Algebra Pura

UFFS Matemática Álgebra Trabalho 1 Peso 20 Data de entrega até 24042025 Nome Atenção O trabalho deverá ser entregue individualmente 1ª Questão Sejam G e H grupos quaisquer Mostre que G H tem estrutura de grupo em relação à operação multiplicativa definida por x y x y x x yy quaisquer que sejam x y e x y que estão em G H 2ª Questão Mostre que se G é um grupo multiplicativo e xx 1 para todo x G então G é abeliano 1 é o elemento neutro de G 3ª Questão Verifique em cada caso se o subconjunto dado é subgrupo Justifique sua resposta 1 H₁ 6m m Z de Z 2 H₂ 0 2 4 de Z₈ 4ª Questão Mostre que a aplicação f Z Z Z Z dada por fx y y x é isomorfismo de grupos onde Z Z é grupo aditivo BOM TRABALHO 1 Fechamento Dado que x y x y G H temos que x x G e y y H Como G e H são grupos x x G e yy H Portanto x x yy G H Assim a operação é fechada em G H 2 Associatividade Sejam x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ G H Então x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ x₁ x₂ y₁y₂ x₃ y₃ x₁ x₂ x₃ y₁y₂y₃ x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ x₁ y₁ x₂ x₃ y₂y₃ x₁ x₂ x₃ y₁y₂y₃ Como G e H são associativos x₁ x₂ x₃ x₁ x₂ x₃ e y₁y₂y₃ y₁y₂y₃ Portanto x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ 3 Elemento Neutro Sejam eG e eH os elementos neutros de G e H respectivamente Então o elemento neutro em G H é eG eH Para qualquer x y G H temos x y eG eH x eG yeH x y eG eH x y eG x eHy x y Portanto eG eH é o elemento neutro em G H 4 Inversos Para cada x y G H existem inversos x¹ G e y¹ H tais que x x¹ eG e yy¹ eH O inverso de x y em G H é x¹ y¹ x y x¹ y¹ x x¹ yy¹ eG eH x¹ y¹ x y x¹ x y¹y eG eH Portanto cada elemento em G H tem um inverso 1 Para H₁ 6m m ℤ de ℤ Para verificar se H₁ é um subgrupo de ℤ precisamos verificar as seguintes condições Fechamento Se a b H₁ então a b H₁ Elemento neutro O elemento neutro de ℤ é 0 e precisamos verificar se 0 H₁ Inverso Se a H₁ então a H₁ Verificação Fechamento Sejam a b H₁ Então a 6m e b 6n para alguns inteiros m n ℤ Assim a b 6m 6n 6m n Como m n ℤ então a b H₁ Portanto H₁ é fechado sob a adição Elemento neutro O elemento neutro de ℤ é 0 Podemos escrever 0 6 0 onde 0 ℤ Portanto 0 H₁ Inverso Seja a H₁ Então a 6m para algum inteiro m ℤ O inverso de a é a 6m 6m Como m ℤ então a H₁ Portanto todo elemento em H₁ tem um inverso em H₁ Como H₁ satisfaz as três condições H₁ é um subgrupo de ℤ 2 Para H2 0bar 2bar 4bar 6bar de Z8 Para verificar se H2 é um subgrupo de Z8 precisamos verificar as seguintes condições Fechamento Se a b H2 então a b mod 8 H2 Elemento neutro O elemento neutro de Z8 é 0bar e 0bar H2 Inverso Se a H2 então a mod 8 H2 Verificação Fechamento Vamos verificar todas as possíveis somas de elementos em H2 0bar 0bar 0bar 0bar 2bar 2bar 0bar 4bar 4bar 0bar 6bar 6bar 2bar 2bar 4bar 2bar 4bar 6bar 2bar 6bar 8bar 0bar mod 8 4bar 4bar 8bar 0bar mod 8 4bar 6bar 10bar 2bar mod 8 6bar 6bar 12bar 4bar mod 8 Todas as somas resultam em elementos que estão em H2 então H2 é fechado sob a adição Elemento neutro O elemento neutro de Z8 é 0bar e 0bar H2 Inverso O inverso de 0bar é 0bar e 0bar H2 O inverso de 2bar é 6bar e 6bar H2 O inverso de 4bar é 4bar e 4bar H2 O inverso de 6bar é 2bar e 2bar H2 Como H2 satisfaz as três condições H2 é um subgrupo de Z8 4 Para mostrar que a aplicação f Z Z Z Z dada por fxy yx é um isomorfismo de grupos onde Z Z é um grupo aditivo precisamos demonstrar que f é um homomorfismo e que f é bijetora isto é injetora e sobrejetora 1 Homomorfismo Para mostrar que f é um homomorfismo devemos verificar se para todos x1y1x2y2 Z Z 3 Sobrejetividade Para mostrar que f é sobrejetora devemos verificar se para todo a b ℤ ℤ existe um x y ℤ ℤ tal que fx y a b Dado a b ℤ ℤ podemos escolher x y b a Então fx y fb a a b Portanto f é sobrejetora Como f é um homomorfismo e é bijetora injetora e sobrejetora f é um isomorfismo de grupos Temos fx₁ y₁ x₂ y₂ fx₁ x₂ y₁ y₂ y₁ y₂ x₁ x₂ E também fx₁ y₁ fx₂ y₂ y₁ x₁ y₂ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ Como fx₁ y₁ x₂ y₂ fx₁ y₁ fx₂ y₂ f é um homomorfismo 2 Injetividade Para mostrar que f é injetora devemos verificar se fx₁ y₁ fx₂ y₂ implica que x₁ y₁ x₂ y₂ Se fx₁ y₁ fx₂ y₂ então y₁ x₁ y₂ x₂ Isso significa que y₁ y₂ e x₁ x₂ Portanto x₁ y₁ x₂ y₂ e f é injetora