Processamento Digital de Sinais - Análise de SLIT e Função de Transferência

Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Análise de SLIT Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica FEIS Unesp Observação Estas notas de aula estão baseadas no livro DiscreteTime Signal Processing AV Oppenheim and RW Schafer Prentice Hall 19891999 Análise de SLIT Uso da DTFT e da TZ na análise de SLIT SLIT relação entre entrada e saída Resposta impulsiva hn yn xn hn Resposta em frequência Hejω Yejω Xejω Hejω Função de transferência ou de sistema Hz Yz Xz Hz O efeito do sistema é causar mudanças no sinal de entrada magnitude fase pólos zeros Filtragem Distorção Função de Transferência Para SLITs representados por equações de diferenças podese ter a solução usando a TZ sumk0 to N ak ynk sumk0 to M bk xnk Usando as propriedades da TZ ficase com sumk0 to N ak zk Yz sumk0 to M bk zk Xz Como Yz Xz Hz Hz YzXz sumk0 to M bk zksumk0 to N ak zk A partir da função de transferência Hz podese calcular a sua TZ inversa obtendose a resposta impulsiva ou calcular a TZ inversa de Yz obtendose a saída Os pólos e zeros têm uma grande importância na análise e síntese de SLIT Equação de diferenças Função de transferência Resposta impulsiva Estabilidade e Causalidade Das análises de região de convergência relacionadas com os tipos de sequências podese dizer ao analisar a resposta impulsiva e a função de transferência de um sistema Um sistema causal deve ter hn 0 para n 0 portanto deve ser uma sequência unilateral à direita Assim sua RC deve ser externa ao pólo de maior magnitude de Hz Em um sistema estável devese ter sumn hn Essa condição é equivalente a ter sum n to hn zn calculado em z1 CRU Isso equivale a dizer que a condição de estabilidade é a mesma que implica ter a CRU dentro da região de convergência ou seja se a CRU estiver dentro da RC de Hz o sistema é estável Com as duas considerações anteriores concluise que para um sistema ser causal E estável todos os pólos devem estar no interior da CRU magnitude menor que 1 No entanto um sistema instável e nãocausal também pode ter todos os pólos no interior da CRU Resposta em Frequência Yejω Xejω Hejω Magnitude Yejω Xejω Hejω A magnitude da resposta em frequência também chamada de ganho pode ser expressa em decibéis dB GdB 20 log10 Hejω A atenuação é o inverso do ganho Em dB ficase com AdB GdB 20 log10 Hejω Fase argYejω Yejω Xejω Hejω Em geral a fase é dada em radianos entre π e π Neste caso a representação usada será ARG Atraso de fase phase delay τp ejω Hejω ω Atraso de grupo group delay τg ejω grdHejω d dω Hejω Analise de SLIT 9 Efeito da Fase Seja um sistema que ocasiona apenas um atraso no sinal de entrada yn xn nd hn δn nd A resposta em freq e Hejω ejωnd Neste caso a magnitude e constante para todas as freq e a fase e Hejω ωnd Ou seja um sistema com fase linear e magnitude constante em freq ocasiona apenas um atraso no sinal de entrada no domınio do tempo O atraso de fase e τpejω Hejω ω nd O atraso de grupo neste caso e constante e igual ao atraso de fase τgejω grdHejω d dω Hejω nd Sistemas sem distorcao de fase apresentam τpejω τgejω Analise de SLIT 10 Atraso de fase e atraso de grupo Considere agora um sinal modulado de banda estreita xn vn cosω0n na qual vn e uma envoltoria aplicada a um SLIT A saıda sera yn Hejω0vn τgejω0 cosω0n τpejω0 ou seja a envoltoria do sinal envelope sofre um atraso dado pelo atraso de grupo e a portadora sofre um atraso dado pelo atraso de fase na frequˆencia ω0 Exemplo 512 da terceira edicao do Oppenheim Considere um SLIT com o seguinte diagrama de polos e zeros 1 05 0 05 1 Real Part 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Imaginary Part 2 2 2 2 Estabilidade e Causalidade Exemplo Considere um SLIT causal representado pela equação de diferenças yn 52 yn1 yn2 xn Calculandose a TZ ficase com a seguinte função de transferência Hz 11 52 z1 z2 11 12 z11 2z1 Logo têmse Pólos em z 12 e z 2 Zeros em z 0 duplo Como informase que o sistema é causal a RC deve ser z 2 Neste caso o sistema é causal e instável pois a CRU não faz parte da RC Calculandose a TZ inversa por expansão em frações parciais ficase com hn 13 12n un 43 2n un Estabilidade e Causalidade Exemplo Caso o enunciado informasse que o sistema é estável a CRU deve fazer parte da RC e portanto a região de convergência deveria ser RC 12 z 2 Neste caso o sistema é estável mas nãocausal pois como a RC é um disco a sequência é bilateral Calculando a TZ inversa hn 13 12n un 43 2n un1 A outra opção possível de RC seria z 12 Neste caso o sistema seria nãocausal e instável hn 13 12n un1 43 2n un1 Exemplo 512 cont Este sistema apresenta a seguinte resposta em frequência Analise de SLIT 13 Exemplo 512 cont 0 50 100 150 200 250 300 350 400 amostra 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 amplitude Entrada 0 50 100 150 200 250 300 350 400 amostra 6 4 2 0 2 4 6 8 amplitude Saída Analise de SLIT 14 Resposta de SLIT a entrada senoidal Considere um SLIT com entrada xn A cosω0n Fazendo a decom posicao em exponenciais complexas e usando o conceito de resposta em frequˆencia ficasecom xn A cosω0n A 2 ejω0n A 2 ejω0n x0n x1n x0n A 2 ejω0n y0n A 2 Hejω0ejω0n x1n A 2 ejω0n y1n A 2 Hejω0ejω0n Como o sistema e linear a saıda e yn y0n y1n A 2 Hejω0ejω0n A 2 Hejω0ejω0n Considerando um SLIT com resposta impulsiva com coeficientes reais hn real temse que a magnitude da resposta em frequˆencia e uma funcao par e a fase uma funcao ımpar Hejω0 Hejω0 Hejω0 Hejω0 φ0 Logo yn A 2 Hejω0ejφ0ejω0n A 2 Hejω0ejφ0ejω0n AHejω0 ejω0nφ0 ejω0nφ0 2 AHejω0 cosω0n φ0 Analise de SLIT 15 Efeito da Fase Exemplo Considere os seguintes sistemas ω ω ω ω ω ω ω ω xn xn xn xn Hejω Hejω Hejω Hejω Hejω Hejω Hejω Hejω y1n y2n y3n y4n Analise de SLIT 16 Efeito da Fase Exemplo Sendo o sinal de entrada xn cosω1n05 cos3ω1n ω1 π6 tˆemse as saıdas 0 5 10 15 20 25 30 2 0 2 xn 0 5 10 15 20 25 30 2 0 2 y1n 0 5 10 15 20 25 30 2 0 2 n y2n 0 5 10 15 20 25 30 2 0 2 xn 0 5 10 15 20 25 30 2 0 2 y3n 0 5 10 15 20 25 30 1 0 1 n y4n Fase τω arg ARG πrω Resposta em Frequência de um PóloZero Seja uma função de transferência representada por um zero em z0 rejθ Hz 1 rejθz1 z rejθ z z 0 No plano z os números complexos podem ser representados por vetores Para determinar a resposta em frequência podese fazer z ejω e analisase Hejω ejω rejθ ejω v1 v2 v1 A magnitude é dada por Hejω ejω rejθ ejω v1 v2 v1 v3 v1 v3 E a fase Hejω 1 rejθz1 v3 v1 φ3 ω Resposta em Frequência Levantandose as respostas em frequência de magnitude em dB de fase e de atraso de grupo ficase com as seguintes curvas magnitude fase atraso de grupo para os zeros z0 rejθ em z0 07ej0 linha cheia preta z0 08ejπ4 linha pontilhada azul z0 09ej3π4 linha tracejada vermelha Notase que À medida que se aumenta a magnitude de z0 que é o valor r aproximandose da CRU há um pico mais negativo em dB O pico negativo se dá no ângulo de z0 que é θ A fase tem uma variação rápida nas proximidades de θ e fica mais rápida à medida que r se aproxima de 1 Resposta em Frequência No caso de dois zeros complexo conjugados a função de transferência é Hz 1 z0 z11 z0 z1 Para z0 07ejπ4 as curvas ficam Em azul tracejado zero em 07ejπ4 Em vermelho tracejado zero em 07ejπ4 Em preto linha cheia resposta completa Sistemas Inversos Seja um SLIT com função de transferência Hz O correspondente sistema inverso tem função Hiz tal que Gz Hz Hiz 1 ou Hiz 1 Hz No domínio do tempo gn hn hin δn Se Hz b0 k1M 1 ck z1 a0 k1N 1 dk z1 Então o sistema inverso será Hiz a0 k1N 1 dk z1 b0 k1M 1 ck z1 ou seja os pólos e zeros trocam de papel Como ficam a causalidade e a estabilidade Para que o sistema inverso possa ser implementado as RCs de Hz e Hiz devem ter uma interseção nãonula Se Hz é causal sua RC é z maxkdk Para Hiz ser causal devese ter z maxkck Uma condição que garante que Hz e Hiz sejam ambos causais e estáveis com RCs que se sobreponham é maxkdk 1 e maxkck 1 ou seja todos os pólos e zeros de Hz devem estar no interior da CRU Sistemas PassaTudo Seja um sistema estável com Hapz z1 a 1 a z1 z1 1 a z 1 a z1 a 1 1 a z1 1 a z1 Este sistema tem resposta em freq de magnitude igual a 1 Hapejω ejω 1 a ejω 1 a ejω e tem o nome de sistema passatudo Aplicações Compensação de fase reduzir distorção Transformação de filtros Num caso geral com pólos reais em dk e pólos complexo conjugados em ek a expressão fica Hapz k1Mr z1 dk 1 dk z1 k1Mc z1 ekz1 ek 1 ek z1 1 ek z1 Considerando o sistema estável dk 1 e ek 1 Cada pólo apresenta um zero correspondente conjugado recíproco em z 1 dk z 1 ek e z 1 ek Algumas propriedades O atraso de grupo é sempre positivo para 0 ω π A fase contínua é sempre negativa para 0 ω π Sistemas PassaTudo Considerando dois sistemas passatudo de segunda ordem como pólos localizados em z04 ej4π3 z05 ejπ3 Ficase com os seguintes gráficos de fase e atraso de grupo Sistemas de Fase Mínima Um sistema causal e estável deve ter todos os pólos no interior da CRU Não há restrições quanto aos zeros pode haver diferentes Hz com mesma resposta em freq de magnitude Pode ser útil também restringir os zeros Considerando que o sistema inverso também seja estável os zeros também devem estar no interior da CRU são os sistemas de fase mínima Qualquer sistema Hz racional pode ser escrito como a multiplicação de um sistema de fase mínima e um sistema passatudo HzHminzHapz Supondo que Hz tenha um zero fora da CRU em z01c com c1 e os demais zeros e pólos no interior da CRU podese escrever HzH1zz1cH1z1cz1z1c1cz1 Na qual H1z é de fase mínima Notase que H1z1cz1 ainda é de fase mínima pois c1 e temse um sistema passatudo estável pólo em zc Compensação da Resposta em Frequência Considere a distorção causada por um canal de comunicações representada por Hdz Para eliminar a distorção é necessário que exista o sistema inverso Se Hdz é causal e estável é necessário que seja de fase mínima para que o seu sistema inverso seja causal e estável Se Hdz for aproximado por um sistema racional HdzHdminzHapz e for escolhido o sistema inverso de compensação como Hcz1Hdminz A resposta geral fica GzHdzHczHapz ou seja a resposta de magnitude será igual a 1 enquanto que a fase será dada pelo sistema passatudo Sistemas com Fase Linear Generalizada Num sistema que não introduz distorção de fase a fase é linear Um filtro passabaixas ideal com fase linear e freq de corte ωc tem expressão Hlpejω ejωα ω ωc 0 ωc ω π A resposta impulsiva é hlpn sinωcnα πnα n Sistemas com Fase Linear Generalizada Um sistema com fase linear generalizada pode ser escrito da seguinte forma Hejω Aejωejωαjβ em que Aejω é uma função real de ω α e β são constantes reais O termo Aejω quando se tornar negativo pode introduzir descontinuidades na fase de Hejω mas desconsiderando este efeito a fase do sistema pode ser considerada linear com atraso de grupo constante τω grdHejω ddω β αω α Como visto nos exemplos anteriores uma condição suficiente para que um sistema tenha fase linear é que exista uma simetria em torno de um ponto α h2α n hn h2α n hn No entanto essa condição não é necessária já que mostrouse que um hn sem simetria também pode ser a resposta impulsiva de um sistema com fase linear Sistemas com Resposta ao Impulso Simétrica Considere as seguintes respostas impulsivas simétricas e suas respostas em frequência 1 hIn aδn bδn 1 cδn 2 bδn 3 aδn 4 HIejω Σ hInejωn a bejω cej2ω bej3ω aej4ω ej2ω aej2ω ej2ω bejω ejω c ej2ω 2a cos2ω 2b cosω c 2 hIIn aδn bδn 1 bδn 2 aδn 3 HIIejω Σ hIInejωn a bejω bej2ω aej3ω ej3ω2 aej3ω2 ej3ω2 bejω2 ejω2 ej3ω2 2a cos3ω2 2b cosω2 3 hIIIn aδn bδn 1 bδn 3 aδn 4 HIIIejω Σ hIIInejωn a bejω 0ej2ω bej3ω aej4ω ej2ω aej2ω ej2ω bejω ejω ej2ω j2 sin2ω 2b sinω ej2ω jπ2 2 sin2ω 2b sinω 4 hIVn aδn bδn 1 bδn 2 aδn 3 HIVejω Σ hIVnejωn a bejω bej2ω aej3ω ej3ω2 aej3ω2 ej3ω2 bejω2 ejω2 ej3ω2 j2a sin3ω2 2b sinω2 ej3ω2 jπ2 2a sin3ω2 2b sinω2 Analise de SLIT 37 Sistemas FIR com Fase Linear Tipo II hn 1 1 1 1 1 1 0 n M 5 Neste caso Hejω sin3ω sinω2ej5ω2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 05 1 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 2 4 6 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 4 2 0 2 4 ωπ hn Hejω Hejω 1 05 0 05 1 Real Part 1 05 0 05 1 Imaginary Part 5 Analise de SLIT 38 Sistemas FIR com Fase Linear Tipo III hn 1 0 1 0 n M 2 Neste caso Hejω 2 sinωejωjπ2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 0 1 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 1 2 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 2 0 2 ωπ hn Hejω Hejω 1 05 0 05 1 Real Part 1 05 0 05 1 Imaginary Part 2 Sistemas FIR com Fase Linear Uma classe de sistemas bastante útil é aquela onde a resposta impulsiva tem duração finita FIR Finite Impulse Response com fase linear Seja um sistema FIR com comprimento M 1 e os casos FIR tipo I Resposta simétrica hn hM n para 0 n M M par FIR tipo II Resposta simétrica hn hM n para 0 n M M ímpar FIR tipo III Resposta antisimétrica hn hM n para 0 n M M par FIR tipo IV Resposta antisimétrica hn hM n para 0 n M M ímpar Sistemas FIR com Fase Linear Tipo I hn 1 1 1 1 1 0 n M 4 Neste caso Hejω sin5ω2 sinω2 ejω2 Sistemas FIR com Fase Linear Tipo IV hn 1 1 0 n M 1 Neste caso Hejω 2 sinω2 ejω2jπ2 Localização dos Zeros FIR Linear Os zeros de um sistema podem restringir o uso do sistema em certas aplicações filtros diferenciadores No caso dos filtros FIR com fase linear há algumas particularidades que devem ser consideradas Hz n0M hnzn Tipos I e II Hz n0M hMnzn k0M hkzkzM zMHz1 A Se hn é real Hz n0M hnzn Hz B De A se z0 é um zero de Hz então z01 também é zero de Hz De B se hn é real e z0 é um zero de Hz então z0 também é zero de Hz Portanto se z0 r ejθ é um zero de Hz então há zeros em z0 r ejθ z01 r1 ejθ z0 r ejθ z01 r1 ejθ Tomandose z 1 ωπ e usando A H1 1M H1 M par tipo I H1 H1 M ímpar tipo II H1 H1 H1 0 portanto necessariamente deve haver um zero em z 1 num FIR tipo II 1h 1 3 45 3 1 Localização dos Zeros FIR Linear Tipos III e IV Hz n0M hMn zn k0M hk zk zM zM Hz1 C Se hn é real Hz n0M hn zn Hz D Portanto têmse as mesmas observações em relação à localização dos zeros Tomandose z 1 ω 0 e usando C H1 1M H1 ou seja z 1 deve ser um zero para FIR tipos III e IV Tomandose z 1 ω π H1 1M H1 M par tipo III H1 H1 H1 0 portanto z 1 deve ser um zero para FIR tipo III M ímpar tipo IV H1 H1 Exercício Em algumas situações não é necessário processar o sinal em tempo real pois podese armazenar o sinal de entrada e processálo com um certo atraso Considere o sistema a seguir A resposta impulsiva do filtro é hn considerada causal com coeficientes reais e resposta de fase arbitrária O sinal xn deve ser filtrado Obtenha as relações entre a DTFT de gn e a DTFT de gn assumindo que hn seja real A partir do resultado do item anterior determine a resposta em frequência do sistema completo H1ejω fornecendo sua magnitude e fase Esta resposta seria adequada para substituir Hejω Preparar exemplo numérico