Slide - Teste de Hipóteses 2022 2

ESTATISTICA E EXPERIMENTAC AO TESTES DE HIPOTESES Luzia A Trinca luziatrincaunespbr 1 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Objetivos 1 Definir hipoteses estatısticas 2 Introduzir a logica dos testes de hipoteses 3 Apresentar os tipos de erros envolvidas no procedimento 4 Apresentar o teste para uma media populacional 5 Apresentar o teste para uma proporcao populacional 2 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Na aula anterior vimos como realizar inferˆencias sobre parˆametros usando Intervalos de Confianca O intervalo de confianca agrega a estimativa sua margem de erro Outra tecnica de inferˆencia e a de Testes de Hipoteses sobre parˆametros O que sao hipoteses Sao afirmacoes ou conjecturas sobre algo desconhecido Aqui no nosso contexto sao conjecturas sobre parˆametros populacionais Hipoteses sao suposicoes nao sabemos se sao verdadeiras ou falsas 3 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Levantada uma hipotese o pesquisador sai a coleta de dados na expectativa de encontrar evidˆencias ao seu favor ou contra Hipotese AmostraExperimento DecisaoConclusao DecisaoConclusao AmostraExperimento Hipotese Mas como resultados de amostrasexperimentos estao sempre sujeitos a erros toda estimativa tem margem de erro sempre ha um risco de chegarmos a uma conclusao errada 4 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Exemplos de hipoteses um novo hıbrido A de eucalipto aos 2 anos apresenta area basal media maior que a do hıbrido mais popular sabido ser µ0 100 unidades o poder germinativo de sementes de arvores cultivadas e diferente daquele de arvores em mata nativa sabido ser p 088 Note que uma hipotese tem sempre sua negacao como outra hipotese No exemplo poderia ser o novo hıbrido e pior ou ainda e igual ao popular A formulacao das hipoteses depende do quanto ja se conhece sobre o assunto em questao 5 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses O que e Teste E um criterio uma regra utilizado para concluir sobre a hipotese de interesse utilizando os resultados fornecidos pela amostra ou experimento Mas repetindoComo os resultados de experimentos ou amostras estao sujeitos a variabilidade aleatoria margens de erros as conclusoes extraıdas tambem estao sujeitas a erros Na tecnica de teste de hipoteses trabalhamos com as probabilidades de erros de forma a extrair alguma informacao util para as pesquisas mesmo na presenca de incerteza 6 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Para o estudo das hipoteses especificamos duas uma e chamada de hipotese nula representada por H0 e a outra que a contradiz de hipotese alternativa representada por HA ou H1 A hipotese nula H0 e conservadora ou seja nao propoe mudanca naquela area de pesquisa deixa como esta No exemplo do novo hıbrido A algumas opcoes e hipoteses de interesse sao H0 µA 100 vs HA µA 100 H0 µA 100 vs HA µA 100 Similarmente para o poder germinativo temos H0 pC 088 vs HA pC 088 H0 pC 088 vs HA pC 088 H0 pC 088 vs HA pC 088 7 37 unilateral bilateral bilateral unilateral unilateral Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Uma vez especificada as hipoteses o proximo passo e planejar e executar a coleta de dados via amostragem ou experimento sempre tomando os cuidados para que os dados sejam nao enviesados sejam imparciais A analise consiste na verificacao se os dados coletados fornecem evidˆencias contra H0 Se a resposta for sim nossa conclusao e a favor de HA dizemos que H0 e rejeitada Se a resposta for nao dizemos que evidˆencias contra H0 nao foram encontradas ainda e pelo menos com o estudo realizado H0 nao pode ser rejeitada 8 37 Inferˆencia Estatıstica Testes de Hipoteses Exemplo 30 mudas do novo hıbrido serao cultivadas ate 2 anos e suas medidas de area basal coletadas para avaliar a evidˆencia contra H0 µA 100 A area basal media destas 30 mudas X sera obtida e seu valor juntamente com seu erro padrao ajudara na conclusao X e entao nossa Estatıstica de Teste Estatıstica do Teste e a informacao dos dados que servira de base para a realizacao do teste 9 37 Teste de hipotese unilateral para µ Vamos considerar as hipoteses H0 µA 100 vs HA µA 100 Sabemos de aulas anteriores que SOB H0 o comportamento da media amostralexperimental segue aproximadamente a distribuicao Normal com media µ 100 e variˆancia σ n ou seja 00 01 02 03 X fx 100 100 σ 30 100 σ 30 Figura 1 Distribuicao da media amostral X sob H0 10 37 Teste de hipotese unilateral para µ A ideia e que se o resultado experimental x estiver proximo de 100 nao existira evidˆencias contra H0 Por outro lado se o resultado experimental x for muito maior do que 100 existira evidˆencias de que o novo hıbrido A tem area basal media maior que o popular Mas o que e proximo Ate qual valor consideramos proximo Precisamos estabelecer um limite um valor K e isso nos leva as seguintes consideracoes 1 E possıvel obtermos X K mesmo quando H0 e verdadeira 2 E possıvel obtermos X K mesmo quando H0 e falsa 11 37 Teste de hipotese unilateral para µ 00 01 02 03 X fx 100 µA K H0 HA Figura 2 Comportamentos esperados dos resultados experimentais sob a hipotese nula e sob uma possıvel hipotese alternativa REGRA DE DECISAO Se X K rejeitamos H0 e concluımos que o novo hıbrido e melhor 12 37 Rejeição Teste de hipotese unilateral para µ Porem qualquer que seja a regra colocada estamos sujeitos a tirar uma conclusao errada Sao dois os tipos de erros possıveis Realidade de H0 Resultado Experimental Verdadeira Falsa X K Nao rejeitase H0 Decisao Correta Erro tipo II X K Rejeitase H0 Erro tipo I Decisao Correta Precisamos nos proteger para que as probabilidades de erro nao sejam grandes 13 37 Teste de hipotese unilateral para µ 00 01 02 03 X fx 100 µA K H0 HA α β Figura 3 Curvas da media amostral X sob as duas hipoteses indicando as probabilidades de erro tipo I α e tipo II β Cometemos o Erro tipo I quando rejeitamos H0 mas de fato H0 e verdadeira A probabilidade de se cometer esse erro e representada por α Fig 2 14 37 Rejeição Teste de hipotese unilateral para µ 00 01 02 03 X fx 100 µA K H0 HA α β Figura 4 Curvas da media amostral X sob as duas hipoteses indicando as probabilidades de erro tipo I α e tipo II β Cometemos o Erro tipo II quando nao rejeitamos H0 mas de fato H0 falsa Essa probabilidade e β Mas β depende da curva sob HA que nao sabemos onde esta posicionada Entao β e uma funcao de µA a producao verdadeira da cultivar Entao o correto e escrever βµA 15 37 Rejeição Teste de hipotese unilateral para µ Note que α e βµA dependem do valor K Se empurrarmos K a direita α mas βµA Se puxarmos K a esquerda α mas βµA Isso nos leva a pergunta Qual tipo de erro e mais perigoso No exemplo qual conclusao levaria a consequˆencias mais drasticas concluir que onovo hıbrido e mais produtivo quando ele nao e Ou concluir que o novo hıbrido nao e mais produtivo quando ele e Como H0 e conservadora o Erro tipo I e considerado ser mais perigoso Assim usamos um valor de K que controla limita o valor de α Por outro lado dado o valor de α encontramos o ponto de corte K 16 37 Teste de hipdtese unilateral para ju Partimos da definicao de a considerando Ho w4 wo vs Ha a Lo a PErro l PRejeitar Hy quando Hp é V PXK 0 K Pp 7 x1 vn Entao K a tvc Vn S K pot Htusal Fe Observacdo a é também chamado de nivel de significancia do teste 1737 Teste de hipotese unilateral para µ 00 01 02 03 X fx 100 µA K H0 HA α β Figura 5 Curvas da media amostral X sob as duas hipoteses indicando as probabilidades de erro tipo I α e tipo II β A regiao aquem de K e chamada de regiao crıtica ou de rejeicao do teste Se o resultado experimental pertence a esta regiao dizemos que o resultado e significante 18 37 Rejeição Teste de hipotese unilateral para µ Exemplo Suponha que o experimento usando as n 30 plantas do novo hıbrido resultou nos valores de area basal 969 1049 1088 1109 1050 1138 1043 1036 878 950 1027 999 1093 1081 969 968 1075 1018 1107 1107 1122 996 999 1084 987 989 1069 1001 1045 1024 Resumindo os resultados sao x 1035667 s2 356133 s 59677 ν n 1 29 Entao para H0 µ 100 vs HA µ 100 e α 005 t29005 1699 Assim K 100 1699 59677 30 1018511 e temos que os resultados do experimento fornecem evidˆencias contra a H0 o novo hıbrido se mostra promissor em termos de maior area basal 19 37 Teste de hipotese unilateral para µ Podemos de maneira equivalente fazer todo o raciocınio na escala estudentizada ou seja na escala de T escrevendo a regra de decisao como Se tobs tνα rejeitaremos H0 em que tobs x µ0 s n No exemplo temos tobs 1035667 100 59677 30 3274 que e superior a t29005 1699 levando a mesma conclusao anterior 20 37 Teste de hipotese probabilidade de significˆancia A probabilidade de significˆancia ou Valorp Outra maneira de obtermos medidas de evidˆencia em testes de hipoteses e calculando o Valorp que e definido como sendo a probabilidade de se obter num experimento similar ao ja realizado um resultado igual ou mais extremo do que aquele ja obtido supondo H0 verdadeira Temos duas justificativas se tal probabilidade for um valor pequeno 1 o experimento realizado deu resultados muito atıpicos sob H0 OU 2 a hipotese nula e falsa Assumindo que resultados muito muito atıpicos sao muito muito improvaveis na pratica inferimos que a H0 e falsa quando o Valorp e pequeno Quanto menor seu valor maior a evidˆencia contra H0 21 37 Teste de hipdtese unilateral para ju O calculo do Valorp nem sempre é facil de ser feito usando tabelas Mas os programas de computador de analises estatisticas o calcula facilmente Voltemos ao exemplo do hibrido Valorp PX 1035677 100 1035677 100 P 7 59677 30 PT 3274 Pela tabela 7 Student com 29 graus de liberdade vemos que o Valorp é um valor entre 0001 e 00025 ou seja pequeno resultando em forte evidéncia contra Ho 2237 Teste de Hipotese unilateral para a media µ Se HA µ µ0 o ponto crıtico fica a esquerda da media especificada em H0 µ0 G µ0 x H0 HA α Figura 6 Comportamentos esperados dos resultados experimentais sob H0 e sob uma HA Regra de decisao Se x K rejeitase H0 Assim K µ0 tνα S n Se usar a regra na escala t lembrese que o valor crıtico sera negativo 23 37 K Rejeição Teste de hipdtese unilateral para ju Esse exemplo ilustrou um teste de hipdteses unilateral ou seja a hipdtese alternativa aponta para apenas um dos lados maior ou menor Quando a H aponta para ambos os lados o teste é chamado bilateral Ao 4 100 Hy 100 Nesse caso 0 procedimento é similar porém com dois pontos criticos e a fica dividido por 2 ou seja 5 para cada lado da curva Ja o Valorp fica multiplicado por 2 2437 Teste de Hipotese bilateral para a media µ Se HA µ µ0 temos dois pontos crıticos um de cada lado G µ0 x H0 HA HA α 2 α 2 Figura 7 Comportamentos esperados dos resultados experimentais sob H0 e sob HA Regra de Decisao Se x K1 ou x K2 rejeitase H0 ou se tobs tν α 2 rejeitase H0 25 37 Teste de Hipotese bilateral para a media µ Exemplo A area foliar media da especie Laguncularia rancemosa crescendo em ambiente nao poluıdo e de 51cm2 Com o objetivo de investigar o efeito da poluicao ambiental sobre a area foliar exemplares desta planta foram cultivados em area poluıda Destes exemplares coletouse uma amostra aleatoria de 20 folhas cujas areas foram 394 396 399 456 461 461 502 502 510 512 546 548 546 551 551 555 562 663 665 456 Usando um nıvel de significˆancia de 5 temos alguma evidˆencia de que a poluicao afeta a area foliar media desta especie 26 37 Teste de Hipotese bilateral para a media µ Passos H0 µ 51 vs HA µ 51 Estatıstica do teste X associada a distribuicao t Student ja que teremos que estimar o desvio padrao Regra de decisao Vamos rejeitar H0 se x K1 ou x K2 ou equivalentemente se tobs t190025 2093 Resultados experimentais x 5118 s 7575 Aqui vamos fazer as contas usando as versoes nas duas escalas padronizada ou nao para ilustrar mas na pratica basta uma delas Como o resultado experimental esta a direita de 51 basta calcular K2 K2 51 2093 7575 20 536092 e tobs 01063 27 37 Teste de Hipotese bilateral para a media µ O resultado experimental teria que ser maior que 5361 para rejeitarmos H0 mas e apenas 5118 Assim nao encontramos evidˆencias de que a poluicao altera a media da area foliar O Valorp desse resultado e 09165 Figura 8 Teste bilateral ilustrando o calculo do Valor p 28 37 Teste de Hipotese bilateral para a media µ Podemos tambem calcular o intervalo de confianca para µ da area foliar na condicao de poluicao Para 95 de confianca temos x t190025 s 20 4763 5473 Quando a HA e bilateral o teste pode ser feito usando o IC Se o valor estipulado em H0 pertencer ao intervalo o resultado nao e significativo nao temos evidˆencias contra H0 29 37 Voltemos ao exemplo do poder germinativo das sementes de espécie cultivada Suponha que o experimento foi realizado com n 500 sementes Se 420 germinaram qual deve ser a conclusdo assumindo a 005 O pardmetro de interesse é a probabilidade de sucesso po e seu estiador P a proporcao amostral de germinadas Fine eca Passos 1 Escreva as hipdteses Ao po 088 Ha pc 088 bilateral 2 Identifique a estatistica do teste e sua distribuicdo sob Ho 088 012 P 088 P N088 so ou Z sen N0 1 500 3037 Teste de Hipdtese para a propordo de sucessos p 3 Estabeleca a regra de decisdo faga o desenho da curva Rejeieaio Kk 088 Ky Rejeicao Vamos calcular p e o ponto critico requerido p 084 Precisamos calcular apenas AK 088 196 y O88 012 08515 Assim a regra de decisdo é se p 08515 Ho deve ser rejeitada 3137 Teste de Hipotese para a proporcao de sucessos p 4 Analise e conclua Como de fato p 420 500 084 08515 nossa conclusao e a de que o poder germinativo da especie cultivada e diferente de 088 Como a expressao de K1 foi obtida Lembre que os pontos crıticos estao ligados ao α α PRejeitar H0 quando H0 e V P P K1pC p0 P P K2pC p0 α α 2 α 2 Como precisamos so de K1 vamos trabalhar so com o primeiro termos padronizar e encontrar o valor α 2 P P K1pC p0 32 37 Erro 1 Teste de Hipdtese para a propordo de sucessos p Ky So plgze SE Po 2 po1po ven Ki po 4 ob OO po1po leg n 1 Ky po za 2 1 Po n 088 012 Ky 088 196 08515 1 088 196 00 33 37 Teste de Hipdtese para a propordo de sucessos p Alternativamente poderiamos trabalhar direto sé com a estatistica Z Nesse caso a regra de decisdo sera se zop5 z2 rejeitamos Ho p 084 088 Zobs pa 275 1 Popo 088012 n 500 e a conclusdo é equivalente a anterior ouseja275196 Podemos ainda calcular o Valorp Valorp 2 PP 084pco 088 2 PZ 275 0006 indicando forte evidéncia contra Ho 3437 Teste de Hipotese para a proporcao de sucessos p 35 37 Teste de Hipotese para a proporcao de sucessos p Exemplo O besouro Rhynchophorus palmarum e uma das pragas mais frequentes do coqueiro Em algumas plantacoes a infestacao pode ser grave representando grandes perdas econˆomicas Caso medidas de controle nao forem aplicadas a porcentagem de plantas infestadas e de 60 Varias sao as tentativas de controle desta praga sendo a inoculacao do fungo Beauveria bassiana uma em estudo Um experimento realizado com uma plantacao de 200 palmas inoculadas com o fungo numa regiao na qual 60 das plantas estao atacadas mostrou que ao final de 2 anos 115 delas estavam livres da praga Esses resultados indicam alguma eficacia do controle biologico via esse fungo 36 37 Vamos usar 005 85 das plantas ainda estão infestadas Passos 1 Escreva as hipdteses Hp p06 vs Ha p 06 2 Estatistica do teste P associada a distribuiao Normal 3 RD Se p K ou SE Zobs faa z005 rejeitaremos Ho Hor pes p 08 Sample Prpofon S75 Pan 02852 Hi aapetp 0 aM ee rc A AX Rejeicdo 505 Rejeigiio1645 ume 4 Faca as contas K 06 1645 334 0543 e p 0575 5 Conclua como p 0543 ou Zops 5052 1645 temos evidéncias de que esse controle bioldgico é eficaz Outra opcado é calcular o Valorp a area a esquerdado valor da estatistica do teste 3737