Amostragem-de-Sinais-Notas-de-Aula-Processamento-Digital

Amostragem de Sinais 1 Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Amostragem e Reconstrucao de Sinais Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Eletrica FEIS Unesp Observacao Estas notas de aula estao baseadas no livro DiscreteTime Signal Processing AV Oppenheim and RW Schafer Prentice Hall 19891999 Amostragem de Sinais 2 Amostragem de Sinais Sinais de tempo discreto podem ser obtidos a partir de sinais de tempo contınuo amostragem Amostras de um sinal representacao unica A partir do sinal amostrado podese recuperar o sinal de tempo contınuo Teorema de Nyquist Aplicacao processamento discreto digital de sinais de tempo contınuo tempo 0 T T 2T Amostragem Periódica Conversores ContínuoDiscreto CD e DiscretoContínuo DC Sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐𝑡 Sinal de tempo discreto 𝑥𝑛𝑥𝑐𝑛𝑇𝑛 Período de amostragem 𝑇 s Frequência de amostragem 𝑓𝑠1𝑇 Hz ou amostrass Frequência de amostragem Ω𝑠2π𝑓𝑠 rads Operações com a função Impulso de Tempo Contínuo δ𝑡𝑑𝑡1 𝑥𝑡δ𝑡𝑥0δ𝑡 𝑥𝑡 contínuo em 𝑡0 𝑥𝑡δ𝑡𝑑𝑡𝑥0 𝑥𝑡 contínuo em 𝑡0 𝑥𝑡δ𝑡𝑡₀𝑥𝑡₀δ𝑡𝑡₀ 𝑥𝑡 contínuo em 𝑡𝑡₀ 𝑥𝑡δ𝑡𝑡₀𝑑𝑡𝑥𝑡₀ 𝑥𝑡 contínuo em 𝑡𝑡₀ 𝑥𝑡δ𝑡𝑥𝜏δ𝑡𝜏𝑑𝜏𝑥𝑡 𝑥𝑡δ𝑡𝑡₀𝑥𝑡𝑡₀ Representação Matemática da Amostragem Amostragem periódica por impulsos conversor ContínuoDiscreto CD Trem de impulsos periódico 𝑠𝑡𝑛δ𝑡𝑛𝑇 Sinal amostrado de tempo contínuo 𝑥𝑠𝑡𝑥𝑐𝑡𝑠𝑡𝑥𝑐𝑡𝑛δ𝑡𝑛𝑇𝑛𝑥𝑐𝑛𝑇δ𝑡𝑛𝑇 Teorema de Nyquist Seja xctum sinal de banda limitada com XcjΩ 0 para Ω ΩN Então xct é unicamente determinado por suas amostras xn xcnT n se e somente se Ωs ΩN ΩN ou seja Ωs 2πT 2ΩN Ou seja para ser possível recuperar o sinal original a frequência de amostragem deve ser maior que duas vezes a máxima frequência do sinal a ser amostrado A frequência máxima do sinal também pode ser chamada de frequência de Nyquist Na prática os valores utilizados são maiores que o valor teórico devido à banda de transição finita dos filtros analógicos de reconstrução Por exemplo para o CD fN 20 kHz fs 441 kHz Efeito de Aliasing Caso a frequência de amostragem não seja suficientemente alta ocorre a sobreposição do espectro aliasing Quando ocorre este efeito frequências originalmente altas no espectro do sinal aparecem em regiões de mais baixa frequência impossibilitando a recuperação do sinal original Caso a frequência de amostragem não obedeça o teorema de Nyquist devese colocar um filtro passabaixas antes da aquisição de dados que limite a máxima frequência do sinal à metade da frequência de amostragem Este filtro é chamado de filtro antialiasing Filtro AntiAliasing Caso a frequência de amostragem não obedeça o teorema de Nyquist devese colocar um filtro analógico passabaixas antes da aquisição de dados que limite a máxima frequência do sinal à metade da frequência de amostragem Este filtro é chamado de filtro antialiasing Relação entre XsjΩ e Xejω Portanto Ou relacionando como sinal de tempo contínuo Como a relação entre xn e xct pode ser obtida por uma normalização no eixo do tempo por T algo parecido pode ser conseguido com as respectivas representações em frequência A frequência Ωs 2πT é normalizada para a frequência ω 2π Amostragem de sinal senoidal Considere a amostragem de um sinal senoidal xct A cosΩ0t O sinal amostrado é xn xcttnT A cosΩ0nT Ω0 2πf0 T 1fs A cos2πf0fs n A cosω0n ω0 2πf0fs Portanto a frequência do sinal senoidal de tempo discreto também pode ser vista como uma frequência normalizada pela frequência de amostragem neste caso ATENÇÃO Devese tomar cuidado quando há aliasing pois a máxima frequência de um sinal senoidal de tempo discreto é π rad Amostragem de sinal senoidal Utilizando uma taxa de amostragem fs igual a 3 kHz e frequência do sinal senoidal igual a 1 kHz Ω0 2π 103 rads e os espectros dos sinais são Neste caso não há aliasing e podese recuperar o sinal original a partir das suas amostras A frequência do sinal de tempo discreto é ω0 2π3 rad A frequência do sinal reconstruído é Ω0r 2π 103 rads Amostragem de Sinais 15 Amostragem de sinal senoidal cont Aumentando agora a frequˆencia do sinal para Ω0 2π 2 103 rads 4π 2π 2π 4π XcjΩ XsjΩ Xejω HrjΩ xct xst xn Ω Ω ω Ω0 Ω0 Ω0 Ωs Ω0 Ωs Ωs 2Ωs 2Ωs 4π 3 2π 3 Neste caso ocorre aliasing e 2πf0 fs 4π 3 π rad esta NAO e a frequˆencia do sinal de tempo discreto A frequˆencia do sinal de tempo discreto e 2π 4π 3 2π3 rad A frequˆencia do sinal reconstruıdo e Ω0r ΩsΩ0 2π103 rads Um sinal de frequˆencia mais alta aparece com frequˆencia mais baixa devido a subamostragem 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 amostra Amostragem de Sinais 16 Amostragem de sinal senoidal cont Exercıcio Refaca obtendo os graficos de XcjΩ XsjΩ e Xejω para as seguintes combinacoes de sinais Ω0 8π 103 rads fs 3 kHz Ω0 16π 103 rads fs 3 kHz Ω0 8π 103 rads fs 5 kHz Ω0 16π 103 rads fs 5 kHz Processamento Discreto de Sinais de Tempo Contínuo Se o sistema for um SLIT com resposta em frequência Hejω a saída reconstruída será Usando a relação entre Xejω e XcjΩ ficase com Se o sinal xct tiver a banda limitada e se tiver sido usada uma taxa de amostragem adequada então o filtro de reconstrução cancela o fator 1T e filtra apenas o termo de baixa frequência ficandose com A resposta em frequência efetiva do sistema de tempo contínuo fica ou seja se faz um escalonamento da resposta em frequência pelo período frequência de amostragem Amostragem de Sinais 19 Processamento Discreto de Sinais de Tempo Contınuo 1 1 1 XcjΩ XsjΩ Ω Ω Ω Ω Ω ΩN ΩN Ωs 2π T Ωs 2π T Ωs Ωs Xejω Hejω Y ejω YrjΩ YsjΩ HrjΩ ω ω ω 2π 2π 2π 2π 2π 2π ΩNT ωc ωc Ωc ωcT Ωc ωcT πT 1T 1T 1T 1T T Amostragem de Sinais 20 Processamento Discreto de Sinais de Tempo Contınuo Aumentando a frequˆencia de amostragem mas mantendose o filtro digital 1 1 1 XcjΩ XsjΩ Ω Ω Ω Ω Ω ΩN ΩN Ω s 2π T Ω s 2π T Ω s Ω s Xejω Hejω Y ejω YrjΩ YsjΩ HrjΩ ω ω ω 2π 2π 2π 2π 2π 2π ΩNT ωc ωc Ω c ωcT Ω c ωcT πT 1T 1T 1T 1T T Mudança da Taxa de Amostagem É possível mudar a taxa de amostragem usando sistemas discretos Aplicações Atrasadores de fase atraso por uma fração de intervalo de amostragem Interface entre sistemas com taxas de amostragem diferentes Implementação de bancos de filtros análise espectral síntese de sinais T período de amostragem original T novo período de amostragem Redução da Taxa de Amostagem Uma sequência pode ter a frequência de amostragem reduzida por um fator inteiro M por meio de uma nova amostragem do sinal discreto usando um dizimador O dizimador apenas descarta amostras do sinal de entrada para M 2 uma de cada duas amostras é descartada para M 3duas de cada três amostras são descartadas e assim por diante Redução da Taxa de Amostragem Considerando um sinal amostrado a uma taxa igual a duas vezes a mínima ficase com os espectros Se os sinal tivesse sido amostrado à metade da taxa original terseia Redução da Taxa de Amostragem Para garantir que não ocorre aliasing no sinal subamostrado podese utilizar um filtro passabaixas com frequência de corte πM antes de se realizar a redução da taxa Aumento da Taxa de Amostragem Equivale a uma interpolação O sinal xen é definido por O sinal xen possui L 1 zeros entre as amostras originais O filtro passabaixas faz a interpolação entre essas amostras Aumento da Taxa de Amostragem Exemplo para L 2 Aspectos Práticos Num sistema real os conversores CD e DC apresentam aspectos nãoideais Filtros nãoideais antialiasing reconstrução Conversão CD conversor AD nãoideal número finito de bits digital amplitude discreta sampleandhold Um modelo mais próximo do real é Amostragem de Sinais 33 Conversao AD Na pratica conversao AD com numero finito de bits sinal dig ital Amostras valores reais nos instantes de amostragem Ruıdo de quantizacao Conversor AD necessario um sampleandhold Sinal sofre distorcao Amostragem de Sinais 34 SampleandHold Amostragem com Retencao Em razao da retencao ha uma distorcao introduzida tempo T amplitude xat xsht O sinal de saıda do SH pode ser escrito como xsht xst pt em que xst e o sinal amostrado por impulsos pt e um pulso retangular de duracao T Logo no domınio da frequˆencia ficase com XshjΩ XsjΩ PjΩ Como XsjΩ e composto por copias do espectro original notase que ha modificacao deste devido a multiplicacao por PjΩ PjΩ T sinΩT2 ΩT2 ejΩT2 Mudança da Taxa de Amostragem por um fator nãointeiro Agrupando em cascata um interpolador e um dizimador podese mudar a taxa de amostragem por um fator racional Utilizando o filtro passabaixas como sendo aquele com menor frequência de corte e ganho L ficase com SampleandHold A distorção introduzida pelo SH pode ser compensada no sistema de tempo discretodigital Efeitos de Quantização Conversão AD Representação do sinal com um número finito de bits Introdução de errosruído de quantização O quantizador converte um sinal de tempo discreto em um sinal digital com representação por um número finito de bits Para um quantizador com três bits com aproximação por arredondamento para o nível digital mais próximo código binário em complemento de dois A curva que relaciona a entrada e a saída quantizada é Considerando um quantizador com B 1 bits o número de níveis de quantização é dado por 2B1 Se o conversor AD possibilitar uma excursão de sinal entre Xm e Xm os passos de quantização terão amplitude dada por Δ 2Xm2B1 Xm2B Efeitos de Quantização Devido à quantização há um erro en na representação do sinal O erro no caso de arredondamento pode assumir valores Δ2 en Δ2 Para truncamento Δ en 0 O erro en é uma sequência aleatória estacionária en não tem correlação com o sinal xn Duas amostras de ruído são nãocorrelacionadas ruído branco A função densidade de probabilidade do erro é constante no intervalo de valores do erro de quantização Valor médio do ruído de arredondamento Een 0 Variância do ruído potência σe2 Ee2n Δ212 22B Xm212 Interpolação linear exemplo