Prova - Matemática 2023 1

(2,0) 1) Calcule as derivadas das seguintes funções: a) f(t) = t² cos(3t² + 1) b) g(x) = \( \frac{{x - 2}}{{1 + x²}} \) * sen(\( x² \)) c) h(t) = (t² - 2)³ - \( \frac{1}{{t + \sqrt{t + \sqrt{2}}}} \) d) f(x) = x⁴ + \( \frac{x}{2} \) x² - 7x + π (2,0) 2) A relação entre o comprimento L (em metros) e o peso W (em quilogramas) de uma espécie de peixe no Oceano Pacífico é dada por W = 10L³. A taxa de crescimento do comprimento é dada por \( \frac{{dL}}{{dt}} = 0,5 - 0,1t \), onde t é medido em anos. a) Determine a fórmula para a taxa de crescimento do peso \( \frac{{dW}}{{dt}} \). b) Se um peixe pesa 30 kg, qual é sua taxa de crescimento de peso. (2,0) 3) Quando se tosse, o raio da traqueia diminui de tamanho afetando a velocidade do ar na traqueia. Sendo r₀ o raio normal da traqueia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traqueia durante a tosse é dada da forma V = ar²(r₀ - r), onde a é uma constante positiva. Calcule a taxa de variação da velocidade quando o raio é r₀/2. (2,5) 4) A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação x = \( \frac{{t³}}{3} \) + 3t² - 5t, em que x vem expresso em metros e t em segundos. a) Calcule a posição da partícula em 2 segundos? b) Determine a velocidade média em [1,2]? c) Qual a velocidade da partícula em 1 segundo? d) Determinar a aceleração no instante t. e) Faça o gráfico da velocidade e da aceleração em função do tempo. (1,5 5) Encontrar a equação da reta tangente à curva f(x) = \( \sqrt{x} \), que seja paralela a reta 8x - 4y +1 = 0 Faça o gráfico da reta tangente e da reta 8x - 4y + 1 = 0 em um único gráfico. (Obs: duas retas são paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais). Instituto de Química