Slide - Introdução à Probabilidade 2022 2

ESTATISTICA E EXPERIMENTAC AO INTRODUC AO A PROBABILIDADE Luzia A Trinca luziatrincaunespbr 1 23 INTRODUC AO A PROBABILIDADE Objetivos deste topico nesta disciplina sao definir e apresentar exemplos de 1 Ensaio aleatorio espaco amostral eventos 2 Probabilidade e suas propriedades 3 Probabilidade condicional 4 Eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes 5 Discutir suas aplicacoes 2 23 INTRODUC AO A PROBABILIDADE Probabilidade e uma medida da chance de um evento que esta sujeito a aleatoriedade ocorrer Fenˆomenos aleatorios sao aqueles cujos resultados nao podem ser previstos com certeza podemos ter uma ideia das possibilidades mas nao sabemos qual sera o resultado em particular Ex producao por hectare de uma cultura qualquer sobrevivˆencia de um enxerto germinacao de uma semente ate quando ira a pandemia 3 23 INTRODUC AO A PROBABILIDADE As frequˆencias relativas vistas em aulas anteriores sao exemplos de probabilidades empıricas Empırico significa resultado obtido por experiˆencia ou por observacao dos fenˆomenos aleatorios Essas probabilidades empıricas podem ser vistas como aproximacoes das probabilidades reaisteoricas Toda aproximacao no sentido que estamos falando aqui apresenta margem de erro e tal fato e um dos aspectos mais importantes tratados pelos metodos estatısticos Os metodos estatısticos tˆem como fundamento a teoria de probabilidades sendo que para seus calculos exatos precisamos de algumas definicoes 4 23 DEFINIC OES Ensaio aleatorio qualquer acao cujo resultado nao pode ser previsto com certeza absoluta Conhecemos o que pode acontecer mas nao o que vai acontecer Exemplos 1 Lancar um dado e observar o numero na face superior 2 Realizar um cruzamento entre plantas do tipo Rr Rr e observar os fenotipos dos descendentes 3 Semear uma semente de feijao e observar se ela germina ou nao 4 Aplicar um inseticida numa planta infestada e observar se ela fica livre da infestacao ou nao O conjunto de alternativaspossibilidades resultados que sao possıveis e as condicoes envolvidas no fenˆomeno suposicoes conjecturas hipoteses de interesse nos permite o calculo exato das probabilidades 5 23 DEFINIC OES Espaco amostral de um ensaio aleatorio e o conjunto de todos os resultados possıveis desse ensaio Vamos denotar esse conjunto pela letra Ω Evento e um subconjunto do espaco amostral E chamado de elementar se possuir apenas um elemento Notacao Ω 1 2 3 4 5 6 espaco amostral no Ex 1 O subconjunto A 2 3 5 e o evento o numero e primo B 2 4 6 divisıvel por 2 Ω RR Rr rR rr espaco amostral no Ex 2 A RR rR Rr evento descendente ser tipo rugosa B RR rr homozigoto Ω G G espaco amostral no Ex 3 Esse experimento e binario Ω L I espaco amostral no Ex 4 Esse experimento tambem e binario 6 23 DEFINIC OES 7 23 O espaço amostral e seus eventos podem ser representado pelo diagrama de Venn A C B D DEFINIC OES Operacoes com eventos conjuntos ReUniao de dois eventos representa a ocorrˆencia de pelo menos um dos eventos Ex 1 A B 2 3 4 5 6 o numero e primo OU e divisıvel por 2 Interseccao de dois eventos representa a ocorrˆencia simultˆanea de dois eventos Ex 1 A B 2 o numero e primo E divisıvel por 2 8 23 A C D U B DEFINIC OES Evento complementar o evento complementar de A representa a nao ocorrˆencia de A e o subconjunto que completa A para formar o espaco amostral Ω e e representado por A ou Ac A 1 4 6 A B 1 Note que A B A B A B 1 3 4 5 6 Note que A B A B 9 23 DEFINIC OES Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos sao os eventos que nao apresentam elementos em comum ou seja nunca ocorrem juntos e portanto a interseccao e o conjunto vazio representa o evento impossıvel Note que se dois eventos sao disjuntos mutuamente exclusivos significa que a ocorrˆencia de um deles impede a ocorrˆencia do outro e portanto a interseccao e vazia Para qualquer evento A A A Ω A A Ω 10 23 DEFINIC OES 11 23 A A A U A A A DEFINIC OES Probabilidade e uma medida da chance de ocorrˆencia de um evento ou mais formalmente e uma funcao P que atribui valores numericos aos eventos do espaco amostral Ω satisfazendo as seguintes condicoes axiomas 1 0 PA 1 para qualquer A Ω 2 PΩ 1 3 PA B PA PB para A e B Ω e disjuntos Regra da adicao PA B PA PB PA B a probabilidade da uniao e a soma das probabilidades menos a probabilidade da interseccao 12 23 DEFINIC OES Usando axiomas chegamos nos resultados PA PΩ P 0 PA 1 PA 13 23 DEFINIC OES 14 23 A B C PCPB PBA PA CALCULO DA PROBABILIDADE Pela definicao de probabilidade e com o conhecimento das caracterısticas ou a partir de suposicoes a respeito de um ensaio aleatorio e possıvel calcular ou atribuir valores as probabilidades dos eventos Quando todos os eventos elementares sao equiprovaveis temos que PA numero de casos favoraveis ao evento A numero de casos possıveis Cuidado quando os casos nao sao equiprovaveis 15 23 CALCULO DA PROBABILIDADE Assim no Exemplo 1 se consideramos que o dado e equilibrado honesto nao viciado a probabilidade de qualquer resultado e 1 6 e assim PA 3 6 1 2 PA B 1 6 PA B PA PB Pa B 1 2 1 2 1 6 5 6 E no Exemplo 4 PL Essa probabilidade depende da eficacia do inseticida Digamos que seja 0 p 1 entao PL p e PI PL 1 p 16 23 A PROBABILIDADE CONDICIONAL E comum a situacao de termos disponıvel a informacao da ocorrˆencia de algum evento e com base nessa informacao querer atualizar a probabilidade de outro evento A probabilidade atualizada se chama probabilidade condicional Probabilidade condicional de A dado B e a probabilidade de um evento A ocorrer condicionada a ocorrˆencia de um outro evento B denotada e calculada por PAB PA B PB lˆese a probabilidade de A dado B e igual a probabilidade da interseccao entre A e B dividida pela probabilidade de B 17 23 PROBABILIDADE CONDICIONAL Ou seja uma vez que sabemos que B ocorreu o espaco amostral fica restrito ao espaco de B apenas Note que PBA PB A PA Desta definicao obtemos a regra do produto de probabilidades Regra do produto PA B PAB PB ou tambem PB A PBA PA 18 23 PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo 1 prob de primo dado que e divisıvel por 2 PAB PA B PB 16 36 1 3 Exemplo 2 prob de rugosa dado que e homozigoto PAB PA B PB 14 24 1 2 19 23 EVENTOS INDEPENDENTES Eventos independentes dois eventos sao independentes quando a ocorrˆencia de um deles nao traz informacao para predizer a ocorrˆencia do outro evento Isto quer dizer que se A e B sao independentes entao B nao serve para atualizarmos a probabilidade de A ou seja PA B PA Daı temos a relacao A e B sao independentes se e somente se PA B PA PB 20 23 EVENTOS INDEPENDENTES No Exemplo 1 A e B sao independentes Para responder calculamos PA e PAB Resultados iguais destas duas indicam independˆencia PA 1 2 e PAB 1 3 como 1 2 1 3 entao A e B sao dependentes E no Exemplo 2 A e B sao independentes PA 3 4 e PAB 1 2 como 3 4 1 2 entao A e B sao dependentes Suponha que duas plantas similares infestadas por um inseto recebem o inseticida Qual a probabilidade de ambas ficarem livres da infestacao PLL p2 assumindo independˆencia e eficacia homogˆenea nas duas plantas E apenas uma ficar livre PLI ou IL PLI IL PLI PIL 2 p 1 p E pelo menos uma ficar livre PLI ou IL ou LL PLI PIL PLL 2 p 1 p p2 p 2 p 21 23 OUTRO EXEMPLO Exemplo Suponha que uma cultura de plantas esta fora de controle de pragas se apresentar infestacao pela praga A ou pelas pragas B e C juntas As probabilidades de se encontrar A B e C sao 03 02 e 08 respectivamente Suponha que se a praga A estiver presente a praga B nao aparece e existindo a praga B a probabilidade da praga C tambem estar presente reduzse a metade Vamos definir o evento F fora de controle F A B C PA 03 PB 02 PC 08 note que e obrigado haver interseccao das pragas PA B 0 PCB 08 2 04 22 23 INTRODUCAO A PROBABILIDADE Perguntas Qual a probabilidade de ocorrer a praga B ou C PB C PB PC PB C 02 08 PB C Como PB C PB PCB 02 04 008 entao PB C 02 08 008 092 Qual a probabilidade de uma cultura estar em risco por essas pragas PF PA B C PA PB C PA B C 03 008 038 Sabendose que a cultura esta fora de controle qual a probabilidade dela estar infestada pelas duas pragas B e C PB CF PB C F PF PB C A B C PF 008 038 02105 O evento no numerador e B C A B A C B C 23 23 OUTRO EXEMPLO OUTRO EXEMPLO TEOREMA de BAYES Numa cultura temos plantas das variedades V1 V2 e V3 nas porcentagens 50 32 e 18 Sabese que uma praga A infesta as variedades com as probabilidades 002 se V1 007 se V2 e 012 se V3 Qual a probabilidade de infestacao por A na cultura toda PA PA V1 PA V2 PA V3 050 002 032 007 018 012 0054 24 26 V1 V3 V2 A 050 032 018 floresta temos árvores das espécies espécies floresta OUTRO EXEMPLO TEOREMA de BAYES Uma planta selecionada ao acaso da cultura esta infestada pela praga A Qual a probabilidade dela ser da variedade V1 PV1A PV1 A PA PV1 PAV1 PV1 PAV1 PV2 PAV2 PV3 PAV3 Esse e oTEOREMA DE BAYES 25 26 V1 V2 V3 50 32 18 A A A A A A 02 07 12 árvore de probabilidades 98 93 88 floresta árvore espécie OUTRO EXEMPLO TEOREMA de BAYES PV1A PV1 A PA 001 0054 01851852 Qual a probabilidade dela ser da variedade V3 PV3A PV3 A PA 00216 0054 040 26 26 espécie