Trabalho de Algebra

1 UFFS Matemática Álgebra Trabalho 1 Peso 20 Data de entrega até 03062025 Nome Atenção O trabalho deverá ser entregue individualmente 1ª Questão Determine todas as classes laterais de 4Z no grupo aditivo Z 2ª Questão Construa a tábua dos seguintes grupos quocientes 1 Z8H onde H 0 4 2 Z3Z 3ª Questão Seja f G J um homomorfismo sobrejetor de grupos Se H é um subgrupo normal de G mostre que fH é subgrupo normal de J BOM TRABALHO 1 4ℤ 8 4 0 4 8 1 4ℤ 7 3 1 5 9 2 4ℤ 6 2 2 6 10 3 4ℤ 5 1 3 7 11 2 1 ℤ8H onde H 0 4 1 0 H 0 0 0 4 0 4 H 2 1 H 1 0 1 4 1 5 3 2 H 2 0 2 4 2 6 4 3 H 3 0 3 4 3 7 Portanto ℤ8H 0 4 1 5 2 6 3 7 usar a notação simplificada 0H 0 4 1H 1 5 2H 2 6 3H 3 7 A operação no grupo quociente é a adição de classes laterais a H b H a b H Tabela de ℤ8H 0H 1H 2H 3H 0H 0H 1H 2H 3H 1H 1H 2H 3H 0H 2H 2H 3H 0H 1H 3H 3H 0H 1H 2H 2 ℤ3ℤ 1 0 3ℤ 6 3 0 3 6 3ℤ 2 1 3ℤ 5 2 1 4 7 3 2 3ℤ 4 1 2 5 8 Portanto ℤ3ℤ 3ℤ 1 3ℤ 2 3ℤ usar a notação simplificada 03ℤ 3ℤ 13ℤ 1 3ℤ 23ℤ 2 3ℤ A operação no grupo quociente é a adição de classes laterais a 3ℤ b 3ℤ a b 3ℤ Tabela de ℤ3ℤ 03ℤ 13ℤ 23ℤ 03ℤ 03ℤ 13ℤ 23ℤ 13ℤ 13ℤ 23ℤ 03ℤ 23ℤ 23ℤ 03ℤ 13ℤ 3 1 Mostrar que fH é um subgrupo de J Como H é um subgrupo de G sabemos que H é não vazio e fechado sob a operação de grupo e inversos Como f é um homomorfismo fH também será não vazio e fechado sob a operação de grupo e inversos em J Portanto fH é um subgrupo de J 2 Mostrar que fH é normal em J Precisamos mostrar que para todo j J j fH j¹ fH Como f é sobrejetora para todo j J existe um g G tal que fg j Então j fH j¹ fg fH fg¹ fg H g¹ Como H é normal em G g H g¹ H Portanto fg H g¹ fH Assim j fH j¹ fH o que mostra que fH é normal em J