Sistemas de Controle - Exercícios Resolvidos Análise de Estabilidade de Sistemas Lineares

SISTEMAS DE CONTROLE Exercícios referentes ao capítulo 6 do livro base Nise Discente Ruth Maria Rolón Quiñonez 61 Diga quantas raizes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jw Ps s5 3s45s34s25 3 Construise a tabela de Routh s5 1 s4 3 4 3 s3 b1 1543 b2323 0 s2 c1 b14 3b2b1 c2 b1330b1 0 s1 d1 c1b2 b1 c2c1 d2 c10 b10c1 0 s0 e1 d1c2 d2c1d1 0 0 s5 1 5 1 s4 3 4 3 s3 113 0 0 s2 4 3 0 s1 114 0 0 s0 3 0 0 Rta Como ocorrem 2 mudanças de sinais e nenhuma linha completa de zeros temse que existem 2 polos no semiplano direito spd e 3 polos no semiplano esquerdo spe nenhuma sobre eixo jw 63 Utilizando a tabela de Routh diga quantos polos da função a seguir estão no spd spe e o eixo jw Ts s8s5 s4 4s3 4s2 3s 2 s5 1 4 3 s4 1 4 2 s3 0 E 1 0 s2 14EE 2 0 s1 2E2 4E 114E 0 0 s0 2 0 0 zero na 1ra coluna logo é o caso 3 reempilcar o zero por e d1 14E 2E2E14EE 14E 2E2E 14EE 2E2 4E 114E 1 1 Rta Tanto para E e E existem 3 mudanças de sinais logo 3 polos pertencem ao spd e 2 polos ao spe 613 Dado o sistema com realimentação unitária da figura anterior com Gs 84 s7 85s6 125s5 25s4 45s3 50s2 82s 60 A diga quantos polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano da direita esquerda e sobre o eixo jω Ts 84 A 84 84 s7 55s7 125s6 25s5 45s4 50s3 82s2 60s 84 Construção da tabela de Routh 3er caso linha completa de zeros Reconstruimos a tabela aplicando os coeficientes da derivada Ps 56s4 54 105s2 12s dPsds 65s5 205s3 205s 12 35s5 105s3 10 coeficientes Posições dos polos spd 2 0 2 spe 2 0 2 jω 2 2 4 615 Dado o sistema com realimentação unitária da figura do ex anterior com Gs 8 s7 2s6 s5 2s4 4s3 8s2 4s A Ts 8 A 8 8 s7 2s6 s5 2s4 4s3 8s2 4s 8 Polinomio par Ps 2s6 2s4 8s2 8 dPsds 12s5 8s3 16s caso 3 Rta posicões dos polos spd por 6ta ordem outro 1ra ordem total 7ma ordem 3 1 4 spe 3 0 3 jw 618 Para o sistema da figura do ex anterior ex 9 diga quantos polos em malha fechada estão localizados no semiplano da direita esquerda e sobre o eixo jω realim positiva Ts 18 s5 s4 7s3 7s2 18s 18 Construção da tabela de Routh s5 1 7 18 s4 1 7 18 s3 0 4 0 14 0 caso 3 linha de zeros Polinomio par Ps s4 7s2 18 dPsds 4s3 14s Test par 3ra ordem 1 polo no spd 2 polos no jew 1 polo no spe Test outro 2da ordem 1 polo no spe 619 Determinar os polos no spd spe e jew de Ts 507 s4 3s3 10s2 30s 169 1 507 s5 3s4 10s3 30s2 169s 507s s5 3s4 10s3 30s2 169s 507 Polinomio par Ps 354 30s2 507 dPsds 12s3 60s Test par 2 polos no spd 2 polos no spe 0 polos no jew Test outro 1 polo no spe 622 No sistema do ex 9 faça Cs Ksassb e obtenha a faixa de K para estabilidade em malha fechada quando Ts Ksassb 1 Ksassb Ksassb Ksassb² s² kbs Ka eq característica A tabela de Routh fica s² 1 Ka s¹ Kb 0 s⁰ K²aKba Kb s² sb Ks Ka br KbKaKb s² Kbs K²a KbaKb A faixa de estabilidade de K quando a a0 b0 kb k0 k0 b a0 b0 kb k0 kb c a0 b0 kb k0 b k 0 d a0 b0 k b k 0 Não tem solução 623 Para o sistema com realimentação unitária com Gs Ks3s5 s2s4 determine a faixa de K para estabilidade Ts Ks3s5s2s4 1 Ks3s5s2s4 Ks3s5s2s4 s2s4 Ks3s5s2s4 Ks3s5 1K s² 2k6s 815k eq característica Construção da Tabela de Routh s² 1k 815k s¹ 8k6 0 s⁰ 815K 0 Analisamos K quando a 1ra coluna for NEGATIVA e quando for POSITIVA K 68 K 68 K 815 K 815 A faixa de estabilidade é para K 68 b₁ 8k6815k8k6 26 Obtenha a faixa de k para estabilidade p o sistema com realimentação unitária da figura do ex 9 com Gs Ks4s4 s²3 k s² 16 k s² 3 Ts 1 k s² 16 k s² 3 Ks²16ks²3 s²3 ks² 16k s²3 Ks²16k k1s² 316k 1 k 3 16 s² k1 316k s¹ 1 s⁰ 316k O sistema é marginalmente estável p essa faixa de k 635 Para o sistema mostrado na figura abaixo obtenha o valor de ganho k que fará o sistema oscilar determinar a frequência de oscilação Aplicando a fórmula de realimentação e logo multiplicando cène com μ obtemos Ts k ss² 10s 22 k s³ 10s² 22s k Construimos a tabela de Routh s³ 1 22 s² 10 k s¹ 220 k 0 s⁰ k Para oscilar a linha do s¹ deve ser uma linha de zeros logo k 22 fará com que o sistema oscile A fila anterior se convertirá em 10s² 220 s² 22 0 s j22¹² ou s j22 Seguidamente a frequência de oscilação é de 22 rads 643 Obtenha o valor de K na sistema da figura abaixo que posicionará os polos em malha fechada da seguinte forma A função de transferencia é Ts 2s4 k2s3 ks2 s4 s3 2s k Construimos a tabela de Routh s3 1 2 s2 1 k s1 2 k 0 s0 k 0 4 se k2 obtemos uma linha de zeros a linha anterior é s2 2 0 s 2 j ou ω 1414 rads Por tanto k2 produzirá o polinomio por com duas raizes jω e sem mudanças de sinal 645 Para a função de transferencia a seguir obtenha as restrições sobre K1 e K2 tal que a função tenha apenas dois polos jw Ts k1s k2 s4 k1s3 s2 k2s 1 Construindo a tabela de Routh s4 1 1 1 s3 k1 k2 0 s2 k1 k2k1 1 0 s1 k2 k1 k2 k22 k2 k1 0 0 s0 1 0 0 C1 k2k1 k2 k1 k1 k1 k2 k2 k1 k22 k22 k1 k2 Para dois polos em jw k1 k2 k1 k22 0 mas não tem raizes reais logo não há relação ente k1 e k2 que pode produzir dois polos jw