Slide - Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade Pt2 2022 2

ESTATISTICA E EXPERIMENTAC AO VARIAVEIS ALEATORIAS E DISTRIBUIC OES DE PROBABILIDADE Parte 2 Luzia A Trinca luziatrincaunespbr 1 25 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Objetivos deste topico nesta disciplina 1 Definir variavel aleatoria contınua 2 Apresentar e estudar o modelo contınuo mais popular e usado na Estatıstica Basica Gauss ou Normal 2 25 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Variavel aleatoria e uma funcao que associa um elemento do espaco amostral de um experimento aleatorio a um valor numerico O conjunto de valores numericos em questao pode ser discreto numeros inteiros por exemplo ou contınuo intervalo nos reais Quando o conjunto e um intervalo a variavel e contınua Exemplo Considere o ensaio aleatorio sortear uma planta de uma grande cultura Assim o espaco amostral e Ω planta1 planta2 planta3 Para cada elemento de Ω vamos definir a variavel X que representa a producao da planta Assim o espaco amostral de X e ΩX x x 0 3 25 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS A distribuicao de probabilidades para uma variavel contınua e uma funcao contınua chamada de densidade de probabilidade denotada por fXx Existe um grande numero de funcoes matematicas que sao modelos de probabilidades Essas funcoes podem ser representadas por equacoes e tambem em graficos Veja algumas ilustracoes na proxima pagina 4 25 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Exemplos de densidades de probabilidades para variaveis contınuas 5 25 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Uma fungdo fx definida nos reais uma densidade se é nado negativa e satisfaz 00 fxdx 1 oo A segunda propriedade diz que a area sob a curva vale 1 ou seja totaliza os 100 de possibilidades para a varidvel X Assim a probabilidade da varidvel pertencer a um intervalo a b qualquer é dada pela area sob a curva b PaX b fda rea entre os pontos a e b a 625 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Assim PX b J fda rea esquerda do ponto b CO PX b fxdxz Area a direita do ponto b b 1PX b A ultima expressdo quer dizer que se a varidvel é continua a probabilidade dela assumir um valor particular qualquer énula ja que ponto ndo tem comprimento Esse é 0 conceito de varidvel ser continua existe probabilidade positiva apenas para intervalos Vamos ilustrar com a varidvel continua mais simples que existe 725 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS 0 2 4 6 8 10 12 000 002 004 006 008 010 012 x fx x 0 2 4 6 8 10 12 000 002 004 006 008 010 012 x fx PX 2 02 x 0 2 4 6 8 10 12 000 002 004 006 008 010 012 x fx PX 6 04 x 0 2 4 6 8 10 12 000 002 004 006 008 010 012 x fx x Probabilidade area para um tipo de variavel contınua 8 25 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Como vimos no caso discreto baseado no modelo de probabilidades podemos obter média mediana variancia e desvio padrao tedricos No caso da média e variadncia a soma ponderada pelas probabilidades é substituida pela integral 00 px BX 2 Flode oo 2 2 2 2 ree 2 ok EX px BUX fo flay 13 925 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS No exemplo anterior temos fx 01 para 0 x 10 Entdo 10 210 102 BX px vOlde 01 9 08 9 Ls 0 2 o 2 Para a variancia vamos primeiro obter EX 0 3 110 1070 100 EX x 0ldz 01 9 00 9 0 3 lo 3 3 Assim 100 10075 25 2 pe x 37 3 3 e o desvio padrao 6 ax 289 1025 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS A mediana teGérica é 0 valor 795 que deixa uma probabilidade acumulada a esquerda de 05 X05 dx Mediana x05 fx 05 no exemplo x95 5 Cco A mesma ideia pode ser aplicada para os quartis ou qualquer outro percentil X025 ax Panera quanta fo 025 no exemple ERB oo X075 dx rareeiro quan 10 075 no exerlo CRRA CO 1125 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS A CURVA DE GAUSS OU NORMAL A densidade mais popular e mais usada e a curva de Gauss tambem chamada de distribuicao Normal Ela e a mais usada porque consegue aproximar os histogramas de muitas variaveis observadas na ciˆencia e tambem por descrever o comportamento de medias amostrais estudaremos isso em aulas futuras A funcao densidade Normal e fx 1 σ 2πe 1 2σ2 xµ2 para x 12 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Na formula x representa os valores possıveis de X µ µX e a sua media teorica valor esperado e σ σX e o desvio padrao O grafico desta curva e x µ µ σ µ σ G Figura 1 Densidade de probabilidade Normal 13 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Existem infinitas delas Abaixo ilustramos algumas 0 20 40 60 80 100 000 002 004 006 008 010 012 x fx G G G G G Figura 2 Densidades de probabilidade Normal 14 25 médias distintas e mesmo desvio padrão pequeno médias distintas e mesmo desvio padrão grande mesma média e desvios distintos A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Nao ha necessidade de memorizar a formula da funcao mas sim de memorizar sua representacao grafica e algumas propriedades importantes Resumidamente escrevemos X Normalµ σ2 e as propriedades sao 1 a area total sob a curva e 1 2 simetrica em µ entao media e mediana teoricas sao iguais 3 a area entre µ σ e µ σ e 068 4 a area entre µ 2 σ e µ 2 σ e 095 5 a area entre µ 3 σ e µ 3 σ e 0999 15 25 são os parâmetros do modelo A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Essas propriedades significam 1 P X 1 2 PX µ PX µ 05 3 P µ σ X µ σ 068 4 P µ 2 σ X µ 2 σ 095 5 P µ 3 σ X µ 3 σ 0999 16 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL x µ µ 3σ µ 3σ 09999 G x µ µ 2σ µ 2σ 095 G 0025 0025 x µ µ σ µ σ 068 G 016 016 x µ G a PX a Figura 3 Densidade de probabilidade Normal 17 25 PXa 15 20 25 18 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Mas como calculamos a area E muito trabalhoso fazer esse calculo e alem do mais existem infinitas curvas Normais Cada combinacao de valores de µ media e σ desvio padrao resulta numa curva diferente Mas existe uma distribuicao Normal especial aquela com media zero e variˆancia 1 ou seja µ 0 e σ2 σ 1 Ela recebe o nome de Normal Padrao e e representada pela letra Z As probabilidades da variavel Z foram tabeladas ver no arquivo Tabela da Normal Gauss Padronizadapdf Entao atraves da tabela Z obtemos probabilidades e quantis para qualquer outra variavel X Normal uma vez que usamos a formula para padronizar X 18 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Densidade da Normal Padrao 00 01 02 03 04 z fx 0 1 1 Figura 4 Densidade de probabilidade Normal 19 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Padronizacao de variaveis Dizemos que uma variavel qualquer esta padronizada se sua media for 0 e sua variˆancia for 1 Seja qualquer variavel X com µX µ R e σ2 X σ2 0 Entao se aplicarmos a formula X µ σ Z temos uma nova variavel que esta padronizada Se X Nµ σ2 entao Z Xµ σ N0 1 20 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Assim podemos usar a tabela da distribuicao Normal Padrao para obter as probabilidades e quantis para qualquer outra variavel X com distribuicao Normal Basta seguir a regra da padronizacao Seja k um valor qualquer Entao PX k PX µ σ k µ σ PZ k µ σ Exemplo Suponha que o peso ao nascer de bezerros de certa raca seja uma variavel aleatoria Normal com media de 50kg e desvio padrao de 5kg ou seja X Normal50 25 Qual a probabilidade de X ser menor que 48 ou seja um bezerro qualquer desta raca nascer com peso inferior a 48kg 21 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Usando a regra da padronizacao temos PX 48 PX µ σ 48 50 5 PZ 040 03446 A probabilidade desejada e 0345 Esse valor foi encontrado na Tabela da Normal Gauss Padronizadapdf Qual a probabilidade do peso ao nascer de um bezerro esteja entre 48 e 55kg P48 X 55 PX 55 PX 48 PZ 55 50 5 PZ 48 50 5 PZ 1 PZ 040 08413 03446 04968 22 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL x 50 55 x 50 48 x 50 55 48 Figura 5 Ilustracao do calculo de probabilidades na curva de Gauss 23 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Qual o peso ao nascer mediano desta raca Como a distribuicao e simetrica mediana e igual a media e portanto o peso mediano e 50kg Qual o primeiro quartil do peso ao nascer E o valor x025 tal que a area a esquerda na curva e 025 ou seja 25 dos bezerros tem peso abaixo deste valor Escrevendo isso temos PX x025 025 PZ x025 50 5 025 Precisamos entao encontrar na tabela Z o valor z tal que a probabilidade a esquerda seja 025 Consulte a tabela e encontre que z 067 valor mais proximo Daı temos x025 50 5 067 x025 50 067 5 4665 24 25 A CURVA DE GAUSS OU NORMAL Qual o terceiro quartil do peso ao nascer Isso vocˆe pode responder por simetria x075 50 067 5 5335 Qual o quantil de ordem 005 deixa 5 dos bezerros com peso abaixo Esse valor e x005 vamos encontralo PX x005 005 PZ x005 50 5 005 x005 50 5 1645 x005 501645 5 x005 4178 E o quantil de ordem 95 x095 5822 25 25