Controle Linear I - Sistemas Contínuos no Tempo - Revisão e Conceitos

CONTROLE LINEAR I Parte A Sistemas Contínuos no Tempo PROF DR EDVALDO ASSUNÇÃO PROF DR MARCELO C M TEIXEIRA 2013 1 AGRADECIMENTOS Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel que em uma tarde de verão decidiu digitar toda apostila de forma voluntária e com o prazer de proporcionar uma leitura agradável aos demais alunos Muito obrigado Pierre 2 Índice 1 Introdução 5 2 Classificação e linearização de Sistemas 10 21 Sistemas Lineares 10 22 Linearização 17 23 Linearização Envolvendo Equações Diferenciais 24 24 Linearização Exata por Realimentação 26 3Transformada de Laplace revisão 28 31 Definição 28 Tabela de Transformadas de Laplace 30 32 Propriedades das Transformadas de Laplace 31 33 Transformada Inversa 36 34 Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo 44 4 Função de Transferência 48 41 Definição 48 42 Função de Transferência de Circuitos com AO 56 421 Função de Transferência do AO Integrador 57 43 Simulação com o MATLAB 59 44 Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico 63 45 Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua CC 64 5 Diagrama de Blocos 66 51 O Detector de Erros 66 52 Função de Transferência de Malha Fechada 66 53 Manipulação no Diagrama de Blocos 67 54 Algumas Regras Úteis 69 Tabela das Principais Regras para Redução de Diagrama de Blocos 71 55 Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB 77 3 6 Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal 79 7 Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 85 71 O Conceito de Estabilidade 85 72 O Critério de Estabilidade de RouthHurwitz 95 73 Estabilidade Relativa 103 74 Exemplos Completos de Projeto 105 8 Resposta Transitória de Sistemas de 1a e 2a ordem 113 81 Introdução 113 82 Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem devido a entrada degrau 113 821 Exemplo 113 822 Caso Genérico 115 83 Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem devido a uma entrada degrau 117 831 Exemplo 117 832 Caso Genérico 119 Variação de PO em função de 124 833 Resposta Transitória X Localização dos Polos no Plano s 126 834 Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior 131 84 Resposta Transitório Usando o MATLAB 134 85 Índices de Desempenho ITA ISE IAE 136 9 Erros de Regime regime permanente 139 91 Introdução 139 92 Exemplos de Erro de Regime 139 93 Erros de Regime 141 Tabela de Erros de Regime 146 10 Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros 150 101 Introdução 150 102 Generalização 152 4 11 Sinais de Perturbação ou ruído em Sistemas de Controle 155 12Método do Lugar das Raízes RootLocus 162 APÊNDICE A Laboratório 1 Curso e Lista de Exercícios do MATLAB 206 APÊNDICE B Laboratório 2 Introdução à Robótica 222 APÊNDICE C Laboratório 3 Controle de Motor CC 226 APÊNDICE D Laboratório 4 Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime Permanente 230 APÊNDICE E Bibliografia Básica e Critério de Avaliação 238 APÊNDICE F Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C M Teixeira e Edvaldo Assunção 239 5 1Introdução A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças da natureza para o benefício da humanidade Dizem respeito aos engenheiros de sistemas de controle o conhecimento e controle de segmentos à sua volta chamados de sistemas com a finalidade de dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos Os objetivos duplos de conhecimento e controle são complementares uma vez que o controle efetivo de sistemas requer que os sistemas sejam compreendidos e modelados Além disso a engenharia de controle deve considerar muitas vezes o controle de sistemas mal conhecidos como sistemas de processos químicos O presente desafio ao engenheiro de controle é a modelagem e o controle de sistemas modernos complexos e interligados como sistemas de controle de tráfego processos químicos sistemas robóticos e automação industrial e controlalos em benefício da sociedade Um sistema de controle é uma interconexão de componentes formando uma configuração de sistemas que produzirá uma resposta desejada do sistema A base para análise de um sistema é formada pelos fundamentos fornecidos pela teoria dos sistemas lineares que supõe uma relação de causa e efeito para os componentes de um sistema Apresentamos a seguir uma definição de sistema Sistema é qualquer coisa que interage com o meio ambiente recebendo deste informações ou ações chamadas entradas ou excitações e reagindo sobre ele dando uma resposta ou saída Isto está sintetizado na figura abaixo ut yt t t Geralmente ut e yt são relacionados matematicamente através de uma equação diferencial Exemplos de sistemas i um avião cuja entrada é o combustível e a saída é seu 6 deslocamento iiuma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a temperatura da água iii um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é a velocidade do automóvel iv o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol e a saída é a posição angular das placas conversoras de energia solar O modelo matemático de um sistema é muito importante fundamental para o projeto de controle automático O modelo de um sistema é a relação entre a entrada ut e a saída yt do sistema O modelo pode ser obtido usandose leis físicas por exemplo leis de Newton leis de Kirchoff etc Ou então usandose metodologias experimentais com por exemplo respostas transitórias respostas em frequência etc Controle de um sistema significa como agir sobre um sistema de modo a obter um resultado arbitrariamente especificado Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da realimentação Através de exemplos iremos introduzir o conceito de realimentação 1o Exemplo Considere o seguinte problema no qual o homem deseja aquecer o interior de um prédio tendo em vista que a temperatura externa é 0ºC Para isto ele dispõe de um aquecedor e um termômetro para leitura da temperatura interna da sala O objetivo de controle é manter a temperatura da sala em Ts22ºC mesmo na ocorrência de alguns eventos abrir a porta desligar o fogão etc E que ele possa dormir AR FRIO TEMPERATURA AMBIENTE AQUECEDOR SALA CHAVE TERMÔMETRO 110V AR QUENTE T TEMPERATURA DA SALA T 0 C A S 1a estratégia o homem fecha a chave e então vai dormir O sistema de controle pode ser esquematizado no seguinte diagrama 7 Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outros sistemas HOMEMCHAVEAQUECEDOR Esta configuração é chamada de sistema de malha aberta O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedor estiver superdimensionado e Ts22ºC Essa estratégia falhou Neste caso 2a estratégia o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática Se Ts22ºC ele liga a chave Se Ts22ºC ele desliga a chave Neste caso teremos Neste caso o homem não terá altas temperaturas esta estratégia é melhor que a 1º porém o homem não dormirá O diagrama de blocos deste sistema de controle é 8 3a estratégia controle automático usando um bimetal O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilatação térmica diferentes O diagrama de blocos deste sistema de controle é Note que este é um sistema de malha fechada Esta é a melhor tática pois o homem poderá dormir e a temperatura da sala será mantida em Ts22ºC Fator de sucesso a decisão é tomada após a comparação entre o que queremos e o realmente temos ou seja existe realimentação Neste caso foi usado um sistema de malha 9 fechada O esquema genérico de um sistema de malha fechada é 2oExemplo sistema de controle biológico consistindo de um ser humano que tenta apanhar um objeto O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens i Simples construção ii Mais barato que a malha fechada iii Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível E ter as seguintes desvantagens i Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente da desejada ii Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica iii Inviável para sistemas instáveis 10 2Classificação e Linearização de Sistemas As equações diferenciais dos movimentos dos principais processos utilizados em sistemas de controle são não lineares Tanto análise quanto projeto de sistemas de controle são mais simples para sistemas lineares do que para sistemas não lineares Linearização é o processo de encontrar um modelo linear que seja uma boa aproximação do sistema não linear em questão A mais de 100 anos Lyapunov provou que se o modelo linear obtido através de processo de linearização de um modelo não linear é válido em uma região em torno do ponto de operação e se é estável então existe uma região contendo o ponto de operação na qual o sistema não linear é estável Então para projetar um sistema de controle para um sistema não linear podese seguramente obter uma aproximação linear deste modelo em torno do ponto de operação e então projetar um controlador usando a teoria de controle linear e usálo para controlar o sistema não linear que se obterá um sistema estável nas vizinhanças do ponto de equilíbrio ou ponto de operação Técnicas modernas de projeto de controladores Fuzzy usando LMIs para sistemas não lineares permitem que o sistema trabalhe em torno de vários pontos de operação e ainda garantese não apenas a estabilidade do sistema não linear controlado mas também o seu desempenho temporal Antes de apresentar o processo de linearização se faz necessário estudar o princípio da superposição útil na classificação de um sistema verificase se um sistema é ou não sistema linear 21Sistemas Lineares Seja o sistema abaixo com condições iniciais nulas IC0 em um sistema físico isto equivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t0 o sistema estará em repouso Suponha que a entrada ut u1t gera a saída yty1t e que a entrada utu2t gera a saída yty2t ou seja 11 Definição um sistema é dito linear em termos da sua excitação ut entrada e sua resposta saída se o princípio de superposição for respeitado pelo sistema Princípio de Superposição Se a entrada ut u1t gera a saída yty1t se a entrada utu2t gera a saída yty2t e se aplicarmos no sistema uma combinação linear das entradas u1t e u2t ou seja utu1tu2t a saída yt será a mesma combinação linear das saídas y1t e y2t ou seja yty1ty2t e Desta forma para verificar se um sistema é linear aplicase o Princípio da Superposição Exemplo 1 Verifique se o sistema ytaut é linear ou não Uma interpretação gráfica deste sistema é Sol Para verificar se o sistema é linear utilizaremos o princípio da superposição supondo a existência de duas entradas distintas ut u1t e utu2t e em seguida aplicando a 12 seguinte combinação linear ut u1tu2t no sistema ytaut Para u1t temse y1ta u1t 1 Para u2t temse y2ta u2t 2 Para ut u1tu2t temse ytau1tu2t Ainda yt au1tau2t 3 Substituindo 1 e 2 em 3 temse yt y1t y2t Portanto o princípio da superposição foi respeitado logo o sistema em questão é linear Exemplo 2 verifique se o sistema dado por yt a utb é linear ou não Graficamente Sol a0 e b0 13 u1t y1t a u1tb então a b y t u t 1 1 1 u2t y2t a u2tb então a b y t u t 2 2 2 se u t u1tu2t ytau1tu2tb 3 Substituindo 1 e 2 em 3 temse b a b t y a b y t a y t 2 1 ainda yt y1t y2tb1 4 4 será igual a yt y1t y2t se e somente se b0 ou 10 1 Mas no enunciado foi suposto que b0 A expressão 1 restringe os valores de e e para que seja linear é necessário que yt y1t y2t e portanto não é linear Resumo dos exemplos 1 e 2 concluise que Exemplo 3 Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear Obs O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza um amplificador operacional AO é dado abaixo a saída é igual à integral da entrada 14 Sol u t u1t u t dt y ft 0 1 1 1 ut u2t u t dt y ft 0 2 2 2 ut u1tu2t u t dt u t y t 2 1 ou ainda devido as propriedades lineares da integral f f t t u t dt u t dt t y 0 2 0 1 Substituindo 1 e 2 em 3 temse yt y1t y2t logo o sistema é linear Exercícios 1 O sistema yt u2t é linear 2 O sistema dt u t d y t que é um derivador é linear 3 O sistema cos u t y t é linear 4 O sistema 1 u t y t ut0 é linear 5 O sistema u t y t é linear 6 O sistema dt du t u t dt t y ft 2 5 0 é linear 7 O sistema u t y t é linear 8 O sistema 1 u2 t y t é linear 9 O sistema que é um controlador industrial conhecido como controlador PID é o seguinte 15 ft u t dt dt du t u t t y 0 3 10 22 Ele é linear Exemplo 4 Os sistemas dinâmicos de interesse neste curso podem ser expressos por equações diferenciais da forma 1 0 0 n i j m j j i i b t u t t y t a Demonstrar para integrador 1 y t RC u t sendo que yit denota a iéssima derivada de yt ujt denota a jéssima derivada de ut Demonstre que este sistema é linear Sol Suponha que para a entrada ut u1t a solução de 1 proporciona yty1t e que para ut u2t yt y2t assim temse u1t n i m j j j i i t b t u t y t a 0 0 1 1 u2t n i m j j j i i t b t u t y t a 0 0 2 2 Para ut u1tu2t como e são constantes então ujt u1 jtu2 jt então 2 0 0 1 t u t u b t t y t a j n i m j j j i i ou ainda 2 0 0 0 1 t b t u t b t u t y t a j m j j n i m j j j i i n i i i t y t a 0 2 n i i i t y t a 0 1 16 logo 2 0 0 0 1 t a t y t a t y t y t a j m j i n i m j j i i i ou 2 0 0 1 t y t y a t t y t a j n i m j j i i i de onde concluise que yit y1 it y2 it logo o sistema é linear Obs Se ait e bjt em 1 são constantes para i1 2 n e j1 2 m então o sistema é dito linear e invariante no tempo SLIT Se ait e bjt em 1 variam com o tempo i1 2 m então o sistema é dito linear variante no tempo SLVT Exemplos 1 SLIT considere a esfera de um levitador magnético cuja ação da força da gravidade tenha sido quase compensada pela força magnética oriunda de uma bobina principal Neste caso tem se Sendo F a força resultante força magnética menos força da gravidade Adotando utFt de 1 temse n i l j j j i i t b t u t y t a 0 0 para n2 e l0 temos Portanto este é um SLIT 1 m u t y t 17 2 SLVT considere o exemplo do foguete lançador de nave espacial O combustível é consumido durante o percurso e portanto a massa total do sistema varia ao longo do tempo Seja urt a força resultante ou seja 3 t f t f f t t u a g r Substituindo 2 e 3 em 1 temos dt v t d m t dt m t v t d dt m t v t d ur t ou ainda Exercício Descreva 5 sistema que sejam SLIT e 5 que sejam SLVT Não se esqueça de mostrar qual é a entrada do sistema e qual é a saída Exercício Suponha que o sistema de deslocamento de um trem de metrô seja linear Sabendose que o trem se move utilizando energia elétrica entre uma estação e a próxima ele é SLIT ou SLVT E entre as duas estações extremas da linha 22Linearização Na engenharia de controle uma operação normal do sistema pode ser em torno do 18 ponto de equilíbrio e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio Entretanto se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos então é possível aproximar o sistema não linear por um sistema linear Este sistema linear é equivalente ao sistema não linear considerado dentro de um conjunto limitado de operações O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retenção somente do termo linear A linearização de um sistema não linear supõe que o sistema operará próximo de um ponto de operação PO também chamado de ponto de equilíbrio Considere que o sistema opera próximo ao ponto de operação PO Expandindo yfx em uma série de Taylor em torno deste ponto teremos 1 2 2 2 2 o O P o O P P O x x x f x x x x f x f x f x y sendo POxoyo que é o ponto de operação do sistema A suposição de que o sistema não linear irá operar em torno do PO implica que x ficará próximo de xo logo xxo será pequeno e quando elevado a 2 3 será menor ainda portanto 2 0 3 0 2 3 2 o o x x x x Substituindo 2 em 1 temse 19 o O P P O x x x f x f x y ou Interpretação geométrica Se tivermos uma função de várias variáveis 20 10 2 1 o no n y x x x e PO x f x x y t a expansão em série de Taylor desprezandose potências maiores que 1 é dada por ou ainda mn xn x m x m y 2 2 1 1 que é um sistema linear vide exemplo 1 que é um sistema linear 20 Obs Se o cálculo de yo m1 m2 mn não for possível de ser realizado devido à ocorrência de divisão por zero dizse que o sistema não é linearizável em torno do PO em questão Exemplo Linearize a função que corresponde ao momento torque que a massa m faz com relação ao ponto P do pêndulo simples abaixo Linearizar em torno do ponto de operação 0 então gmglsen Neste caso o ponto de operação é 0 Expandindo na série de Taylor temos 1 0 0 0 g g g mas 2 0 0 0 mglsen g e Note que g é não linear pois 1 sen1 2 sen2 se 12 sen12 sen1sen2 é não linear O momento é IFr sendo rlsen e Fmg Logo Imglsen 21 3 cos0 cos 0 mgl mgl g e mgl g logo substituindo 2 e 3 em 1 temse gmgl que é um modelo linear A figura a seguir mostra que para 4 4 o sistema linearizado é uma boa aproximação do sistema não linear Este gráfico for feito com a utilização do MATLAB PROGRAMA EM MATLAB tetapi003pi101 teta209601098 gtetasinteta linearteta2 axes plottetagtetakteta2lineark 4 40 0k0 01 1k pi4 pi4063 1pi4 pi4088 1 grid 22 Exercício Repita o exemplo anterior para que g01cos e 2 o Use o MATLAB para desenhar os gráficos da função não linear e a linearizada Exemplo Linearize a função Piri2 em torno do PO io1A 23 R100 P i Faça o gráfico interpretação geométrica Sol 1 1 o i i i i i P P P o o mas 1 2 1 2 r i P e i ri i P oi logo Pr2ri1 ou Pr2ri1 ou P2ri mas r100 P200i Interpretação geométrica Exercício Uma área tecnológica de grande importância atualmente são as pesquisas para o desenvolvimento de micro e macro sistemas A teoria de controle é fundamental para o seu avanço tecnológico Considere o micro levitador dado na figura abaixo O atuador é construído de PZT com um imã permanente na ponta A bola é de material ferromagnético e tem r r P oi 2 1 1 24 distância de 2mm Na figura a força de atração é dada por 2 x k f x sendo k498x108Nm2 Linearize o sistema no ponto de operação xo1mm considere como saída de interesse yxfx É possível linearizar este sistema em torno do ponto xo0mm Exercício Linearize as funções abaixo em torno PO xo1 ayx5x2 b 1 3 x y x cyx2x3 23Linearização Envolvendo Equações Diferenciais No método de linearização mostrado as funções não envolvem funções diferenciais neste caso é necessário calcular o ponto de operação do sistema que é um ponto de equilíbrio PE que é obtido supondo que o sistema esteja em equilíbrio e portanto não está variando ao longo do tempo ou seja todas as derivadas são nulas Depois expandese o sistema em função das variáveis e suas derivadas PE E P PE E P P E x x x g x x x g g g x x 25 Exemplo supondo o seguinte sistema nãolinear sendo 2 x2 t x t y que é nãolinear Linearize em torno do ponto de equilíbrio PE Sol É necessário primeiramente determinar o PE para isso supõese todas derivadas nulas 0 y t temse 02xEtxE 2t 0 e Y t 0 t X ou 0 2 e Y t t X E E E E Neste caso 0 2 2 t x x t y t g x y O modelo linear é PE E P PE E P P E x x x g y y y g g g x y ou seja adotandose PE XE2 teremos 0 2 2 pois g x y x y x y g x y 26 I mgl TC sen sendo I momento de inércia em torno do eixo neste caso Iml2 OBS No ponto de equilíbrio o sistema permanece nele se colocado nele derivadas nulas e todas as variáveis são constantes 24Linearização Exata por Realimentação Linearização por realimentação é obtida subtraindose os termos não lineares das equações do sistema e adicionandoo ao controle Exemplo Considere o pêndulo que possui o torque de entrada Tc controle agindo no eixo de rotação Suponha que o ângulo possa ser medido projete Tc tal que o sistema tenha linearização exata Sol A equação diferencial é ml2 mglsenTc 1 Se escolher o torque Tc como Tcmglsenu 2 e substituindo 2 em 1temse ml2 u 3 que é um sistema linear O esquema é 27 A equação 3 é linear não importando quão grande o ângulo o seja A realimentação proporciona um torque Tc baseado na medida de tal que o sistema realimentado seja linear Exercício Linearize o seguinte sistema na forma exata 28 3Transformada de Laplace revisão A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao projetista de sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace O método da transformada de Laplace substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela solução mais fácil de equações algébricas Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente interconectados o uso da Transformada de Laplace permite a manipulação de equações algébricas ao invés de equações diferenciais Então os sistemas dinâmicos são modelados por equações diferenciais primeiramente aplicase a Transformada de Laplace depois projetase o controlador no domínio s e finalmente implantase o controlador e analisase o resultado obtido no domínio do tempo OBS Nesse curso a maioria das transformadas L e L1 serão utilizadas diretamente das tabelas 31Definição a transformada de Laplace da Função ft é dada por L 0 F s dt e f t t f st sendo que o s é uma variável complexa que não depende de t sjw Exemplo Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau Iremos calcular sua Transformada de Laplace Um exemplo da função degrau é o fechamento da chave S no circuito abaixo 29 OBS É suposto que os capacitores estão descarregados e os indutores tem corrente nula no instante inicial t0s A tensão vt é do tipo degrau de amplitude A pois vt 0 t A t 0 0 sendo que a chave é fechada no instante t0 graficamente Aplicandose a Transformada de Laplace vt temse VsLvt 2 0 dt e v t st Substituindose 1 em 2 temse 0 0 0 lim s st t st st e e s A s A e dt A e V s s A V s A tabela a seguir mostra na linha 2 a transformada de Laplace de degrau unitário A1L1t1s 1 30 Pares de Transformadas de Laplace f t F s 1 Impulso unitário t 1 2 Degrau unitário l t 1 s 3 t 2 1 s 4 1 123 1 nt n n 1 ns 5 123 nt n 1 n n s 6 at e 1 s a 7 at te 2 1 s a 8 1 1 123 1 n at t e n n 1 n s a 9 123 n t e at n 1 n n s a 10 sen t 2 2 s 11 cos t 2 2 s s 12 senh t 2 2 s 13 cosh t 2 2 s s 14 1 1 e at a 1 s s a 15 1 at bt e e b a 1 s a s b 16 1 bt at be ae b a s s a s b 17 1 1 1 at bt be ae ab a b 1 s s a s b 31 18 2 1 1 at at e ate a 2 1 s s a 19 2 1 1 at at e a 2 1 s s a 20 e atsen t 2 2 s a 21 e at cos t 2 2 s a s a 22 2 2 sen 1 1 nt n n e t 2 2 2 2 n n n s s 23 t en t e n n n n nt 2 2 2 1 1 1 cos 1 s 2 2 2 1 2 n n n s s s As regras 22 e 23 são válidas para 0 1 Esta tabela reúne as principais transformadas utilizadas neste curso Note que genericamente Fs é a razão entre dois polinômios 1 1 1 1 a a s s b b s s s d n s F s n n n m m m 32 Propriedades das Transformadas de Laplace Suponha que LftFs 1 Lf1tf2tF1sF2s Linearidade Prova Lf1tf2t dt t e f t f st 2 0 1 2 1 0 2 0 1 F s F s dt e t f dt t e f st st 2 L 0 f sF s dt f t d Prova L 0 0 df t e dt dt f t e d dt f t d st st 32 Integrando por partes temos f t u df t du dt se dv e v st st logo 0 0 0 dt se f t f t e df t e st st st 0 0 dt e f t s e f t t e f st st st 0 sF s f 3 L 0 2 2 2 0 t dt f t d sf s F s f t dt d Prova L 2 2 f t dt d L dt f t d dt d s PROP 2 L 0 t dt f t d dt f t d 0 2 0 2 0 0 t t PROP dt f t d sf s F s dt f t d f s sF s 4 L 0 1 1 1 t n k k k n k n n n f t dt d s s F s f t dt d Obs foi visto na tabela das transformadas de Laplace que genericamente Fs é composto pela divisão de dois polinômios em s ou seja s d n s F s Exemplo 2 1 2 1 s s d s s n s s F s As raízes do numerador são chamadas de zeros e as raízes do denominador são chamadas de polos Lembrete b a b a b a udv u v vdu 33 Neste exemplo temos 2 1 1 1 P z 5 Teorema do valor final t TVF Se os polos de sFs possuem parte real negativa ou seja Repi0então lim lim 0 s F s t f s t Obs mais adiante neste curso veremos que um sistema que tem todos os polos com parte real negativa é dito estável Exemplo Sabendo que LftFs 1 1 s s determine o valor de f t t também chamado de valor de regime permanente Sol Neste caso 1 1 1 1 s s s s sF s que possui apenas um póloP11 Como P10 podese aplicar o TVF 1 1 lim 1 lim lim 0 0 s s F s t f s s t 1 f Para simples verificação segundo a tabela na pg 30 linha 14 temse f t L1 e t s s 1 1 1 logo 1 1 t t t e f t que é o mesmo resultado obtido aplicandose o TVF Obs o TVF permite obter o valor de regime de um sistema tendose apenas a sua transformada de Laplace Fs sem a necessidade do conhecimento da função temporal ft Ou seja o TVF é útil para determinar o valor de regime de ft conhecendose apenas Fs Exemplo ftsent 34 0 5 10 15 20 25 30 35 40 15 1 05 0 05 1 15 ft t Note que t ft não tem um único valor Segundo a tabela Lft 1 1 s2 linha 10 Para sFs 1 1 s s2 os polos são P12j Logo ReP1 P20 e não podese aplicar o TVF Se erroneamente aplicarmos o TVF teremos 0 1 lim lim lim 2 0 0 s s s F s t f s s t porém a senóide não tende a zero quando t O erro foi aplicar o TVF sendo que os polos não são negativos parte real Exemplo Determinar a transformada de Laplace da função impulso t Uma ideia de entrada impulsiva é o choque do taco de baseball com a bola o choque tem uma grande intensidade e curtíssima duração A função t é dada por 0 0 0 t p p t t e 1 t dt Graficamente 35 A função impulso é o caso limite da função pulso de área unitária Neste caso a área é A 1 1 a a e lim 0 t t a Sol Lt 0 0 0 0 0 0 0 dt t e dt dt t e dt t e st st st para 0 t0 temse que est neste intervalo é 1 logo Lt 1 0 0 t dt Vide linha 1 da tabela p30 Exercício Calcule a transformada de Laplace de um sinal ut de controle típico de um sistema automático digital ou seja controle por computador Exercício Seja 2 1 1 s s s F s qual é o valor de f t t Exercício Seja 4 4 1 2 2 s s s F s é possível aplicar o teorema do valor final 36 33Transformada Inversa A ideia é encontrar utilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a tabela para encontrar ft Seja s Q P s F s sendo que Ps e Qs são polinômios e grau QsgrauPs Polinômio Qs é da forma n n n a a s s Q s 1 1 sendo ai i1 2 n que pode ser expresso na forma 1 2 1 n n s s s s s s s s Q s sendo si i1 2 n as raízes de Qs 1ºCaso Se o polinômio do denominador 1 2 1 n n s s s s s s s s Q s possuir somente raízes distintas ou seja sisj ij1 2 n ij então fazemos a expansão n n s s k s s k s s k s Q P s F s 2 2 1 1 sendo kissi F s s is i1 2 n 37 Exemplo 3 2 1 3 5 s s s s F s determine ft Sol Neste caso Ps5s3 e Qss1s2s3 temos 3 2 1 3 2 1 s k s k s k s Q P s F s e kissi F s s is logo 1 2 2 3 2 1 3 5 1 1 1 s s s s s s k 7 3 2 1 3 5 2 2 2 s s s s s s k 6 3 2 1 3 5 3 3 3 s s s s s s k então 3 6 2 7 1 1 s s s F s Finalmente usando a linha 6 da tabela temse L1Fset7e2t6e3t t0 2ºCaso Se o polinômio do denominador 1 2 1 n n s s s s s s s s Q s possuir raízes não distintas ou seja se a raiz si tiver multiplicidade r teremos n n i i r i r i i i s s k s s k s s A s s A s s A s s k s s k s Q N s F s 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 sendo 38 is s r i r F s s s A is s r i r F s s ds s d A 1 is s r i r r F s s s ds d r A 1 1 1 1 1 Exemplo Se 2 1 1 3 s s s F s determine ft Sol a raiz s1 tem multiplicidade r3 logo 3 3 2 2 1 2 1 1 1 1 2 s A s A s A s k s k F s neste caso 2 1 2 1 1 0 3 0 1 s s s s s s sF s k 2 1 2 1 1 2 2 2 3 0 2 s s s s s s F s s k Façamos 2 1 2 1 1 1 1 3 3 3 s s s s s s F s s G s então 1 1 3 G s s A 1 2 s ds G s d A mas 1 2 2 2 2 2 1 1 s s s s s ds s d ds G s d 39 logo 0 2 2 1 2 2 2 s s s s s A 1 2 2 3 3 1 1 s ds G s d A que é obtida derivandose 1 então 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3 s s s s ds d A finalmente 31 1 1 1 2 12 2 1 s s s s F s Segundo as linhas 2 6 e 8 da tabela P26 temse t t t t e e e t t f 2 2 2 1 2 1 1 2 1 t0 função degrau unitário Exercício Dado 2 2 1 1 s s F s calcule ft 3ºCaso Se o polinômio do denominador tem raízes complexas distintas Vamos ilustrar o método através de um exemplo Exemplo Determine a L1 de Fs 1 1 2 s s s Sol Neste caso as raízes do denominador são s1 0 2 3 2 1 32 j s raízes complexas conjugadas Neste caso é mais interessante usar a componente relativo ás raízes complexas na forma polinomial ou seja 1 1 1 1 2 3 2 1 2 s s C s C s C s s s F s 40 Já sabemos calcular C1 1 1 1 0 2 1 s s s s s C Para que 1 seja satisfeita é necessário que 1 1 1 1 2 3 2 2 s s C s C s s s s ou ainda 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 s s s C s C s s s s s s logo 0 1 0 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 e C C C s C então C21 e C31 Assim 1 1 1 1 1 1 2 2 s s s s s s s s F s ou 4 3 2 1 2 1 2 1 1 2 s s s F s Que das linhas 20 e 21 da tabela P 27 temos t sen e t e t t f t t 4 3 3 1 4 3 cos 1 2 2 Importante Se em algum dos casos anteriores com s Q P s F s com grau Qsgrau Ps então faça primeiro a divisão e depois proceda a expansão em frações parciais de s Q R s 41 Exemplo Determine ft se Fs 1 s s Sol Neste caso Pss e Qss1 e logo grau Ps1 e grau Qs1 então é necessário fazer 1 1 1 s F s LFstet Obs se grau QsgrauPs então aparecerá sempre uma componente impulsiva t em ft O gráfico de ft do exemplo anterior é 42 Expansão em Frações parciais usando o MATLAB O exemplo abaixo foi retirado do Ogata 4ºed Considere a seguinte função 6 11 6 6 3 5 2 2 3 2 3 s s s s s s s A s B Para essa função num 2 5 3 6 den 1 6 11 6 O comando rpk residuenumden apresenta o seguinte resultado Essa é a representação em MATLAB da seguinte expansão em parciais de BsAs 6 11 6 6 3 5 2 2 3 2 3 s s s s s s s A B s 2 1 3 2 4 3 6 s s s Para encontrar L1 basta usar a tabela Para sistemas que tenham polos com multiplicidade devese observar a sequência de r e p no MATLAB rpkresiduenumden r 60000 40000 30000 p 30000 20000 10000 k 2 43 num 0 1 2 3 den 1 3 3 1 rpk residuenumden r 10000 00000 20000 p 10000 10000 10000 k 0 numden residuerpk printsysnumdens Expanda a seguinte BsAs em frações parciais com MATLAB 1 3 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 2 s s s s s s s s s A B s Para essa função temos num 0 1 2 3 den 1 3 3 1 O comando rpkresiduenumden apresenta o resultado mostrado adiante É a representação em MATLAB da seguinte expressão em frações parciais de BsAs 3 2 1 2 1 0 1 1 s s s s A B s Note que o termo direito k é zero Para obter a função original BsAs a partir de r p e k insira o seguinte programa no computador 44 Assim o computador apresentará o numden como se segue numden 1 3 3 2 3 3 2 2 s s s s s Exemplo para sistemas com polos complexos Seja 1 1 2 s s s F s polos complexos num1 den1 1 1 0 rpkresiduenumden r 0500002887i 0500002887i p 0500008660i 0500008660i k numdenresiduerpk pritsysnumdens numden s s s s s s s e s e 2 1 3 1 2 1 3 1 016 2 2204 016 2 2204 2 s i s i i s i F s 1 0 8660 50 0 288 50 0 8660 50 0 288 50 s s s s F s 1 1 1 2 34Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo Considere o circuito abaixo resíduos complexos 45 A tensão sobre o capacitor é vct Suponha que o capacitor esteja descarregado inicialmente ou seja 0 0 0 0 c t c ou v t v Suponha que a chave seja fechada em t0 ou seja que é a função degrau e Lvt s A Determine o comportamento da tensão no capacitor vct ao fechar a chave Sol para o capacitor temse qCvct ou dt C dv t i t dt C dv t dt dq c c Segundo as tensões na malha temse vtRitvct ou Assim 46 LvtRCL dt dvc t Lvct então 0 s V v s RC sV s A C c C 1 1 RCs s A s V s V RCs s A C C ou ainda RC s k s k RC s s RC A VC s 1 1 2 1 A s s V k s C 0 1 A s V RC s k RC s C 1 2 1 RC s A s A VC s 1 segundo as linhas 1 e 6 da tabela pg 30 L1 RC t RC t e A Ae A RC s A s A 1 1 Graficamente Exercício Determine a evolução temporal de vct e it no circuito 47 A chave é fechada em t0s e vct0v Exercício Determine a evolução temporal de vct e it no circuito Suponha que não tenha energia armazenada no circuito antes da chave se fechar ou seja vct0 e it0 Aplique o TVF para determinar os valores de regime Exercício Resolva a seguinte equação diferencial 2 3 u t x t x t x t sendo 0 0 0 0 x x x e ut 0 1 0 0 t t R1R21Ω C103F R1Ω C103F L02H 48 4Função de Transferência 41Definição A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariante no tempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída função resposta para a transformada de Laplace da entrada função excitação sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas temse YsGsUs Exemplo Considere o controle do satélite da figura a seguir sendo que a entrada controladora é o torque Tt da turbina A saída que desejase controlar é a posição angular t do satélite Admita que a velocidade de rotação t e a posição angular t são nulas em t0 ou seja 0 0 rads e 00 rad CI nulas Centro de Massa Referência L Ft θt 49 Neste caso o torque é TtLFt Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que não há nenhum atrito no ambiente dos satélites temos Angular Aceleração Inércia de Momento torques ou 1 2 2 dt t J d T t sendo que J é o momento de inércia do satélite Nosso objetivo é encontrar a função de transferência que relaciona a entrada Tt com a saída t Para isso aplicamos a transformada de Laplace em 1 LTtJL 2 2 dt d t Ts 0 0 2 t t t t s s J s 1 2 2 G s s T s Js s T s s Js T s Esquematicamente temse logo Gs 2 1 Js que é a função de transferência do satélite Genericamente a função de transferência é definida como a relação entre a saída e a entrada do sistema ou seja 50 2 1 Js s T s G s esquematicamente Obs Note que a entrada utilizada foi Tt e é qualquer genérico Desta forma Gs não depende da entrada O conceito de função de transferência será muito útil neste curso com ela analisaremos e projetaremos sistemas de controle automático Exercício Determine a função de transferência do circuito sendo vet a entrada e vct a saída Não se esqueça CI nulas Generalização Mostraremos a seguir uma generalização do conceito de função de transferência Considere um sistema linear invariante no tempo SLIT 0 dt y t e s Y st Suponha que ut0 para t0 e que as condições iniciais são nulas y0 0 0 0 1 n y y e 0 0 0 0 m u u u O sistema é descrito pela equação diferencial 1 1 1 1 1 u t b b u t b u t y y t a a y t y t a m m o n n n o Obs Já provamos no capitulo 2 exemplo 4 que este sistema dinâmico é linear Se ai e bi são constantes então é SLIT Aplicando a Transformada de Laplace em 1 temos 51 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 n o n m m o n n n o u u s b s U s u sU s b b U s y y s s Y s y a sY s a Y s Como 0 0 0 0 1 n y y y e ut0 para t0 logo todas as derivadas de ut são nulas para t0 a equação 2 tornase 1 1 b s U s b sU s b U s s Y s a sY s a Y s m m o n o ainda 3 1 1 m m o n o b s b s U s b s a s Y s a Porém a função de transferência é a relação entre a saída e a entrada do sistema para determinála isolamos s U Y s em 3 1 1 G s s a s a b s b s b s U s Y n o m m o função de transferência genérica Esquematicamente temos temse YsGsUs Observe que a FT genérica é uma razão entre dois polinômios genéricos Obs 1 Gs independe do valor da entrada é uma característica do sistema 2 Se utt impulso unitário temos Us1 logo 1 G s s Y G s G s U s s Y Portanto a resposta Ys ao impulso de um sistema é matematicamente igual à função de transferência Gs do sistema 3 A FT relaciona a entrada e a saída do sistema de uma forma geral Como obter a Função de transferência 52 A Experimentalmente a metodologia experimental será abordada no laboratório B Teoricamente devese seguir os seguintes passos 1 Escreva a equação diferencial do sistema utilizando as leis físicas mecânicas circuitos elétricos etc 2 Aplique a transformada de Laplace na equação encontrada considerando todas as CI nulas 3 Isole a saída da entrada fazendo G s s U Y s Exemplo Recentes pesquisas em controle automático estão desenvolvendo o piloto automático para automóveis O diagrama abaixo mostra o sentido das ações das forças força do motor ut e força de atrito fat xt Massa ut f t a xt ut A entrada do sistema é a força ut realizada pelo motor e a saída é a posição xt do carro A saída de interesse pode também ser a velocidade vt t x do carro Suponha que o carro esteja parado em t0 logo x0 0 0 0 x x e que o motor esteja em ponto morto ou seja ut0 para t0 Por simplicidade nós assumiremos que o momento de inércia das rodas são desprezíveis neste caso podemos aplicar m x t m a Fx A força de atrito se à força de opõe à força de impulsão ut logo 53 m x t b x t t u 1 1º Suponha que a saída de interesse é a posição xt do carro e que desejamos obter a função de transferência entre a força do motor e a posição s U X s Aplicando transformada de Laplace em 1 com CI nulas LUsbsXsms2Xs ou ainda 2 2 1 POSs G bs ms s U s X U s bs s ms X Gposs 2º Suponha que a saída de interesse é velocidade vt t x do carro s U V s substituindose vt x t em 1 temse mv t mv t bv t t u pois x t t v L UsbVsmsVs VsmsbUs 1 VELs G b ms s U V s Gvels ms bs 2 1 Us Xs bs ms 1 Us Xs 54 VELs G Função de Transferência que relaciona a velocidade vt do carro com a força ut do motor Exemplo O sistema de suspensão do automóvel está ilustrado a seguir Este é um modelo que 4 1 de automóvel O cilindro do amortecedor contém ar que passa de um lado para o outro quando ocorre um movimento relativo Ele aplica sempre uma força de reação ou seja contrária ao movimento de suas extremidades O amortecedor viscoso proporciona fricção viscosa ou seja ele se opõe a qualquer movimento relativo das duas extremidades dissipando energia na forma de calor 55 Modelo matemático d a F t f t As forças sobre a massa m são sendo força da mola Fmkyx força do amortecedor Faf y x Sabemos que m a Fy logo mgf y x mgkyxm y Aplicando Laplace com CI nulas 2 ms Y s X s k Y s sX s f sY s 2 k X s sf k fs Y s ms 2 G s k fs ms k sf s X Y s 56 Note que a irregularidade xt da pista é a entrada do sistema excitação do sistema e o deslocamento yt da carroceria do carro é a saída resposta 42Função de Transferência de Circuitos com Amplificador Operacional AO O AO tem a característica de alta impedância de entrada e baixa de saída Idealmente a impedância de entrada é infinita logo a corrente de entrada é nula A figura abaixo mostra o circuito do AO na configuração inversora Como Re temse que a corrente i10A logo a tensão no nó P é igual a 0v esse nó P é chamado de terra virtual Podemos fazer a seguinte equivalência temse 1 1 R e t i R i t e t 0R2ivt vt 1 2 R e t R Aplicando L temos Re 1 57 1 2 R E s R V s logo 1 2 G s R R s E V s 421Função de Transferência do AO Integrador O circuito pode então ser colocado na forma de impedâncias no domínio s ver curso de Circuitos Elétricos temos R E s I s R I s E s 0 1 0 V s sC I s 1 1 G s RCs s E V s RCs E s V s Esta é a função de transferência do integrador ou seja a saída é igual à integral da entrada genericamente 58 Verificação Obs note que a função de transferência do integrador possui no denominador um polinômio de 1ª ordem com apenas s o que proporciona o polo s10 Neste curso será muito útil o conceito de que a função de transferência do integrador é do tipo Exercício Determine as funções de transferência dos circuitos abaixo linha 3 da tabela da pg 30 linha 3 da tabela da pg 30 59 43Simulação com o MATLAB O MATLAB é utilizado para simular sistemas de controle Os alunos do Grêmio de Engenharia Elétrica Giovani e Clarice prepararam um material introduzindo o uso do MATLAB em controle linear Na próxima página está este material No Apêndice A consta um curso introdutório da utilização do MATLAB R 60 MATLAB EM CONTROLE LINEAR O MATLAB possui um toolbox com uma grande diversidade de funções apropriadas para a análise de sistemas de controle Estas funções estão disponíveis através do comando help control Para ilustrar a utilidade do MATLAB nesta análise suponha que um automóvel em movimento passe por diferentes obstáculos elevações na pista Abaixo temos apresentado um esquema representativo de um modelo para o automóvel com um amortecedor f e uma mola k a Suponha que o automóvel passe pela elevação representada a seguir d 25 cm Neste exemplo m1000 f500 e k200 Esta elevação corresponde à entrada do sistema e é chamada de entrada degrau Para observar a resposta do sistema movimento do sistema massamola amortecedor ou seja o suposto automóvel executemos o seguinte programa x s y t 2 sf k s m sf k G s Parâmetros do sistema m1000 f500 k200 Numerador numfk Denominador denmfk Tempo de simulação tempo00130 Função degrau y025stepnumdentemp o Gráfico plottempoyb xlabelTempos ylabelytm 61 Assim podemos visualizar a seguinte resposta b Supondo agora que o automóvel encontre o seguinte obstáculo conhecido como função rampa d t o Podese verificar a saída do sistema yt posição da massa executando o seguinte programa Parâmetros do sistema num500200 den1000500200 Função rampa vetor coluna u0025225 uu a025ones130 aa uua Tempo de simulação t0139 yxlsimnumdenut Gráfico plottybtur xlabelTempos ylabelytm text18028yt text13024ut 62 Assim como resultados temos 63 44Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico Este sistema representa a carga que um motor elétrico tem em seu eixo O sistema é Sabemos que aceleração angular momento de inércia torques logo t J t f t T Aplicando a transformada de Laplace sendo CI nulas temos 2 s Js s fs T s ou ainda 1 2 G s fs Js s T s ExercícioProve que se a saída de interesse fosse a velocidade de rotação t t a FT será f Js s T s G s 1 2 64 45Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua Motor CC O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua em energia mecânica de movimento rotativo vide Dorf 8ºed pg 40 Devido a recursos tais como torque elevado possibilidade de controle de velocidade ou posição angular sobre uma ampla faixa de valores portabilidade característica velocidadetorque bem comportada e adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle os motores são usados largamente em numerosas aplicações de controle incluindo manipuladores robóticos mecanismos de transporte e fitas acionadores de disco máquinasferramentas e atuadores de senso válvulas S N eixo do motor estator estator F corrente F rotor Torque devido às forças F T B m A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma aproximação linear do motor real e os efeitos de histerese e queda de tensões nas escovas serão desprezados A tensão de controle é aplicada no campo vft Então neste sistema a entrada é vft e a saída a posição angular t do eixo O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo t k i t f f O torque desenvolvido pelo motor é admitido como sendo proporcional a t e a corrente de armadura 1 1 t i t k k i t i t k t T a f f a m Como o motor é controlado pelo campo iat é uma constante iatIa logo 65 1 s k I s T t k k I i t T f m m a f f i m km A corrente de campo se relaciona com a tensão de campo através de 2 s sL I R s V f f f f O torque de atrito dos rolamentos é 3 t b t Ta Sabemos que 4 t J T T Angular Aceleração de Inércia Momento torques a m Substituindo 1 e 3 em 4 t J t b t i k f m Aplicando Laplace com CI nulas 5 2 s Js s sb s I k m f Isolandose Ifs em 2 e substituindo em 5 2 s Js bs s L sV R k f f f m ou ainda 2 Js L s b R s k Js L s bs R k s V s f f m f f m f Normalmente Lf é muito pequeno 0 Lf então G s Js b s R k s V s f m f Exercício Como seria a FT do motor CC se a saída de interesse fosse t t ou seja a velocidade de rotação do eixo 66 5Diagrama de Blocos Os sistemas dinâmicos que abrangem os sistemas de controle automático são representados matematicamente por um conjunto de equações diferenciais simultâneas O uso da transformada de Laplace reduz o problema à solução de um conjunto de equações algébricas lineares Como os sistemas de controle dizem respeito ao controle de variáveis específicas isto requer a interrelação entre as variáveis controladas e as variáveis de controle Esta relação é representada pela função de transferência do subsistema que relaciona as variáveis de entrada e de saída vide Dorf 8º ed Ver exemplos da pág 111 desta apostila A importância da relação causa e efeito da função de transferência é evidenciada pela facilidade de representar a relação entre as variáveis do sistema através de diagramas A representação das relações de sistemas em diagrama de blocos é predominante na engenharia de sistemas de controle O diagrama de blocos de um sistema é a representação das partes que o constituem e suas conexões O elemento básico de um diagrama de blocos é a função de transferência 51O Detector de Erros A realimentação utiliza o detector de erros 52Função de Transferência de Malha Fechada A representação em diagrama de blocos permite que sistemas complexos sejam simplificados facilitando sua análise 67 Configuração básica O objetivo é determinar uma função de transferência que relaciona Ys com Us Temos YsGsEs 3 e EsUsYs 4 Substituindo 3 em 4 temos YsGsUsYs ou ainda YsGsYsGsUs ainda Ys1GsGsUs logo Ys 1 U s s G G s A entrada Us é relacionada com a saída Ys através da função 1 H s U s Y s s G G s H s ou seja 68 53Manipulação no Diagrama de Blocos Um diagrama de blocos muito comum em sistemas de controle automático é Verifique que este diagrama representa o diagrama de controle de temperatura mostrado no Capítulo 1 deste curso Do diagrama acima temos EsUsHsYs a e YsGsEs b Substituindo a em b YsGsUsHsYs ou YsGsUsGsHsYs ainda YsGsHsYs GsUs logo Ys1GsHsGsUs finalmente 1 U s s H s G G s Y s Exercício Mostre que a FTMF do sistema abaixo é 69 1 s H s G s G s U s Y 54Algumas Regras Úteis Verificação de I temse Us s Y GsUs s Y 2 1 a de II temse 1 2 1 b U s U s G s G s s Y G s U s s Y como a é equivalente a b então I é equivalente a II 70 Verificação I Y1sGsUs Y2sGsUs II Y1sGsUs Y2sGsUs temos YsU1sGsU2s YsU1GsU2s 71 Em Ogata podese encontrar as principais regras para redução de diagrama de blocos A B C AB ABC A B C ABC B C AC ABC A A B C AB ABC G1 A G2 A G1 A G1G2 G 2 A G 1 A G 2 A G 1G 2 G1 A G2 A G1 A G1G2 G 1 A G 2 A G 1G 2 G1 A G2 A G1 AG1 A G2 AG2 G 1 A G2 A G 1 AG 2 G A AG AGB B G AGB 1G ABG BG A B G A AB B AGBG G A G AG BG AGBG B G A AG AG G A AG AG G G A A AG G A A AG 1G AG B A AB AB B A AB AB B G 1 A G 2 A G 1 A G 1 A G 2 AG 2 G A G G AG 1 1 1 2 G 1AG 2 G 1 A G 2 B 1G A B 2 G 2 G 1 B G 1 A G 2 B A G1 1G1 G 2 Diagrama de blocos originais Diagrama de blocos equivalentes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B Obs Já foi demonstrada a regra 13 nas páginas anteriores 72 Exercício Demonstre todas as regras da tabela anterior menos aquelas já demonstradas neste texto Exemplo Determine a FTMF de Sol Usando a regra 9 da tabela temos Agrupando os blocos que estão em série regra 4 da tabela temse Usando a regra 13 temse 73 Usando a regra 4 Usando a regra 13 ou ainda Aplicando novamente a regra 13 temos 74 Exercício Determine a função de transferência de malha fechada de Resposta Exemplo Determine a FTMF do circuito abaixo Suponha R103Ω e C106F com o MATLAB simule e sistema sendo vet uma entrada degrau unitário obtendo vst Sol 1 É necessário introduzir o equacionamento do AO na configuração somador 75 temse R v t i t R v t t i R v t t i e 4 3 3 2 1 e iti1ti2ti3t 0 1 1 Ri t v t v t i t R logo 3 4 3 4 1 v t v t v t R t v R t v R R v t t v e e Aplicando a transformada de Laplace 3 4 1 V s V s V s s V e Logo o modelo em diagrama de blocos do AO somador é 2 76 3 Então o diagrama de blocos do circuito completo é Fazendo associações série e depois usando a regra 13 ou ainda O resultado da simulação está mostrado na figura abaixo bem como o programa utilizado 77 55Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB O MATLAB tem algumas funções para simplificação de diagrama de blocos vide Ogata Suponha 1 2 num1 num2 den1 den2 G s G s As associações são numden series num1den1num2den2 numden parallel num1den1num2den2 numden feedback num1den1num2den2 a b 1 G s C s 2 G s R s 1 G s C s 2 G s R s 78 c a sistema em cascata b sistema em paralelo c sistema com realimentação de malha fechada Por exemplo considere 1 2 2 10 num1 5 num2 2 10 den1 5 den2 G s G s s s Um programa que realiza todas as associações acima é dado a seguir num10 0 10 den11 2 10 num20 5 den21 5 numdenseriesnum1den1num2den2 printsysnumden numden 50 s3 7 s2 20 s 50 numdenparallelnum1den1num2den2 printsysnumden numden 5 s2 20 s 100 s3 7 s2 20 s 50 numdenfeedbacknum1den1num2den2 printsysnumden numden 10 s 50 s3 7 s2 20 s 100 Para maiores detalhes digite no MATLAB help feedback 1 G s C s 2 G s R s 79 6Modelo em Diagramas de Fluxo de Sinal Os diagramas de blocos são adequados para a representação das interrelações entre variáveis controladas e de entrada Contudo para um sistema com interrelações razoavelmente complexas o procedimento de redução do diagrama de blocos é trabalhoso vide Dorf 8º ed Um método alternativo para se determinar a relação entre variáveis de um sistema foi desenvolvido por Mason e é baseado em uma representação do sistema por meio de segmentos de arcos Este método é chamado de diagrama de fluxo de sinal e sua vantagem é a disponibilidade de uma fórmula geral para determinar a função de transferência equivalente do sistema Consideremos 1 s G s X s X j ij i sendo Xis e Xjs sinais e Gijs função de transferência O diagrama de fluxo de sinal de 1 é Toda variável num diagrama de fluxo de sinal é designada por um nó e cada função de transferência por um ramo Regra da adição Regra de Multiplicação 80 Percurso é um ramo ou sequência contínua de ramos que podem ser atravessados de um sinal nó a outro sinal nó Laço é um percurso fechado que se origina e termina em um mesmo nó de modo que ao longo do percurso nenhum nó seja encontrado duas vezes Laços disjuntos dois laços são ditos disjuntos quando não possuem um nó comum Dois laços que se tocam são não disjuntos e compartilham um ou mais nós comuns Exemplo de construção de diagrama e fluxo a partir do diagrama de blocos Considere o diagrama de blocos abaixo o diagrama de fluxo equivalente é dado ao lado Neste caso entre a entrada Rs e a saída Cs temos um único percurso Também temos um único laço Como temos apenas um laço não existem laços disjuntos Ganho do Laço é o produto dos ganhos dos ramos do laço No exemplo acima o ganho do laço é 81 1 G s H s L Ganho de Percurso é o produto dos ganhos dos ramos encontrados atravessandose o percurso No exemplo acima o ganho do percurso entre a entrada e a saída é 1 P G s Fórmula de Mason A função de transferência Tijs entre a variável Xis e Xjs de um diagrama de fluxos é dada pela fórmula de Mason t k ijk ijk ij P s T 1 sendo Pijkkéssimo percurso entre a variável Xis e a variável Xjs t número total de percursos entre Xis Xjs determinante do diagrama ijkcofator do percurso Pijk O somatório é feito para todos os k percursos possíveis entre Xis e Xjs O cofator ijk é o determinante com todos os laços que tocam o percurso k removidos Dorf 8ºed O determinante é 1 1 1 1 M Q N n m q r s t n m q L L L L L L sendo Lq é igual ao valor da transmitância do qéssimo laço Portanto a regra para calcular em termos dos laços L1 L2 L3 LN é Dorf 8º ed 1soma de todos os ganhos de laços distintos soma dos produtos de ganhos de todas as combinações de laços disjuntos 2 à 2 soma dos produtos de ganhos de todos as combinações de laços disjuntos 3 à 3 82 A função de transferência entre a entrada Rs e a saída Ys é dada sob a forma um tanto simplificada k k kP T s sendo s R Y s T s Exemplo Dorf 8ºed Um diagrama do fluxo de sinal com dois percursos está mostrado a seguir Um exemplo de sistema de controle com múltiplos percursos de sinal é o de um robô com diversas pernas Os dois percursos conectando a entrada Rs e a saída Ys são os ganhos são P1G1G2G3G4 e P2G5G6G7G8 1 Há quatro laços independentes distintos 83 os ganhos dos laços são L1G2H2 L2G3H3 L3G6H6 e L4G7H7 2 Os laços L1 e L2 não tocam L3 e L4 logo o determinante é 1L1L2L3L4 L1L3L1L4L2L3L2L4 pois não há combinações de laços disjuntos 3 a 3 ou maiores O cofator do determinante ao longo do percurso 1 P1 é calculado a partir de removendose os laços que tocam o percurso 1 assim 1 0 4 3 1 2 1 L L e L L De modo semelhante o cofator para o percurso 2 é fazendose L3L40 em obtendo se 1 2 1 2 L L Portanto a função de transferência do sistema é 4 2 3 2 4 1 3 1 4 3 2 1 2 1 2 4 3 1 2 2 1 1 1 1 1 L L L L L L L L L L L L L L P L L P P P T s s R s Y Substituindose 1 e 2 em 3 7 7 3 3 6 6 3 3 7 7 2 2 6 6 2 2 7 7 6 6 3 3 2 2 3 3 2 2 8 7 6 5 7 7 6 6 4 3 2 1 1 1 1 G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H H G G H G H G G G G H G H G G G G G T s Exercício Mostre que a função de transferência entre Ys e Rs do diagrama abaixo é dada por 84 2 4 3 1 2 4 2 1 1 4 1 3 2 4 1 1 G G G H G G G H G H G G G G G s R Y s T s Exercício Determine a função de transferência de malha fechada s R Y s T s para o sistema abaixo sendo k13 k22 k35 Exercício Para o sistema em diagrama de blocos abaixo encontre o diagrama de fluxo equivalente e utilize a regra de Mason para determinar a FT entre Ys e Rs s R Y s T s Diagrama de Blocos Nota um trabalho interessante desenvolvido pelo aluno Henrique F Marchesi elétrica foi um programa em MATLAB que realiza a redução do diagrama de fluxo genericamente No Apêndice F está uma cópia do artigo que foi publicada na revista americana IEEE Transaction on Education O aluno trabalhou numa iniciação científica sob a orientação do Professor Marcelo No mesmo apêndice tem uma versão em português 85 7Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 71O Conceito de Estabilidade Um requisito fundamental de um sistema de controle é a sua estabilidade Uma definição sem rigor de estabilidade é um sistema é dito estável se sua resposta a qualquer excitação razoável não sair do controle Um exemplo de estabilidade é mostrado na figura abaixo o htho profundor leme eleron ht Período transitório Regime permanente Sistema estável Sistema instável hth1 vento sendo ht a altitude do avião ao longo do tempo Neste exemplo o avião possui um sistema de controle automático de altitude Este sistema é dito estável se após ocorrer uma perturbação do vento o avião continuar em uma altitude constante h1 Se ele for instável sua altitude diminuirá indeterminadamente podendo colidir com a terra Um outro exemplo está mostrado abaixo Estável Instável a b Se movermos lentamente os cones o cone a voltará à posição original e o cone b não vai retornar à posição original Desta forma o cone a está na posição estável e o cone b na posição instável A realimentação de sistemas é uma técnica que permite estabilizar sistemas instáveis se utilizada corretamente O exemplo abaixo ilustra a utilização da realimentação para estabilizar um sistema instável 86 Exemplo Considere o circuito abaixo com AO logo 1 s e V s RCs V s Se vet for um degrau unitário então Ves s 1 e 1 1 s V s RCs s Para obter vst aplicandose transformada inversa de Laplace L1Vss L1 2 1 RCs RC t Logo Então o sistema é instável pois a saída crescerá indeterminadamente Mas o AO irá se saturar Realimentando teremos 87 O diagrama de blocos é Usando as regras de redução de diagramas de blocos temos 1 1 1 1 1 s e V s RCs V s RCs RCs Aplicando a mesma entrada degrau anterior temos 1 1 1 1 1 1 1 1 s e V s V s RCs RCs s RC s s RC logo L1VssL1 DaTABELA LINHA RC s s RC 14 1 1 1 RC t RC t e e RC RC 1 1 1 1 1 Logo 88 Conclusão 1 provavelmente este sistema é estável Conclusão 2 a realimentação pode estabilizar sistemas instáveis desde que seja feita convenientemente Exercício Verifique se o sistema abaixo é estável ou instável Note que este sistema é semelhante ao anterior a única diferença é que a realimentação não foi feita pela saída do último AO e sim na saída do integrador Obs Como ainda não foi estabelecido um critério matemático para estabilidade de sistemas nos exemplos anteriores aplicouse um degrau e se a saída for crescente indeterminadamente sempre o sistema é dito instável Precisamos de um critério sistemático para determinar a estabilidade ou instabilidade de sistemas lineares Definição Um sistema qualquer é estável se e somente se para qualquer entrada limitada a saída correspondente é limitada Exemplo Considere o sistema tipo integrador visto anteriormente abaixo 89 Para testar sua estabilidade coloquemos uma entrada degrau que é limitada e verificaremos se a saída é limitada Como para uma entrada limitada a saída foi ilimitada então esta sistema é instável Observações 1 Este critério é chamado BIBO Bounded Input Bounded Output e é válido para qualquer sistema linear ou não 2 Para verificar se o sistema é estável devemos aplicar todas as entradas limitadas e verificar se todas as saídas correspondentes são limitadas Um exemplo de sistema que aparentemente era estável para algumas entradas e achavase que era para todas as entradas limitadas é a ponte mostrada abaixo Ela recebe um vento com tal intensidade que começou a oscilar e então se rompeu Para esta entrada limitada a saída foi ilimitada rompimento i 90 Ponte de Tacoma No estado de Washington no dia 7 de Novembro de 1940 a ponte suspensa sobre o estreito de Tacoma apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao tráfego foi destruída durante um vendaval A ponte apresentava um comprimento total de 1530 m com um vão central de 850 m O critério de BIBO estabilidade exige a análise da saída para todo tipo de entrada limitada Para evitar este trabalho podese utilizar o teorema dado a seguir Teorema Um SLIT é estável se e somente se o módulo da sua resposta ao impulso for integrável em um intervalo infinito ou seja 0 g t dt A seguir será demonstrada apenas a suficiência deste teorema Prova se o sistema tem entrada ut saída yt e resposta impulsiva gt então d u t g y t supondo que yt0 e ut0 para t0 Se ut é limitada então existe uma constante M tal que u M logo a saída será limitada por g d M M d g u d g d u t g y então a saída será limitada se dt g t for limitada 91 Exemplo utilizando o teorema anterior prove que o integrador é um sistema instável Sol Temos 1 sU s Y s Como Us é um impulso Us1 temse Pelo teorema temos 0 0 0 0 1 1 t dt dt y t dt o integrador é instável Este procedimento para determinar se um sistema é estável ou instável ainda é trabalhoso O corolário mostrado a seguir simplifica em muito as coisas Antes vamos representar os polos e os zeros de uma função de transferência no planos Exemplo 3 3 4 1 j j s s s s G s Corolário Um SLIT é estável se e somente se todos os polos da função de transferência do sistema tiverem parte real negativa 92 Ilustração para ilustrar o corolário consideremos o exemplo das páginas 87 à 89 sendo que a função de transferência do sistema sem realimentação instável é RCs G s 1 1 e do sistema com realimentaçãoestável é G2s 1 1 RCs No exercício da página 88 a função de transferência é G3s 1 1 RCs e é instável Os polos dessas funções de transferência estão colocados no planos Obs a resposta ao impulso de G2s e G3s são g2 t L1 G2 s L1 RC t LINHA DA TABELA RC e RCs 1 1 1 6 que é limitada M dt t g 0 2 g3tL1G3sL1 RC t LINHA DA TABELA RC e RCS 1 1 1 6 93 que tende a quando t tende a portanto ilimitada Note que g2t e RC t RC 1 1 sendo RC 1 o polo de G2s e g3 sendo RC e RC RC t 1 1 1 o polo de G3s Então para um sistema que tenha polos reais o coeficiente da exponencial está diretamente ligado ao valor do polo se polo0 exponencialmente limitada sistema estável ainda se polo0 exponencial ilimitada sistema instável Exemplo Determine se o sistema abaixo é estável ou instável 1 61 1 2 s s G s Sol Os polos são obtidos através de s216s10 logo 1624144 Ilustração Vamos verificar a resposta impulsiva de Gs L1Gs t sen e t 80 1 1 80 1 1 2 80 2 linha 22 da tabela com n1 e ξ08 então gt 60 60 1 80 t sen e t logo a 94 gt e08t Senóide sen06t atenuado ao e08t longo do tempo por t Como gt0 quando t temos que a integral de gt é limitada ou seja 0 dt y t sistema estável Deste gráfico percebese que a parte real dos polos 08 proporciona o conteúdo exponencial e08t da resposta e portanto é a parte real dos polos é quem faz a resposta gt decrescer Exemplos Obs Esse estudo abordou apenas polos reais e complexos conjugados sem multiplicidade de polos Por motivos de simplicidade os casos de polos múltiplos foram omitidos neste texto x 95 O problema deste estudo é determinar as raízes de polinômio de ordem maior que 2 Um critério simples e prático para estudo de estabilidade de Routh RouthHurwitz 72O critério de Estabilidade de RouthHurwitz A Hurwitz e EJ Routh publicaram independentemente um método de investigar a estabilidade de um sistema linear vide Ogata O critério de estabilidade de RouthHurwiitz verifica se todos os polos de uma função de transferência pertence ao semiplano esquerdo do planos Suponha que a função de transferência é da forma 0 1 1 1 1 1 1 o n n n n o m m m m o a a s a a s s a b s b b s b s G s 1ºpasso identifique apenas o denominador de Gs 1 1 1 1 n n n n o a s a a s a s D s 2ºpasso verifique se qualquer destas constantes ai é igual a zero ou negativa na presença de pela menos uma constante positiva Se isto ocorrer conclua que o sistema é instável e não é necessário executar os próximos passos Do contrário nada podese concluir vá para o 3º passo 3ºpasso construa a seguinte tabela Os elementos ao a1 an são os coeficientes do denominador Ds da equação 1 96 Os elementos b1 b2 b3 c1 c2 e todos os demais são calculados com as seguintes expressões 4ºpasso aplique o seguinte critério de estabilidade de RouthHurwitz O número de raízes de Ds polos de Gs com parte real maior que zero positivo é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela construída no 3ºpasso Obs se pelo menos um elemento da 1ª coluna for nulo ou se uma linha toda for nula deve se observar o caso especial que mostraremos mais adiante Exemplo Seja Gs 5 4 3 2 1 2 2 3 4 s s s s s estude sua estabilidade Sol 1º passo Dss42s33s24s5 2ºpasso todos coeficientes de Ds são positivos portanto nada podese concluir 97 3ºpasso Neste caso os elementos da 1ºcoluna são Exemplo Determine se o sistema é estável ou instável 5 3 1 2 3 2 s s s s s G s Sol 1º passo Dss33s2 s5 2ºpasso existe um coeficiente negativo na presença de outro positivo logo o sistema é instável e não precisa ir ao passo seguinte Exercício O piloto automático de um avião tem a seguinte FTMF 924 1667 4 1303 6 240 5 15 900 165 900 150 2 3 4 5 2 3 s s s s s s s s s s r verifique se o sistema é estável ou instável O cálculo dos polos de um sistema raízes de um polinômio são fáceis para os usuários do MATLAB ou das calculadoras científicas atuais Por exemplo os polos do exemplo acima 98 são calculados pelo MATLAB com o comando den1 3 1 5 rootsden Aparentemente o método de RouthHurwitz seria desnecessário porém ele é extremamente útil para projetar controladores o exemplo a seguir ilustra este fato Exemplo Determine o intervalo de k ganho do controlador para o qual o sistema realimentado seja estável sol A FTMF é dada por 1 6 1 1 6 1 1 1 6 1 1 k s s s s s k s s s s k s s s s k H s Note que não é possível obter os polos de Hs usando a calculadora Usemos o método de RouthHurwitz 1ºpasso Dss35s2k6sk 2ºpasso Para que todos os coeficientes sejam positivos k60 k6 e k0 k6 satisfaz I 3ºpasso 99 Para que elementos da 1ª coluna sejam todos positivos é necessário que 57 4 30 0 30 4 0 30 5 0 5 6 5 II k k k k k k k e k0 III Logo para k75 o sistema será estável Como já foi dito se tiver um zero 0 na primeira coluna de tabela ou se uma linha for nula então devese usar o caso especial abaixo CASO ESPECIAL Se o primeiro elemento de uma linha é zero e pelo menos um elemento na mesma linha é diferente de zero então substituiuse o primeiro elemento de linha que é zero por um pequeno número que poderá ser negativo ou positivo e continuase o cálculo das próximas linhas da tabela O exemplo abaixo ilustra este caso Exemplo Estude a estabilidade de 10 11 4 2 2 5 2 3 4 5 s s s s s G s 1ºpasso Dss52s42s34s211s10 2ºpasso todos os coeficientes são positivos nada podese concluir 100 3ºpasso construção da tabela 2 neste caso aparece um 0 na 1 coluna e outros elementos desta linha são diferentes de 0 Mostre que não é possível calcular os elementos da linha s pois seria necessário dividir por 0 Substitua o 0 por e continue 5 4 3 2 1 0 s 1 2 11 s 2 4 10 2 2 1 4 2 11 1 10 s 0 6 0 2 2 s s s para pequeno 0 temse a seguinte tabela 5 4 3 2 1 0 s 1 2 11 s 2 4 10 s 6 0 4 2 6 s 10 0 s s se 0 temos 6 5 4 3 2 1 0 s 1 2 11 s 2 4 10 s 6 0 12 s 10 12 6 10 s 12 s 101 5 4 3 2 1 0 s 1 2 11 s 2 4 10 s 6 0 12 s 10 s 6 s 10 Se 0 pela esquerda ou seja 0 temos 2 trocas de sinais na primeira coluna Se 0 pela direita ou seja 0 temos também 2 trocas de sinais na primeira coluna Assim o sistema é instável Exercício Estude a estabilidade de 9 6 6 2 3 7 2 3 4 5 s s s s s G s Exercício Encontre a faixa de k tal que o sistema abaixo seja estável Estabilidade de sistema com projeto de controlador dependente de dois parâmetros Um controlador industrial muito utilizado é o controlador PI proporcional e integral Neste caso a estabilidade fica dependente de dois parâmetros Um exemplo de projeto ilustra o uso do critério de estabilidade de RouthHurwitz para este caso e está mostrado a seguir Exemplo Para o sistema controlado por um controlador PI dado abaixo encontre as faixas de kp e ki do controlador tal que o sistema abaixo seja estável 102 Sol A FTMF é I P I P I P I P k sk s s s k sk s s s k sk s s s k sk s R s Y 2 1 2 1 1 1 2 1 1 I P I P k s k s s k sk s R s Y 2 3 2 3 1ºpasso Dss33s22kpski 2ºpasso para estabilidade é necessário que Ki0 e 2kp0 kp2 I 3ºpasso 3 2 1 0 s 1 2 s 3 32 s 0 3 s p i p i i k k k k k 1 coluna 32 0 p i k k 2 3 i p k k e 0 ik II III De I II e III temse a região k p k i 0 2 6 2 3 i p k k Região que satisfaz I II e III Exercício Encontre a faixa de kp e ki do controlador abaixo tal que o sistema seja estável 103 73Estabilidade Relativa A estabilidade estudada até agora neste curso é conhecida como estabilidade absoluta pois temse como referência o lado esquerdo do planos Um outro conceito é o conceito de estabilidade relativa Podese determinar a margem de segurança que um sistema apresenta no tocante à sua estabilidade Por exemplo no planos abaixo podese dizer que os polos z1 e z1 tem menor margem de estabilidade que os polos z2 e z3 Podese usar o critério de Routh para estudar a margem de estabilidade relativa de um sistema neste caso é necessário usar uma translação de eixo imaginário Os eixos acima são relacionados através da seguinte equação de translação de eixos ou ainda s s s s Exemplo Verifique se o sistema abaixo tem todos os polos à esquerda de s1 24 26 9 1 2 3 s s s G s 104 Sol Neste caso devese realizar a translação de eixos abaixo logo ss1 em Gs A translação do eixo imaginário é feita substituindo ss1 em Gs 24 1 26 1 9 1 1 2 3 s s s G s então 24 26 26 1 2 9 1 2 1 1 2 2 s s s s s s G s 11 6 6 1 2 3 s s s G s logo 3 2 1 0 s 1 11 s 6 6 66 6 60 s 10 0 6 6 s 6 este sistema é estável sua estabilidade relativa engloba o eixo s1 Portanto sua margem de estabilidade é 1 Obs Para determinar a margem de estabilidade total de um sistema é necessário ir transladando o eixo s imaginário até o surgimento de um zero na 1º coluna da tabela de RouthHurwitz indicando que existe polo sobre o eixo imaginário s Este trabalho pode ser evitado utilizandose as calculadoras científicas para obter todos os polos do sistema ou o MATLAB a margem de estabilidade será igual ao módulo da parte real do polo mais próximo ao eixo imaginário supondose que todos os polos são de sistema estável Exercício Use o MATLAB ou a calculadora para determinar a margem de estabilidade do 105 sistema 4 6 4 2 3 s s s s G s Exercício Verifique usando o critério de RouthHurwitz se o sistema abaixo tem todos seus polos à esquerda de s2 4 2 3 10 2 3 4 s s s s s G s Exercício Projete k tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade maior que 4 74Exemplos Completos de Projeto Exemplo Dado o levitador magnético abaixo R1 R2 V t Vcc x xt it O diagrama de blocos é Os polos de Gs são s210 P12 10 logo 106 portanto o sistema é instável i Verifique se é possível estabilizar o levitador usando realimentação com um dos controladores abaixo aCsk proporcional b 2 1 s k s C s o sistema realimentado tem a forma abaixo ii Projete o circuito com AO que implemente o controlador Cs obtido no item i Sol iA FTMF é k s k s k s k H s 2 10 2 10 2 1 10 2 2 2 2 1ºpasso Dss2102k 2ºpasso Um dos coeficientes do polinômio é igual a zero ou seja 0s portanto o sistema é instável pois k não modifica o valor deste coeficiente não é possível estabilizar o levitador com um controlador do tipo Csk b Sendo 2 1 s k s C s temse a FTMF 107 k ks s s k ks s s s k s s s k H s 2 2 10 2 2 2 10 2 2 1 1 10 2 2 1 2 2 2 20 2 10 2 2 2 2 2 3 k s k s s k ks H s 1ºpasso Dss32s22k10s2k20 2ºpasso é necessário que 2k100 k5 e 2k200k10 10 I K 3ºpasso é necessário que 10 0 20 2 0 0 2 20 2 10 2 2 III K k e II k k k De I II e III este controlador estabiliza o levitador com k10 Podese escolher k20 logo 2 1 20 s s C s ii Para implementar o controlador façamos 108 2 1 20 s s C s logo 2 20 20 s C s que equivale a O diagrama completo fica O circuito do controlador é implementado utilizando AO V x s 109 escolhese RC 20 2 20 1 e a Finalmente Os sinais xdt vxt e it serão conectados com o levitador mostrado na figura das páginas anteriores Como a corrente de saída do AO é pequena o sinal it de saída do controlador deverá ter um amplificador de corrente antes de ser conectado na bobina Outra alternativa é usar o AO sendo amplificador LH0101 em A da figura acima Ele é de 60w com pico de corrente de saída de 5A Vcc 15v e necessita de dissipador de calor Pode utilizar também o AO de potência LM 675 Exercício Considere o rastreador solar mostrado abaixo ou LM675 110 D Amplificador de potência Motor cc sensor Verro t ut LDR θ t s Luz solar Este sistema possui o seguinte diagrama de blocos Note que este sistema é instável pois P10 e P22 Realimente o sistema conforme o diagrama abaixo e determine a faixa de k para que o sistema seja estável Projete o circuito do controlador usando AO Exercício No sistema abaixo qual a faixa de k que resulta em estabilidade 111 Exemplo O veículo explorador de Marte Sojaumer 1997 alimentado com energia solar está mostrado na figura vide Dorf 8ª edição O veículo pode ser controlado da Terra enviandolhe comandos rt O diagrama de blocos do sistema é vide Dorf Encontre a faixa de k tal que o sistema seja estável Este diagrama de blocos não inclui a presença de ruídos Exercício Um projeto de uma estação espacial orbital está mostrado na figura abaixo É crítico o problema de manter a estação com uma orientação aproximada na direção do sol e da Terra para gerar energia e comunicações O diagrama de blocos do sistema de controle é dado abaixo 112 Determine a faixa de k tal que o sistema seja estável Nota No Apêndice F encontrase um artigo de Edvaldo e Marcelo sobre estabilidade de um micro motor levitador 113 8Resposta Transitória de Sistemas de 1a e 2a ordem 81Introdução As indústrias modernas estão exigindo cada vez mais sistemas de controle automático com alto desempenho Por exemplo no caso de robôs utilizados para soldagem em uma fábrica de automóveis o processo da fabricação exige que o robô solde vários pontos em um certo período de tempo relativamente curto especificado previamente Para solucionar estes problemas de controle automático foram adotados alguns índices de desempenho que permitem a especificação do comportamento desejado do sistema controlado para a elaboração de um projeto Neste capítulo apresentaremos alguns índices de resposta transitória de sistemas dinâmicos em função de parâmetros de sua função de transferência Os índices de desempenho dos sistemas de controle são estudados em função da resposta transitória do sistema devido a uma entrada degrau Exemplos de entrada degrau 82Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem devido a entrada degrau 821Exemplo Um exemplo de sistema de 1a ordem é um tanque dagua controlado por uma boia 114 A taxa de variação de altura é proporcional a Atht h t k A t dt h t d Neste caso At é a entrada e ht e saída a função de transferência será kH s kA s sH s CI nulas sem água logo k s k s A s H Que é um sistema de 1a ordem pois o polinômio do denominador é de primeira ordem tem apenas1 polo Como a base da boia é constante At é constante logo s A A s temos s A k s k H s Assim a resposta do sistema a essa entrada é obtida usandose a transformada inversa de Laplace ht L1 Hs L1 s A k s k 1 e kt A h t Logo 115 Segundo o gráfico se desejar que o reservatório se encha mais rapidamente devemos aumentar o valor k Note que o polo deste sistema é sk0 s1k logo para variar a velocidade de enchimento variase o valor do polo de sistema 822Caso Genérico O sistema de 1a ordem pode ser representado pelo sistema genérico abaixo Suponha que este sistema seja estável ou seja a0 pois poloa0 Suponha que utA t 0 ou seja uma entrada degrau logo s A U s Temos s A a s ak Y s G s U s Y s sabese que veja tabela pg 30 linha 4 ytL1YskA1eat logo 116 Em termos práticos considerase t a 4 o sistema já está em regime permanente O tempo t a 1 é chamado de constante de tempo do sistema simbolizado por a 1 Logo para t4 é chamado de tempo de estabelecimento Note que o polo de Gs é P1a ou seja P1 1 e ainda se é pequeno o sistema entra em regime mais rapidamente que outro com maior o diagrama ilustra este fato Mais rápido Mais lento Ims Res 1 1 1 P 2 2 1 P 1 2 O exemplo abaixo ilustra uma metodologia de se medir uma função de transferência Gs a partir de sua resposta transitória a uma entrada degrau Exemplo Um motor de corrente contínua CC possui a seguinte função de transferência tendo como saída de interesse a velocidade de rotação do eixo Ws a s k a G s s V s W 117 sendo Vs a tensão de alimentação do motor CC Desejase medir experimentalmente a sua função de transferência a e k Para isto aplicase uma entrada degrau de amplitude A2volts a saída foi registrada pelo osciloscópio digital Comparandose esta curva experimental com a teórica dada na página anterior temse k A 1000 mas A2 logo k500rpmv ainda 50 2 1 1 s a s a Finalmente 50 250 50 50 500 s s G s Função de transferência do Motor cc 83Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem devido a uma entrada degrau 831Exemplo Um exemplo de sistema de 2a ordem sistema com 2 polos é o sistema de suspensão do automóvel modelo ¼ Note que este sistema é de 2a ordem pois Gs possui 2 polos Na simulação realizada com o MATLAB a resposta a entrada degrau foi 118 0 1 2 3 4 5 6 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 Tempo yt m Percebese que esta resposta é diferente da resposta do sistema de 1a ordem Simulouse novamente com valor menor do coeficiente f amortecedor o resultado foi 0 1 2 3 4 5 6 0 005 01 015 02 025 03 035 Tempo yt m note que o sistema oscilou mais Para f maior que todos anteriores o resultado da simulação foi 119 0 1 2 3 4 5 6 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 Tempo yt m Portanto aumentandose f o sistema ficou mais amortecido Na prática especificase como deve ser grande a oscilação ou o amortecimento e então o projeto do controlador deverá atender a essas especificações 832Caso genérico O sistema de 2a ordem genérico pode ser representado por sendo n frequência natural nãoamortecidan0 coeficiente de amortecimento 0 O caso de interesse é o caso de subamortecimento sendo 0 1 Os polos de Gs são encontrados fazendo s22 ns 2 n 0 logo b24ac4 2 n 21 1 2 1 4 2 2 2 2 1 2 n n n n P ou ainda 120 1 1 2 1 2 n n P como 0 1 21 logo 1 20portanto 1 1 2 1 2 n n P finalmente 1 2 1 2 n n j P No planos Sistema Subamortecido segundo o diagrama temos arccos cos 1 2 2 2 2 n n n n n n r r r Nota i Para o caso ξ1 sistema criticamente amortecido os polos são P12 n no planos Sistema Criticamente Amortecido ii Para o caso 1 o sistema superamortecidoos polos são 1 2 1 2 n n P que não tem componente imaginário j 121 Sistema superamortecido que corresponde a dois polos de dois sistemas de primeira ordem Neste caso a resposta transitória será a composição das respostas de cada sistema de primeira ordem calculadas separadamente iii se ξ0 sistema não amortecido P12 jn Lembrese n é a frequência natural não amortecida As deduções mostradas a seguir referemse apenas ao caso 0 1 sistema subamortecido A resposta de 1 a uma entrada degrau unitário s U s 1 é s s s k U s G s s Y n n n 1 2 2 2 2 segundo Ogata ver tabela da pg 30 temos t en t e k t n n n n nt 2 2 2 1 1 1 cos 1 s y sendo 0 1 Por simplicidade definimos n n d e 2 1 logo t sen t e k y t d d d t cos 1 que tem a forma 122 yt t 09K K 01K MS t t ts p e 1 de K ou 2 de K ou 5 de K A resposta yt acima indica que podemos definir os seguintes índices de desempenho ts tempo de subida tptempo de pico ou instante de pico tetempo de estabelecimento ou de estabilização ou de acomodação ou de assentamento MSmáximo sobre sinal ou overshoot Os cálculos desses índices são mostrados abaixo a Tempo de pico ou instante de pico tp Para determinar o instante de pico devemos determinar o instante em que yt é máximo para isto achamos 0 dt y t d 0 cos cos t t sen e t sen t e k dt y t d d d d t d d d t ou ainda 0 cos cos 2 t e t sen e t sen e t e d t d t d d d t d t portanto 0 2 t sen t sen e d d d d t como e t 0 para t temos t sen t sen d d d d 2 0 123 ou ainda 0 2 t sen d d d portanto sendt0 dt0 ou ou 2 ou 3 temos se t0 ponto de mínimo não serve se t d é o primeiro instante de derivada nula logo este é o instante de pico mas dn 1 2 logo 1 2 n pt b Porcentagem de Overshoot PO A porcentagem de overshoot é definida como a porcentagem do máximo sobresinal MS em relação ao valor de regime de yt 100 k MS P O lembrese yt t MS K como MS k t y t Pt teremos MS d d d d d sen e k k d cos 1 1 0 124 ke d MS logo 100 100 d d e k ke P O mas dn n e 2 1 então 100 1 2 n n e P O 100 1 2 e P O para 0 1 Note que PO só depende de e que quanto menor maior o valor de PO A figura abaixo mostra o gráfico de PO x e também a resposta ao degrau de Gs para diversos valores de Note que PO diminui com o aumento de ou seja quanto maior o coeficiente de amortecimento menor é a oscilação da resposta c Tempo de estabelecimento te A função t sen t e k y t d d d t cos 1 pode ser interpretada como um sinal oscilatório com a amplitude que decresce ao longo do tempo 2 2 2 2 MSsobresinal máximo n n n C s R s s s 125 yt t 1 1 te 1 t K e 1 t K e Prova vimos em a tempo de pico que os pontos de derivada nula 0 dt y t d ocorrem para d i i k t ki0 1 2 3 e assim 1 cos t d i d i d y t k e t sen t Note que 1 cos 1 i d i d i i d se k é par t sen t se k é impar logo t e k y t 1 ou t e k y t 1 que são as envoltórias exponenciais Para determinar te basta fazer 0 01 1 1 k e k t logo 0 01 ln ln 0 01 01 0 e e t t t e e caso utilize a envoltória inferior 126 ou 0 01 ln 0 01 ln 01 0 0 01 1 1 e e t t t t e k e k e e Porém n Logo te n n 64 ln 0 01 Se desejar 2 temse te n n 93 00 ln 2 Se desejar 5 temse te n n 3 ln 0 05 Note que aumentando o amortecimento o tempo de estabelecimento diminui te d Tempo de subida ts O tempo de subida é dado por n s 81 t que é uma aproximação considerando 05 vide Ogata Exercício Se 1 21 1 2 s G s s qual é o valor de PO te tp e ts Exercício Repita o exercício anterior para a 100 10 100 2 s s G s b 4 80 8 2 s s G s 833 Resposta Transitória x Localização dos Polos no Plano s Como já foi visto o sistema de 2a ordem genérico tem a seguinte função de transferência 2 2 2 2 n n n s s k G s 127 com os polos 2 1 2 1 n n j P 0 1 que são os polos de Gs para o caso subamortecido No plano s os polos são representados por Como a localização dos polos no plano s depende de e n e as especificações PO ts te dependem também de e n podemos relacionar essas especificações com a localização dos polos a Tempo de subida n s 81 t Por exemplo ts18 segundos n1 e logo Para ts18s os polos deverão estar sobre o semicírculo Res 1 n 1 1 Ims Se ts 18 n 1 então para ts 18s os polos deverão estar dentro desta região Ims Res 2 n 1 2 n 1 n cos ou arccos n 128 Res 1 n 1 1 1 Ims região para 1 n 18 st s b PO100 2 1 e Por exemplo PO16 05 e n logo arccos arccos0560º que no planos é representado por semirretas Para PO16 os polos deverão estar sobre as semirretas Res 60 Ims 60 arccos cte Se PO 16 05neste caso arccos 60ºpois cos cresce se decresce Para PO 16 os polos deverão estar dentro desta região Res Ims região para 05 16 PO 129 Res 60 2 2 2 Ims 15 PO16 3 et 09 st s 1P 2P 1 c Tempo de estabelecimento te n 64 1 Por exemplo te26s n18 sendo n e também Para te26 os polos deverão estar sobre a reta vertical Res Ims 26 18 e n t s 18 Se te 26 n 18 Para te 26 os polos deverão estar sobre a região Res Ims 18 região para 18 n 26 et s Exemplo Desenhe a região do plano s na qual os polos do sistema de 2º ordem deverão estar para atender às seguintes especificações ts 09s PO16 e te3s Sol teremos ts09s n2 PO16 05 te3s n15 A região satisfaz todos esses requisitos está mostrada ao lado Como os polos P1 e P2 estão dentro da região então Gs atende às especificações 130 Obs Nos próximos capítulos estudaremos uma maneira de modificar a posição P1 e P2 dos polos utilizando a realimentação Isto será visto no lugar das raízes root locus que é uma técnica de projeto Exercício Desenhe a região do plano s na qual os polos do sistema de segunda ordem deverão estar para atender as seguintes especificações a ts12 PO10 e te4s b ts11 PO20 e 1ste6s c ts4 PO15 e 1te4s d ts09 10PO20 e 1ste4s Como um resumo geral o plano todo pode ser esquematizado na seguinte forma yt t yt t yt t yt t yt t yt t yt t yt t yt t yt t Obs Estas são repostas à entrada impulso Exemplo Um braço mecânico deve sair de x0 em t0 estar nas proximidades de x50cm em t2s parar critério 1 em x50cm em t3s e não esbarrar no parafuso O sistema controlado deverá ter a seguinte estrutura 131 Solução a resposta transitória do sistema deverá ter o formato acima Neste caso as especificações de projeto deverão ser PO 60 10 50100 5 ts 2 s s rad n n 90 2 81 te3s 51 3 1 64 n n Exercício Desenhe no planos a região que satisfaz a todas as restrições de desempenho dados no exemplo acima 834Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior Os polos de uma Gs ou são reais ou pares complexos conjugados então uma função de transferência com número de polos maior que 2 é r k k s k q j j m i i s s P s k s k G s s U s Y 1 2 2 1 1 2 132 se os polos forem distintos e a entrada tipo degrau unitário a resposta será YsGs s 1 que expandida em funções parciais r k k k k k k k k k k q j k j j s s C s b P s a s a s Y 1 2 2 2 2 1 Percebese que a resposta Ys é composta de respostas de 1a ordem e 2a ordem A curva de resposta de um sistema estável de ordem superior é a soma de certo número de curvas exponenciais 1a ordem e curvas senoidais amortecidas 2a ordem Assim pequenas oscilações são superpostas em oscilações maiores ou sobre as curvas exponenciais yt t yt t yt t yt t yt t Percebese que às vezes a resposta exponencial prevalece sobre a oscilatória ou vice versa Isto indica que a resposta de alguns polos podem ser mais significativas que outros a este fato damos o nome de dominância de polos A dominância de polos é determinada pela relação das partes reais dos polos e dos valores dos resíduos que dependem dos zeros e polos Se as relações das partes reais excedem cinco e não há zeros na vizinhança então os polos de malha fechada mais perto do eixo j dominarão no desempenho da resposta transitória porque estes polos correspondem a termos de resposta transitória que decaem lentamente 1a ordem 2a ordem 133 Res Ims 1 1 1 6 pólos dominantes a b b5a e tem um zero próximo do pólo 6 logo os pólos complexos são dominantes yt t Res Ims 1 1 1 6 pólos dominantes a b b5a pólos dominantes são os complexos conjugados Ims 1 1 1 6 pólo dominante 12 11 11 Os zeros estão muito próximos dos pólos complexos então o pólo 6 é dominante yt t 1 1 1 15 05 05 Res Res Ims não existe dominância yt t Exemplo 5 1 5 s s G s entrada degrau s 1 temos 5 4 1 1 4 5 1 5 1 5 1 s s s s s s s G s y s logo t t e e y t 5 4 1 4 5 1 t0 graficamente referente ao polo 5 referente ao polo 1 134 Note que os polos são Obs Como os projetos dos controladores sempre terão as especificações PO ts te retiradas da resposta de 2a ordem deverá sempre ser observado a existência de dominância de polos 84Resposta Transitória Usando o MATLAB O programa abaixo mostra como a resposta ao degrau usando o MATLAB vide Ogata Seja 25 4 25 2 s s G s s U Y s O programa abaixo aplica uma entrada degrau unitário no sistema Resposta ao degrau unitário Digite o numerador e o denominador da função de transferência num0 0 25 den1 4 25 Digite o seguinte comando de resposta ao degrau stepnumden Digite os comandos para inserir a grade e o título do gráfico grid title Resposta ao Degrau de Gs25s24s25 Na tela gráfica teremos 135 Para uma entrada tipo rampa usase o comando lsim Por exemplo para obter a resposta do sistema para uma entrada rampa cuja função de transferência do sistema e 1 1 2 s s G s s U Y s utilizase o seguinte programa vide Ogata Resposta à Rampa num0 0 1 den1 1 1 t0018 rt ylsimnumdenrt plott rtyo grid titleResposta à Rampa Unitária Obtida com o Uso do Comando Isim xlabelts ylabelEntrada e Saída do Sistema text21465Entrada em Rampa Unitária text4520Saída 136 85 Índices de Desempenho ITAE ISE IAE Além dos índices de especificações PO te ts e tp temse outros índices baseados na integral da variável em questão U índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificações Dorf 8ª ed Um índice de desempenho adequado é a integral do quadrado de erro ISE Integral of the Square of the Error T e t dt ISE 0 2 sendo Segundo Dorf este critério discrimina sistemas excessivamente superamortecidos de 137 sistemas excessivamente subamortecidos De um modo genérico o cálculo desta integral é ilustrado na figura seguinte extraída do livro do Dorf Outro critério de desempenho é o IAE Integral of the Absolute magnitude of the Error e t dt IAE T 0 Para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral e aumentar a contribuição para tempos maiores temse T t e t dt ITAE 0 O peso temporal para o ISE é T t dt te ITSE 0 2 Em Dorf 8ª ed é mostrado um exemplo de uso destes índices de desempenho repetido a seguir Exemplo Considere o sistema abaixo Vide Dorf 8ª edição 138 cuja função de transferência de malha fechada é 1 2 1 2 s s G s Em Dorf foram calculados todos os índices de desempenho em função do valor de ξ e está reproduzido a seguir calculadas para uma entrada degrau Mostra que o valor ótimo de ξ que minimiza o ITAE é ξ06 Para maiores detalhes vide Dorf 8ª ed 139 9 Erros de Regime regime permanente 91Introdução O objetivo deste capítulo é estudar a relação da precisão de sistemas de controle com os parâmetros do sistema Será analisado o erro entre a entrada do sistema e a saída verificando como diminuílo ou tornálo nulo A seguir mostraremos dois exemplos de entrada muito utilizadas em controle e o erro da saída em relação a elas Estes erros são sempre tomados após ter ocorrido todos os transitórios ou seja são erros de regime regime permanente 92Exemplos de Erro de Regime Permanente O braço mecânico abaixo tem a função de colocar CIs sobre a placa de circuito impresso e não deve ter erro no posicionamento t ut xt 0 t t e t u t x t O diagrama de blocos será Note que ut é uma entrada tipo degrau Este é um exemplo de sistema que deve ter pequeno erro de regime permanente para uma entrada tipo degrau 140 A antena rastreadora de satélite tem o objetivo de se posicionar tornando muito pequeno o erro entre seu ângulo e o ângulo do satélite O satélite realiza um movimento com velocidade constante por exemplo t001rads Desta forma o ângulo st varia em função do tempo 0 01 0 01 t dt d t t t s s s t t t t dt t d s s s t t s 0 01 0 01 0 0 01 0 0 logo De onde percebese que st é uma rampa O diagrama de blocos do sistema posicionador é O rastreamento pode ser ilustrado no gráfico abaixo onde a saída at tenta ser igual a st ou seja etstat0 quando t 0 141 Este é um exemplo de sistema que deve ter pequeno erro de regime permanente para uma entrada tipo rampa A seguir mostraremos algumas condições necessárias de Ds e Gs para que essas especificações de erros de regime permanente sejam atendidas 93Erros de Regime Permanente Nos dois exemplos anteriores o sistema de controle é do tipo Para determinar o erro de regime permanente para uma determinada entrada descreveremos o erro Es em função de Us utilizando as regras de diagrama de blocos Y s U s E s mas D s G s E s Y s logo EsUs DsGsEs ou EsDsGsEsUs Es1DsGsUs 1 1 U s D s G s E s Para determinar o erro no regime permanente taplicase o teorema do valor final TVF na expressão acima e lim 0 E s s s 142 Porém os polos de sEs deverão ter parte real menor que zero Observe que a FTMF do diagrama é 1 s G s D s G s D s U s Y que possui os mesmos polos de s U E s portanto podese aplicar o TVF se for verificado que o sistema realimentado é estável e a entrada do tipo degrau Neste caso 1 1 1 1 lim lim 0 0 s U s e U s D s G s s s E s e s s Vamos analisar e para três tipos de entrada degrau rampa e parábola aEntrada degrau Neste caso 2 s A U s Substituindo 2 em 1 temse s A D s G s s e s 1 1 lim 0 então 3 1 lim lim1 0 0 D s G s A s G s D A e s s Sabemos que genericamente DsGs é uma razão entre dois polinômios de variável s ou seja 4 1 1 n j m i i Pj s z s D s G s a1 Se DsGs não possuir polos na origem ou seja Pj0 j1 2 n então 5 lim 0 P s k D s G s Substituindo 5 em 3 temos 6 0 1 kP A e Portanto o erro de regime permanente não será nulo 143 Interpretação 0 1 lim p p s A e k sendo k D s G s ut e yt t A a2 Se DsGs possuir um polo na origem ou seja P10 então n j m i i Pj s s z s s G s D 2 1 zi e Pj0 7 Obs é suposto que também não exista nenhum zero na origem do plano s Neste caso temos 8 lim 0 s G s D s substituindo 8 em 3 temos 9 0 1 A e portanto o erro de regime será nulo Interpretação 0 e t ut e yt Exercício Mostre que se DsGs tiver dois ou mais polos na origem o erro de regime também será nulo Suponha que não tem zeros na origem e que a entrada é do tipo degrau 144 b Entrada rampa Neste caso 10 2s A U s Substituindo 10 em 1 temse 11 1 1 lim 2 0 s A D s G s s e s Para todas as deduções mostradas a seguir supõese que DsGs não tenha zeros na origem do planos ou seja zi0 em 4 b1 Se DsGs não possuir polos na origem ou seja Pj0 j1 2 n em 4 então o denominador de DsGs não cancelará o s que restou no denominador de 11 Assim não podese aplicar o TVF pois s A D s G s s A D s G s s s E s 1 1 1 1 2 que possui um polo instável s0 Para encontrar e expandese Es em frações parciais 1 1 2 2 1 2 H s s A s A s A D s G s E s Neste caso L1 A t s A 1 2 1 que é uma rampa logo et para t Interpretação e ut e yt t ut yt Para estudar os casos seguintes vamos simplificar 11 lim 1 1 lim 0 0 sD s G s s A s A D s G s e s s 145 12 lim 0 s G s sD A e s b2 Se DsGs possuir um polo na origem ou seja P10 então n j m i i Pj s s z s s G s D 2 1 zi e Pj0 Neste caso temos 13 lim 0 V s k sD s G s Substituindo 13 em 12 0 kV A e Interpretação v A e k ut e yt t ut yt 0 lim v s sendo k sD s G s b3 Se DsGs possuir dois polos na origem ou seja P10 e P20 então n j m i i Pj s s z s s G s D 3 2 1 zi e Pj0 Neste caso temos 15 lim 0 s G s sD s Substituindo 15 em 12 o erro de regime permanente não será nulo e nem infinito 146 0 A e Interpretação e 0 ut e yt t ut yt Exercício Mostre que se DsGs tiver 3 ou mais polos na origem do planos o erro de regime também será nulo para uma entrada rampa c Entrada tipo parábola Deduzir em casa Esses resultados podem ser resumidos na tabela abaixo sendo kp 0 lim s DsGs kv 0 lim s sDsGs e ka 0 lim s s2DsGs Obs1 Foi suposto que DsGs não possui zeros na origem do planos Caso DsGs tenha zero na origem então efetuar primeiramente o possível cancelamento com os polos de o erro de regime permanente será nulo 147 DsGs na origem e então depois aplicar a tabela acima Obs2 Inicialmente foi suposto que o sistema fosse estável para que se pudesse aplicar o TVF portanto esta tabela só é válida se o sistema de malha fechada for estável Obs3 Foi suposto que o sistema realimentado tivesse realimentação unitária sensor com ganho unitário Se isto não ocorrer a tabela acima não é válida Exemplo O sistema de controle da antena rastreadora de satélite é sendo Bs Js G s 2 1 quantos polos na origem o controlador Ds deverá possuir para que o erro de regime permanente entre at e st seja nulo para uma entrada tipo rampa Sol Segundo a tabela anterior o erro de regime será nulo para uma entrada tipo rampa se o número de polos de DsGs na origem for igual a 2 no mínimo Temos Percebese que Ds deverá ter um polo na origem para que o erro de regime seja nulo Exercício O sistema de controle do braço mecânico da linha de montagem de circuito impresso é 148 aDetermine a faixa de k para que seja estável b Este sistema tem erro de regime permanente nulo para entrada degrau c Calcule o valor de k para que o erro em regime permanente para entrada rampa seja menor que 1mm suponha Obs não há necessidade que o erro seja nulo para entrada rampa d Utilize o MATLAB para verificar os resultados dos itens a bc simulando o sistema Exercício Para o sistema abaixo calcule o erro de regime permanente para entrada degrau unitário e para entrada rampa de inclinação unitária A1 Exercício Para o sistema abaixo determine o erro de regime permanente para uma entrada degrau unitário e para rampa unitária A1 Exercício Projete Ds tal que o sistema abaixo tenha erro de regime permanente nulo para entrada degrau e seja estável 149 Este é o controle de posição do veículo explorador de Marte Pág 112 150 10Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros 101Introdução Uma vantagem de usar realimentação em sistemas de controle é reduzir a sensibilidade do sistema em relação a variações de parâmetros e distúrbios indesejáveis Essas variações podem ser resultantes da alteração da temperatura umidade pressão cargas envelhecimento etc Vamos analisar a variação do valor de regime quando ocorrer uma variação no parâmetro do sistema Primeiramente analisaremos o valor de regime da saída de um sistema sem realimentação Suponha que o sistema seja o seguinte sendo Us uma entrada degrau unitário Us s 1 Como Gs é estável podemos aplicar o TVF para encontrar o valor de regime permanente s s s s y s y s s 1 1 1 lim lim 0 0 1 1 y Suponha que ocorreu uma variação de 10 no valor do polo devido à variação de uma resistência elétrica por exemplo Como ainda é estável temos 0 9091 11 1 1 11 1 lim lim 0 0 2 s s s s y s y s s A variação percentual de y é 151 9 09 100 1 0 9091 1 100 2 y y y y Portanto uma variação de 10 no valor do polo causou uma variação de 909 em y Supondo agora que este mesmo sistema tenha sido realimentado A FTMF é 11 10 1 10 1 1 10 s s s s U Y s Como o sistema é estável teremos 0 9091 11 10 1 11 10 lim 0 s s s y s Se ocorrer uma variação de 10 no polo A FTMF é 111 10 11 10 1 11 10 s s s s U Y s Que é estável logo 0 9009 111 10 1 111 10 lim 0 2 s s s y s A variação percentual de y é 152 90 100 9091 0 0 9009 0 9091 100 2 y y y y Portanto no sistema realimentado uma variação de 10 no valor do polo causou uma variação de 09 no valor de regime da saída y enquanto para esta mesma variação do polo causou uma variação de 909 em y para o sistema sem a realimentação Desta forma concluise que a realimentação diminui a sensibilidade de sistemas de controle Obs Note que se este sistema tivesse um polo na origem não teria variação de y regime permanente se ocorresse variação no valor do polo no sistema realimentado dado que a entrada é um degrau Exercício Considere o sistema abaixo Suponha uma entrada degrau determine a variação percentual de y se o polo variar de 2 para 25 25 e o zero de 10 para 15 50 102Generalização Considere o sistema de controle abaixo neste caso a FTMF é 1 s H s G s G s R Y s T s Definição A sensibilidade do sistema é definida pela relação entre a variação percentual na função de transferência do sistema Ts pela relação percentual da função de transferência 153 do processo central da função de transferência do processo Gs ou seja a sensibilidade é definida como No limite para pequenas variações a equação acima tornase T G G T ou S s T s G s G T s S vide Dorf 8ºed Note que a sensibilidade do sistema é a relação de malha fechada entre a mudança na função de transferência do processo ou parâmetro para uma pequena mudança incremental vide Dorf 8ºed Exemplo Considere o sistema dado na figura anterior Obtenha a expressão genérica de sensibilidade da FTMF Ts em relação à variação de parâmetros no processo Gs sol Neste caso teremos T G G T S T G mas 1 1 1 1 1 1 2 GH GH G G GH S T G Nota Para ter pequena sensibilidade fazse GsHs grande Exemplo Repita o exemplo anterior considerando que a variação de parâmetro se deu no sensor Hs e não na planta de processo Gs sol Neste caso temos T H H T S T H mas 2 2 1 1 GH G GH G H H T logo GH GH GH G H GH G S T H 1 1 1 2 2 154 Nota Quando GsHs é grande a sensibilidade T H S se aproxima da unidade 100 então variações em Hs sensor afetam diretamente a resposta da saída Portanto é importante utilizar sensores de realimentação que não irão variar com mudanças ambientais Um sistema que tem pequena variação na saída devido a seus parâmetros da planta é dito ser um sistema robusto Exercício Dado o sistema abaixo calcule a sensibilidade da função de transferência de malha fechada devido a variação nos parâmetros da planta ou seja calcule T G S Responda k deve ser grande ou pequeno para se ter robustez ou seja baixo valor de T G S 155 11Sinais de Perturbação ou ruído em Sistemas de Controle Um sinal de perturbação é um sinal de entrada indesejável que afeta a saída do sistema Dorf 8ºEd Muitos sistemas de controle são submetidos a sinais de perturbação externos que fazem com que o sistema forneça uma saída inexata Por exemplo os AOs possuem ruído inerente gerado no interior dos circuitos integrados ou dos transistores as antenas de radar são submetidas às rajadas de ventos etc Os sistemas de controle com realimentação podem reduzir os efeitos de perturbação ou ruídos indesejáveis Exemplo Considere a antena rastreadora de satélite abaixo t vento m T t aT t v T t Neste caso temse presente na antena o torque do motor Tmt que aciona o giro da antena o torque de atrito Tat do eixo da antena e o torque devido à ação do vento Tvt na parte superior da antena Seja J o momento de inércia da antena em torno ao eixo e B o coeficiente de atrito temos t J torque Neste caso t J T t T t t T v a m mas t B t Ta logo t J T t t B t T v m Aplicandose a Transformada de Laplace supondo CI nulas temse 2 s Js T s s sB s T v m 156 ainda 2 s sB Js T s s T v m ou 1 T s s B T s Js s v m O diagrama de blocos que representa este sistema é Neste caso o torque do vento é chamado de distúrbio pois ele atrapalha o controle da posição angular s da antena realizada pelo torque do motor Tms O sistema de controle com realimentação é Note que agora o sistema tem duas entradas ss que é a referência desejado e Tvs que é o distúrbio provindo do vento indesejável A função de transferência entre a saída s e as duas entradas ss e Tvs é 1 1 T s s T B s Js s v m mas Tmsksss 2 substituindo 2 em 1 temse 157 1 T s s s k B s Js s v s ou sJsBskskssTvs então 1 k T s B s Js s k B Js s k s v s Então este sistema tem duas funções de transferência uma de ss para s e outra de Tvs para s ou seja sG1sssG2sTvs sendo B k Js s k G s 1 B k s Js G s 1 2 No projeto do controlador k para que a perturbação Tvs influencie o mínimo possível na saída s faz k suficientemente grande e ainda deve garantir a estabilidade do sistema Para que s rastreie ss sendo ss uma entrada rampa desejase que o erro de regime seja o menor possível Usandose a tabela do capítulo 9 Pg 147 temse Kv A e pois o sistema de malha aberta tem apenas um polo na origem sendo B k B sk s Js sD s G s k s s v 1 lim lim 0 0 logo k A B e Assim para que o erro de regime seja pequeno k tem que ser suficientemente grande Logo k com valor grande é adequado neste sistema para rejeitar o distúrbio e ter erro de regime pequeno Vamos analisar robustez sensibilidade A relação entre ss e s pode ser obtida 158 fazendo Tvs0 no diagrama de blocos anterior A sensibilidade 1T G S neste caso é dada pela equação 1 do capítulo 10 GH S T G 1 1 1 sendo B Js s k G e H1logo k B Js s B Js s B Js s k S T G 1 1 2 Para Tvs e s a sensibilidade S T2 G é calculada fazendo ss0 no diagrama de blocos Assim GH S T G 1 1 1 sendo k B e H s Js G 1 temos k B Js s B Js s B Js s k S T G 1 1 1 2 Assim quanto maior for k menor serão as sensibilidades 2 1 T G T G e S S logo melhor será a robustez do sistema devido às variações paramétricas da planta antena Gs Então grande valor de k diminuirá erro de regime permanente irá rejeitar a influência do distúrbio e melhorar a robustez do sistema realimentado Basta verificar se o sistema é 159 estável neste caso analisamos o denominador de G1s e G2s que é k Bs Js k B s Js D s 2 1ºpasso DsJs2Bsk 2ºpasso como J e B são positivos então é necessário que k0 3ºpasso s2 J K s1 B 0 s0 k k0 Logo basta que k seja positivo para a estabilidade O projeto do controlador para rejeição do ruído ou perturbação pode ser feito supondo que o distúrbio seja do tipo degrau e então analisase o valor de regime permanente de saída y Suponha que o vento seja uma entrada tipo degrau s Tv 1 Então s G s G s T s s v 1 2 2 No regime permanente k s B s s Ts t s t 1 1 lim 0 k t t 1 logo k deve ser grande Exemplo Foi construído um túnel sob o Canal da Macha ligando a Inglaterra à França Dorf 2ºed Duas máquinas perfuratrizes foram usadas saindo ambas das extremidades do canal indo em direção ao centro um total de 235 milhas Para obter a precisão necessária para o encontro delas no meio do túnel foi montado um sistema de orientação a laser um modelo do controle das máquinas é dado a seguir 160 sendo Ds o efeito de carga sobre a máquina que é um distúrbio Neste caso temse 1 12 1 12 11 2 2 k D s s s k R s s s s k Y s Para projetar k tal que ocorra rejeição do distúrbio Ds fezse Rs0 em 1 e Ds uma entrada tipo degrau k s s s Y s 1 12 1 2 Assim o valor de regime permanente da saída é k s s s s s Y s y s s 1 12 1 lim lim 2 0 0 k y 1 então é necessário que k seja grande para que a saída y seja pequeno rejeitando a perturbação É necessário também que o sistema s212sk tenha raízes do lado esquerdo do plano s 1ºpasso Dss212sk 2ºpasso k0 3ºpasso s2 1 k s1 12 0 s0 k k0 Portanto é necessário que k0 Em Dorf 2ºed selecionase k20 para uma boa rejeição de ruído Ds Perturbação Exercícios Considere o veículo explorador de Marte dado no capítulo 8 O modelo do sistema considerandose perturbações no seu deslocamento tais como pedras é 161 Projete k tal que o sistema seja estável e tenha uma boa rejeição do distúrbio Ds Exercício O telescópio Hubble tem um sistema de posicionamento preciso pois pode focalizar uma moeda e uma distância de 400 milhas vide Dorf 8ºed O diagrama do sistema de controle é Projete o amplificador k tal que sejam atendidos todos os itens baixo a Seja estável b PO 10 sendo Rs um degrau c Erro de regime permanente para Rs uma entrada rampa menor possível d O efeito de uma perturbação Ds do tipo degrau seja reduzida Exercício Suponha que o sistema de controle abaixo sofre ação de distúrbio Ds Projete k tal que o sistema tenha a menor influência do distúrbio em relação à saída Ys E ainda tenha erro de regime permanente nulo para entrada degrau em Rs 162 12Método do Lugar das Raízes RootLocus 121 Introdução O método do lugar das Raízes foi criado por R Evans em 1953 Permite estudar a evolução das raízes de uma equação quando um parâmetro é variado continuamente Possibilitando a determinação deste parâmetro de tal forma que o sistema atinja o comportamento dinâmico desejado Ambas as funções de transferência de sistemas contínuos e discretos são funções complexas ou seja funções que possuem variáveis complexas s ou z respectivamente Desta forma as regras do método do lugar das raízes são as mesmas para os dois sistemas será mostrada aqui uma introdução deste tópico O princípio do método está baseado na realimentação mostrada a seguir Figura 1 Diagrama de Blocos do Sistema Realimentado Sendo que desejase determinar a influência do ganho k 0k sobre os polos do sistema em malha fechada A função de transferência de malha fechada do sistema da figura acima é 1 H s G s k G s k s U s Y O objetivo do método é estabelecer regras simples para traçar o lugar geométrico formado pelas raízes de 1GsHs quando k variar de 0 a sem o conhecimento explícito das raízes de malha fechada Desejase estudar a seguinte equação 1kGsHs0 para 0k cuja soluções são os polos de malha fechada do sistema da Figura 1 acima Exemplo de Sistema de Controle Considere um acionador de disco rígido mostrado na figura abaixo retirado do Dorf 8ª Ed O objetivo do dispositivo leitor do acionador de disco é posicionar o cabeçote de leitura das trilhas de dados armazenados ver Dorf Devese controlar com precisão a posição angular do cabeçote Segundo Dorf o disco gira com uma velocidade entre 1800 e 7200 rpm e a cabeça voa acima do disco a uma distância menor que 100nm A especificação de projeto é que o cabeçote vá da trilha a para a trilha b em 50ms 163 Figura 2 Sistema de um acionador de disco rígido O sistema de malha fechada deste sistema posicionador do cabeçote dado em Dorf é dado na figura abaixo Figura 3 Diagrama de blocos do modelo do sistema de controle Em Dorf é admitido que o sensor possui função de transferência Hs1 e a função de transferência do motor e cabeçote é R b Ls Js s k G s m sendo J momento de inércia b coeficiente de atrito viscoso L indutância do motor R resistência elétrica e m k constante de torque do motor Em Dorf constante elétrica do motor é desprezada L0 e substituindo os valores de J B R e m k temse 20 5 s s G s Ka Gs Hs Controle Proporcional Motor e cabeçote sensor Posição desejada Posição real do cabeçote 164 Podemos verificar que a posição dos polos de malha fechada do sistema realimentado depende do valor de ka Desejamos estudar os polos de malha fechada quando ka assume os valores ka0 até ka Vamos desenhar o rootlocus do sistema calculandose as raízes do denominador da função de transferência de malha fechada FTMF para cada valor de ka temos a a a a k s s k s s k s s k s U s Y 5 20 5 20 5 1 20 5 2 Os polos de malha fechada são dados por a a k k s 5 100 10 2 4 5 20 20 2 1 2 Montase a tabela ka s1 s2 0 20 0 1 1975 025 5 1866 134 10 1707 293 20 10 10 30 10j707 10j707 60 10j1414 10j1414 10j 10j Podemos então traçar o rootlocus 165 O lugar geométrico acima é o lugar geométrico das raízes da FTMF chamado de root locus Com esse estudo podese determinar o lugar geométrico que ocupam os polos de malha fechada do sistema realimentado quando k variar de 0 a Evans propôs um método genérico para levantar estes lugares geométricos baseado em algumas regras simples para montagem do rootlocus As regras do RootLocus Regra 1 Os ramos do rootlocus começam nos polos de GsHs nos quais k0 Os ramos terminam nos zeros de GsHs inclusive zeros no infinito O número de zeros no infinito é igual a NzNpNz 51 onde Np nº de polos de GsHs Nz nº de zeros de GsHs Exemplo Suponha que no sistema da Figura 1 Gs e Hs são 4 5 2 2 s s H s e s s G s 52 As raízes de 1kGsHs serão determinadas por 0 4 5 2 1 2 s s s s k 53 ou ainda 60 60 166 s2s4ks2s50 54 i se k0 a equação acima ficará s2s40 logo s1s20 e s34 Note que esses são os polos de GsHs ii Se k para analisar este intervalo vamos reescrever a equação 54 5 2 4 2 s s s s k 55 Se k o lado direito da equação 55 se iguala a se e somente se s 2 pela esquerda s 5 pela esquerda ou s sendo que s12 e s25 são os zeros de GsHs e s é um zero no infinito Neste caso Np3 e Nz2 logo Nz321 Regra 2 As regiões do eixo real à esquerda de um número ímpar de polos mais zeros de kGsHs pertencem ao rootlocus Exemplo para os valores do exemplo anterior teremos 4 5 2 2 s s s k s kG s H s Os zeros são z12 e z25 Os polos são P1P20 e P34 No plano imaginário os polos são representados por X e os zeros por O A aplicação da regra 2 neste caso será 167 Esta regra é facilmente obtida verificandose a condição de ângulo da equação 1kGsHs0 que pode ser reescrita na forma 0 1 k kG s H s Para que esta equação seja verdadeira o ângulo deverá ser Nota A condição de módulo da equação característica do root locus é 1 1 kG s H s kG s H s Nota Na figura acima GsHs é avaliada em um ponto sso através do uso de vetores que unem cada polo e cada zero ao ponto so em Hs Gs Vamos ilustrar com um exemplo numérico Seja 8 3 s s H s G s e queremos avaliar HsGss os Neste caso mas so3 e so8 são os vetores x e y respectivamente mostrados abaixo so o 168 Logo Se transladarmos x horizontalmente de 3 e y de 8 teremos O que não muda os ângulos α e β e resulta nos vetores x e y que ligam o zero e polo de GsHs ao ponto so Note que os módulos de x e y não mudam com a translação ou seja y e y x x Regra 3 Quando k se aproxima de os ramos do rootlocus que tendem a infinito e assintotam retas com inclinação 1 2 1 0 180 1 2 z p o z p N N i n n i sendo np número de polos de GsHs nz número de zeros de GsHs Verificação Considere 4 1 s s s k kG s H s temos np3 e nz0 no plano complexo teremos 8 169 Fazendo o ponto P crescer infinitamente e para verificar se pertence ao rootlocus vamos reescrever a figura acima O ponto P pertencerá ao rootlocus se Sendo que p 3 2 1 logo Logo 3 1 180 2 3 1 180 2 o o i i Porém npnz3 então 1 0 1 180 2 i n n i z p o Retornando ao exemplo os ângulos das assíntotas serão 1 0 1 60 2 0 3 1 180 2 0 i i i o 170 Para o o o e i i i 300 2 180 1 60 0 o o o e i i i 300 3 180 2 60 1 Porém das relações trigonométricas temos as seguintes equivalências o o o o o o 300 60 300 180 60 180 Logo o o o e 180 60 60 3 2 1 Regra 4 O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade CG da configuração de polos e zeros de GsHs ou seja z p n n zeros pólos CG Exemplo Para o sistema do exemplo anterior onde 4 1 1 s s s G s H s teremos np3 e nz0 os polos são p10 p21 e p34 os zeros são nenhum Logo 3 5 0 3 0 0 1 4 CG Então Regra 5 Os pontos nos quais os ramos do rootlocus deixam ou entram o eixo real são determinados utilizandose a seguinte relação 0 1 G s H s ds d No exemplo descrito anteriormente teremos 171 1 4 1 s s s G s H s Então s s s s s s G s H s 4 5 1 4 2 3 1 Logo 0 4 10 3 4 5 2 2 3 1 s s s s ds s d ds G s H s d As soluções são s104648 e s228685 desprezado pois não pertence ao rootlocus O rootlocus será Regra 6 Duas raízes deixam ou entram no eixo real com ângulos 90o Regra 7 O rootlocus é simétrico em relação ao eixo real Isto decorre do fato de que as raízes de um polinômio de coeficientes reais ou são reais ou pares complexos conjugados Regra 8 para se determinar o ganho k associado a um ponto p do rootlocus devese utilizar a condição de módulo da equação 0 1 kG s H s Que pode ser colocada numa forma mais direta reescrevendose a equação acima 172 1 kG s H s Pela condição de módulo temos 1 1 k G s H s como 0k temos 1 1 k G s H s Para sp teremos p s s p s H s G k G s H s k 1 1 1 1 Exemplo Suponha que no sistema da fig1 as funções de transferência são s e H s s G s 1 1 1 Calcule o máximo valor de k de tal forma que os polos de malha fechada do sistema fiquem dentro do círculo Trace o rootlocus do sistema para ajudar Neste caso teremos 1 s s k kG s H s Temos polos p10 e p21 zeros nenhum np2 Nz202 nz0 Ângulo das assíntotas o z p n n i 90 1 180 2 CG das assíntotas 2 1 0 2 0 1 0 z p n n zeros pólos CG Ponto de partida 2 1 0 1 2 0 2 1 s s s ds s d ds G s H s d O rootlocus 173 Veremos mais adiante que um sistema discreto será estável se as raízes da FTMF ficar dentro do círculo unitário Isto é respeitado se e somente se 0kko Para determinar ko iremos utilizar a regra 8 sendo que o ponto de cruzamento do rootlocus com o círculo unitário é Pela regra 8 a condição de módulo é 1 1 2 3 2 0 1 2 3 2 1 1 1 j j z p p p k m i i n j j o Logo para que o sistema discreto seja estável é necessário que 0k1 Obs Este não é o critério de estabilidade para sistemas contínuos no tempo Regra 9 Os ângulos de saída chegada de polos aos zeros são determinados a partir do condição geral de ângulo ko 174 Exemplo Seja 1 4 1 4 2 j j s s s k s kG s H s Neste caso Nz312 portanto teremos 2 assíntotas O esboço inicial do rootlocus é Precisase determinar o ângulo com o qual o rootlocus deixa os polos complexos Para isto verificamos qual é o ângulo de um ponto P próximo a esse polo fazendo Pela condição de ângulo teremos Se a distância entre p e o polo for nula ou seja r0 os ângulos serão Logo substituindo esses valores na equação de ângulo teremos 7596º ө 10404 90º2i1180º Para 29808º 0 i que é ângulo de partida dos polos 175 O rootlocus será Exemplo Suponha que no sistema da Fig 1 tenhamos 1 50 s s k s kG s H s Trace o root locus Este sistema tem dois polos e um zero é conhecido que neste caso o rootlocus é um círculo centrado no zero Para determinar o raio basta calcular o ponto de partida com a relação 0 1 ds G s H s d regra 5 Neste caso 0 50 1 s s s ds d 0 50 0 50 50 1 2 2 2 2 s s s s s s s Então s10366 S21366 O rootlocus será o 176 Este sistema tem os mesmo polos que o do exemplo dado na regra 8 mais um zero em 05 Comparando os dois rootlocus dos exemplos percebese que a presença do zero atrai o rootlocus No próximo capítulo serão apresentadas as especificações de um sistema de controle e os principais métodos de projeto de controladores Exercício Trace o rootlocus de cada um dos três sistema 1 1 1 1 s s i G s H s 1 4 2 2 s s s s ii G s H 4 1 1 3 3 s s s iii G s H s Conclua que zeros atraem o RL e polos repelem o RL Regra 10 O ponto onde o rootlocus cruza o eixo imaginário é obtido fazendose sjω na equação característica Exemplo Na Figura 1 suponha que 3 2 3 2 k kG s s s s e 1 H s A equação característica é 1kGsHs0 Então 0 2 3 0 2 3 1 2 3 2 3 k s s s s s s k Fazendo sj j 33j 22j k0 j 33 22j k0 j2 3k3 20 2 30 i e 177 k3 20 ii de i temos 2 20 0 ou 2 de ii temos k3 20k3 2 iii 0 não é aceito pois ocorre quando k0 2 é a solução Para 2 o valor de k é obtido através da expressão iii 6 3 2 2 k k Vamos traçar o RL completo s s s k s s s k kG s H s 2 1 2 3 2 3 Polos P11 P22 P30 Zeros nenhum Np3 Nz0 Nz303 Ângulos das assíntotas 60 º 180º 60 º 1 60º 2 1 180º 2 i n n i z p Ponto de ramificação de partida 0 2 3 1 1 2 3 s s s ds d 0 2 6 3 0 2 3 2 2 3 s s s s ds s d 0 42 58 1 6 12 6 12 24 36 2 1 1 2 s s s CG das assíntotas 1 0 3 0 0 1 2 z p n n zeros pólo CG Temos 178 Podese concluir pelo rootlocus que o sistema é estável para 0k6 O cruzamento do RL com o eixo imaginário também pode ser determinado usando o critério de estabilidade de Routh dado nos capítulos anteriores Vide exemplo abaixo Exemplo Para o mesmo exemplo anterior determine o valor de k quando o RL cruze o eixo imaginário usando o critério de Routh Sol FTMF será 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 k kG s H s k s s s k kG s H s s s s k s s s Logo o polinômio característico é s33s22sk 1º k0 2º s33s22sk 3º Montar tabela 6 0 3 6 0 3 2 3 3 2 1 0 1 2 3 k k k s k s k s s Portanto o sistema será estável se 0k6 e quando k6 a raiz da FTMF estará sobre o eixo imaginário quando o RL cruza o eixo imaginário k0 179 Regra 11 Se pelo menos dois ramos do RootLocus vão para o infinito ou seja se tem pelo menos 2 assíntotas então a soma dos polos de malha fechada correspondentes a um mesmo k é uma constante independente de k Exemplo No exemplo anterior calcule todos os polos do sistema de malha fechada quando k6 Desejase determinar a 3ª raiz do RL quando k6 pois as outras duas já sabemos 2 Neste caso temos 3 assíntotas portanto podemos aplicar a regra 11 6 0 k k pólos pólos 3 2 2 2 1 0 j j Exercícios Um sistema de controle está mostrado abaixo Esboçar o rootlocus para cada um dos sistemas que tenham a k C s b 1 k s C s c 10 1 s k s C s 180 d 10 3 1 s s k s C s Obs o controlador não deverá ter mais zeros que polos devido a dificuldade de implementação prática Exercícios trace o rootlocus do seguinte sistema de controle Técnicas de Projeto de Controladores usando o RootLocus Uma propriedade importante do RootLocus dada como exercício na pg 176 é que zeros atraem a RootLocus e polos repelem o RootLocus Então utilizase esta propriedade para projetar controladores que estabilizem a planta sistema de malha fechada a ainda atendam as especificações de desempenho PO te e erro de regime permanente Exemplo Projete um controlador Cs tal que o sistema abaixo seja estável 1º tentativa propõemse o controlador Cs o mais simples possível ou seja CsK apenas um ganho k Será que existe k tal que o sistema de malha fechada seja estável Usemos o RootLocus para verificar 4 2 s s K G s C s Np2 Nz0 Nz202 90º 180 2 1 2 sin i t as 3 2 0 4 2 CG 3 6 2 8 6 2 s s s ds s d Ponto de Partida 181 Não é possível estabilizar o sistema com Cs igual a apenas um ganho 2º tentativa atrair o RootLocus para a região de estabilidade colocando zeros no lado esquerdo do plano s zeros do controlador Como o controlador deve ser implementado o número de zeros não pode ser maior que o número de polos Então sugerimos 200 100 4 2 s s s K s C s Então 4 2 1 200 100 4 2 s s s s s K s G s C s Polos p1 100 p2200 p32 p44 Np4 Zeros z12 z24 Nz2 Nz422 assint 90º 144 2 288 2 4 4 2 4 2 200 100 z p N N z p CG É necessário determinar o valor de k tal que o sistema seja estável Usando a regra 10 1 2 4 1 0 2 4 100 200 s j K s s s s s s 0 8 6 20000 300 8 6 2 2 2 s j s K s s s s s K20015 e 29 Então K20015 soluciona o problema por exemplo use K20040 Não é apenas a estabilidade uma necessidade de projeto de sistemas de controle mas também os índices de desempenho estudados no Capítulo 8 PO e te Relembrados abaixo segundo localização no planos o RL foi atraído para a região de estabilidade 182 2 2 2 2 n n n s s s G Raízes 1 0 1 2 4 4 2 2 2 2 2 1 2 para j s n n n n n cos cos cos arc PO n n Índices de desempenho para entrada degrau Exemplo Desejase PO 5 e te 2s Especifique a região na qual os polos do sistema devem estar no planos Use o critério de 2 para o tempo de estabelecimento Sol 2 2 2 4 n n n et logo 2 4 n et 1 2 100 e PO 183 45º 70 5 PO logo As duas especificações são satisfatórias na intersecção das regiões acima ou seja Assim os polos de malha fechada do sistema de controle para o qual necessitase de PO 5 e Te2s deverão estar dentro da região acima os polos do RootLocus deverão passar dentro desta região e então escolher um valor de K tal que os polos fiquem dentro Tempo de Subida ts Como visto nos capítulos anteriores o tempo de subida é dado por n st 81 que é uma aproximação considerando 05 Exemplo Se 1 81 n s s t logo a região que satisfaz é 184 Exemplo Desejase 09s ts 18s logo 1 81 81 n n 2 90 81 n n temos Exemplo Projete o controlador Cs abaixo tal que o sistema tenha PO 5 e Te 4s tempo de estabelecimento para critério de 2 sol Primeiramente desenhase a região do planos que satisfaz todas as especificações PO5 07 45º 1 1 4 4 4 te n n n a região que satisfaz todas especificações está mostrada na página seguinte Primeira tentativa suponhamos CsK temos s 185 2 0 2 0 4 0 º 90 2 0 2 4 sin CG N N N s s K s C s G t as z z p Temos É necessário determinar o valor de K tal que para valores menores de K os polos de malha fechada estejam dentro da região especificada ou seja KKmáx Pela figura anterior para K Kmáx temse s2j2 pois 45º Então 0 1 G s C s condição de módulo 1 4 1 2 2 j s máx s s K 8 8 8 4 2 2 2 2 máx máx K j j K 4 1 4 1 min 2 min K s s K s 8 4 K Logo pode usar K6 por exemplo Então Cs6 Obs Não use o KKmin pois o sistema está no caso subamortecido É necessário que KKmin O Kmin é necessário para que o sistema tenha pólos complexos conjugados 0 01 Note que o sistema de malha fechada será sempre estável 186 Uma outra técnica de projeto de controladores é a técnica de cancelamento de polos e zeros todos do lado esquerdo do plano s de tal forma que o RL passe dentro da região das especificações Isto é ilustrado seguir Exemplo O rastreador solar dado nos capítulos anteriores tem a seguinte estrutura de controle Projete o controlador Cs tal que o sistema de malha fechada tenha PO5 e te4s critério 2 sol Note que a região das especificações são as mesmas do exemplo anterior primeira tentativa CsKc temos 10 80 80 10 c c K k s s k K s s KG s C s O rootlocus será Segunda tentativa iremos cancelar o polo 08 da planta com um zero do controlador Cs e colocar um polo do controlador tal que o novo RL passe dentro da região das especificações 4 80 s K s C s c temos 80 4 80 80 10 4 80 s s s s k s s s s K KG s C s c kKc10 Neste caso o rootlocus será Note que o rootlocus não passa dentro da região das especificações logo não existe K tal que as especificações sejam atendidas 187 Neste caso kmáx8 mas kKc10 Kcmáx08 kmin4 Kcmin04 Temos 4 80 70 s s C s Exercício Projete um circuito com AO Amplificador Operacional que implemente o controlador projetado acima Dica use os capítulos anteriores desta apostila Nota Importante o cancelamento de polos e zeros mostrado anteriormente não pode ocorrer no lado direito do planos ou no eixo imaginário Isto se deve ao fato de que o controlador Cs projetado nunca poderá ser implementado na prática com um erro nulo Na prática a implementação de Cs não será ideal Por exemplo poderíamos propor o cancelamento de polos e zeros para o exemplo da pg 181 onde Assim para atrair o RL para o lado esquerdo do planos e colocálo dentro da região de estabilidade e especificações podem propor o simples controlador cancelando o polo em p12 10 s Ks 2 C s O polo p108 da planta foi cancelado pelo zero z108 do controlador 188 Nota Ao projetar um controlador devese observar a dominância dos polos que ficam dentro das regiões das especificações A dominância de polos já foi estudada nesta apostila No exemplo da página 182 os polos do controlador foram colocados em 100 e 200 para que os polos mais próximos da origem de malha fechada fossem dominantes Exercício Os lasers podem ser usados para perfurar o colo do fêmur na bacia visando a inserção apropriada de uma prótese O uso de laser na cirurgia requer alta precisão na resposta de posição e de velocidade O sistema de controle que usa um manipulador com motor CC é dada abaixo O ganho K do amplificador deve ser projetado de modo que o erro estacionário para uma entrada rampa utAt A1mms seja menor ou igual a cancelamento de um polo instável da planta com um zero do controlador ampliação do cancelamento de polo e zero como não será possível implementar z12 exatamente o rootlocus prático será supondo que ocorreu um erro de 1 na implementação do zero z12 prático z1198 Esta parte do rootlocus não irá para o lado esquerdo do planos então terá um polo do sistema de malha fechada no lado direito do planos 189 03mm ainda ser estável ter PO20 e te8s para 2 de regime Use o root locus e o conceito de polos dominantes Lembrese que lim 0 s G s sD A s para DsGs com 1 polo na origem Exercício O sistema de controle de posição angular de um satélite é dado abaixo Projete Cs tal que o sistema seja estável tendose PO5 e te01s Exercício Nos últimos anos vêm sendo utilizados nas fábricas muitos sistemas de controle automáticos para veículos autoguiados O sistema de controle de um deles é dado abaixo Monte o rootlocus e determine um valor adequado para o ganho K de modo que 0707 das raízes complexas conjugadas dominantes Exercício Um avião a jato de elevado desempenho tem sistema de controle dado abaixo Monte o lugar das raízes e determine o ganho K de modo que dos polos complexos conjugados próximos ao eixo j polos dominantes seja o maior possível Calcular as raízes para este valor de K e prever a resposta ao degrau do sistema qual serão PO e te Use o MATLAB para obter yt para ut degrau e compare com o esperado Existe dominância Exercício O diagrama de blocos do sistema de controle da velocidade de um automóvel autônomo é mostrado abaixo Centro de Massa Ft tubeira t 190 Para melhorar a resposta do veículo é necessário projetar o controlador tal que o sistema de malha fechada não tenha overshoot ou seja 90 e que o tempo de subida esteja entre s ts 06 03 Exercício O sistema de controle de um elevador de cargas automático é mostrado abaixo Projete o controlador tal que o sistema tenha PO 10 tempo de subida aproximadamente 05s e erro de regime nulo para entrada degrau Exercício Para o sistema posicionador do cabeçote do disco rígido Winchester dos computadores dado na figura abaixo projete o controlador tal que o sistema tenha tempo de subida de ms ts 22 18 e overshoot 20 O MATLAB traça o rootlocus facilmente Por exemplo para traçar o root locus de 191 Basta definir o numerador e o denominador de GsHs s s s s s s s s G s H s 6 5 1 3 2 1 2 3 e usar a função rlocus 35 3 25 2 15 1 05 0 05 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Root Locus Real Axis Imaginary Axis Caso desejase obter o valor k para um ponto sobre a rootlocus use a função rlocfindnum den e então posicione o cursor sobre o rootlocus e pressione enter na tela irá aparecer ponto selecionado2050943228i ans 205775 este é o valor de k quando o polo for 2050943228i A região que atende as especificações podem ser colocadas no rootlocus do MATLAB usandose a função sgrid Digite Help sgrid para maiores detalhes Após ter projetado o controlador usando MATLAB o aluno pode simular em seguida o sistema para uma entrada degrau ou outras usando a função step vista nos capítulos anteriores desta apostila Exercício Use o MATLAB para traçar o rootlocus do sistema abaixo e selecione k tal que a resposta ao degrau tenha PO20 e tempo de estabelecimento menor que 5s num1 1 den1 5 6 0 rlocusnumden 192 Simule o sistema com k projetado e verifique se realmente ocorreu a dominância modifique os polos ou zeros do controlador de tal forma a ocorrer a dominância O MATLAB tem ainda uma facilidade para projetar e traçar o rootlocus chamado rltool que abre uma janela que traça o rootlocus resposta degrau Bode Nyquist etc Digite no MATLAB rltool Veja o exemplo na página seguinte Exemplo Para s s s s s s s s G s H s 6 5 1 3 2 1 2 3 digite no MATLAB num1 1 den1 5 6 0 systfnumden rltoolsys Irá abrir a janela do rltool como mostrado abaixo Na janela do RootLocus dê um click com o botão direito do mouse e selecione Design Requirementes New Settling Time sec 8 Novamente New Porcent Overshoot 20 Veja que aparece no rootlocus a região que atende essas especificações Na figura acima a resposta ao degrau foi obtida usando a ferramenta analysis através de uma janela do rltool 193 Controlador tipo Avanço Lead A figura abaixo mostra um circuito com AO cuja função de transferência é dada abaixo T s T s K R C s R C s C R C R s E s E C i o 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 4 Sendo 2 3 1 4 2 2 1 1 C R R C K e R C T R C T C Se α1Circuito com avanço de fase lead e as raízes no planos são Se α1Circuito com atraso de fase lag e as raízes no planos são Característica Melhora a resposta transitória Pouca influência na resposta em regime permanente Melhora estabilidade 194 Demonstração do cálculo da função de transferência do circuito da página anterior O circuito anterior está repedido abaixo Como este é um circuito com AO a função de transferência de Eos para Eis é 2 1 G s G s s E s E i o Claramente que 3 4 2 R R G Da mesma forma 1 2 1 Z Z G Neste caso R C s R Z sC R Z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Da mesma forma R C s R Z 2 2 2 2 1 logo Característica Melhora a resposta em regime permanente Pouca influência na resposta transitória Piora a estabilidade o x 195 C s R C s R R R R C s R R C s R G 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ou ainda s R C C R s R C C R R R G 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 R C s R C s C C G 2 2 1 1 2 3 1 4 2 1 1 1 R C s R C s C R R C G s G s s E s E i o Então a função de transferência deste controlador é 2 3 1 4 2 2 1 1 1 1 C R R C e K R C T R C T T s T s K C s C C A seguir será mostrada uma técnica de projeto de controlador em avanço lead Nota O controlador é dito em avanço devido ao fato de ӨZ ӨP cqd o ӨZ ӨP 196 Sendo Cs a função de transferência do controlador em avanço lead dada anteriormente Técnica de projeto de Controlador em Avanço lead 1 Partindo das especificações de desempenho PO te determine as localizações desejadas dos polos dominantes no planos 2 Verifique se usando apenas um ganho na malha aberta é possível satisfazer as especificações de projeto para isto use o rootlocus 3 Se for possível o projeto está terminado do contrário vá para o passo 4 4 Fixe um ponto no planos sso tal que todas as especificações sejam obedecidas PO e te Encontre um compensador Cs na configuração Cscontrolador em avanço de tal forma que sso pertença ao rootlocus deste sistema Para isto devese ter 1 0 1 o o s s G s C s G s s C o ou h G s C s e G s C s G s C s o o o o o o 2 1 1 ou 2 1 0 1 2 h G s h o βcontribuição angular do controlador Obs Dependendo do valor de β será necessário usar várias redes em avanço em série sendo que a defasagem de cada rede é 90º na prática 56º α01 O problema agora é determinar α e T de modo que Cso β sendo β a defasagem necessária do controlador lead para que o rootlocus passe por sso Existem muitos valores de α e T que solucionam este problema O procedimento mostrado a seguir obtém o maior valor possível de α de modo que o ganho adicional exigido pelo amplificador k seja o menor possível 197 a Seja sso o ponto desejado que o rootlocus passe Trace uma reta horizontal ao eixo real passando por sso b Una o ponto so com a origem e trace a bissetriz do ângulo A so 0 determine o ponto B no eixo real negativo c Desenhe duas retas so C e so D que fazem ângulos 2 com a bissetriz so B As intersecções de so C e so D com o eixo real negativo determinam T T e 1 1 desejados ou seja o polo e o zero desejado do controlador 5 Coloque este controlador Cs projetado na malha do sistema e simule usando o MATLAB Se o desempenho não estiver como desejado devese tentar outro controlador do contrário pare Exemplo Projete o sistema de controle abaixo de modo que o sistema de malha fechada tenha PO 17 e tempo de estabelecimento de 2s 2 para os polos dominantes A 198 1 As especificações no planos são PO17ξ05θ60º te22sTe 2 4 n ξωn2 2 Verifique se Csk soluciona 2 s s k G s kC s o rootlocus é Portanto o RL não passa por so logo k que soluciona o problema Ir para passo 3 3 Usar compensador lead T s T s k s C 1 1 Neste caso a defasagem necessária do controlador será 2 1 0 1180º 2 h G s h o mas º 210 2 2 3 2 3 2 2 1 j j G s o logo β180º210 com h1 β30º β0 sempre so n 2 199 Determinação do ganho 1 o o G s k C s mas j s o j s o s k s C s e s s s G 2 2 3 2 2 3 45 92 2 1 logo 7 18 45 92 2 1 1 2 3 2 j s s s s s s k Então o controlador será 45 92 18 7 s s C s O rootlocus do sistema compensado será num1871 29 denconv1 2 0 1 54 rlocusnumden E a resposta ao degrau está mostrada na figura seguinte sendo que a FTMF foi obtida usando os comandos series e feedback do MATLAB o programa está mostrado abaixo num1871 29 den1 54 num11 den11 2 0 ndseriesnumdennum1den1 n1d1feedbacknd11 stepn1d1 Assim T s T s k s C 1 1 45 92 s k s C s 29 Rs 200 Time sec Amplitude Step Response 0 05 1 15 2 25 3 0 02 04 06 08 1 12 14 From U1 To Y1 A PO medida no gráfico é PO 20 e o tempo de estabilização é te2s Neste caso apenas a PO ficou um pouco maior a especificada no enunciado do problema Isto deve ao fato que os polos complexos conjugados dominantes não apresentarem dominância plena pois o polo do controlador está relativamente próximo aos polos complexos conjugados trace o rootlocus para verificar isto Técnica de projeto de controlador em Atraso Lag Já foi dado na pg 194 o circuito do controlador em atraso e sabese que sua função de transferência é T s T s K s G C C 1 1 β 1 com Pólos do sistema de malha fechada 1999 3421j 34122 201 e kc será igual a 1 Kc1 pois assim o controlador irá influenciar pouco na estabilidade e transitório do sistema Este controlador melhora a resposta em regime permanente diminuindo o erro de regime mantendo as características da resposta transitória Inicialmente é suposto que o sistema realimentado tem boa resposta transitória porém erro de regime permanente ruim Fig 1 Sistema realimentado com boa resposta transitória e erro de regime ruim Então inserese um controlador Gcs na malha como mostrado a seguir e desejase melhorar o regime permanente sem modificar muito o transitório Fig 2 Sistema com o lag temos E s G s s G s Y Y s U s s E C logo 1 1 1 U s G s G s s E c O erro de regime permanente é calculado fazendose s0 em 1 e Gcs irá diminuir esse erro de regime se Gcs 0 s for suficientemente grande Se apenas aumentar kc poderá tirar o rootlocus da dominância O objetivo de projetar o controlador em atraso é aumentar o ganho de malha aberta sem modificar muito a posição dos polos dominantes que são responsáveis pela resposta transitória Técnica de Projeto 1 No sistema não compensado vide fig 1 determine os polos dominantes s1 e o coeficiente de erro constante de erro em regime permanente para a entrada desejada por exemplo rampa ou degrau Vide capítulos anteriores 2 Comparando o coeficiente de erro especificado no enunciado do problema desejado e o obtido em 1 determine aumento necessário ao coeficiente de erro do sistema de malha aberta de erro do sistema sem o controlador em atraso coef coef do erro desejado 202 1 p z z p r r r r 3 Escolha um controlador Gcs em atraso com polo e zero bem próximo do eixo jω de modo que para ss1polo dominante tenhase 1 1 1 1 1 1 T s T s s Gc Interpretação 0º 1 Gc s poucos graus Interpretação 0º 1 p z Gc s pois p z Assim teremos 10º 1 Gc s e no regime permanente T T s G s c 1 1 0 4 Verifique se os polos dominantes do sistema compensado de malha fechada permanecem próximos aos anteriores Use o MATLAB para simular o sistema Exemplo Projete um controlador para o sistema abaixo de modo que o coeficiente de erro de velocidade seja 5s1 entrada rampa sem modificar sensivelmente o seu desempenho transitório Sol 1 Determinação dos polos dominantes de FTMF O compensador comportase como um ganho unitário em ss1 e portanto não modificará muito o transitório do sistema de malha fechada correção necessária 203 2 33 0 58 0 33 0 58 0 33 06 1 2 1 1 06 1 2 1 06 1 s j s j s s s s s s s s U Y s Assim os polos dominantes são 0 58 0 33 1 2 j s O rootlocus e a resposta ao degrau são dados abaixo A constante de erro de regime permanente para entrada rampa é calculada por 1 0 0 53 2 106 lim s s G s k s v Vide tabela da pg 147 Note que o sistema de malha aberta tem um polo na origem 2 kv do sistema sem controlador053s1 do sistema com o controlador desejado5s1 10 0 53 5 v v k k vezes 3 Escolhemos β10 Para que o polo e o zero do controlador fiquem próximo à origem escolhemos T10 então polo em 001 e zero em 01 logo 0 01 10 1 1 s s T s T s s Gc 204 Note que 8º 0 01 0 58 0 33 10 0 58 0 33 0 58 0 33 j j s G j s C e O rootlocus do sistema com este compensador inserido segundo a fig 2 e a resposta ao degrau é 4 A simulação do sistema para entrada degrau está mostrada acima usouse o MATALAB Note que PO37 Sendo que o sistema original tinha PO17 Assim o projeto modificou a resposta transitória Uma solução é levar o polo e o zero do controlador mais próximo da origem Para isto adotamos T100 logo 0 001 01 0 1000 1 100 1 s s s s GC s logo 1 0 99 0 70 º o C o C s G s G A resposta ao degrau com este controlador na fig 2 é que não é 0º 0 93 5 13 5 12 0 58 0 32 0 58 0 23 2 1 2 2 2 2 0 58 0 33 j GC s s que não é 1 205 Que satisfaz o enunciado do problema Neste caso 35 2 1 06 1 0 001 0 01 lim lim 0 0 s s s s s s s G s sG k s C s v O sistema controlado é dado a seguir Neste exemplo usouse o software MATLAB para traçar o rootlocus e a resposta ao degrau do sistema Utilizouse o rltool Pode se projetar um controlador misto avançoatraso leadlag para compensar resposta transitória e regime permanente adequadamente Vide Ogata para maiores detalhes 206 APÊNDICE A Laboratório 1 Curso e Lista de Exercícios do MATLAB Importante Trazer pen drive em todas aulas de laboratório Importante Na etapa prática deste laboratório o aluno deverá começar a parte que utiliza o osciloscópio 1h antes do término da aula 207 CURSO INTRODUTÓRIO SOBRE O MATLAB Uma apostila mais detalhada sobre o MATLAB pode ser encontrada na home page do Laboratório de Pesquisa em Controle do DEE httpfalcaofeisunespbrdeeprojetoslpcpagina7htm 1 INTRODUÇÃO MATrix LABoratory Inicialmente escrito em FORTRAN Novo MATLAB escrito em C Várias plataformas Win Unix Linux Macintosh Características Álgebra matricial Versatilidade O usuário cria novas ferramentas Programação com macro funções ToolBoxes específicos Vários livros baseados em Matlab 208 Atualmente na versão 80 R2012b wwwmathworkscom 2 EXECUÇÃO DO MATLAB No Windows selecione o ícone MATLAB with SIMULINK 3 COMANDOS E VARIÁVEIS Comando de atribuição Delimita elementos de matrizes e vetores Comentário Help Tópicos de ajuda DEFINIÇÃO DE UM ESCALAR a250020 a250020 a10 00 DEFINIÇÃO DE UM VETOR b11 2 3 4 5 6 7 8 9 b21 2 3 4 5 6 7 8 9 DEFINIÇÃO DE UMA MATRIZ c1 2 34 5 67 8 9 cc10 11 12 c220 CRIAÇÃO DE VETORES COM INCREMENTO x129 x0pi3pi ysinx MATRIZES COM EXPRESSÕES x15 cospi4 23 209 OPERADOR A4 6 82 4 03 4 9 A1 1 1 1 A231210 1010 10 COMANDO format format short 4 casas a43 format long e 14 casas a431000 Internamente 53 bits mantissa 11 bits expoente 4 OPERAÇÕES COM MATRIZES E VETORES TRANSPOSTA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO a1 2 34 5 67 8 9 ba cab cab MULTIPLICAÇÃO E ADIÇÃO COM ESCALAR x1 0 2 y2 1 1 xy cx2 INVERSÃO E DIVISÃO a1 0 20 3 45 6 0 binvaa cba cbinva cba cinvba RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 3 2 4 0 3 5 5 0 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 3 0 5 x x x 1 2 4 3 5 1 0 2 1 3 2 1 210 A X B Solução X A1 B RESOLVENDO COM O MATLAB A1 2 01 5 34 2 1 B5 0 3 XAB XinvAB OPERAÇÃO ELEMENTO A ELEMENTO MATRIZ E VETOR Multiplicação Divisão à direita Divisão à esquerda Exponenciação x1 2 3 y4 3 2 zxy zxy y2 5 OPERAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS z34i isqrt1 a1 23 4i5 67 8 Mzabsz Azanglez 6 UTILITÁRIOS PARA MATRIZES aeye3 Matriz identidade azeros4 Matriz nula aones3 Matriz unitária 211 arand23 Matriz com n aleatórios a2 0 00 3 00 0 1 ddeta Determinante da matriz a AUTOVALORES E AUTOVETORES Axi λi xi a1 0 00 2 00 0 3 leiga a1 0 20 2 00 1 3 xleiga 7 TRAÇANDO GRÁFICOS Gráfico do tipo yt x t t00076pi ysint plottyk xlabeltempo s ylabelsent Duas ou mais curvas do tipo yt x t zcost plottybtzr titleFunções Trigonométricas xlabelTempo s ylabelSent e Cost text306Seno text2205Cosseno Desenhando uma superfície 3D x8058 yx Xonessizeyx Yyonessizex RsqrtX2Y2eps 212 ZsinRR surfXYZ xlabeleixo X ylabeleixo Y zlabeleixo Z titleChapéu Mexicano grid Aquisição de Dados com Osciloscópios Tektronix Obtendo dados do canal 1 tvcurva1 Autoria do Prof Tokio No osciloscópio Tektronix TDS 1001B use tvcurva 10011 tminmint figure1 plotttminv xlabelt s ylabelvolts titleCurva Canal 1 grid on Salvando os dados save DadosCanal1 clear Obtendo dados do canal 1 ou 2 t1v1curva1 t2v2curva2 tmin1mint1 tmin2mint2 figure2 plott1tmin1v1 t2tmin2v2 xlabelt s ylabelvolts titleCurva Canal 1 e 2 grid on save DadosCanal12 Carregando dados salvos load DadosCanal1 tminmint figure1 plotttminv xlabelt s ylabelvolts titleCurva Canal 1 grid on ver Figura 1 Para o osciloscópio 320 grande usar curva3201 213 Usando Filtragem Digital load DadosCanal1 tminmint vfiltradofiltdegv60 Autoria do Prof Tokio figure3 plotttminvyttminvfiltradob xlabelt s ylabelvolts 8 IMPORTANDO GRÁFICOS DO MATLAB PARA O WORD Após criar o gráfico digite print dmeta O MATLAB envia o gráfico para a área de transferência Dentro do WORD basta colar CTRLV Outra opção comandos da janela gráfica FileSave FileExport EditCopy Figure 9 PROGRAMANDO COM O MATLAB Um programa consiste de uma sequência de comandos do MATLAB O arquivo deverá ser gravado no diretório de trabalho do MATLAB Devese criar um arquivo com extensão m Exemplo testem 91 COMANDOS DE CONTROLE DE FLUXO O comando for Formato for iexpressão comandos end Exemplo digite o seguinte arquivo teste1m File New MFile n3m3 for i1m for j1n 214 aijij end end ssprintf Matriz Aaijij dispsdispa File Save teste1 execução do programa Exemplo digite o seguinte arquivo teste2m File New MFile n1 while n23 nn1 end dispsprintf n final dn File Save No MATLAB digite teste2 Exemplo digite o seguinte arquivo teste3m Este programa determina se o num n é par ou ímpar for n14 restoremn2 if resto0 dispsprintf d é par n else dispsprintf d é ímpar n end end No MATLAB digite teste3 92 CRIANDO SUBROTINAS 215 Digite o seguinte arquivo com a função mediam function xmediau Esta função calcula a média dos elementos de u xsumulengthu Digite o seguinte arquivo teste4m v1110 mmediav dispsprintf A média de 1 a 10 é 42f m No MATLAB digite teste4 10 SAINDO DO MATLAB quit ou exit 216 O RELATÓRIO DEVERÁ CONTER 1 Descrever no relatório 4 comandos ou conjuntos que achou mais interessantes 2 Medir e desenhar usando o Tektronix e o MATLAB 21 Senóide de 2v de pico e 500Hz 22 No canal 1 onda quadrada do osciloscópio e no canal 2 senóide de 3v de pico e 1kHz 23 Filtrar essas curvas usando o filtdeg Plotar todas curvas em seu relatório Levar o programa filtdegm para casa LISTA DE EXERCÍCIOS COMANDOS BÁSICOS DO MATLAB Execute os seguintes comandos e interprete os resultados As linhas que começam com um não precisam ser digitadas são apenas comentários para o aluno seguir Inicialmente mude para o seu diretório de trabalho selecionando seu diretório de trabalho modificando o campo do MATLAB V7 current diretory a 250020 a250020 b1 2 3 4 5 6 7 8 9 c1 2 3 4 5 6 7 8 9 cc 10 11 12 c220 dc1213 llengthb mnsizeb mnsizec who whos clear who x129 x0pi102pi ysinx help sin dir a23 a43 format long a43 format short clear a1 2 3 4 5 6 7 8 9 ba cab 217 cab a11 2 3 ca2 ca2323 clear RECURSOS DE GRAVAÇÃO ARMAZENAGEM DE DADOS help save help load a1 2 3 4 5 6 7 8 ba2 ca1 save arquivo1 a b c dir clear whos load arquivo1 whos Em que arquivo estão gravados os vetores a b e c clear RECURSOS GRÁFICOS y0 2 5 4 1 0 ploty help pi t0pi104pi ysint zcost plottytz titleFunções xlabelt ylabelSeno e Cosseno text305Seno Após o próximo comando selecione a posição que deseja colocar o texto Cosseno com o mouse gtextCosseno REALIZAR O ITEM 2 DA PG 216 AQUISIÇÃO DE DADOS COM O OSCILOSCÓPIO DIGITAL VER DETALHES NA PG 212 Vetores x1 0 2 y2 1 1 xy 218 xy cx2 a1 0 2 0 3 4 5 6 0 sizea binva cba cba cba clear a b c x y whos Trabalhando com números complexos isqrt1 z34i a1 2 3 4i5 6 7 8 realzrealz imagzimagz modzabsz fasezanglez Multiplicação de polinômios x3 x2 3x 2x2 2x 1 x3conv1 3 21 2 1 Como ele faz isto Determinação das raízes de um polinômio roots1 3 2 roots1 2 1 rootsx3 Utilitários para matrizes aeye4 arand5 help rand b2 0 0 0 3 0 0 0 1 d detb leigb help det help eig AJUSTE DE CURVAS DE DADOS EXPERIMENTAIS t111 xt2 xrx02randsizex5 figure1plottxrg 219 ppolyfittxr2 xapolyvalpt figure1plottxrgtxa Após a próxima instrução clique em dois pontos do gráfico e os valores das coordenadas serão retornados em xy xyginput2 PROGRAMANDO COM O MATLAB Abra um arquivo a partir do Matlab File New MFile e você estará trabalhando no editor de texto do Matlab Digite os seguintes comandos e grave o arquivo com o nome teste1m no diretório de usuários ou seu diretório particular n3 m3 for i1m for j1n aijij end end dispMatriz A dispa final do programa teste1m Para executar o programa acima certifiquese que o Matlab está trabalhando com o diretório no qual foi gravado o seu programa Para verificar qual o diretório o Matlab está trabalhando digite pwd Para modificar o seu diretório de trabalho selecione seu diretório de trabalho modificando o campo do MATLAB current diretory Para executar o programa teste1m digite teste1 CRIANDO UMA SUBROTINA Abra outro arquivo salvandoo com nome de teste2m Digite os seguintes comandos neste arquivo v1110 mmediav 220 ssprintf A média é 42fm disps final do programa teste2m Agora crie o seguinte arquivo com o nome de mediam function x mediau function xmediau calcula a média do vetor u colocando o resultado em x xsumulengthu final da subrotina mediam Na linha de comando do Matlab digite teste2 echo on teste2 echo off CRIANDO UM PROGRAMA EXEMPLO DE GRÁFICO 3D Abra outro arquivo gravandoo com nome de teste3m Digite os seguintes comandos neste arquivo clear n30 m30 for i1m for j1n aijsqrtij end end ba05 a05 a25 a0122 meshb CRIANDO UM PROGRAMA EXEMPLO DE GRÁFICO 3D Abra outro arquivo gravandoo com nome de teste3m Digite os seguintes comandos neste arquivo clear 221 n30 m30 for i1m for j1n aijsqrtij end end ba05 a05 a25 a0122 figure1 meshb figure2 surfb 222 APÊNDICE B Laboratório 2 Introdução à Robótica 223 Controle Linear I 2ª Experiência Introdução à Robótica 1 Objetivos Esta experiência tem o objetivo de introduzir conceitos de robótica industrial Serão montados robôs acionados por computador O elemento básico do robô é o servomotor 2 Introdução O servomotor é um motor de corrente contínua que possui internamente ao invólucro um sensor de posição angular Não há nenhuma realimentação do servomotor para o microcomputador que o aciona Há um sistema de realimentação que usa um potenciômetro como sensor de posição angular do eixo dentro do próprio servomotor que permite manter a posição que o microcomputador determinou O alcance da rotação do eixo do servomotor é 1800 Para maiores detalhes sobre o funcionamento interno do servomotor vide pg 30 e 31 do Manual do RCS6 O servomotor também é conhecido como servo Na indústria Uma forma que os técnicos e engenheiros fazem os robôs operarem é o uso do treinamento manual Primeiro eles manualmente acionam os servomotores e gravam a operação realizada em um programa Depois executase o programa gravado e o robô repete as operações realizadas pelo treinador 3 Segurança Pessoal Os robôs podem moverse repentinamente e sem aviso mantenha sua face ombro perna etc fora do limite do alcance do braço do robô Nunca faça o robô atirar algo pesado use apenas bola de tênis de mesa ou objeto leve e macio Não use pedras bolas de vidro ou ferro 4 Segurança do Equipamento Não deixe os servomotores em posição que os force muito pois poderá superaquecêlo Se o braço do robô ficar esticado por muito tempo irá superaquecer o servomotor Não aperte demais os parafusos ou roscas Não bata as partes metálicas Não retire os cabos segurando nos fios mas sim puxando o conector suavemente Não prenda inicialmente os fios ao robô e sim apenas no final da montagem Note que os servomotores tem cabos com diferente tamanhos Não deixe equipamentos próximos ao robô nos quais ele poderá colidir 5 Inicializando e treinando o robô Na tela do Windows execute o programa RASCAL Leia as precauções de segurança e clique em OK Aparece o ambiente do programa 224 ROBIX RASCAL CONFIGURATION A configuração já está adequada Selecione o ícone que representa um braço mecânico azul sobre plano laranja e em seguida selecione CONTROL e dentro de CONTROL selecione OPEN ROBOT CONSOLE Aparece o ambiente ROBIX RASCAL CONSOLE Selecione VIEW e em seguida OPEN TEACH WINDOW Aparece o ambiente ROBOT1 TEACH Você encontra uma barra vertical para cada um dos servomotores Com o mouse deslizeo para cima ou para baixo verificando que o servomotor selecionado gira seu eixo Se o servomotor não responder ao seu comando alguma coisa está errada Teste todos os servomotores que conectou no adaptador Volte à tela ROBIX RASCAL CONSOLE selecione CONTROL e em seguida RESTART ROBOT Com esta operação você colocou todos os eixos dos motores na posição de 00 O eixo poderá se mover para 900 ou para 900 totalizando 1800 Importante o seu robô será montado inicialmente com os motores na posição angular dos eixos em 00 Retorne novamente à tela ROBIX RASCAL CONSOLE selecione VIEW e em seguida OPEN TEACH WINDOW Acione os servomotores para a próxima posição que deseja para cada servomotor dando assim o primeiro passo da trajetória que o robô deverá executar grave este passo clicando na janela ROBOT1 TEACH em ADD TO SCRIPT Note que na tela ROBIX RASCAL CONSOLE foi colocada uma linha de programa que executa a operação que você treinou seu robô Faça outro passo do robô e grave o comando Ensine quantos passos desejar Para que ele repita todos os passos já gravados no programa entre na tela ROBIX RASCAL CONSOLE selecione CONTROL e então RUN FROM TOP 225 COMPLEMENTO PARA ROBIX NOVO 2009 1 Objetivos Este complemento serve para o Robô ROBIX comprado em 2008 e começou a ser utilizado em 2009 Nele foi montado o segundo manipulador industrial de 6 servomotores A placa de interface tem comunicação com o PC do tipo USB 5 Inicializando e treinando o robô Na tela do Windows execute o programa USBOR A configuração na placa foi feita para se usar o Pod1 que corresponde ao primeiro conjunto de 6 servomotores da placa de interface do ROBIX A placa pode acionar os grupos Pod1 Pod2 Pod3 e Pod4 Sendo que cada um desses grupos podese colocar 6 servomotores No Windows selecione o ícone USBOR NEXUS executandoo Abrirá a tela USBOR NEXUS 110 e os motores já estão ativados pelo programa Usbor Volte ao Windows e execute o programa USBOR NEXWAY abrirá a tela USBOR NEXWAY 110 Entre na pasta LOCALHOST e clique em OK Entre na pasta 3QB97P6SWQP Selecione POD1 Selecione CONTROL OPEN POD GUI e em seguida selecione CONTROL e então OPEN TEACH MODE Aparece o ambiente TEACH Você encontra uma tabela com teclas associadas a cada um dos servomotores Acione o teclado segundo a tabela abaixo verificando que o servomotor selecionado gira seu eixo Se o servomotor não responder ao seu comando alguma coisa está errada Teste todos os servomotores que conectou no adaptador Número do motor 1 2 3 4 5 6 Giro grosso 1 2 3 4 5 6 Giro grosso Q W E R T Y Giro fino A S D F G H Giro fino Z X C V B N UTILIZE ESSAS TECLAS PARA ACIONAR OS MOTORES Retorne novamente à tela Pod1Usbor selecione CONTROL e em seguida OPEN TEACH MODE Aparece o ambiente TEACH Acione os servomotores para a próxima posição que deseja para cada servomotor dando assim o primeiro passo da trajetória que o robô deverá executar grave este passo clicando em ADD TO SCRIPT Note que na tela ROBIX CONSOLE foi colocada uma linha de programa que executa a operação que você treinou seu robô Faça outro passo do robô e grave o comando Ensine quantos passos desejar Para que ele repita todos os passos já gravados no programa entre na tela ROBIX CONSOLE selecione CONTROL e então RUN FROM TOP 226 APÊNDICE C Laboratório 3 Controle de Motor CC Se utilizar o osciloscópio grande Tektronix 320 use o programa curva320m 227 Controle Linear I 3a Experiência Controle de Velocidade de um Motor CC I Objetivo Este laboratório tem o objetivo de apresentar um sistema de controle analógico determinar a função de transferência do motor cc e projetar e implementar um controlador proporcional analógico II Determinação da Função de Transferência do Motor CC II1 Fundamentos Teóricos Como foi visto no curso teórico o motor cc é um sistema dinâmico de 1a ordem cuja função de transferência é dada por Fig 1 Função de Transferência do Motor C C sendo V tensão aplicada no motor velocidade angular do motor constante de tempo do motor K ganho do motor em regime KT ganho do tacômetro m velocidade medida Para a determinação da função de transferência do motor cc será aplicada uma tensão vt do tipo degrau e então a partir de medidas da saída mt serão calculados os parâmetros e KKT e Fig 2 Montagem para a obtenção experimental da função de transferência A Fig 2 mostra o gráfico da função m t x t quando a chave CH é fechada em t 0 Os parâmetros e KKT da função de transferência do motor podem ser calculados pelas 228 seguintes expressões t t 2 1 3 ln e KK A T max Sabendo que m t expt deduza as equações acima II2 Procedimento Experimental 1 Fazer as seguintes conexões Comprovar que o interruptor S1 está na posição NORMAL Conectar a saída do potenciômetro do nível de referência P2 à entrada da interface do motor Conectar a saída do gerador tacométrico VT à entrada positiva IN2 do detector de erro Conectar a saída da tensão de offset à entrada negativa IN1 do detector de erro Conectar a saída do detector de erro ao osciloscópio digital 2 Colocar o interruptor de tensão da unidade de controle em ON 3 Comprovar que o interruptor de perturbação do nível de referência está em OFF 4 Fixar a velocidade do motor em 800 rpm em sentido horário por meio do potenciômetro do nível de referência 5 Ajustar as escalas do osciloscópio digital Ajustar a tensão de offset de tal forma a proporcionar a maior amplitude do sinal na tela do osciloscópio 6 Aplicar um degrau de tensão ao motor passando a ON o interruptor de perturbação do nível de referência Registre a resposta transitória no osciloscópio Use o MATLAB para armazenar a resposta transitória Não salve a figura mas sim os dados com save 7 Voltar a posição OFF o interruptor de tensão da unidade de controle Desligue o módulo 8 Use o filtro digital filtdegm Prof Tokio para retirar o ruído do sinal armazenado no MATLAB Digite help filtdeg para aprender a usar o filtro digital Use N60 ordem do filtro 9 Usando os resultados acima faça um programa MATLAB para identificar a função de transferência do motortacômetro Use o comando find por exemplo índicefindv025Wmax Para truncar os pontos da curva indesejáveis use o operador 10 No relatório plotar no mesmo gráfico a resposta ao degrau experimental filtrada e a resposta ao degrau da função de transferência obtida com seu programa Discutir os resultados obtidos III Controle Proporcional de um Motor C C III1 Projeto Projete um sistema de controle proporcional especificando o ganho Kr na configuração abaixo de modo que o sistema atinja a velocidade de regime mais 229 KKT s 1 Kr m s rapidamente em menos de 1 segundo Fig 3 Controle Proporcional de um motor cc Lembrese que o tempo de estabelecimento para sistemas de 1a ordem é Te4r sendo r a constante de tempo do sistema realimentado acima Desconecte todos os cabos da montagem anterior III2 Implementação Implemente no amplificador somador o ganho Kr projetado 1 Conectar os seguintes elementos na unidade central Verificar se o interruptor S1 está na posição NORMAL Conectar a saída do potenciômetro do nível de referência P2 a entrada positiva IN2 do detector de erro Conectar a saída do gerador tacométrico a entrada negativa IN1 do detector de erro Conectar a saída do detector de erro a entrada IN1 do amplificador somador Conectar a saída do amplificador somador à entrada da interface do motor Conectar a saída do gerador tacométrico a entrada do osciloscópio digital Certifiquese que esta montagem implementa o sistema realimentado da figura 3 2 Verificar se o interruptor de perturbação do nível de referência S3 está em OFF 3 Colocar na posição ON o interruptor de tensão da unidade de controle 4 Ajustar a velocidade do motor em 800 rpm giro no sentido horário mediante o ajuste do potenciômetro do nível de referência P2 5 Aplicar um degrau passando o interruptor S3 para posição ON Ajustar as escalas do osciloscópio digital e registrar a resposta ao degrau com o MATLAB 6 Passar para OFF o interruptor de tensão da unidade de controle 7 Usar seu programa para identificar a função de transferência do sistema realimentado 8 Determinar as constantes de tempo para cada um dos casos analisados e compará los com os valores teóricos esperados Vs Motor CC e tacômetro Controlador Controlador 230 APÊNDICE D Laboratório 4 Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime Permanente Se utilizar o osciloscópio grande Tektronix 320 use o programa curva320m 231 Controle Linear I 4ª Experiência Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime Permanente I Objetivos Este laboratório tem o objetivo de estudar a resposta transitória de sistemas de 1ª e 2ª ordem e aplicar os resultados teóricos na identificação de funções de transferência implementadas em um computador analógico Obs Antes de cada montagem o aluno deverá obter teoricamente todas as respostas transitórias II Introdução à Simulação Analógica A função de transferência de um motor de corrente contínua CC é representada abaixo CH i V t V s s s Saída Entrada K Função de Transferência A 1 e t t Ak Fig 1 Função de transferência de um motor CC Outra representação matemática deste motor adequada para simulações em computadores analógicos é dada a seguir t k vt dt d t t kvt dt d t 1 Como no computador analógico o elemento básico é o integrador é conveniente representar a equação 1 t dt k vt dt dt t d t o t o 2 Integral e a derivada são funções inversas e considerandose que a velocidade inicial do motor seja ω00 temse de 2 que 232 t dt k vt t t 0 t d t 0 t o 3 A equação 3 pode ser representada através do seguinte diagrama de blocos t t dt t d V t t 1 Fig 2 Representação Analógica de um Sistema de Primeira Ordem O Computador Analógico possui vários elementos eletrônicos que implementam os blocos acima tais como integradores somadores subtratores amplificadores e fontes de tensão Desta forma com o Computador Analógico é possível estudar o comportamento de sistemas dinâmicos mecânicos elétricos hidráulicos térmicos etc implementando eletricamente os seus modelos matemáticos III Parte Experimental III1 Sistemas de 1ª Ordem 1 Conecte os sinais C1 e C2 control output da placa 71 com os respectivos terminais C1 e C2 control input da placa 72 2 Coloque as chaves nas seguintes posições Chave Placa Posição TRIGGER 71 int S1 72 x100 S2 72 x100 3 A seguir será obtida experimentalmente a resposta transitória do sistema de primeira ordem 233 s1 025 025 vs s 4 para uma entrada degrau Vt com amplitude Vt10 volts Comparandose a equação 4 com a Fig1 identificase τ025 e K025 Implemente este sistema dinâmico montando o esquema eletrônico abaixo que corresponde ao diagrama da Fig2 já estudado com τk025 Fig 3 implementação de 4 no computador analógico 4 Coloque a chave TIME da placa 71 na posição 01s Ligue o osciloscópio Ligue o módulo e ajuste a chave TIMEFINE até obter uma boa figura no osciloscópio Assegure que o modo de operação do módulo esteja em REPETIÇÃO REP 5 Copie o sinal t x t ligado no osciloscópio utilizando o MATLAB Anote aqui o nome do arquivo que gravou os dados Observação Se as chaves S1 e S2 estiverem na posição x100 os intervalos de tempo lidos no osciloscópio deverão ser multiplicados por 100 6 Compare a curva levantada experimentalmente com a curva teórica mostrando no relatório a curva experimental e a teórica plotandoas em um mesmo gráfico 7 Desligue o módulo e retire todas as ligações excetuandose C1 e C2 III2 Sistema de Segunda Ordem III21 Introdução Vt 10 Volts K1 04 1 Σ IC Para o osciloscópio 1 10 t 234 Nesta experiência será estudada a resposta transitória de sistemas de 2ª ordem dados pela função de transferência abaixo s 2 s k vs ys 2 n n 2 2 n 5 para entradas Vt do tipo degrau Para a simulação no computador analógico é necessária a representação de 5 em termos de uma equação diferencial Temse de 5 Vs ys k s s 2 2 n 2 n n 2 6 e assim Vt yt k dt dyt 2 dt yt d 2 n 2 n n 2 2 7 III22 Simulação Analógica A seguir serão obtidas experimentalmente as respostas transitórias do sistema 0 dt 100ytVt t 100k dyt dt yt d 1 2 2 8 0 e Vt 10 volts t 0 dt y0 dyt 9 Comparandose estas equações com a equação 7 obtêmse 10 rads 100 n 2 n 10 5k 100 k 2 1 1 n 11 k 001 1 k 2 n 12 O sistema dado em 8 e 9 pode ser implementado no computador analógico da seguinte forma 235 Vt 10v S1 x1 IC Para o osciloscópio IC 1 2 10 1 10 10 10 1 S2 x100 1 S1 x100 10yt dt dy Para o osciloscópio Para o osciloscópio 1 2 Fig 3 Implementação do Sistema 8 e 9 no Computador Analógico 1 Monte o circuito da Fig3 no computador analógico 2 Ligue o osciloscópio assegure que o módulo esteja no modo REP coloque a chave TIME na posição 01 segundos e atue no potenciômetro k1 e na chave TIMEFINE de modo que apareça na tela um sinal com overshoot 3 Varie k1 de modo a obter as porcentagens de overshoot dadas na tabela abaixo e anote os outros valores solicitados na tabela Grave os dados de cada curva obtida utilizando o MATLAB Observação Se as chaves S1 e S2 estão na posição x100 então os intervalos de tempo lidos no osciloscópio deverão ser multiplicados por 100 PO10 PO50 PO70 Nome do arquivo Nome do arquivo Nome do arquivo K1medido K1medido K1medido Tempo de Pico medido Tempo de Pico medido Tempo de Pico medido 236 Tempo de Pico PO Teórico Tabela exp5K1 Erro Tempo de Pico TeóricoTabela Tempo de Pico Exp Erro 10 50 70 4 Usando o MATLAB plote os três gráficos yt x t em um mesmo gráfico 5 Plote com o MATLAB as curvas teóricas e experimentais em um mesmo gráfico porém um gráfico para cada porcentagem de overshoot 6 Qual a influência do coeficiente de amortecimento na porcentagem de overshoot 7 Desligue o módulo o osciloscópio e retire todas as ligações III3 Erro de regime permanente III31 Sistema sem distúrbio Projete um controlador Ds tal que o motor CC dado tenha erro de regime permanente nulo para entrada degrau A função de transferência do motor CC foi dada pela equação 4 Projete o circuito do computador analógico que implementa o controlador Ds projetado Implemente todo o sistema realimentado e meça a resposta transitória o nome do arquivo de dados é No módulo coloque as chaves S1 e S2 na posição x1 Utilize os botões IC e Compute da placa 71 para realizar a simulação Ajuste a escala temporal do osciloscópio digital tal que todo transitório e parte do regime permanente apareçam na tela Plote no mesmo gráfico a curva teórica e a experimental para entrada degrau unitário Mostre no relatório o circuito completo III32 Sistema com distúrbio Com o controlador anterior suponha a presença de um distúrbio na entrada do motor 237 Projete K tal que se tenha boa rejeição do distúrbio mt sobre wt Tome cuidado para não especificar K muito grande pois poderá causar saturação dos A O No módulo coloque as chaves S1 e S2 na posição x1 Utilize os botões IC e Compute da placa 71 para realizar a simulação Ajuste a escala temporal do osciloscópio digital tal que todo transitório e parte do regime permanente apareçam na tela Aplique um degrau unitário em ut e faça mt uma senóide de amplitude 5volts sem nível DC e com 100Hz Meça wt o nome do arquivo de dados é IV Resposta Transitória e Erro de Regime Permanente Projete um controlador que atenda a todos os requisitos de projeto dados nos itens III31 e III32 e ainda apresente PÓ 20 e Te 4s Implemente no computador analógico o sistema completo e registre a resposta transitória no MatLab Não se esqueça de aplicar o degrau U s e a senóide do distúrbio M s O nome do arquivo de dados é Use o RootLocus para realizar seu projeto MatLab s K 1 25 0 25 0 s Us Ms distúrbio Ws Controlador Motor CC 238 APÊNDICE E Bibliografia Básica e Critério de Avaliação Bibliografia OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed Pearson Education do Brasil São Paulo 2010 DORF R C BISHOP R H Sistemas de Controle Modernos 8a ed LTC Rio de Janeiro 1998 KUO B C Sistemas de Controle Automático 4a ed PHB Rio de Janeiro 1985 FRANKLIN G F POWELL J D EMAMINAEINI A Feedback Control of Dynamic Systems 3a ed Addilson Wesley New York1994 CHEN C T Analog and Digital Control System Design Transferfunction State space and Algebraic Methods Saunders College Publishing New York 1993 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM O critério de avaliação desta disciplina consta de notas de provas e relatórios de laboratório A média final MF será calculada por MF 08P 02L se P L 5 ou P L 5 MF 09P 01L se P 5 e L 5 MF 01P 09L se P 5 e L 5 sendo P média das provas P 2P1 3P2 5 L média das notas de relatório lista de exercícios e projetos Haverá uma prova substitutiva que será relativa a toda a matéria ministrada na disciplina A prova substitutiva é optativa e substituirá a nota P1 ou P2 que resulte na maior média final MF O aluno será considerado aprovado se obtiver MF 5 e presença maior ou igual a 70 Neste caso a nota final será igual à média MF Haverá prova de recuperação para todos alunos que obtiverem média final MF menor do que 50 e presença maior ou igual a 70 A prova de recuperação abrangerá todo o conteúdo ministrado inclusive questões relativas às experiências de laboratório Neste caso a nota final será a nota da prova de recuperação e o aluno será considerado aprovado se esta nota for maior ou igual a 5 e reprovado se esta nota for menor do que 5 Trazer pen drive em todas as aulas de laboratório 239 APÊNDICE F Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C M Teixeira e Edvaldo Assunção