exemplo: aposentadoria sem limite de períodos de pagamentos.  Neste caso U=P*i 82 P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 U n  Ver fórmula no exercício 5: U = P i (1+i) n (1+i) n -1 83 (1+i) n U = P x i x (1+i) n (1+i)n - 1 (1+i) n (1+i) n 1 1  0 = P x i x (1/1)  U=P x i Fómula para Custo Capitalizado: Problema 18 (HIRSCHFELD, 2001)  Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância anual de $ 60.000, considerando ser a taxa anual de juros de 10 % a.a.? Resolução: Custo capitalizado  U=Pxi P = U/i = 60.000/0,10  P= 600.000 84 P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 U n  Problema 19 (HIRSCHFELD, 2001)  Qual o custo capitalizado do empreendimento K, considerando ser: - i = 8% a.a.; - custo inicial: $500.000,00; - despesa anual , por prazo indefinido : $50.000; e - despesa a cada 4 anos, por prazo indefinido: $25.000 ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 U2 = 50.000 U3 = 25.000 P1=500.000 n  Resolução do Exercício 19  Soma do Custo Capitalizado:  P = P1+P2+P3  P1 = 500.000  P2 = U2/i = 50.000/0,08 = 625.000 * Transformar o Valor Uniforme Quadrienal (U3) considerando cada valor U um valor Futuro e transformando em um valor Uniforme Anual (U3’): U3’ = F4x(U/F,8%,4) = 25.000x0,2219 = 5.547 P3 = U3’/i = 5.547/0,08 = 69.343 P = P1+P2+P3 = 500.000 + 625.000 + 69.343  P = 1.194.343 86 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 U3 = 25.000 0 1 2 3 4 n F4 = 25.000 U3’ = ? U3’ = ? *Semelhante ao segundo modo de resolução do exercício 12. n  Financiamentos e Pagamentos  Sistemas de Pagamentos:  Sistemas de Pagamentos Constante (SPC) ou “PRICE”  Sistemas de Amortização Constante (SAC)  Sistemas de Amortização Misto (SAM) -----------------------------------------------------  Carência  Carência pagando Juros  Carência sem pagar Juros 87 SPC – Sistemas de Pagamentos Constantes (ou Price)  Quando um valor P é financiado para ser pago em n parcelas uniformes U ou n pagamentos constantes. Exemplo de fluxo de caixa com n= 14:  CARÊNCIA – Prazo entre a data de recebimento de P e o início do pagamento de valores U, em que pode ocorrer (supondo carência de 3 períodos : C= 3): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 U P n Carência com apenas o pagamento de juros: Carência sem o pagamento de juros: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 U P n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 U’ P n J U = P i (1+i) n (1+i) n -1 U = P i (1+i) n (1+i) n -1 U’ = P’ i (1+i) n (1+i) n -1 P’=P(1+i) c J= i x SD = i x P P’ Carência: C=3 Carência: C=3 Juro é função do Saldo Devedor  Ou seja, para se saber o valor do Juros basta aplicar a taxa de juros ao saldo devedor: J=i*SD Exercício: Supor o empréstimo de $1000 para ser pago em 5 parcelas com juros de 10%.  Calcular ao longo do tempo:  O Juros incluído na parcela: Jm=i*SDm-1  O Juros Acumulado pago desde o início do pagamento: Jo-m= ∑ Jm  O valor da Parcela paga por mês: U=P(U/P,i,n)  O Saldo Devedor logo após o pagamento de cada uma das parcelas: SDm = (SDm-1 + Jm) – U  O Valor Amortizado : IUm = U – Jm (HIRSCHFELD, 2001) 0 1 2 3 4 5 U P n U = P i (1+i) n ou U=P(U/P,i,n) (1+i) n -1 SPC – Sistemas de Pagamentos Constantes (ou Price) Resolução do Exercício: 90 O Valor Amortizado : IUm = U – Jm Saldo Devedor logo após o pagamento de cada uma das parcelas: SDm = (SDm-1 + Jm) – U Valor da Parcela paga por mês: U=P(U/P,i,n) * Constante todos os Períodos Juros Acumulado pago desde o início do pagamento: Jo-m= ∑Jm Juros incluído na Parcela m: Jm=i*SDm-1 Período n 1000 0 IU1 = U – J1 IU1 = 263,80 – 100 = 163,80 SD1 = (SD0 + J1) – U SD1 = (1000 + 100) – 263,80= 836,20 U=1000(U/P,10,5) = 1000x0,2638= 263,80 J0-1= J0 + J1 = 0+100= 100 J1=ixSD0 = 0,1x1000= 100 1 IU2 = U – J2 IU2 = 263,80 – 83,62 = 180,18 SD2 = (SD1 + J2) – U SD2 = (836,20 + 83,62) – 263,80= 656,02 U=1000(U/P,10,5) = 1000x0,2638 = 263,80 J0-2= J0 + J1 + J2 = 0+100+ 83,62 = 183,62 J2=ixSD1 = 0,1x836,20 = 83,62 2 U=1000(U/P,10,5) = 1000x0,2638 = 263,80 3 U=1000(U/P,10,5) = 1000x0,2638 = 263,80 4 U=1000(U/P,10,5) = 1000x0,2638 = 263,80 5 Total SPC – Sistemas de Pagamentos Constantes (HIRSCHFELD, 2001) 91 SPC – Sistemas de Pagamentos Constantes (HIRSCHFELD, 2001) 92 Problema 27 (HIRSCHFELD, 2001)  Com investimento inicial de $100.000.000, um empreendimento foi financiado com quatro anos de carência e 12 anos para amortizar a dívida. Durante o prazo de carência, o empresário paga apenas os juros, sendo a taxa de 5% a.a.. A)Determinar quais os valores uniformes a serem pagos B) Calcular o valor uniforme em 12 parcelas, admitindo que o prazo de carência não se pagam juros C) Se o empresário quisesse pagar a dívida no ano 10 das amortizações, qual seria o saldo devedor 93 Resolução do Exercício 27 (1)  A) Determinar quais os valores uniformes a serem pagos: J= i x SD = i x P = 0,05x100.000.000 = 5.000.000 U=Px(U/P,i,n) = 100.000.000x(U/P,5,12)= 100.000.000x0,1128  U = 11.280.000  B) Calcular o valor uniforme em 12 parcelas, admitindo que o prazo de carência não se pagam juros:  U’=P’x(U/P,i,n)  U’ = 121.600.000 x (U/P,5,12) = 121.600.000 x 0,1128  U’= 13.716.000 U = 11.280.000 U’= 13.716.000 94 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 U P=100.000.000 n J P’=Px(1+i)c P’ = Px(F/P,i,C) P’ = Px(F/P,5,4) P’ = 100.000.000x 1,216 P’ = 121.600.000 P’= ?  P’ = 121.600.000 Carência: C=4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 U’ P=100.000.000 n Carência: C=4 Comparação Resolução do Exercício 27 (2)  C-A) Se o empresário quisesse pagar a dívida no ano 10 das amortizações, qual seria o saldo devedor? Situação A): SD10 = Ux(P/U,5,2) = 11.280.000 x 1,859  SD10 = 20.969.000  C-B) Se o empresário quisesse pagar a dívida no ano 10 das amortizações, qual seria o saldo devedor? Situação B): SD’10 = U’x(P/U,5,2) = 13.716.000 x 1,859  SD’10 = 25.498.000 SD10 = 20.969.000 SD’10 = 25.498.000 95 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P=100.000.000 n Carência: C=4 n 14 15 16 U U J SD10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P=100.000.000 n Carência: C=4 n 14 15 16 U’ U’ SD’10 Comparação Sistema de Amortização Constante (SAC) 96  As amortizações são constantes e iguais ao valor financiado dividido pelo número de parcelas: SAC – Sistemas de Amortizações Constantes Juro é função do Saldo Devedor 97 O Valor Amortizado : IU = P/n * Constante todos os Períodos Saldo Devedor logo após o pagamento de cada uma das parcelas: SDm = SDm-1 – IU Valor da Parcela paga por mês: Um=IU+Jm Juros Acumulado pago desde o início do pagamento: Jo-m= ∑Jm Juros incluido na Parcela m: Jm=i*SDm-1 Período n 1000 0 IU = P/n = 1000/5 = 200 SD1 = SD0 -IU SD1 = (1000 -200)= 800 U1=IU+J1 = 200+100 = 300 J0-1= J0 + J1 = 0+100= 100 J1=ixSD0 = 0,1x1000= 100 1 IU = P/n = 1000/5 = 200 2 IU = P/n = 1000/5 = 200 3 IU = P/n = 1000/5 = 200 4 IU = P/n = 1000/5 = 200 5 Total SAC – Sistemas de Amortizações Constantes Juro é função do Saldo Devedor 98 O Valor Amortizado : IU = P/n * Constante todos os Períodos Saldo Devedor logo após o pagamento de cada uma das parcelas: SDm = SDm-1 – IU Valor da Parcela paga por mês: Um=IU+Jm Juros Acumulado pago desde o início do pagamento: Jo-m= ∑Jm Juros incluido na Parcela m: Jm=i*SDm-1 Período n 1000 0 IU = P/n = 1000/5 = 200 SD1 = SD0 -IU SD1 = (1000 -200)= 800 U1=IU+J1 = 200+100 = 300 J0-1= J0 + J1 = 0+100= 100 J1=ixSD0 = 0,1x1000= 100 1 IU = P/n = 1000/5 = 200 SD2 = SD1 -IU SD2 = (800 -200)= 600 U2=IU+J2 = 200+80 = 280 J0-2= J0 + J1 + J2 =0+100+80= 180 J2=ixSD1 = 0,1x800= 80 2 IU = P/n = 1000/5 = 200 SD3 = SD2 -IU SD3 = (600 -200)= 400 U3=IU+J3 = 200+60 = 260 J0-3= J0 + J1+J2... =0+100+80+60= 240 J3=ixSD2 = 0,1x600= 60 3 IU = P/n = 1000/5 = 200 SD4 = SD3 -IU SD4 = (400 -200)= 200 U4=IU+J4 = 200+40 = 240 J0-4= J0+J1+ J2+... =0+100+80+60+ 40=280 J4=ixSD3 = 0,1x400= 40 4 IU = P/n = 1000/5 = 200 SD3 = SD2 -IU SD3 = (200 -200)= 0 U5=IU+J5 = 200+20 = 220 J0-5= J0+J1+J2... =0+100+80+60+ 40+20=300 J5=ixSD4 = 0,1x200= 20 5 1000 1300 300 Total Sistema de Amortização Misto (SAM): Todos os valores são a média aritméticas entre o SPC e o SAC: SAM=(SPC+SAC)/2 O Valor Amortizado : IUsac = (Iuspc+Iusam)/2 Saldo Devedor logo após o pagamento de cada uma das parcelas: SDsam =(SDspc+SDsac)/2 Valor da Parcela paga por mês: Usam=(Uspc+Usac)/2 Juros Acumulado pago desde o início : Jo-m= ∑Jm Juros incluido na Parcela m: Jm=(Jspc+Jsac)/2 Período n 1000 0 IUsam1 = (163,80+200)/2 = 363,80/2 = 181,90 SDsam1 = (836,20+800,00)/2 = 818,10 Usam1= (263,80+300)/2 = 563,80/2 = 281,90 J0-1= J0 + J1 = 0+100= 100 Jsam1=(100+100)/2 = 100 1 2 3 4 5 Total Métodos Análise de Investimentos  Método do Valor Presente Líquido (VPL)  Método do Valor Futuro Líquido (VFL)  Método do Valor Uniforme Líquido (VUL)  Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)  Método do Tempo de Retorno /Payback  Método Benefício-Custo (B/C) * Apresentam nomes e abreviações diferentes dependendo do livro. 100 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA)  Taxa utilizada nos cálculos para considerar o valor equivalente, caso os valores envolvidos na comparação de alternativas fosse aplicados em outros investimentos;  A TMA geralmente é uma média das taxas de investimentos mais comuns encontradas no mercado como poupança, fundos DI, CDB,...  A taxa de juros (i) que retorna as alternativas de investimentos devem ser maiores que a TMA. 101 Taxa Mínima de Atratividade (TMA)  A alternativa deve render no mínimo a TMA  TMA para Pessoas Física: taxa da caderneta de poupança  TMA para Empresas (Curto Prazo): taxa de remuneração de títulos bancário (Exemplo:CDBs)  TMA para Empresas (Médio Prazo): rendimentos das contas de Capital de giro (aplicações de caixa, valorização dos estoques, taxas de vendas a prazo)  TMA para Empresas (Longo Prazo): metas estratégicas de crescimento e distribuição de lucros  TMA para Empresas Financeiras : Margem de Lucro (SPREAD) 102 Capítulo 2: Método do Valor Presente Líquido (VPL)  Transforma todos os valores envolvidos em um fluxo de caixa em valores presentes;  O parâmetro de comparação é o valor presente líquido, considerando a TMA.  A melhor alternativa será aquela que apresentar o maior VPL. 103 Exercício 42 (HIRSCHFELD, 2001)  Dois equipamentos são analisados. Considerando ser a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) igual a 20% a.a., qual o equipamento que deve ser adquirido ?  Resolver pelo Método VPL ! L K Equipamento $ 80.000 $ 50.000 Custo $ 15.000 $ 20.000 Custo Anual de Conservação $ 8.000 $ 4.000 Valor Residual para a Venda 10 10 Duração em Anos 104 Resolução: Exercício 42  Comparar o VPL das alternativas: K: VPLk = -50.000-20.000x(P/U,20,10)+4.000x(P/F,20,10) VPLk = -50.000-20.000x4,192+4.000x 0,1615 = -50.000-83.840+646 = -133.194 L: VPLL = -80.000-15.000(P/U,20,10)+8.000(P/F,20,10) VPLL = -80.000-15.000x4,192+8.000x0,1615 = -80.000-62.880+1.288 = -141.592 VPLK>VPLL  -133.194 > -141.592  A alternativa K é a melhor ! 105 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P=50.000 n U=20.000 F=4.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P=80.000 n U=15.000 F=8.000 Problema 43 (HIRSCHFELD, 2001)  Dois bancos oferecem as seguintes opções: - no banco K é depositado $20.000, recebendo-se anualmente a quantia de $2.000 durante 10 anos, após os quais se recebe 200.000; - - no banco L é depositado $10.000, recebendo-se anualmente a quantia de $1.000 durante 10 anos, após os quais se recebe $120.000. - Considerando a TMA=15% a.a., qual dos dois bancos deve ser preferido ? Resolução: Exercício 43 Resolver pelo VPL: 107 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P=20.000 n U=2.000 F=200.000 P=10.000 n U=1.000 F=120.000 TMA=15% a.a. n = 10 Fluxo de caixa para Alternativa K: VPLK = -P+Ux(P/U,15,10)+Fx(P/F,15,10) = -20.000+2.000x5,019+200.000x0,2472  VPLK = 39.478 Fluxo de caixa para Alternativa L: VPLL = -P+Ux(P/U,15,10)+Fx(P/F,15,10) = -10.000+1.000x5,019+120.000x0,2472  VPLL = 24.683 VPLK = 39,478 > VPLL = 24,683  K é a melhor alternativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Análise comparativa com alternativas de durações diferentes:  Quando a duração de tempo (número de períodos) de uma alternativa for diferente da outra, não se pode calacular e comparar o VPL das alternativas. Nesse caso:  Calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) das durações de tempo das alternativas;  Replicar os Fluxos de Caixa até o tempo total das durações das alternativas (números de períodos) serem iguais ao MMC;  Calcular e comparar o VPL das alternativas com os fluxos de caixas replicados. 108 Problema 44 (HIRSCHFELD, 2001)  Qual o equipamento que deve ser escolhido entre as alternativas K e L, considerando ser 10% a.a. a TMA ? (*Admite-se a repetitividade dos ciclos) L K Equipamento $ 200.000 $ 100.000 Custo $ 40.000 $ 30.000 Custo Anual de Conservação $ 20.000 $ 10.000 Valor Residual para a Venda 9 6 Duração em Anos Resolução: Problema 44 (1)  Cálculo do MMC: MMC(6,9)=18 períodos.  Replicação dos Fluxos de Caixa com i=10%a.a.: Fluxo de caixa original de K: Replicando: VPLK = -100.000+(10.000-100.000)(P/F,10,6) +(10.000-100.000)(P/F,10,12) +10.000(P/F,10,18)-30.000(P/U,10,18) = -100.000 - 30.000x8,20 - 90.000x0,5645 - 90.000x0,3186 +10.000x0,1799 VPLk = -423.680 110 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 n 0 1 2 3 4 5 6 U=30.000 P=100.000 n F=10.000 10.000 100.000 30.000 Primeiro Equipamento K Segundo Equipamento K Terceiro Equipamento K Resolução: Problema 44 (2) Fluxo de caixa original de L: Replicando: VPLL = -200.000+(20.000-200.000)(P/F,10,9)+20.000(P/F,10,18)-40.000(P/U,10,18) = -200.000 - 40.000x 5,759 - 180.000x0,4241 + 20.000x0,1799 VPLL = -600.740  Comparação dos VPLs: VPLK = -423.680 > VPLL = -600.740  K é a melhor alternativa 111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 n U=40.000 P=200.000 n F=20.000 20.000 200.000 40.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Primeiro Equipamento L Segundo Equipamento L Análise Diferencial (ou Incremental) das Alternativas  Fazer o fluxo de caixa resultante da diferença entre o fluxo de caixa de K e L (Fluxo de caixa K-L)  Calcular o VPL do fluxo de caixa K-L (VPLK-L)  Avaliar: Se VPLK-L > 0, a primeira alternativa (K) é a melhor Se VPLK-L < 0, a segunda alternativa (L) é a melhor 112 Problema 45 (HIRSCHFELD, 2001)  Selecionar a melhor alternativa entre os dois fluxos de caixa aplicando-se a Análise Diferencial dos Valores Presentes Líquidos. L K Alternativa $ 500.000 $ 300.000 Custo Inicial $ 10.000 $ 50.000 Custo Anual de Conservação 20 anos 20 anos Duração em Anos TMA = 5 %  Fazer o fluxo de caixa resultante (K-L) Fluxo de caixa de K: Fluxo de caixa de L: Fluxo de caixa de K-L:  Calcular o VPL do fluxo de caixa K-L (VPLK-L): VPLK-L = 200.000-40.000(P/U,5,20) = 200.000-40.000x12,46 = -298.400  Avaliar: VPLK-L < 0  L é a Melhor Alternativa 114 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P=300.000 n U=50.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P=500.000 n U=10.000 n U=40.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P=200.000 Z Resolução: Problema 45 Análise Exaustiva  Supondo um valor determinado disponível para investimento, além de considerar as alternativas explícitas (alternativas K, L, M,... dadas pela descrição do enunciado do problema), considerar também a possibilidade de se aplicar valores (todo ou parte) à taxa mínima de atratividade (TMA).  Resolução: 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva 2) Calcular o VPL das opções elencadas 3) Comparar o VPL das opções e definir a melhor alternativa 115 Problema 46 (com base no exerc. 43)  Dois bancos oferecem as seguintes opções: - no banco K é depositado $20.000, recebendo-se anualmente a quantia de $2.000 durante 10 anos, após os quais se recebe 200.000; - no banco L é depositado $10.000, recebendo-se anualmente a quantia de $1.000 durante 10 anos, após os quais se recebe $120.000. - Considerando a TMA=15% a.a., qual dos dois bancos deve ser preferido, considerando a disponibilidade do valor de $20.000 usando a Análise Exaustiva ? Resolução: Problema 46 (1)  No problema 43 consideremos a existência da disponibilidade de $20.000, os quais podem ser aplicados segundo as seguintes opções conforme análise exaustiva. 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva: - Opção 1: Aplicar 20.000 conforme alternativa K do problema 43; - Opção 2: Aplicar $ 10.000 conforme a alternativa L do problema 43 e aplicar os outros $10.000 a TMA de 15% por 10 anos; - Opção 3: aplicar todo o valor disponível de $20.000 a TMA de 15% por 10 anos. Resolução: Problema 46 (2) 2) Calcular o VPL das opções elencadas. Opção 1: No banco K é depositado $20.000, recebendo-se anualmente a quantia de $2.000 durante 10 anos, após os quais se recebe 200.000. VPL1 = -P+Ux(P/U,15,10)+Fx(P/F,15,10) = -20.000+2.000x5,019+200.000x0,2472  VPL1 = 39.478 118 P=20.000 n U=2.000 F=200.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resolução: Problema 46 (3) Opção 2: Aplicar $ 10.000 conforme a alternativa L (problema 43) e aplicar os outros $10.000 a TMA de 15% por 10 anos (supondo receber o rendimento Anualmente). PTMA =10.000 ( 20.000 disponível menos 10.000 aplicados no Banco L) UTMA = PTMAx(U/P,15,10) = 10.000x0,1993 = 1.993 VPL2 = VPLL + VPLTMA VPL2 = -10.000+1.000x(P/U,15,10)+120.000x(P/F,15,10) + [-10.000+UTMA(P/U,15,10)] VPL2 = -10.000+1.000x5,019+120.000x0,2472 + [-10.000 + 1.993x5,019] = 24.683 + [0]*  VPL2 = 24.683 * VPLTMA = -10.000+[UTMA]x(P/U,15,10) = -10.000+10.000x(U/P,15,10)x(P/U,15,10) = -10.000+10.000x1 = 0 119 P=10.000 n U=1.000 F=120.000 PTMA=10.000 n UTMA=10.000x(U/P,15,10) = 1.993 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resolução: Problema 46 (4)  Opção 3: Aplicar todos os $20.000 a TMA de 15% por 10 anos. UTMA = PTMAx(U/P,15,10) = 20.000x0,1993 = 3.986 VPL3 = VPLTMA VPL3 = -20.000+UTMA(P/U,15,10) VPL3 = -20.000 + 3.986x5,019 = 0*  VPL3 = 0 • VPLTMA = -20.000+UTMAx(P/U,15,10) = -20.000+20.000x(U/P,15,10)x(P/U,15,10) = -20.000+20.000x1 = 0 3) Comparar o VPL das opções e definir a melhor alternativa VPL1 = 39.478 > VPL2 = 24.683 > VPL3 = 0 VPL1 > VPL2 > VPL3  A Opção 1 é a melhor ! 120 PTMA=20.000 n UTMA=20.000x(U/P,15,10) = 3.986 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tipos de exercícios resolvidos no Capítulo 2:  Análise de alternativas com duração de tempo iguais (exercício 42 e 43)  Análise de alternativas com duração de tempos diferentes (exercício 44)  Análise de alternativas usando a análise diferencial (ou incremental) (exercício 45)  Análise de alternativas usando o método de análise exaustiva (exercício 46)  Estudar todos os exercícios resolvidos até o final dos capítulos do livro que, junto com a lista de exercício, também serão considerados para a prova ! CAPÍTULO 3 – Método do Valor Futuro Líquido (VFL)  Transforma todos os valores envolvidos em um fluxo de caixa em valores futuros;  O parâmetro de comparação é o valor Futuro líquido, considerando a TMA.  A melhor alternativa será aquela que apresentar o maior VFL. Problema 51 (HIRSCHFELD, 2001)  Dois equipamentos são analisados. Considerando ser a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) igual a 20% a.a., qual o equipamento que deve ser adquirido ? Usar o método do VFL. L K Equipamento $ 80.000 $ 50.000 Custo $ 15.000 $ 20.000 Custo Anual de Conservação $ 8.000 $ 4.000 Valor Residual para a Venda 10 10 Duração em Anos Resolução: Exercício 51  Comparar o VFL das alternativas: K: VFLk = -50.000(F/P,20,10)-20.000x(F/U,20,10)+4.000 VFLk = -50.000x6,192-20.000x25,959+4.000 = -309.600-519.180+4.000 = -824.780 L: VFLL = -80.000(F/P,20,10)-15.000x(F/U,20,10)+8.000 VFLL = -80.000x6,192-15.000x25,959+8.000 = -495.360-389.385+8.000 = -876.745 VFLK>VFLL  -824.780 > -876.745  A alternativa K é a melhor ! 124 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P=50.000 n U=20.000 F=4.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P=80.000 n U=15.000 F=8.000 Análise comparativa com alternativas de durações diferentes:  Quando a duração de tempo (número de períodos) de uma alternativa for diferente da outra, não se pode calacular e comparar o VFL das alternativas. Nesse caso:  Calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) das durações de tempo das alternativas;  Replicar os Fluxos de Caixa até o tempo total das durações das alternativas (números de períodos) serem iguais ao MMC;  Calcular e comparar o VFL das alternativas com os fluxos de caixas replicados. 125 Problema 52 (HIRSCHFELD, 2001)  Tenho oportunidade de adquirir um equipamento, recebendo duas ofertas. Qual a oferta que deverei aceitar, analisando-as pelo Método do Valor Futuro Líquido, e considerando ser a TMA igual a 20% a.a. ? L K Equipamento $ 20.000 $ 10.000 Custo Inicial 4 anos 3 anos Vida Útil $ 1.000 $ 500 Manutenção no primeiro ano $ 1.000 $ 2.000 Manutenção no segundo ano $ 4.000 Manutenção no terceiro ano $ 5.000 $ 1.000 Valor residual na Venda Resolução: Problema 52 (1)  Cálculo do MMC: MMC(3,4)=12 períodos.  Replicação dos Fluxos de Caixa com i=20%a.a.: Fluxo de caixa original de K: Replicando: VFLK = -10.000(F/P,20,12)-500(F/P,20,11)-2.000(F/P,20,10)+(1.000-10.000)(F/P,20,9) - 500(F/P,20,8)-2.000(F/P,20,7)+(1.000-10.000)(F/P,20,6)-500(F/P,20,5)- 2.000(F/P,20,4)+(1.000-10.000)(F/P,20,3)-500(F/P,20,2)-2.000(F/P,20,1)+1.000 = -10.000x8,916-500x7,430-2.000x6,192+..... VFLk = -210.953 127 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 F2=2.000 P=10.000 n F3=1.000 10.000 2.000 1o Equip. K F1=500 500 1.000 10.000 2.000 500 1.000 10.000 2.000 3o Equip. K 500 1.000 1.000 10.000 2.000 4o Equip. K 500 1.000 Resolução: Problema 52 (2)  Cálculo do MMC: MMC(3,4)=12 períodos.  Replicação dos Fluxos de Caixa com i=20%a.a.: Fluxo de caixa original de L: Replicando: VFLL = -20.000(F/P,20,12)-1.000(F/P,20,11)-1.000(F/P,20,10)-4.000(F/P,20,9)+(5.000- 20.000)(F/P,20,8)-1.000(F/P,20,7)-1.000(F/P,20,6)-4.000(F/P,20,5) + (5.000- 20.000(F/P,20,4)-1.000(F/P,20,3)-1.000(F/P,20,2)-4.000(F/P,20,1)+5.000 = -20.000x8,916-1.000x7,430-1.000x6,192+ ..... VFLL = -359.535  Comparação dos VFLs: VFLk = -210.953 > VFLL = -359.535  K é a melhor alternativa 128 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 P=20.000 n F4=5.000 20.000 1.000 1o Equip. L F1=1.000 1.000 5.000 20.000 1.000 1.000 5.000 20.000 1.000 3o Equip. L 1.000 5.000 F3=4.000 4.000 4.000 4.000 F3=1.000 Análise Diferencial (ou Incremental) das Alternativas  Fazer o fluxo de caixa resultante da diferença entre o fluxo de caixa de K e L (Fluxo de caixa K-L)  Calcular o VFL do fluxo de caixa K-L (VFLK-L)  Avaliar: Se VFLK-L > 0, a primeira alternativa (K) é a melhor Se VFLK-L < 0, a segunda alternativa (L) é a melhor 129 Problema 53 (HIRSCHFELD, 2001)  Selecionar a melhor alternativa, entre os dois fluxos de caixa (ver lousa), aplicando- se a Análise Diferencial dos Valores Futuros Líquidos. L K Alternativa $ 500.000 $ 300.000 Custo Inicial $ 10.000 $ 50.000 Custo Anual de Conservação 20 anos 20 anos Duração em Anos 5% 5 % TMA  Fazer o fluxo de caixa resultante (K-L) Fluxo de caixa de K: Fluxo de caixa de L: Fluxo de caixa de K-L:  Calcular o VFL do fluxo de caixa K-L (VFLK-L): VFLK-L=200.000(F/P,5,20)-40.000(F/U,5,20)=200.000x2,653-40.000x33,07 VFLK-L=-792.200  Avaliar: VFLK-L < 0  L é a Melhor Alternativa 131 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P=300.000 n U=50.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P=500.000 n U=10.000 n U=40.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P=200.000 Resolução: Problema 53 Análise Exaustiva  Supondo um valor determinado disponível para investimento, além de considerar as alternativas explícitas (alternativas K, L, M,... dadas pela descrição do enunciado do problema), considerar também a possibilidade de se aplicar valores (todo ou parte) à taxa mínima de atratividade (TMA).  Resolução: 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva 2) Calcular o VFL das opções elencadas 3) Comparar o VFL das opções e definir a melhor alternativa 132 Problema 54 (HIRSCHFELD, 2001)  Selecionar, pela Análise Exaustiva dos Valores Futuros Líquidos (VFL), a melhor opção, considerando a TMA=15%, a disponibilidade de $20.000 e as alternativas a seguir: L K Alternativa $ 10.000 $ 20.000 Depósito Inicial $ 1.000 $ 2.000 Recebimento 10 anos 10 anos Anos de Depósito $120.000 $200.000 Recebimento final após 10 anos Resolução: Problema 54 (1)  No problema 54 consideremos a existência da disponibilidade de $20.000, os quais podem ser aplicados segundo as seguintes opções conforme análise exaustiva. 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva: - Opção 1: Aplicar 20.000 conforme alternativa K do problema 54; - Opção 2: Aplicar $ 10.000 conforme a alternativa L do problema 54 e aplicar os outros $10.000 a TMA de 15% por 10 anos; - Opção 3: aplicar todo o valor disponível de $20.000 a TMA de 15% por 10 anos. Resolução: Problema 54 (2) 2) Calcular o VFL das opções elencadas. Opção 1: No banco K é depositado $20.000, recebendo-se anualmente a quantia de $2.000 durante 10 anos, após os quais se recebe 200.000. VFL1 = -P(F/P,15,10)+Ux(F/U,15,10)+F = -20.000x4,046+2.000x20,304+200.000  VFL1 = 159.688 135 P=20.000 n U=2.000 F=200.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resolução: Problema 54 (3) Opção 2: Aplicar $ 10.000 conforme a alternativa (Banco) L e aplicar os outros $10.000 a TMA de 15% por 10 anos (supondo receber todo o rendimento no Futuro). PTMA =10.000 ( 20.000 disponível menos 10.000 aplicados no Banco L) FTMA = PTMAx(F/P,15,10) = 10.000x4,046 = 40.460 VFL2 = VFLL + VFLTMA VFL2 = -10.000x(F/P,15,10)+1.000x(F/U,15,10)+120.000 + [-10.000(F/P,15,10)+FTMA] VFL2 = -10.000x4,046+1.000x20,304+120.000 + [-10.000 x4,046+ 40.460] = 99.844 + [0]*  VFL2 = 99.844 • VFLTMA = -10.000x(F/P,15,10) + [FTMA] • = -10.000x(F/P,15,10) + 10.000x(F/P,15,10) = -10.000x4,046 + 10.000x4,046 • = -40.460+40.460 = 0 136 P=10.000 n U=1.000 F=120.000 PTMA=10.000 n FTMA=10.000x(F/P,15,10) = 40.460 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resolução: Problema 54 (4)  Opção 3: Aplicar todos os $20.000 a TMA de 15% por 10 anos. FTMA = PTMAx(F/P,15,10) = 20.000x4,046 = 80.920 VFL3 = VFLTMA VFL3 = -20.000x(F/P,15,10) + 80.920 VFL3 = -20.000x4,046 + 80.920 = 0*  VFL3 = 0 * VFLTMA = PTMAx(F/P,15,10)+80.920 = -20.000x(F/P,15,10)+20.000x(F/P,15,10) = -80.920 + 80.920 = 0 3) Comparar o VPL das opções e definir a melhor alternativa VFL1 = 159.688 > VFL2 = 99.844 > VFL3 = 0 VFL1 > VFL2 > VFL3  A Opção 1 é a melhor ! 137 PTMA=20.000 n FTMA=20.000x(F/P,15,10) = 80.920 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tipos de exercícios resolvidos no Capítulo 3:  Análise de alternativas com duração de tempo iguais (exercício 51)  Análise de alternativas com duração de tempos diferentes (exercício 52)  Análise de alternativas usando a análise diferencial (ou incremental) (exercício 53)  Análise de alternativas usando o método de análise exaustiva (exercício 54)  Estudar todos os exercícios resolvidos até o final dos capítulos do livro que, junto com a lista de exercício, também serão considerados para a prova ! CAPÍTULO 4 – Método do Valor Uniforme Líquido (VUL)  Transforma todos os valores envolvidos em um fluxo de caixa em valores Uniformes;  O parâmetro de comparação é o Valor Uniforme Líquido, considerando a TMA.  A melhor alternativa será aquela que apresentar o maior VUL. Problema 59 (HIRSCHFELD, 2001)  Tenho duas alternativas K e L e considero a TMA igual a 20% a.a.. Na alternativa K, invisto $500,00 e recebo, durante 10 anos, a anuidade de $150,00. Na alternativa L, invisto $200,00 e recebo anualmente $100,00 por igual período. Qual a melhor alternativa ? Resolver pelo VUL. TMA=20% a.a. n = 10 Fluxo de caixa para Alternativa K: VULK = -P(U/P,20,10)+U = -500x0,2385+150  VULK = 30,75 Fluxo de caixa para Alternativa L: VULL = -P(U/P,20,10)+U = -200x0,2385+100  VULL = 52,30  VULL = 52,30 > VULK = 30,75  L é a melhor alternativa P=500 n U=150 P=200 n U=100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Problema 60 (HIRSCHFELD, 2001)  Disponho de duas alternativas com as seguintes características:  Considerando a TMA igual a 15% a.a., qual a melhor alternativa baseado no VUL? L K Alternativa $ 200 $ 100 Investimentos $ 10 $ 30 Despesas anuais 4 anos 4 anos Duração em anos Resolução Problema 60  TMA igual a 15% a.a. n=4 Fluxo de caixa de K: VULK = -100(U/P,15,4)-30 VULK = -100x0,3503-30 VULK = -65,03 Fluxo de caixa de L: VULL = -200(U/P,15,4)-10 VULL = -200x0,3503-10 VULL = -80,06 VULK = -65,03 > VULL = -80,06  K é a melhor alternativa 142 P=100 n U=30 P=200 n U=10 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Análise comparativa com alternativas de durações diferentes (ATENÇÃO)  Para resolver com o VUL NÃO é preciso replicar o fluxo de caixa como para o VPL e VFL, podendo aplicar direto o método VUL!  Se usar a replicação, também dá certo, obtendo o mesmo resultado de VUL (Valor Uniforme Líquido), se não replicar.  No caso de replicar, os passos são semelhantes ao VPL e VFL:  Calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) das durações de tempo das alternativas;  Replicar os Fluxos de Caixa até o tempo total das durações das alternativas (números de períodos) serem iguais ao MMC;  Calcular e comparar o VUL das alternativas com os fluxos de caixas replicados.  Porém, reforça-se que não é preciso a replicação com o VUL! 143 Problema 61 (HIRSCHFELD, 2001)  Disponho de duas alternativas com as seguintes características:  Admitindo-se repetitividade de ciclos e considerando ser a TMA ser de 12% a.a., dizer qual a melhor alternativa pelo método do VUL. L K Alternativa $ 200 $ 70 Investimentos $ 100 $ 100 Receitas anuais 3 anos 2 anos Duração em anos Resolução: Problema 61  TMA=12%  VULK=-70(U/P,12,2)+100  VULK=-70x0,5917+100  VULK=58,58  VULL=-200(U/P,12,3)+100  VULL=-200x0,4163+100  VULL=16,74  VULK=58,58 > VULL=16,74  K é a melhor alternativa 145 P=70 n U=100 0 1 2 3 P=200 n U=100 0 1 2 3 Fluxo de caixa para K: Fluxo de caixa para L: Análise Diferencial (ou Incremental) das Alternativas  Fazer o fluxo de caixa resultante da diferença entre o fluxo de caixa de K e L (Fluxo de caixa K-L)  Calcular o VUL do fluxo de caixa K-L (VULK-L)  Avaliar: Se VULK-L > 0, a primeira alternativa (K) é a melhor Se VULK-L < 0, a segunda alternativa (L) é a melhor 146 Problema 62 (HIRSCHFELD, 2001)  Examinemos o problema 59, aplicando a Análise Diferencial, para a classificação da melhor alternativa.  Problema 59: - Tenho duas alternativas K e L e considero a TMA igual a 20% a.a.. Na alternativa K, invisto $500,00 e recebo, durante 10 anos, a anuidade de $150,00. Na alternativa L, invisto $200,00 e recebo anualmente $100,00 por igual período. Qual a melhor alternativa ? Resolver pelo VUL. Resolução Problema 62  TMA=20% a.a. n = 10 Fluxo de caixa para Alternativa K: Fluxo de caixa para Alternativa L: Fluxo de caixa de K-L: VULK-L = -P(U/P,20,10)+U = -300x0,2385+50  VULK-L = -21,55  VULK-L = -21,55 < 0  L é a melhor alternativa P=500 n U=150 P=200 n U=100 P=300 n U=50 Problema 63 (HIRSCHFELD, 2001)  Apliquemos a Análise Diferencial ao problema 60.  Considerando a TMA igual a 15% a.a., qual a melhor alternativa baseado no VUL, usando a análise diferencial ? L K Alternativa $ 200 $ 100 Investimentos $ 10 $ 30 Despesas anuais 4 anos 4 anos Duração em anos Resolução Problema 63  TMA igual a 15% a.a. n=4 Fluxo de caixa de K: Fluxo de caixa de L: Fluxo de caixa de K-L: VULK-L = 100(U/P,15,4)-20 VULK-L = 100x0,3503-20 VULK-L = 15,03  VULK-L > 0  K é a melhor alternativa 150 P=100 n U=30 P=200 n U=10 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 P=100 n U=20 0 1 2 3 4 Análise Exaustiva  Supondo um valor determinado disponível para investimento, além de considerar as alternativas explícitas (alternativas K, L, M,... dadas pela descrição do enunciado do problema), considerar também a possibilidade de se aplicar valores (todo ou parte) à taxa mínima de atratividade (TMA).  Resolução: 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva 2) Calcular o VUL das opções elencadas 3) Comparar o VUL das opções e definir a melhor alternativa 151 Problema 64 (HIRSCHFELD, 2001)  Aplicar a Análise Exaustiva ao problema 59, considerando a disponibilidade de $ 500,00 e a TMA igual a 20% a.a..  Problema 59: - Tenho duas alternativas K e L e considero a TMA igual a 20% a.a.. Na alternativa K, invisto $500,00 e recebo, durante 10 anos, a anuidade de $150,00. Na alternativa L, invisto $200,00 e recebo anualmente $100,00 por igual período. Qual a melhor alternativa ? Resolver pelo VUL. Resolução: Problema 64 (1)  No problema 64 consideremos a existência da disponibilidade de $500, os quais podem ser aplicados segundo as seguintes opções conforme análise exaustiva. 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva: - Opção 1: Aplicar 500 conforme alternativa K do problema 59; - Opção 2: Aplicar $ 200 conforme a alternativa L do problema 59 e aplicar os outros $300 a TMA de 20% por 10 anos; - Opção 3: Aplicar todo o valor disponível de $500 a TMA de 20% por 10 anos. Resolução: Problema 64 (2) 2) Calcular o VUL das opções elencadas. Opção 1: Na aplicação da alternativa K é depositado $500, recebendo-se anualmente a quantia de $150 durante 10 anos. VUL1 = -P(U/P,20,10)+U = -500x0,2385+150  VUL1 = 30,75 154 P=500 n U=150 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resolução: Problema 64 (3) Opção 2: Aplicar $ 200 conforme a alternativa L e aplicar os outros $300 a TMA de 20% por 10 anos (supondo receber o rendimento Anualmente). PTMA =300 ( 500 disponível menos 200 aplicados conforme alternativa L) UTMA = PTMAx(U/P,20,10) = 300x0,2385 = 71,55 VUL2 = VULL + VULTMA VUL2 = -200x(U/P,20,10)+100 + [-300(U/P,20,10)+UTMA] VUL2 = -200x0,2385+100 + [-300 x0,2385+ 71,55] = 52,30 + [0]*  VUL2 = 52,30 • VULTMA = -300x(U/P,20,10) + [UTMA] = -300x(U/P,20,10) + 300x(U/P,20,10) = • -300x0,2385 + 300x0,2385 = -71,55+71,55= 0 155 P=200 n U=100 PTMA=300 n UTMA=300x(U/P,20,10) = 71,55 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resolução: Problema 64 (4)  Opção 3: Aplicar todos os $500 a TMA de 20% por 10 anos. UTMA = PTMAx(U/P,20,10) = 500x0,2385 = 119,25 VUL3 = VULTMA VUL3 = -500x(U/P,20,10) + 119,25 VUL3 = -500x0,2385 + 119,25 = 0*  VUL3 = 0 * VULTMA = -500x(U/P,20,10) + [UTMA] = -500x(U/P,20,10) + 500x(F/P,20,10) = - 500x0,2385 + 500x0,2385 = -119,25+119,25= 0 3) Comparar o VUL das opções e definir a melhor alternativa VUL2 = 52,30 > VUL1=30,75 > VUL3 = 0 VUL2 > VUL1 > VUL3  A Opção 2 é a melhor ! 156 PTMA=500 n UTMA=500x(U/P,20,10) = 119,25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Problema 65 (HIRSCHFELD, 2001)  Apliquemos a Análise Exaustiva ao problema 60, considerando a disponibilidade de $ 200,00, a TMA igual a 15%, e considerando agora que as alternativas recebam anuidades de $80,00 . L K Alternativa $ 200 $ 100 Investimentos $ 10 $ 30 Despesas anuais $ 80 $ 80 Anuidades 4 anos 4 anos Duração em anos Resolução: Problema 65 (1)  No problema 65 consideremos a existência da disponibilidade de $200, os quais podem ser aplicados segundo as seguintes opções conforme análise exaustiva. 1) Elencar todas as opções de investimento com o valor disponível considerando a Análise Exaustiva: - Opção 1: Aplicar $ 100 conforme a alternativa K do problema 65 e aplicar os outros $100 a TMA de 15% por 4 anos; - Opção 2: Aplicar $ 200 por 4 anos conforme alternativa L do problema 65; - Opção 3: Aplicar todo o valor disponível de $200 a TMA de 15% por 4 anos. Resolução: Problema 65 (2) 2) Calcular o VUL das opções elencadas. Opção 1: Na aplicação da alternativa K é depositado $100, recebendo-se anualmente $80 e pagando a quantia de $30 durante 4 anos, mais $100 a TMA de 15% durante 4 anos. UTMA=100x(U/P,15,4)=100x0,3503=35,03 VUL1 = VULK+VULTMA = -100x(U/P,15,4)+(80-30) [-100x(U/P,15,4)+100x(U/P,15,4)] = -100x0,3503+50 + [-100x0,3503+100x0,3503] = 14,97 [0]  VUL1 = 14,97 159 P=100 n U=30 0 1 2 3 4 U=80 n 0 1 2 3 4 UTMA=100(U/P,15,4)= 35,03 P=100 Resolução: Problema 65 (3) Opção 2: Aplicar $ 200 conforme a alternativa L por 4 anos. VUL2 = -200x0,3503+(80-10) = -70,06 + 70  VUL2 = - 0,06 ou VUL2 = 0 (aproximação) 160 P=200 n U=10 0 1 2 3 4 U=80 Resolução: Problema 65 (4)  Opção 3: Aplicar todos os $200 a TMA de 15% por 4 anos. UTMA = PTMAx(U/P,15,4) = 200x0,3503 = 70,06 VUL3 = VULTMA VUL3 = -200x(U/P,15,4) + 70,06 VUL3 = -200x0,3503 + 70,06 = 0*  VUL3 = 0 * VULTMA = -200x(U/P,15,4) + [UTMA] = -200x(U/P,15,4) + 200x(U/P,15,4) = - 200x0,3503 + 200x0,3503 = -70,06+70,06= 0 3) Comparar o VUL das opções e definir a melhor alternativa VUL1 = 14,97 > VUL3 = 0 > VUL2=-0,06 VUL1 > VUL3 > VUL2  A Opção 1 é a melhor ! 161 n UTMA=200(U/P,15,4)= 70,06 PTMA=200 0 1 2 3 4 Tipos de exercícios resolvidos no Capítulo 4:  Análise de alternativas com duração de tempo iguais (exercício 59 e 60)  Análise de alternativas com duração de tempos diferentes (exercício 61)  Análise de alternativas usando a análise diferencial (ou incremental) (exercício 62 e 63)  Análise de alternativas usando o método de análise exaustiva (exercício 64 e 65)