Transformada Z - Notas de Aula PDS - Engenharia Elétrica

Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Transformada Z Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica FEIS Unesp Observação Estas notas de aula estão baseadas no livro DiscreteTime Signal Processing AV Oppenheim and RW Schafer Prentice Hall 19891999 Transformada Z TZ É uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT Útil para representação e análise de sistemas lineares invariantes no tempo SLIT Definição Seja uma sequência xn Sua TZ é definida por Xz n to xn zn E temse o par transformado xn Z Xz z é uma variável complexa normalmente representada em coordenadas polares z r ejw E se r 1 z ejw e Xz n to xn ejwn Xejw Ou seja em determinados casos como se verá adiante a DTFT de xn pode ser obtida a partir da TZ calculada em z ejw que define uma circunferência de raio unitário CRU no plano z complexo Convergência da TZ Num caso mais geral a variável z pode assumir um valor complexo qualquer z r ejw Sua TZ fica Xz n to xnr ejwn n to xn rn ejwn Ou seja temse a DTFT da sequência xn multiplicada pela sequência exponencial rn Podese notar que a DTFT dessa nova sequência pode convergir ou não dependendo da sequência xn do valor de r e do intervalo de n considerado A partir disso definese a região de convergência da TZ Como visto na convergência da DTFT devese obedecer a n to xn rn Região de Convergência RC Para determinar a região de convergência devese determinar para quais valores de z a TZ Xz converge ou seja Xz n to xn zn Xz n to xn zn n to xn zn Assim se para um determinado valor de z z₁ a somatória acima converge então z₁ faz parte da região de convergência da TZ de xn O conjunto de valores de z para os quais a TZ converge é chamada de Região de Convergência RC Região de Convergência da TZ Se z r ejw₀ faz parte da RC então qualquer valor z que tenha magnitude r também fará parte da RC definindo regiões concêntricas no plano complexo z Se z 1 fizer parte da RC então temse que n to xn ou seja a DTFT da sequência converge Por outro lado se z 1 não fizer parte da RC então a DTFT não converge de forma absoluta o que não significa que a DTFT não exista Observações A TZ é uma série de Laurent é uma função analítica dentro da RC ou seja a TZ e todas as suas derivadas são funções contínuas da variável z Não é estritamente correto dizer que a DTFT é a TZ calculada sobre a CRU pois isso não é válido para todas as sequências A TZ é útil quando pode ser expressa em forma fechada como uma relação de polinômios em z Xz Pz Qz podendose relacionar com os chamados pólos e zeros de Xz Exemplo 2 sequência unilateral à esquerda ou sequência nãocausal xn 0 para n 0 xn an un1 Solução Xz sum from n to an un1zn sum from n to 1 an zn sum from n1 to an zn sum from n1 to a1 zn Para convergência é necessário que a1 z 1 ou z a ou seja a RC é z a e a TZ é Xz a1 z1 a1 z 11 a z1 zz a z a Notase que o resultado é o mesmo do caso anterior mas com uma RC diferente Uma determinada sequência é unicamente determinada por sua transformada z E sua região de convergência Exemplo 0 Considere as seguintes sequências de duração finita Exemplo 3 Soma de duas sequências unilaterais à direita xn 12n un 13n un Cada sequência tem uma TZ e uma RC 12n un Z 11 12 z1 z 12 13n un Z 11 13 z1 z 13 Como a TZ é uma operação linear a TZ da soma das duas sequências é a soma das TZ No caso as RC devem valer para ambas as transformadas Xz 11 12 z1 11 13 z1 z 12 Transformada Z 11 Propriedades da RC Por meio dos exemplos podese tirar algumas conclusoes a respeito da RC 1 No caso geral a RC e um disco no plano z centrado na origem 2 A DTFT de xn converge de forma absoluta se e somente se a CRU fizer parte da RC 3 A RC nao pode conter polos 4 Se xn e de duracao finita a RC e todo o plano z exceto z 0 eou z 5 Se xn e uma sequˆencia unilateral a direita a RC e externa ao polo de maior magnitude 6 Se xn e uma sequˆencia unilateral a esquerda a RC e interna ao polo de menor magnitude 7 Se xn e uma sequˆencia bilateral a RC e um anel delimitado por polos 8 A RC deve ser uma regiao conexa Transformada Z 12 Regiao de Convergˆencia 2 0 2 n à direita duração finita z 0 pólos na origem 2 0 2 n à esquerda duração finita z pólos no inf 2 0 2 n bilateral duração finita 0 z pólos em zero e infinito 2 0 2 n à direita duração infinita z r pólo de maior magnitude r 2 0 2 n à esquerda duração infinita z r pólo de menor magnitude r 2 0 2 n bilateral duração infinita r1 z r2 r1 r2 Sequência Região de Convergência Exemplo 1 sequência unilateral à direita ou sequência causal xn 0 para n 0 xn aⁿ un Solução Xz n to aⁿ un zn n0 to a z1ⁿ Para convergência é necessário que Xz n0 to a z1ⁿ o que é alcançado quando a z1 1 ou z a ou seja a RC é z a e a TZ é Xz n0 to a z1ⁿ 1 1 a z1 z z a z a E há um pólo em z a e um zero em z 0 Exemplo 4 Sequência bilateral pelo menos uma amostra diferente de zero para n 0 e pelo menos uma amostra diferente de zero para n 0 xn 13n un 12n un1 Cada sequência tem uma TZ e uma RC 13n un Z 11 13 z1 z 13 12n un1 Z 11 12 z1 z 12 A RC é a intersecção das duas regiões formando um anel no plano z Xz 11 12 z1 11 13 z1 13 z 12 TZ Inversa Caso 3 M N e um pólo em z di com multiplicidade s Neste caso podese escrever Xz r0MN Br zr k1 kiN Ak 1 dk z1 m1s Cm 1 di z1m na qual Cm 1smdism dsmd wsm 1 di ws Xw1wdi1 TZ Inversa Exercícios Determinar a sequência xn cuja TZ é dada por 1 Xz 4z5 z7 z 0 2 Xz z2 1 z4 0 z 3 Xz 1 1 32 z1 z2 z 2 4 Xz 1 1 32 z1 z2 12 z 2 5 Xz 1 2z1 z2 1 32 z1 12 z2 z 1 6 Xz 1 z1 2z2 1 72 z1 2z2 z 12 7 Xz 1 z2 1 z1 12 z2 z 12 8 Xz 1 z2 1 z1 14 z2 z 12 Calcule a TZ de xn an un Calcule a TZ de xn an un un TZ Inversa 1 Por inspeção usando tabelas 2 Expansão em série de potências A partir da definição da TZ Xz sum from n to xn zn x2 z2 x1 z x0 x1 z1 x2 z2 3 Expansão em frações parciais Quando a TZ for escrita em termos de uma fração de polinômios em z1 podese fazer a expansão em frações parciais Xz sum from k0 to M bk zk sum from k0 to N ak zk b0 product from k1 to M 1 ck z1 a0 product from k1 to N 1 dk z1 na qual cks são os zeros e dks são os pólos de Xz Caso 1 M N e todos os pólos de primeira ordem Neste caso podese escrever Xz sum from k1 to N Ak 1 dk z1 com Ak 1 dk z1 Xz at z1 dk1 TZ Inversa Exemplo Determinar a sequência xn cuja TZ é dada por Xz 1 2z1 z2 1 32 z1 12 z2 1 z12 1 12 z11 z1 z 1 Como M N 2 devese fazer a divisão polinomial Xz B0 Dz 1 12 z11 z1 2 5z1 1 1 12 z11 z1 Fazendo a expansão em frações parciais Xz 2 A1 1 12 z1 A2 1 z1 em que A1 5 z1 11 z1z12 91 9 A2 5 z1 11 12 z1z1 412 8 Logo Xz 2 91 12 z1 8 1 z1 z 1 Como 2δn Z 2 12n un Z 1 1 12 z1 z 12 un Z 1 1 z1 z 1 Ficase com xn 2δn 9 12n un 8 un TZ Inversa Caso 2 M N e todos os pólos de primeira ordem Neste caso devese primeiro fazer uma divisão polinomial de forma que Xz Pz Qz sum from r0 to MN Br zr Rz Qz e a ordem de Rz é menor que N recaindose no Caso 1 A expansão completa fica Xz sum from r0 to MN Br zr sum from k1 to N Ak 1 dk z1 com Ak 1 dk z1 Rz Qz at z1 dk1 TZ Inversa Definição Seja a TZ de uma sequência xn e sua RC Xz k xk zk Rx Multiplicando ambos os lados por zn1 e integrando por um contorno fechado C no plano z dentro da RC e englobandose a origem ficase com C Xz zn1 dz C k xk zn1k dz Como a série converge dentro da RC podese tocar a ordem de integração com a somatória ficandose com C Xz zn1 dz k xk C zn1k dz Usando o teorema de integral de Cauchy 1 2πj C zn1k dz 1 kn 0 kn em que C é um contorno que engloba a origem Ficase então com xn 1 2πj C Xz zn1 dz Caso a RC contenha o CRU então podese escolher o caminho z ejω e xn 1 2π ππ Xejω ejωn dω Propriedades da TZ Propriedade Linearidade Atraso no tempo Escalonamento em z Diferenciação em z Teor valor inicial Convolução no tempo Modulação Correlação cruzada Teor Parseval Sequência axn byn xn nd zn0xn nxn xn 0 n 0 yn xn hn vn xn wn r12m xnyn m n xnyn n TZ aXz bYz zndXz Xzz0 z dXz dz lim z Xz x0 Yz Xz Hz Vz 1j2π C XvHzvdv R12z Xz Yz1 1j2π C XvY1vv1 dv RC Rx Ry Rx exceto z 0 ou z0Rx Rx exceto z 0 ou Ry Rx Rh Rv Rx Rh Rx Ry Transformada Z 23 Exemplos Calcule a TZ inversa de Xz log1 az1 com RC z a Calculandose a derivada de Xz ficase com dXz dz az2 1 az1 z a Reescrevendose da forma zdXz dz az1 1 1 az1 az1X1z z a A TZ inversa de X1z e x1n anun Usandose agora a propriedade de atraso no tempo juntamente com a pro priedade de diferenciacao em z ficase com nxn ax1n 1 a1n1un 1 Logo xn 1n1an n un 1 Transformada Z 24 Exemplos Calcule a convolucao entre as sequˆencias x1n 1 2 1 2 para 0 n 3 x2n un un 3 Fazendose a convolucao linear entre as sequˆencias ficase com o resultado 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 05 1 15 2 25 3 35 4 amostra n Utilizandose agora a propriedade da convolucao temse que a TZ e a mul tiplicacao entre as transformadas x3n x1n x2n X3z X1z X2z As TZ das sequˆencias x1n e x2n sao X1z 1 2z1 z2 2z3 z 0 X2z 1 z1 z2 z 0 Fazendose a multiplicacao ficase com X3z 1 3z1 2z2 3z3 1z4 2z5 z 0 Portanto x3n 1 3 2 3 1 2 para 0 n 5 TZ Inversa A integral de linha é mais facilmente calculada usando o teorema de resíduos de Cauchy xn 1 2πj C Xz zn1 dz Resíduos de Xz zn1 calculados nos pólos no interior de C Se Xz zn1 é uma função racional de z Xz zn1 Ψz z d0s em que Xz zn1 tem s pólos em z d0 e Ψz não tem nenhum pólo em z d0 O resíduo de Xz zn1 em z d0 é dado por ResXz zn1 em z d0 1 s1 ds1 Ψz dzs1zd0 Em particular se o pólo é de primeira ordem s 1 ResXz zn1 em z d0 Ψd0 Alguns Pares de Transformadas xn Xz Rx δn 1 Todo z δn n0 zn0 Todo z exceto z 0 ou an un 1 1 a z1 z a an un 1 1 1 a z1 z a n an un a z1 1 a z12 z a n an un 1 a z1 1 a z12 z a an 0 n N 1 0 cc 1 aN zN 1 a z1 z 0 Exemplos Calcule a TZ da sequência xn cosω0n un Dicas 1 Escrever cosω0n usando a identidade de Euler 2 Usar propriedade de escalonamento em z 3 Usar propriedade de linearidade Resolução 1 xn e jω0n2 un e jω0n2 un 2 un 11 z1 RC z 1 ejω0nun 11 ejω0z1 RC z 1 ejω0nun 11 ejω0z1 RC z 1 3 Xz 12 1 ejω0z1 12 1 ejω0z1 12 2 ejω0 ejω0z1 1 ejω0z11 ejω0z1 1 z1 cosω0 1 2z1 cosω0 z2 RC z 1 Exemplos Calcule a TZ de um trem de pulsos periódico e causal pNn δn kN k0 1 0 N 2N n Solução Xz xnzn n znN n0 11 zN RC z 1 Exemplos Calcule a TZ do seguinte sinal periódico e causal 3 2 1 0 5 10 15 n O sinal pode ser escrito como a convolução entre um sinal de duração finita igual a um período do sinal periódico com o pulso pNn do exemplo anterior xn x1n pNn em que x1n 0 1 2 3 2 1 para 0 n 5 e X1z z1 2z2 3z3 2z4 z5 com RC z 0 A TZ de xn é igual à multiplicação entre as TZs com N 6 no trem de impulsos Xz X1z PNz z1 2z2 3z3 2z4 z5 1 z6 Como a RC de X1z é z 0 e a RC de P6z é z 1 a RC de Xz é z 1 Exemplos Uma operação utilizada no aumento da taxa de amostragem de sinais é a inserção de zeros entre amostras do sinal Seja xn um sinal que se deseja aumentar a taxa de amostragem A partir deste sinal o chamado interpolador com fator L introduz L 1 zeros entre amostras de xn produzindo o sinal yn yn xnL n 0 L 2L 0 caso contrário Calcule a TZ de yn em função de Xz Yz ynzn n xnznL n XzL Se Xz tem RC a z b então Yz irá convergir para a zL b ou a1L z b1L Exemplos Calcule a TZ inversa de Yz 11 a10z10 RC z a Fazendose a divisão polinomial e utilizando potências negativas de z pois a sequência é causal chegase facilmente a Yz 1 a10z10 a20z20 da qual pode tirar a sequência yn 1 a10 a20 0 10 20 30 n Resolvendose por outro método chamandose Xz 11 a10z1 RC z a10 Notase que Yz Xz10 Pelo resultado do exercício anterior yn xn10 para n 0 10 20 0 caso contrário Como xn a10nun chegase ao resultado desejado yn a n para n 0 10 20 0 caso contrário Exemplos Transformada z utilizando à integral de linha calcule a TZ inversa por meio da integral de linha Xz 1 1 a z1 z a Usando a definição a sequência xn é xn 1 2πj C Xz zn1 dz 1 2πj C zn1 1 a z1 dz 1 2πj C zn z a dz em que C é um círculo de raio maior que a Para n 0 há apenas um pólo em z a no interior de C e portanto os resíduos de Xz zn1 calculados em z a são iguais a an xn an para n 0 Para n 0 há outros pólos na origem além do pólo em z a Para n 1 Res 1 zz a em z a 1 z z a a1 Res 1 zz a em z 0 1 z a z 0 a1 Logo x1 0 Para n 2 Res 1 z2z a em z a a2 Res 1 z2z a em z 0 dz a1 dz z 0 1 z a2 z 0 a2 E x2 0 e assim por diante resultando que xn 0 para n 0 Portanto xn an un