Analise de Polos e Zeros: Resposta de Sistemas no Domínio do Tempo

ADL17 41 Pólos Zeros e Resposta do Sistema A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas a resposta forçada e a resposta natural Embora diversas técnicas como a solução de equações diferenciais ou a aplicação da transformada de Laplace permitam calcular essa resposta tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempoO uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no domínio do tempo simplifica e torna mais rápida a análise Pólos de uma Função de Transferência 1 valores da variável s da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se tome infinita 2 quaisquer raízes do denominador da função de transferência que sejam comuns às raízes do numerador Zeros de uma Função de Transferência 1 os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se torne igual a zero 2 quaisquer raízes do numerador da função de transferência que sejam comuns às raízes do denominador 3 Pólos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem Um Exemplo Dada a função de transferência Gs da figura há um pólo em s 5 e um zero em 2 Estes valores são plotados no plano complexo s Vejamos a resposta do sistema a um degrau unitário Multiplicando a função de transferência da figura pela transformada de um degrau resulta onde Assim Podemos concluir que 1 Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada isto é o pólo na origem gerou a função degrau na saída 2 Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural isto é o pólo em 5 gerou e5t 3 Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma eαt onde α é a localização do pólo sobre o eixo real Assim quanto mais à esquerda fique situado o pólo sobre o semieixo real negativo tanto mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para zero 4 Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas natural e forçada isto pode ser visto a partir dos cálculos de A e B na Eq 41 Exemplo 41 Cálculo da resposta usando pólos Problema escrever a saída ct em termos genéricos Solução Por inspeção cada pólo do sistema gera uma exponencial como parte da resposta natural O pólo da entrada gera a resposta forçada Por conseguinte Aplicando a transformada de Laplace inversa obtemos 43 Sistemas de Primeira Ordem Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência mostrada na figura abaixo Se a entrada for um degrau unitário onde Rs ls a transformada de Laplace da resposta ao degrau será Cs onde 45 Aplicando a transformada de Laplace inversa a resposta ao degrau é dada por 46 onde o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada cft 1 e o pólo do sistema em a gerou a resposta natural cnt eat A Eq 46 está plotada na Fig 45 43a 43b 44 Constante de Tempo Chamamos 1a de constante de tempo da resposta Com base na Eq 47 podemos descrever a constante de tempo como o tempo necessário para que a resposta ct se reduza a 37 do seu valor inicial Alternativamente com base na Eq 48 a constante de tempo é o tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 63 do seu valor final ver Fig 45 abaixo Examinemos a importância do parâmetro a o único parâmetro necessário para descrever a resposta transitória Quando t 1a 47 48 O inverso da constante de tempo é homogêneo a lsegundos ou seja a freqüência Assim podemos chamar o parâmetro a de freqüência exponencial Como a derivada de eat é a para t 0 a é a taxa inicial de variação da exponencial em t 0 A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama de pólos ver figura da pág AnteriorQuanto mais longe do eixo imaginário o pólo se situa tanto mais rápida será a resposta transitória Tempo de SubidaTr O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 01 a 09 do seu valor final O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq 46 Portanto 49 Tempo de Assentamento acomodação Ts Ta O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de 2 em torno do valor final e aí permaneça Fazendo ct 098 na Eq 46 e resolvendo cm função de t Funções de Transferência de Primeira Ordem Obtidas Experimentalmente Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de um sistema Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente Com uma entrada em degrau podemos medir a constante de tempo e o valor de estado estacionário a partir de cujos valores podemos calcular a função de transferência Considere um sistema de primeira ordem simples Gs Ks a cuja resposta ao degrau é Se pudermos identificar os valores de K e de a de ensaios em laboratório poderemos obter a função transferência do sistema Por exemplo suponha que a resposta ao degrau unitário seja dada na Fig 46 Curva com ausência de ultrapassagem e inclinação inicial nãonula Valor final é cerca de 072 Constante de tempo é calculada onde a curva chega ao valor 063 X 072 045 ou seja cerca de 013 s Em conseqüência a 1013 77 Com base na Eq 411 a resposta forçada alcança o valor estacionário Ka 072 Substituindo o valor de a obtemos K 554 Assim a função de transferência do sistema é Gs 554s 77 411 410