Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática II - Derivação e Aplicações

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS FUNDAMENTAIS E SOCIAIS LISTA NOTA 1ª Componente Curricular MATEMÁTICA II Data 19072023 Cód Turma Professor PÉRICLES DE FARIAS BORGES Aluno Lista de Exercícios Matemática II 1 ºEstágio 1 Calcular as Derivadas das Funções abaixo usando a definição f x lim fx Δx fx Δx Δx0 a fx 2x3 R 2 c fx x³ R 3x² e fx x² R 2x b fx 4x²5x3 R 8x5 d fx x R 12x f fx 1x1 R 1x1² 2 Calcular a derivada de cada função abaixo a fx 19 R 0 b fx 6x⁹ R 54x⁸ c fx 15x⁴ R 60x³ d fx 3x⁵⁰⁰ 15x¹⁰⁰ R 1500x⁴⁹⁹ 1500x⁹⁹ e fx 4x²3x²2x4 R 8x6x³2 f fx x2⁵ R 5x2⁴ g fx x⁴2³ R 12x³x⁴2² h fx 2x13x²2 R 18x²6x4 i fx 3x²1x³6x 3 Usando o Teorema do Valor Médio um número c para a seguinte função fxx²2x1 a0 e b1 R 12 4 O lucro de um fabricante com a venda de certos objetos é Px 40015xx2 onde x é o preço de venda por unidade Calcule o preço de venda R R 850 5 Resolva as derivadas aplicando as regras de derivação a yx²2x3 R 2x2 b y 1x 1x² 10 Calcule dxdy por diferenciação implícita a 3x4y8 b x²yx³ y² c 2x³ x² yy³ 1 d x⁴4x² y² 3xy²2x0 11 Um estudo do meio ambiente de uma comunidade indica que existirão Qpp²3p1200 unidades de substâncias poluindo o ar quando a população for p milhares de habitantes A população atual é de 30000 habitantes e está crescendo a uma taxa de 2000 habitantes por ano De quanto o nível de ar poluído está aumentando sabendo que a taxa de variação em relação ao tempo é dpdt2 sendo que o objetivo é calcular dQdt quando p30 R 126 unidadesano 12 Considere a quantidade de produção vegetal como função da quantidade de se mentes x colocada na cova dada pela equação fx x³12x² kgha analise os intervalos onde a função é crescente ou decrescente calcule a produção em x6 e em x10 e esboce o gráfico R f636 e f1060 13 Considerando que a função de custo reais da produção de certo produto seja Cq q³3 5q² em que q é a quantidade do produto calcule C8 e C12 e justifique seus significados R R 1600 R 2400 14 Temse um modelo ao qual aproxima a produção de matéria seca de feijão gvaso como função da adição de nutrientes x fósforo em ppm pode ser dado por fx 672870061792x00000678x²000000083x³ cujo domínio é dado por Dx ℜ 0x210 ppm Calcule f2721 f1871 e f190 justifique e compare os resultados Estime f28 f2658 f1875 e f187 O que se pode dizer sobre qualquer quantidade acima de x1871 ppm R podese dizer que acima de x1871 ppm a produção de matéria seca de feijão irá diminuir 15 Para o mesmo experimento anterior aproximaramse dados pela função gy 672400366y¹¹⁷⁴⁹000007y²²²⁹⁴ Responda às mesmas perguntas do exercício anterior utilizando este novo modelo e compare os resultados R g272167573x10² g1871001041 e g190885x10³ 16 Considerando uma taxa de inflação igual a 12 ao ano o preço de qualquer produto pode ser descrito por PP₀112ᵗ em que P₀ é o preço inicial reais quando t0 e o tempo em anos e supondo que o custo de um implento agrícola seja R 1500 em 1995 qual será a taxa de crescimento do preço deste produto quando t5 O que isto significa R 7786 17 Derive as funções a seguir a y2x3³ b tt²4t5² c gt 2t²13t³1² d 105x⁴ 18 O custo de fabricação de x unidades de um produto é Cx 2x²5x8 Atualmente o nível de produção é de 25 unidades Calcule aproximadamente usando diferencial de uma função quanto varia o custo se forem produzidas 255 unidades RR 525 c fx x 1x R 12x 12x³ d fx 2x13x2 R 12x1 e y 103x115x R 300x20 f y x1x2 R 3x2² g fx xx² 2 R x² 2x² 2² i fx x1x1 R 1x1x1³ l y x⁸ 2x4³ x R 8x⁷62x4² 12x R 1x² 2x³ h fx 12x3⁵ R 102x3⁶ j fx 4³x² R 83³x m y ³6x² 7x 212x 7 R 12x 73³6x² 7x 2² 6 Se fx 14 x²1 mostre que f verifica as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo 14 e determine um número c em 14 que satisfaça a conclusão do teorema R c 32 7 Estimase que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será de Px x²20x8000 a Daqui a 15 meses qual será a taxa de variação da população desta comunidade R 50 habitantes por mês b Qual será a variação real sofrida durante o 16º mês R 51 habitantes 8 Determine onde a função dada é crescente decrescente onde tem concavidade para cima e para baixo Calcule os extremos relativos e construa o gráfico das funções a fx 13 x³9x2 R 320 316 b fx x1x R 12 12 c fx 2 x1³ d fx x²x2 R 00 48 9 A relação entre fertilidade da espiga f e temperatura do dossel xC no caso do arroz pode ser aproximada por fx 8600123453lnx Analise se a função é crescente ou decrescente esboce o gráfico considerando 26 x 39ºC calcule f28 e justifique seu significado R f 28 83761 19 Uma empresa produz mensalmente uma quantidade de um produto dada pela função de produção Px 2000x12 em que x é a quantidade de trabalho envolvida medida em homens hora Atualmente são utilizados 900 homens hora por mês Calcule aproximadamente usando diferencial de função qual o acréscimo na quantidade produzida quando se possa a utilizar 950 homens hora R166667 20 Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular usando como um dos lados uma parede de sua casa Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja máxima sabendose que ele pretende usar 20 m de cerca R5 m por 10 m 21 Com relação ao exercício anterior se ele quisesse construir um galinheiro com área de 16 m² quais as dimensões que utilizariam a menor quantidade de material para a cerca R566m por 283 22 Um reservatório de água tem base quadrada e formato de prisma reto com tampa Seu volume é de 10 m³ e o custo do material utilizado na construção é R 10000 por m² Quais as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção R base e altura iguais a 215 m ³10 23 Desejase construir um prédio com m andares O custo do terreno é R 100000000 e o custo de cada andar é R 25000 1000 m m 123 Quantos andares devem ser construídos para minimizar o custo por andar R32 24 Esvaziando um tanque Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento é necessário esperar 12 h para esvaziálo A profundidade y em metros do líquido no tanque t horas depois que a válvula foi aberta é dada por y 61 t12² m a Encontre a taxa dydx mh de esvaziamento do tanque no instante t R dydt t12 1 b Quando a altura do líquido no tanque diminuirá mais rapidamente E mais lentamente Quais os valores de dydt nesses instantes R Quando t12 quando t0 dydt1mh e dydt0 mh c Represente graficamente y e dydt juntos e discuta o comportamento de y em relação ais sinais e aos valores de dydt 25 Enchendo um balão O volume V 43πr³ de um balão esférico muda de acordo com o valor do raio a Qual a taxa em pés³pés de variação de volume em relação ao raio quando r 2pés R dVdr16πpés³pés b Aproximadamente quanto o volume do balão aumenta quando o raio muda de 2 para 22 pés R 1005pés 26 Decolagem de um avião Suponha que a distância percorrida por uma aeronave na pista antes de decolar seja dada por D 109t² medindose D em metros desde de o ponto de partida e t em segundos depois que os freios foram soltos A aeronave começa a planar quando sua velocidade atinge 200 kmh Quanto tempo levará para a aeronave planar e que distância ela percorrerá nesse instante R t 25 segundos D 69444 m 27 Fontes de lava vulcânica Embora a erupção do Kilauea Iki no Havaí em novembro de 1959 tenha começado com uma linha de fontes laterais na parede da cratera a atividade ficou restrita a única abertura no fundo da cratera em que certo momento lançou lava a 1900 pés 57912 m de altura um recorde mundial Qual foi a velocidade de saída da lava em péss E mih Dica Se vo é a velocidade de saída de uma partícula de lava sua altura no instante t será dada por s vot 16t² pés Comece determinando o instante em que dsdt 0 Despreze a resistência do ar R vo 80 19 péssegundos vo 238 mih 28 A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombeamos para fora a uma taxa de 3000 Lmin R dhdt 37πr² mmin 29 Uma viatura de polícia vindo do norte e aproximandose de um cruzamento em ângulo reto está perseguindo um carro em alta velocidade que no cruzamento toma a direção leste Quando a viatura está a 06 mi ao norte e o carro fugitivo a 08 mi a leste o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 mih Se a viatura está se deslocando a 60 mih no instante dessa medida qual é a velocidade do fugitivo R 70 mih 30 Área Suponha que o raio r e a Área πr² de um círculo sejam funções deriváveis de t escreva uma equação que relacione dAdt a drdt R dAdt 2πr drdt 31 Área da superfície Suponha que o raio r e a área da superfície S 4πr² de uma esfera sejam funções deriváveis de t escreva uma equação que relacione dSdt a drdt R dSdt 8πr drdt 32 Variando a voltagem V volts a corrente I em ampères e a resistência R ohms de um circuito elétrico estão relacionadas entre si pela equação pela equação VIR Suponha que esteja aumentando a uma taxa de 1 volts enquanto I está diminuindo a uma taxa de 13 As Representaremos o tempo em segundos a Qual é o valor de dVdt R 1 volts b Qual é o valor de dIdt R 13 ampseg c Qual equação relaciona dRdt a dVdt e dIdt R dRdt 1I dVdt VI dIdt d Encontre a taxa com a qual R variando quando V 12 V e I 2A R está aumentando ou diminuindo dRdt 32 logo R está aumentando 33 A água entra em um tanque cônico a uma taxa de 9 pésmin O tanque tem o vértice voltado para baixo a altura de 10 pés e raio da base é de 5 m A que taxa o nível da água estará subindo quando a profundidade for de 6 pés R dydt 032 pésmin 34 Os mecânicos da automotiva Lincoln estão torneando de 6 polegadas de profundidade para receber um novo pistão A máquina usada aumenta o raio do cilindro de 0001 polegada a cada 3 minutos A que taxa o volume do cilindro aumentará quando o diâmetro for de 38 polegadas R dVdt 00239 polegadas³min 35 A areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m³min no topo de um monte cônico A altura do monte sempre tem três oitavos do diâmetro da base a A que taxa variará a altura R dhdth4 1119 cmmin b O raio quando o monte tiver 4 m de altura Responda em cmmin R r 1492 cmmin 36 A água escoa de um reservatório de concreto cônico vértice para baixo com raio da base 45 m e altura de 6 m a uma taxa de 50 m³min a Com que taxa cmmin o nível da água estará diminuindo quando este for de 5 m de profundidade R 113 cmmin b Com que taxa o raio da superfície da água estará variando nesse momento Use cmmin como unidade R 849 cmmin 37 Suponha que uma gota de neblina seja uma esfera perfeita e que por condensação capte unidade a uma taxa proporcional à área de sua superfície Mostre que nessas circunstâncias o raio da gota cresce a uma taxa constante R Então o raio está aumentando a uma taxa constante 38 Diferencie as funções a fx 5x1 R fx 5 b Vr s25 d Rx 10x7 R Hs 532 s4 R Rx 710x8 e y 4t523t f fx xxcx R y 2323t2 R y 2cxxc2 39 Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³s Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 centímetros R drdt 125πcms 40 Um tanque de água tem a forma de um cone circular com base e raio de 2 m e altura igual a 4 m Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m³min encontre a taxa na qual o nível da água estará elevado quando a água estiver a 3m de profundidade R dhdt 028mmin UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS FUNDAMENTAIS E SOCIAIS Cód Turma 3104101 Matemática II Professor PÉRICLES DE FARIAS BORGES Data 08082023 Aluno Lista Complementar de Matemática II 1 Um estudo ambiental realizado eu uma cidade revela que haverá Op p² 4p 900 unidades de um perigoso poluente no ar quando a poluição for de p mil habitantes Se a população é atualmente de 50000 habitantes c está aumentando à taxa de 1500 habitantes por ano qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo produto 2 Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma árvore é razoável supor que a árvore é um cone truncado veja a figura Se o raio superior do tronco é r o raio inferior é R e a altura H o volume de madeira é dado por V π3 HR² rR r² As taxas de aumento de r R e H são respectivamente 10 cmano e 225 cmano Qual é a taxa de aumento de V no instante em que r60 cm R9 cm e H 45 cm 3 Dario o gerente de uma criação de peixes observa que se 300 peixes de certa espécie são colocados em um tanque o peso médio de um peixe em quilogramas durante as primeiras 10 semanas é dado por wt 3 t 005t² Em que t é o número de semanas após os peixes terem sido colocados no tanque Dario observa também a que a fração de peixes que ainda estão vivos após t semanas é dada por pt 3131 t a A produção do tanque Yt após t semanas é o peso total dos peixes que ainda estão vivos Expresse Yt em termos de wt e pt e plote Yt para 0 t 10 b Qual é o valor de t para o qual a produção é máxima Qual é a produção máxima 4 As autoridades de uma cidade observam que se x milhões de reais são investidos no controle da poluição a porcentagem de poluição removida é dada por Px 100x 004x² 12 a Desenhe a curva de Px b Que investimento resulta na maior porcentagem de remoção da poluição 5 A porcentagem de ovos de bicho da maçã que chocam em uma dada temperatura Tem graus Celsius é dada por HT 053T²25T209 para 15 t 30 Faça um gráfico da função HT Para que a temperatura T15 t 30 a porcentagem de ovos chocados é máxima Qual é a porcentagem máxima