Representacao de Sistemas SLITs Modelagem Matematica e Leis Fisicas

3 Representação de Sistemas 10 3 Representação de Sistemas 31 Introdução Os sistemas físicos que serão objeto de atenção neste curso são aqueles cujo comportamento pode ser descrito por meio de equações diferenciais ordinárias em que o tempo t é a variável independente lineares e a coeficientes constantes Tratamse piis de sistemas lineares invariantes no tempo SLITs e essa descrição ou sua equivalente na forma de função de transferência é o que se chama aqui de modelo matemático do sistema A construção do modelo matemático normalmente é feita a partir das leis físicas que regem o comportamento do sistema em estudo leis de Kirchhoff para sistemas elétricos leis de Newton para sistemas mecânicos etc É fundamental não confundir o modelo matemático com a realidade O primeiro sempre tem associado a si um conjunto de limitações que condicionam sua validade Assim por exemplo quando adotamos o modelo matemático R i v para descrever o comportamento de um resistor real estamos supondo que o calor produzido por efeito Joule não é suficiente para queimar o resistor a relação entre tensão e corrente está sendo idealizada como linear em particular estáse supondo que os sinais são suficientemente lentos para que efeitos indutivos ou capacitivos possam ser desprezados se os sinais variarem rapidamente um modelo como o à esquerda poderá ser mais fiel ao comportamento do resistor real Evidentemente o engenheiro de controle e não apenas ele deve procurar trabalhar sempre com o modelo mais simples que ainda seja útil à análiseprojeto de cada problema específico Aumentandose a complexidade do modelo podese melhorar a sua precisão por outro lado o manuseio do modelo se torna cada vez mais trabalhoso e complicado o que caracteriza a existência de um compromisso entre precisão e simplicidade É comum utilizandose experiência e bom senso partirse de um modelo simples para resolver um problema prático e posteriormente para validar as hipóteses simplificadoras adotadas utilizarse então um modelo mais complexo A modelagem matemática é uma fase crucial de todo problema de análise ou projeto em engenharia de controle É por ela que começa e é ela que determina o sucesso na solução do problema Neste curso serão considerados exclusivamente com sistemas lineares para os quais se aplica o princípio da superposição e invariantes no tempo Estes sistemas podem ter seu comportamento descrito por equações diferenciais ordinárias a coeficientes constantes Quando o comportamento do sistema for acentuadamente não linear a teoria a ser aqui discutida ainda poderá ser aplicável ao problema referente à operação em uma pequena região em torno de um ponto condição nominal As ferramentas a serem desenvolvidas também poderão ser aplicadas a sistemas variantes no tempo quando essa variação for lenta em comparação com a velocidade dos sinais de interesse Este é o caso por exemplo do piloto automático de aviões para operação em cruzeiro embora a massa do sistema seja variante no tempo em razão da queima de combustível podemos considerála constante em face da rapidez das perturbações que tendem a desviar o avião de sua rota como rajadas de vento transversais ou movimento de passageiros no interior do avião 32 Funções de Transferência As funções de transferência definemse apenas para SLITs como sendo a relação entre as Transformadas de Laplace dos sinais de saída e de entrada do sistema considerandose condições iniciais nulas quiescentes R vt it L R vt it 3 Representação de Sistemas 11 Seja o SLIT descrito pela seguinte equação diferencial a d y dt a d y dt a dy dt a y b d x dt b d x dt b dx dt b x n n n n n n m m m m m m 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Considerando as condições iniciais como sendo nulas e tomando a Transformada de Laplace de ambos os membros resulta n n n n m m m m a s a s a s a b s b b s s b s X Y s G s 1 1 1 0 1 1 1 0 Claramente a Função de Transferência FT é uma descrição do sistema equivalente àquela expressa por meio da equação diferencial no sentido de que a primeira e a segunda estão relacionadas de maneira biunívoca Fica claro também que sistemas físicos diferentes podem ter a mesma FT As raízes da equação característica 0 1 1 1 0 n n n n a s a s a s a são os polos de Gs As raízes da equação 0 1 1 1 0 m m m m b s b s b s b são os zeros de Gs 33 Exemplos 1 Sistema Elétrico Entrada eit Saída eot Hipóteses elementos ideais frequência suficientemente baixa para valer a lei de Kirchhoff Lei de Kirchhoff considerando condição inicial tensão nula no capacitor e t L di t dt R i t C i t dt i t 1 0 e t C i t dt o t 1 0 SLIT xt yt G s Y s X s C I Q L R it C eit eot 3 Representação de Sistemas 12 Transformando segundo Laplace considerando adicionalmente condição inicial corrente nula no indutor E s L s I s R I s C I s s i 1 E s C I s s o 1 Daí G s E s E s LC s RC s o i 1 1 2 2 Sistema Mecânico Entrada Ft Saída xt Hipóteses atrito viscoso linear mola linear com massa desprezível Lei de Newton m d x t dt F t k x t f dx t dt 2 2 Supondo condições iniciais nula e aplicando a Transformada de Laplace m s X s F s k X s f s X s 2 Daí Nota Observase portanto que a função de transferência tem a mesma forma daquela do sistema elétrico visto anteriormente Sistemas distintos que possuem mesma Função de Transferência ou equivalentemente mesma equação diferencial são ditos análogos Este fato permite estudar o comportamento de um sistema de uma determinada natureza com base em outro de natureza distinta No exemplo acima poderíamos utilizar o sistema elétrico que é em geral mais simples de manipular em laboratório para tirar conclusões a respeito do sistema mecânico É precisamente esta a razão da utilidade e do nome dos computadoressimuladores analógicos k Ft xt m f G s X s F s m s f s k 1 2 3 Representação de Sistemas 13 3 Sistema Eletromecânico MCC controlado pela armadura Entrada vat Saída t Hipóteses La desprezível MCC linear eixo rígido atrito viscoso linear campo MCC constante La indutância da armadura MCC motor de corrente contínua Lei de Kirchhoff v t R i t e t a a a a V s R I s E s a a a a Equações do MCC controlado pela armadura e t K t a v E s K s a v T t K i t T a T s K I s T a Lei de Newton supondo condições iniciais nulas J d t dt T t f t J s f s T s Dessas quatro equações resulta Observação Para o MCC controlado pelo campo Entrada eft Saída t Lei de Kirchhoff e t R i t L di t dt f f f f f E s R s L I s f f f f Motor controlado pelo campo Ia constante T t K i f t T s K I s f Ra vat iat eat if cte J f t T G s s V s K R J s R f K K a T a a T v Rf Lf eft ift Ra Ia cte Tt 3 Representação de Sistemas 14 Portanto 4 Sistema Térmico Entrada qet Saída Tt Tit Te Hipóteses temperatura externa constante e uniforme temperatura interna uniforme perda de calor apenas por condução radiação e convecção desprezíveis isolante térmico homogêneo e linear q t K T t T K T t s i e onde K é a condutância térmica aquecimento do fluido regido por q t q t mc d T t dt e s onde mc é a capacitância térmica Daí q t K T t mc d T t dt e e portanto Note que este sistema é análogo ao MCC do exemplo 3 Linearização A linearização é um procedimento que se aplica a sistemas não lineares quando as variáveis do problema apresentam pequenas flutuações em torno de condições de operação nominais Mostrase a seguir por meio de um exemplo como proceder num caso desses T s E s K R s L f f f qet qst mc Te Tit G s T s Q s mc s K e 1 3 Representação de Sistemas 15 5 Sistema de Nível de Líquido Condição estacionária Q H Entrada qet m3s Saída ht m Hipóteses fluxo turbulento fluido incompressível dimensões do orifício desprezíveis face a H superfície do fluido horizontal Para fluxo turbulento a vazão estacionária de saída é dada por Q k H Suponhamos que a vazão de entrada Q sofra uma pequena perturbação qe t passando a q t Q e Como conseqüência também sofrerão pequenas perturbações a altura do líquido no tanque ht e a sua vazão de saída qs t passando a ser respectivamente H ht e q t Q s Sendo h uma pequena perturbação h H a vazão de saída pode ser aproximada pelo termo linear da série de Taylor isto é Q q k H h h H k H h H s 2 Daí q t k H h t s 2 Balanço de volume de líquido no intervalo t Volume que entra Q q t t e Volume que sai Q q t t s Variação do volume no interior do reservatório Lei de Conservação t q t Q t q t Q A h t H A t h t H s e Daí dh t dt A q t q t A q t k H h t e s e 1 1 2 dh t dt k A H h t A q t e 2 1 Qqst Qqet Hht área A 3 Representação de Sistemas 16 Considerandose condições iniciais nulas C I Q s k A H H s A Q s e 2 1 Obtendose Nota este sistema é análogo ao sistema eletromecânico do exemplo 3 MCC controlada pela armadura 6 Transmissão por Engrenagens Sejam Tm torque no eixo motor Tl torque no eixo da carga m ângulo de rotação do eixo motor l ângulo de rotação do eixo da carga m velocidade angular do eixo motor l velocidade angular do eixo da carga rm raio da engrenagem do eixo motor rl raio da engrenagem do eixo da carga Nm número de dentes da engrenagem do eixo motor Nl número de dentes da engrenagem do eixo da carga F magnitude da força no dente a mesma para as duas engrenagens Equacionamento da força no dente Lei de Conservação T T F r F r r r N N m l m l m l m l Compatibilidade de deslocamentos sem escorregamento r r m m l l r r m m l l m l m l l m l m r r N N Suponhamos que sobre o eixo da carga se tenha G s H s Q s A s k A H e 1 2 Tl rl l l Nl rm m m Nm Tm Jl fl ltlt Tl kl 3 Representação de Sistemas 17 Vejamos como o motor enxerga essa carga Temos T J f k l l l l l l l Utilizando as relações T N N T l l m m e l m l m N N obtémse N N T J N N f N N k N N l m m l m l m l m l m l m l m Daí T J N N f N N k N N m l m l m l m l m l m l m 2 2 2 que pode ser escrita como T J f k m l m l m l m onde J J N N l l m l 2 f f N N l l m l 2 k k N N l l m l 2 Assim do ponto de vista do motor tudo se passa como se sobre seu eixo houvesse uma carga J f k l l l Dizemos que esta é a carga refletida para o eixo do motor Note que quando a transmissão é uma redução isto é N N m l então J J l l f f l l k k l l As potências na transmissão do lado do motor e do lado da carga são respectivamente P T m m m e P T l l l Portanto P P T T N N N N m l m l m l m l l m 1 P P m l A transmissão por engrenagens é análoga aos transformadores ideais em circuitos elétricos 3 Representação de Sistemas 18 34 Funções de Transferência de Elementos em Cascata Considere a rede elétrica ao lado Entrada e1t Saída e2t Temse e t R i t C i t dt t 1 1 1 0 1 e t C i t dt t 2 1 0 1 Através da Transformada de Laplace chegase a E s R I S C I s s 1 1 1 1 E s C I s s 2 1 1 Eliminando Is E s E s s C R s C 2 1 1 1 1 1 1 Portanto Consideremos agora a seguinte rede entrada e1t e saída e3t Conforme já visto R1 it C1 e1t e2t G s E s E s R C s 2 1 1 1 1 1 R1 i1t C1 e1t e2t R2 i2t C2 e3t 3 Representação de Sistemas 19 E s E s R C s 3 2 2 2 1 1 Poderíamos pensar que 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 s C R s C R s E s E s E s E s E E s s G Mas isto não está correto Equacionando o 2o circuito verificase que G s E s E s R C s R C s R C s 3 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 O erro está no fato de se ter considerado que o ramo R2C2 não carrega o ramo R1C1 Na verdade E s E s R C s 2 1 1 1 1 1 e sim E s E s R C s R C s R C s R C s 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 Exercício verificar a validade desta expressão Conclusão só é valido afirmar que a Função de Transferência de elementos em cascata é igual ao produto das Funções de Transferência individuais quando não há carregamento entre eles isto é os elementos que estão situados mais à frente não provocam alterações nas saídas dos anteriores No caso do circuito elétrico visto acima seria necessário introduzir um amplificador de isolação de ganho unitário impedância de entrada infinita e impedância de saída nula entre os circuitos R1C1 e R2C2 35 Diagramas de Blocos Quando definimos Funções de Transferência fizemos a seguinte figura Se em lugar disso representarmos o SLIT por meio de sua Função de Transferência o que sabemos ser possível de forma biunívoca teremos R2 i2t C2 e3t Amplificador de isolação Ganho 1 R1 i1t C1 e1t e2t i0 SLIT xt yt Gs Xs Ys 3 Representação de Sistemas 20 Esse é pois o diagrama de blocos do sistema em questão Essa representação significa que os sinais de entrada e saída estão relacionados por Y s G s X s As setas representam o sentido em que se dá o fluxo dos sinais Uma das vantagens de se trabalhar com diagramas de blocos é que para um sistema complexo podemos simplesmente interligar os diagramas dos subsistemas que o constituem desde que não haja carregamento Devese observar que um mesmo diagrama de blocos pode representar diferentes sistemas físicos da mesma forma que ocorre com Funções de Transferência Detector de Erro ou Comparador E s R s C s Somador Z s X s Y s Os sinais a serem adicionados ou subtraídos devem ter a mesma natureza física e as mesmas unidades para que a operação indicada faça sentido Por exemplo tensões elétricas em Volts forças em kgf etc Sistema em Malha Fechada Na figura ao lado o bloco Gs que podemos encarar como representando a associação em cascata do controlador com o atuador com a planta e com o sensor tem Es como entrada que como se vê depende da saída Cs o que caracteriza um sistema com realimentação Notar que no ponto de junção a saída de um bloco pode ser conectada a diversos blocos ou pontos de soma do diagrama No entanto sempre a entrada de cada bloco é um único sinal Rs sinal de referência Cs sinal de saída do sistema em malha fechada Es sinal de erro No sistema em malha fechada representado acima os sinais de referência e saída têm a mesma natureza física No entanto muitas vezes isso pode requerer algum cuidado Consideremos por exemplo um sistema de controle do tipo piloto automático de navio cujo objetivo é controlar o rumo de navegação Neste caso o sinal de referência deve ser estabelecido pelo timoneiro que acionando o timão gera um sinal na forma de uma tensão elétrica Rs Volts enquanto que o sinal de saída do sistema é o ângulo de rumo da embarcação Cs graus É necessário então utilizar um bloco que converta ângulo em tensão elétrica para alimentar adequadamente o detector de erro Essa conversão é representada pelo bloco Hs da figura acima Rs Es Cs Rs Es Cs ou Xs Zs Ys Xs Zs Ys ou Rs Es Cs Gs ponto de junção Rs Es Cs Gs Hs Bs 3 Representação de Sistemas 21 Definemse Função de Transferência de Malha Aberta H s G s s E B s Função de Transferência do Ramo Direto G s s E C s Função de Transferência de Malha Fechada s R C s Vejamos como a Função de Transferência de Malha Fechada se relaciona com Gs e Hs Do diagrama de blocos C s G s E s E s R s B s R s H s C s Substituindo a última expressão na anterior vem C s G s R s G s H s C s e portanto No caso de realimentação unitária Hs1 C s R s G s G s 1 Distúrbios em Sistemas em Malha Fechada Distúrbios ou perturbações externas são sinais que agem no sistema e sobre os quais não se pode atuar diretamente No caso do piloto automático de navios o bloco Ks poderia representar o controlador juntamente com os atuadores máquina do leme e leme O bloco Gs poderia representar o navio propriamente dito O bloco Hs poderia representar o sensor de rumo Nessas condições o distúrbio Ns representaria os torques externos atuantes sobre a embarcação provocados pela ação de ventos correntes ondas etc Como o sistema é linear a propriedade de superposição permite concluir que a saída Cs pode ser escrita como a soma das contribuições CRs e CNs associadas respectivamente ao sinal de referência Rs e ao distúrbio Ns C s C s C s R N Exercício Mostre que imediato i R s H s G s s K G s K s CR s 1 C s R s G s G s H s 1 Rs Es Cs Gs Rs Es Cs K s Hs G s Ns distúrbio 3 Representação de Sistemas 22 ii N s H s G s s K G s CN s 1 3 Representação de Sistemas 23 36 Redução de Diagramas de Blocos Os diagramas de blocos podem ser redesenhados utilizandose algumas regras simples conforme discutido a seguir 1 X XY Y XYZ Z X XZ Z XZY Y 2 G1s G2s X G1X G2 G1X G2s G1s X G2X G1 G2X 3 G1s G2s X G1X G2 G1X G2sG1s X G2 G1X 4 G1X G1s G2s G2X G1G2X X G1sG2s X G1G2X 5 GX G s Y GXY X G s Y GXY X G1 s 6 G s Y GXY X XY GX G s GXY X G s Y GY 7 GX G s X G s X G s GX GX 8 GX G s X X G1 s GX G s X X 9 G1X G1s G1X G2X X G2s G2X G1X G1s G1X G2X X G2s G2X G2 1 s G2X X 10 G1s G2s G1s G2s G2 1 s 3 Representação de Sistemas 24 11 G1s G2s G G G 1 1 2 1 Observar que as regras 9 e 10 são particularmente importantes Usando essas regras diagramas complexos podem ser reduzidos a outros equivalentes de aspecto mais simples Duas regras básicas para a simplificação dos diagramas de blocos são as seguintes o produto das Funções de Transferência no sentido direto desde a entrada até a saída não deve se alterar com as manipulações efetuadas o produto das Funções de Transferência em cada malha fechada deve se manter constante Exemplos Feedforward G2s G1s G3s X Y 1o Passo Deslocar G1 para antes do comparador G2s G1s G3s X Y G1s 2o Passo Intercambiar o comparador e o somador G2s G1s G3s X Y G1s 3o Passo Juntar G1 e G3 G2s G1s G3s X Y G1s 4o Passo Reduzir a malha fechada G1s G3s X Y G G G 2 1 2 1 3 Representação de Sistemas 25 5o Passo Agrupar os blocos em cascata G G G G G 1 3 2 1 2 1 X Y Note que se 1 2 3 s G G s então 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 s G s G G s G s s G s G s G s G s G s G ou seja Y s X s Exercício Calcular analiticamente a função de transferência X s Y s para verificar o resultado Exemplo desenhar o diagrama de blocos e calcular a Função de Transferência de malha fechada do servomecanismo de posição da figura abaixo Tl c r Ra La Amp ea ia eb e if cte T N1 N2 Jl fl K1 ganho do detector de erro potenciométrico Vrad O servomecanismo utiliza um motor de corrente contínua controlado pela armadura que através de um mecanismo de transmissão por engrenagens aciona uma carga O sistema apresenta dois potenciômetros O primeiro deles permite estabelecer um sinal de referência de posição r que se pretende fazer a carga seguir O segundo montado diretamente sobre o eixo da carga permite medir a posição angular c desta sinal de saída O sinal de erro e t K r t c t 1 é aplicado na entrada de um amplificador de potência de ganho Kp que alimenta a armadura do motor com uma tensão ea Ra e La representam respectivamente a resistência e a indutância do circuito da armadura é usual desprezarse La O campo do motor é suposto constante de maneira que a força contraeletromotriz induzida na armadura eb é proporcional à velocidade de rotação do eixo do motor 3 Representação de Sistemas 26 e t K t b b Além disso o torque T desenvolvido no eixo do motor é admitido proporcional à corrente de armadura ia T t K i t T a N1 e N2 representam os números de dentes das engrenagens acopladas aos eixos do motor e da carga respectivamente A carga cuja posição angular se deseja controlar é constituída por uma inércia Jl e por uma parcela dissipativa de atrito viscoso representada pelo coeficiente fl Detector de erro potenciométrico E s K R s C s 1 K 1 V rad Amplificador E s K E s a p Motor CC e t R i t L i t e t a a a a a b E s R s L I s E s a a a a b e t K t b b E s K s s b b T t K i t T a I s K T s T a 1 R s L a a Eas Ias Ebs KT Ts Tratase de uma realimentação pois Ebs depende de um sinal s que aparecerá mais adiante Transmissão s N N C s 2 1 N 2 N 1 Cs s T s N N T s l 2 1 N 2 N 1 Ts T l s Carga Mecânica Rs Es Cs K1 Eas Es Kp 3 Representação de Sistemas 27 T t J c t f c t l l l T s J s f s C s l l l 2 1 s J s f l l Tls Cs Juntando todos esses blocos num mesmo diagrama temos K N N R s L s J s f T a a l l 2 1 K 1 K p Rs Cs K N N s b 2 1 Definindo G s K N N R s L s J s f T a a l l 1 2 1 H s K N N s b 2 1 a malha de realimentação interna pode ser reduzida a um bloco equivalente G2s K 1 K p Rs Cs G2s onde G s K N N s L J s L f R J s R f K K N N T a l a l a l a l T b 2 2 1 2 2 1 2 Podemos agora agrupar os dois blocos do ramo direto em um único obtendo Rs Cs K1 Kp G2s Jl fl ct Tlt 3 Representação de Sistemas 28 Por fim este diagrama pode ser reduzido a um único bloco onde G s K K G s K K G s p p 3 1 2 1 2 1 Rs Cs G3s