Slide - Estatística Descritiva Pt2 2022 2

ESTATISTICA E EXPERIMENTAC AO ESTATISTICA DESCRITIVA Parte 2 Luzia A Trinca luziatrincaunespbr 1 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Medidas Resumo Alem de tabelas e graficos precisamos condensar as informacoes sobre uma variavel atraves de medidas que rapidamente fornecem uma ideia dos valores que essa variavel assume Essas medidas devem representar os valores tıpicos e a variabilidade dos dados Classificamos essas medidas como medidas de CENTRO e de DISPERSAO ou VARIABILIDADE Para dizermos se uma distribuicao e simetrica ou nao precisamos fixar um centro no grafico de distribuicao de frequˆencias Esse centro seria um valor capaz de representar os valores tıpicos daquela variavel 2 26 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO Existem varias medidas que podem representar esses valores tipicos Sao elas e Média aritmética é a soma de todos os valores assumidos pela variavel dividida pelo numero de observacoes realizadas ou seja denotandose as n observacoes de uma variavel X por x1 Xo Xn a Média por xX temos n tl x Xj ne i1 Letras do final do alfabeto representam variaveis Cada valor observado tem seu indice que representa o item no qual foi feita a observacdo A média amostralexperimental é representada pela mesma letra da variavel com um traco em cima 326 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO No exemplo a massa media de 100 frutos na regiao 1 x 271 245 255 258 266 255 253 20 26115 4 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Medidas Resumo Propriedades da media e uma medida simples e popular e sensıvel aos valores discrepantes ou extremos Portanto na presenca destes a media pode nao ser uma boa representacao dos valores tıpicos e o ponto de equilıbrio da distribuicao para k constante e X variavel a media de X k e x k a media de k X e k x para X e Y variaveis a media de X Y e x y a media da soma e a soma das medias e a media de uma diferenca e a diferenca das medias Porem a media de um produto X Y so e o produto das medias x y quando X e Y forem independentes este conceito sera visto em aulas posteriores 5 26 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO Mediana e o valor do meio de uma distribuicao ou seja num histograma ou ramaefolhas e o valor que deixa exatamente 50 dos dados de cada lado Para encontrar o valor exato da mediana e necessario ordenar todos os valores do menor para o maior Se n e ımpar a mediana e o valor que fica exatamente no centro Este valor esta na posicao n1 2 quando os dados estao ordenados Se n e par a mediana e a media dos dois valores que ficam exatamente no centro ou seja e a media dos valores nas posicoes n 2 e n 2 1 6 26 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO No exemplo a mediana da massa de 100 frutos na regiao 1 n 20 e a media entre o 10o e o 11o valores ou seja 10 dados para cada lado 23 49 24 589 25 34558 mediana 258260 2 259 26 0169 27 1348 28 4 29 7 7 26 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO Uma aproximacao da mediana pode ser facilmente calculada atraves do grafico ogiva usando semelhanca de triˆangulos G G G G G G 24 26 28 30 00 02 04 06 08 10 Massa Frequência relativa acumulada G Figura 1 Distribuicao de frequˆencias relativas acumuladas para a massa de 100 frutos de A jacobinensis 8 26 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO Med 2495 2655 2495 5000 2500 6000 2500 Med 2495 2655 24955000 2500 6000 2500 2609 Moda e simplesmente o valor mais frequente da variavel Para distribuicoes simetricas media mediana e moda sao iguais 9 26 ESTATISTICA DESCRITIVA CENTRO Propriedades da mediana nao e sensıvel a valores discrepantes e portanto e mais apropriada para representar valores tıpicos quando a distribuicao e assimetrica nao apresenta as propriedades matematicas convenientes que a media apresenta Quando a distribuicao e simetrica media e mediana sao iguais Quando assimetrica a media esta mais afastada do meio que a mediana no sentido da cauda mais longa 10 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Uma vez reconhecido o centro da distribuicao precisamos ter uma ideia do quanto os valores variam em relacao a esse centro Quanto mais heterogˆeneos forem os dados maior a dispersao e viceversa 11 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Existem varias medidas que podem nos dar essa ideia Sao elas Amplitude e a diferenca entre o maior e o menor valor Sensıvel a valores extremos entao raramente usada Primeiro quartil q1 e terceiro quartil q3 todo conjunto de dados apresenta trˆes quartis que sao os valores que dividem o conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais ou seja com 25 dos dados em cada parte O primeiro quartil nada mais e que o valor que deixa 25 dos dados abaixo dele O terceiro quartil e o valor que deixa 75 dos dados abaixo dele O segundo quartil e a mediana 12 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Ilustrando para a variavel massa de 100 frutos na regao 1 23 49 24 589 25 34558 mediana 258260 2 259 26 0169 27 1348 28 4 29 7 q1 249253 2 251 mediana 259 q3 271273 2 272 Esses trˆes resumos numericos sao apropriados para distribuicoes assimetricas 13 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Os valores extremos q1 q3 e a mediana fornecem uma descricao razoavelmente completa da dispersao e centro da variavel Com eles construımos o Boxplot ou grafico de caixa ou ainda diagrama de 5 pontos que e bastante util para comparar distribuicoes de variaveis em varios grupos 14 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Boxplot Passos para construir o boxplot 1 Numa reta marque os valores mınimo q1 mediana q3 e o maximo 2 Faca um retˆangulo entre os dois quartis e dividao na posicao da mediana 3 Calcule a diferenca entre os quartis dq q3 q1 e multipliquea por 15 4 Trace dois segmentos de reta um para mais e outra para menos a partir de cada quartil de comprimento igual ou menor que 15 dq Se essa quantidade ultrapassar o menor valor eou o maior valor pare o seguimento nestes valores Se houver valores fora desta faixa pare no ultimo valor que ainda pertence a faixa 5 Marque com um cırculo todos os valores mais extremos que os seguimentos de reta 15 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Construcao do Boxplot para a massa de 100 frutos Dados necessarios menor valor234 maior valor297 q1 251 q3 272 dq 272 251 21 21 15 315 mediana 259 16 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Boxplot 24 25 26 27 28 29 Massa g de 100 frutos q1 q3 mediana Figura 2 Boxplot para a massa de 100 frutos na regiao 1 17 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Boxplot Comparando as trˆes regioes quanto a massa de 100 frutos 1 2 3 22 24 26 28 30 32 Região Massa g de 100 frutos Figura 3 Boxplot para a massa de 100 frutos segundo a regiao 18 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Boxplot Comparando as trˆes regioes quanto o numero de sementes saudaveis Figura 4 Boxplot para o numero de sementes saudaveis segundo a regiao 19 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Outro exemplo area foliar 013 004 149 188 070 021 001 049 016 031 270 057 018 001 031 015 002 073 007 074 038 002 001 033 043 005 062 092 022 024 G G G 00 05 10 15 20 25 Área foliar Figura 5 Boxplot para a area foliar min 001 q1 007 mediana 0275 q3 062 max 270 media 047 20 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO e Desvio padrao O desvio padrao é a medida de dispersdo mais popular e mede a dispersao de todos os valores em relacao a média Para calcular o desvio padrao primeiro calculamos a varidncia denotada por s que é dada por s varX a x x n1 J 1 9 ori xi 2126 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO A diferenca xi x e chamada de desvio representa o quanto o indivıduo i se desviou da media geral A variˆancia representa a media dos quadrados dos desvios em relacao a media Note porem que o denominador e n 1 e nao n como talvez esperado A razao dessa modificacao sera explicada posteriormente Note que a unidade de medida da variˆancia e a unidade da variavel X ao quadrado o que dificulta a interpretacao Por essa razao extraımos a raiz quadrada e a quantidade resultante recebe o nome de desvio padrao 22 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO O desvio padrao e a raız quadrada da variˆancia e e denotado por s Um valor alto do desvio padrao indica que os dados estao bastante dispersos grande variacao e um valor baixo indica que estao proximos da media variacao pequena No exemplo para a massa na regiao 1 s2 2417132g s 1554713 155 g Com a media e o desvio padrao podemos dizer que a maioria das amostras de 100 frutos tem massa entre 2612g 155g 2457 a 2767 gramas 23 26 ESTATISTICA DESCRITIVA Ilustrando para uma variavel bem comportada massag Frequência 23 24 25 26 27 28 29 30 0 1 2 3 4 5 6 7 G G G X x x Figura 6 Distribuicao da massa g de 100 frutos de Astrocasia jacobinensiscırculos sao media e media s os x sao mediana e quartis 24 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Propriedades da variˆancia ou do desvio padrao para k constante vark 0 vark X varX varkX k2varX para X e Y variaveis varX Y varX varY se X e Y forem independentes para X e Y variaveis varX Y varX varY se X e Y forem independentes como depende da media tambem e sensıvel aos valores discrepantes e portanto so deve ser usada quando a distribuicao e aproximadamente simetrica 25 26 ESTATISTICA DESCRITIVA DISPERSAO Coeficiente de Variacao e uma medida de dispersao em termos de porcentagem da media cv s x 100 nao tem unidade e portanto serve como medida de comparacao de variacao de variaveis diferentes No exemplo para massa cv 155 2612 100 593 Para area foliar cv 061 047 100 12877 26 26