Resolver as Funções

Introducao ao Calculo Funcoes Parte 2 Injetividade e Sobrejetividade Topicos Adicionais b nao esta definida pois f nao e sobrejetora c esta definida por f 1y y 2 y 3 y 3 d esta definida por f 1y y 5 y 3 1 y 3 e esta definida por f 1y 2y 5 y 3 y 3 Exercıcio 19 Seja n um inteiro positivo ımpar e sejam x1 x2 xn numeros reais distintos Encontre todas as func oes bijetivas f x1 x2 xn x1 x2 xn tais que f x1 x1 f x2 x2 f xn xn Exercıcio 20 Suponha que existem func oes injetivas f A B e g B A Mostre que existe uma bijecao entre A e B Exercıcio 21 Sejam m e n inteiros maiores que 1 Seja S um conjunto com n elementos e sejam A1 A2 Am suconjuntos de S Assuma que para quaisquer dois ele mentos x e y em S existe um conjunto Ai tal que ou x esta em Ai e y nao esta em Ai ou x nao esta em Ai e y esta em Ai Prove que n 2m Exercıcio 22 Sejam n e k inteiros positivos tais que nk k 1 Considere o conjunto M x1 x2 xkxi 1 2 n i 1 2 k Suponha que A e um subconjunto de M com k 1 1 elementos Prove que existem α α1 α2 αk e β β1 β2 βk em A tais que k 1 divide β1 α1β2 α2 αn βn httpmatematicaobmeporgbr 3 matematicaobmeporgbr Respostas e Solucoes 1 a f 4 2 4 8 b f 2 2 2 4 c f 14 2 pois fazendo f x 4 temos x 2 d f g2 14 pois g2 7 daı f g2 f 7 14 e g f 2 9 pois f 2 4 entao g f 2 g4 9 f f f 3 12 pois f 3 6 daı f f 3 f 6 12 g f 1x x 2 pois x f x 2 h g1x x 5 pois x gx 5 i f gx 2gx 2x 5 2x 10 j g f x f x 5 2x 5 k f f x 2f x 2 2x 4x l f f 1x 2 x 2 x 2 a Im 2 4 6 8 Funcao injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 mas nao sobrejetiva pois o contra domınio R e diferente da Im 2 4 6 8 b Im 2 4 6 8 Funcao injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Funcao sobrejetiva pois Im CD Assim f e bijetiva c Funcao injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Funcao sobrejetiva pois Im CD Assim f e bije tiva 3 a Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 b Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Sobrejetiva pois Im CD Assim f e bijetiva httpmatematicaobmeporgbr 4 matematicaobmeporgbr c Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Sobrejetiva pois Im CD Assim f e bijetiva 4 a Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Sobrejetiva pois Im CD Assim f e bijetiva b Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 c Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 d Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Sobrejetiva pois Im CD Assim p e bijetiva 5 a a 2b0 1024 donde temos a 1024 Depois de 10 anos ficamos com 1024 210b 512 que simplifi cando chegamos a b 110 b 1024 2t 128 donde temos t 7 anos c Como a populacao e decrescente mas nunca negativa iniciando em 1024 a funcao nao pode ser sobrejetiva pois CD Im Agora se tomarmos f t1 f t2 temos que 1024 2t110 1024 2t210 o que implica em t1 t2 ou seja a funcao f e injetiva 6 a Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 b Injetiva pois x1 x2 f x1 f x2 Sobrejetiva pois Im CD Assim f e bijetiva c Nem sobrejetiva nem injetiva httpmatematicaobmeporgbr 5 matematicaobmeporgbr 7 a Se queremos f4 devemos ter gx 4 sendo que isso ocorre para x 2 Portanto temos f4 fg2 6 2 1 13 b Se fgx f3x 2 6x 1 então fazendo x k 23 temos fk 6 k 23 1 2k 5 ou seja fx 2x 5 8 Substituindo x por k 3 temos fk 3 3 2k 3 1 ou seja fk 2k 7 Temos então que fx 2x 7 Como queremos a inversa basta isolar x ou seja x fx 72 Concluímos que f1x x 72 9 A inversa de f1x x 23 Assim f11 1 23 1 10 Extraído da OBM 2014 a px2 x2 x22 x2 1 x2 x2 12 0 x2 1 0 x 1 Teremos então que o número de soluções reais distintas é 2 b Seja px y Queremos determinar as raízes de py y ou seja y2 y 1 y y 12 0 Devemos ter y 1 e consequentemente x2 x 1 1 que implica em raízes 0 e 1 ou seja duas soluções reais distintas 12 Inicialmente fazendo x 12 temos f12 1 12 f 12 a2 Agora com x 32 ficamos com f32 1 32 f32 3 a4 Por fim seguindo para x 52 chegaremos a f52 1 52 f52 15 a8 ou seja f72 15 a8 13 y x 2 1 x y yx x 2 yx x y 2 xy 1 y 2 x y 2 1 y Portanto temos que f1x x 2 1 x 14 ffx fx 3 1 fx x 3 1 x x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 2x 6 1 x 2x 2 1 x 2x 3 2x 1 x 3 x 1 15 Temos f fx 1 x x e f f fx f1 xx x Portanto a cada três interados a função retorna o seu valor incial e assim f369 9 16 Temos y 5x 1 x 3 xy 3y 5x 1 x 3y 1 y 5 Portanto k 5 17 Extraído do Vestibular do ITA A resposta correta é a letra A Para ver que f é sobrejetora considere qualquer b B Então b IdBb fgb Portanto b é um elemento da imagem de f e assim podemos concluir que a imagem de f é o conjunto B Para ver que os demais itens são falsos considere as seguintes funções f 11 1 g 1 11 com fx x2 e gx 1 18 Extraído do Vestibular do ITA Suponha que fx y Como y 3 temos y 2x 3x 2 1 y 3 1x 2 x 2 1y 3 x 2y 5y 3 Então a inversa está definida e seu valor é f¹y 2y 5y 3 para y 3 Resposta correta na letra E 19 Seja c fxi xi Como fxi xi c somando todas essas equações obtemos fx1 fx2 fxn x1 x2 xn c c c Sendo f uma bijeção podemos concluir que c c c 0 Dado que n é ímpar isso só é possível se c 0 ou seja fxi xi e a função é a identidade 20 Teorema de CantorBernsteinSchroeder Dado x B podemos construir uma sequência xii0 de préimagens associadas às duas funções da seguinte forma 1 Para i ímpar xi1 f¹xi se xi fA 2 Para i par xi1 g¹xi se xi gB Tal sequência pode ser infinita parar em um elemento de B ou parar em um elemento de A para cada um desses casos coloquemos x nos conjuntos C CB e CA respectivamente Isso define uma partição do conjunto B Analogamente podemos definir uma partição de A D DA DB Defina a função h A B por hx fx se x D DA hx g¹x se x DB Essa é a bijeção procurada 21 Vamos associar a cada elemento de S uma mupla de 0s e 1s do seguinte modo i a1 a2 an com aj 1 se i Aj e 0 caso contrário O conjunto de todas as muplas de 0s e 1s tem 2m elementos Pelo enunciado a aplicação acima é injetiva logo n 2m 22 Considere a função f A Z2Z Z3Z Zk 1Z que associa para cada kupla x1 x2 xk a kupla de restos x1 mod 2 x2 mod 3 xk mod k 1 Como A possui mais que k 1 elementos f não é injetiva e portanto existem α e β com mesma imagem Eles satisfazem o desejado pelo enunciado Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contatocursoarquimedescom Funcao Logarıtmica Exercıcios de Funcao Logarıtmica 1 ano EM Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Função Logarítmica Exercícios de Função Logarítmica 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Seja a função f R R sendo fx log9 x determine a f1 b f81 c f27 d k para que fk 3 Exercício 2 O gráfico da função fx logπ3 x é a uma parábola b uma reta c uma curva crescente d uma curva decrescente e uma circunferência Exercício 3 Qual a soma das raízes da função fx log7x² 7x 11 a 4 b 5 c 6 d 7 e 8 Exercício 4 Determine o domínio das funções abaixo a fx log32x 8 b gx logx1 6 c px log3x² 9 Exercício 5 Se o log 2 03 e log 3 048 então log 6 é a 0144 b 078 c 018 d 06 e 0 Exercício 6 Se o log 2 03 então log 50 é a 15 b 17 c 19 d 21 e 23 Exercício 7 Resolva a equação logx3 logx87 3 2 Exercícios de Fixação Exercício 8 Considerando que uma população inicial cresce 3 ao ano determine a quantidade aproximada de anos para que ela triplique sendo log 3 048 e log 103 2013 Exercício 9 Para se calcular a intensidade luminosa L medida em lumens à profundidade de x centímetros num determinado lago utilizase a lei de BeerLambert dada pela seguinte fórmula log L15 008x Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 125cm a 150 lumens b 15 lumens c 10 lumens d 15 lumens e 1 lúmen Exercício 10 Determine a soma das áreas dos retângulos da figura sendo o gráfico correspondente à função log3 x Exercício 11 Ao digitar corretamente a expressão log102 em uma calculadora o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro uma vez que esse logaritmo não é um número real Determine todos os valores reais de x para os quais a expressão log01log10log01x seja um número real Exercício 12 Na figura temos o gráfico de uma função do tipo fx a logb x Determine a b Exercício 13 Seja k log 2 log 64 log 256 log 1024 determine k em função de log 2 Exercício 14 Um capital de 10000 reais é aplicado a uma taxa anual de 8 com juros capitalizados anualmente Qual é a quantidade mínima de anos inteiros para que o montante seja maior que o dobro do capital inicial sendo log 2 03 e log 3 048 Exercício 15 Construa o gráfico da função fx 2 log2x 1 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 16 A função fx 500 54x10 com x em anos fornece aproximadamente o consumo anual de água no mundo em km³ em algumas atividades econômicas do ano 1900 x 0 ao ano 2000 x 100 Determine utilizando essa função em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900 sendo log 2 03 Exercício 17 Para realizar a viagem dos sonhos uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R500000 Para pagar as prestações dispõe de no máximo R40000 mensais Para esse valor de empréstimo o valor da prestação P é calculado em função do número de prestações n segundo a fórmula P 5000 1013n 0013 1013n 1 Se necessário utilize 0005 como aproximação para log 1013 2602 como aproximação para log 400 2525 como aproximação para log 335 De acordo com a fórmula dada o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é a 12 b 14 c 15 d 16 e 17 Exercício 18 Uma calculadora tem duas teclas especiais A e B Quando a tecla A é digitada o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número Quando a tecla B é digitada o número do visor é multiplicado por 5 Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB nesta ordem e obteve no visor o número 10 Nesse caso o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número a 20 b 30 c 40 d 50 Exercício 19 A solução da equação na variável real x logxx 6 2 é um número a primo b par c negativo d irracional Exercício 20 Se log2 π a e log5 π b então a 1a 1b 12 b 32 1a 1b 2 c 12 1a 1b 1 d 1 1a 1b 32 e 2 1a 1b Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contatocursoarquimedescom Respostas e Soluções 1 a f1 log9 1 0 b f81 log9 81 2 c f27 log9 27 32 d Devemos ter log9 k 3 que pela definição de logaritmos temos k 93 729 2 C 3 log7 x2 7x 11 0 x2 7x 11 70 x2 7x 11 1 x2 7x 12 0 x2 7x 12 0 x1 3 x2 4 Portanto a soma das raízes é 3 4 7 Resposta D 4 a 2x 8 0 segue que x 4 Df 4 b x 1 1 e x 1 0 segue que x 0 e x 1 Dg 1 0 c x2 9 0 segue que x 3 ou x 3 Dp 3 3 5 log 6 log 23 log 2 log 3 03 048 078 Resposta B 6 log 50 log1002 log 100 log 2 2 03 17 Resposta B 7 logx 3 log x 87 3 logx 3x 87 3 x 3x 87 103 x2 87x 3x 261 1000 x2 84x 1261 0 x 84 121002 x 84 1102 x1 13 x2 97 Portanto a única solução da equação é x 13 8 Extraído da Vídeo Aula Seja Pt a população em um tempo t em anos contado a partir da população inicial P0 Como queremos verificar após quanto tempo esta população inicial será triplicada temos Pt P0103t 3P0 P0103t 3 103t log 3 log 103t log 3 tlog 103 048 tlog103100 048 tlog 103 log 100 048 t2013 2 0013t 048 t 48013 t 369 Portanto esta população será o triplo da inicial aproximadamente depois de 37 anos 9 Extraído da UFPR Temos log L15 008x log L15 008125 log L15 1 L15 101 L 15110 L 15 Resposta D 10 As bases dos retângulos medem 1 unidade de comprimento uc cada enquanto que as alturas medem log3 2 log3 4 e log3 5 uc Temos então que a soma das áreas S é S 1log3 2 1log3 4 1log3 5 log3 2 log3 4 log3 5 log3 245 log3 40 11 Extraído da Vídeo Aula Temos que resolver o seguinte sistema x 0 log01 x 0 log10log01 x 0 Da segunda inequação temos x 1 enquanto que da terceira inequação temos log01 x 1 donde x 01 Agora podemos escrever o sistema assim x 0 x 1 x 01 Portanto pela interseção das inequações temos 0 x 01 12 Vemos que o gráfico contém os pontos 40 e 81 Assim a logb 4 0 a logb 8 1 Subtraindo as equações chegamos a logb 8 logb 4 1 0 logb 84 1 logb 2 1 b1 2 b 2 Como b 2 basta substituirmos em uma das equações do sistema a log2 4 0 donde a 2 Por fim temos a b 2 2 0 13 k log 2 log 64 log 256 log 1024 log 2 log 26 log 28 log 210 log 22628210 log 216810 log 225 25log 2 14 Seja Mt o montante desta aplicação após t anos Podemos calculálo utilizando Mt C108t onde C é o capital aplicado Temos então Mt C108t 2C C108t 2 108t log 2 log 108t 03 tlog 2233100 03 t203 3048 2 03 t06 144 2 03 004 t t 304 t 75 Portanto a quantidade inteira mínima de anos para que o montante seja maior que o dobro do capital aplicado é 8 15 Image of graph 16 Extraído da Unesp Em 1900 t 0 o consumo foi f0 50054010 50054010 5001 500 km3 Temos então fx 50054x10 4500 50054x10 4 54x10 log 4 log 54x10 log 4 x10log108 2 log 2 x10log 10 log 23 203 x101 303 06 x1001 x 06100 x 60 Portanto o consumo de água de 1900 foi quadruplicado no ano de 1960 17 Extraído do ENEM 2017 Com P 400 e fazendo 1 013n k temos 5000 k 0 013 k 1 400 65k 400k 1 65k 400k 400 335k 400 335 1 013n 400 log335 1 013n log 400 log 335 n log 1 013 log 400 2 525 0 005n 2 602 0 005n 0 077 n 15 4 Como o numero de parcelas deve ser natural temos n 16 Resposta D 18 Extraıdo da UERJ 2017 Se o numero do visor era x e a sequˆencia foi BAB temos 5 log5x 10 log5x 2 5x 102 5x 100 x 20 Resposta A 19 Extraıdo da Unicamp 2016 Inicialmente lembremos das condic oes de existˆencia ou seja x 0 e x 1 Temos entao logxx 6 2 x 6 x2 x2 x 6 0 x1 2 x2 3 Assim a unica solucao e x 3 Resposta A 20 Extraıdo do ITA 2018 Se log2 π a e log5 π b segue que a b log2 π log5 π 1 a 1 b logπ 2 logπ 5 logπ2 5 logπ 10 Como π 1 e 10 π2 segue que logπ 10 2 donde 1 a 1 b 2 Resposta E Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contatocursoarquimedescom httpmatematicaobmeporgbr 5 matematicaobmeporgbr Introducao ao Calculo Funcoes Parte 2 Funcao Par Funcao Impar e Periodica Topicos Adicionais Introducao ao Calculo Funcoes Parte 2 Funcao Par Funcao Impar e Periodica 1 Exercıcios Introdutorios Exercıcio 1 Determine o perıodo da funcao f R R dada por f x sen 2x Exercıcio 2 Determinar quais das seguintes func oes sao pares ou ımpares ou nenhum desses dois tipos a f x x b f x x2 4x3 senx2 c f x x3 x x2 1 d f x x 1 x 1 e f x senx Exercıcio 3 Determinar quais das seguintes func oes sao pares ou ımpares a f x x x2 1 b f x x2 x4 1 c f x x3 3x x6 x4 x2 Exercıcio 4 Seja f R R bijetora e ımpar Mostre que a funcao inversa f 1 R R tambem e ımpar Exercıcio 5 Determine o perıodo das seguintes func oes f R R a f x sen x b f x sen2x c f x 1 sen x Exercıcio 6 Considere f R R definida por f x 2 sen3x cosx π2 Sobre f podemos afirmar que a e uma funcao par b e uma funcao ımpar e periodica de perıodo fundamen tal 4π c e uma funcao ımpar e periodica de perıodo fundamen tal 4π3 d e uma funcao periodica de perıodo fundamental 2π e nao e par nao e ımpar e nao e periodica 2 Exercıcios de Fixacao Exercıcio 7 Sejam f g R R tais que f e par e g e impar Verifique que a f g e ımpar b f g e par c g f e par Exercıcio 8 Mostre que toda funcao f R 0 R satisfazendo f xy f x f y em todo seu domınio e par Exercıcio 9 Sendo f R R uma funcao periodica de perıodo p 0 classifique as afirmac oes a seguir em V verdadeira ou F falsa A funcao gx f 2x e periodica de perıodo 2p A funcao hx f x2 e periodica de perıodo p2 A funcao hx f x q onde q e uma constante positiva nao e periodica Exercıcio 10 Seja a funcao f R R dada por f x sen x Considere as afirmac oes seguintes 1 A funcao f x e uma funcao par isto e f x f x para todo x real 2 A funcao f x e periodica de perıodo 2π isto e f x 2π f x para todo x real 3 A funcao f x e sobrejetora 4 f 0 0 f π3 32 e f π2 1 Sao verdadeiras as afirmac oes a 1 e 3 apenas b 3 e 4 apenas c 2 e 4 apenas d 1 2 e 3 apenas e 1 2 3 e 4 Exercıcio 11 Considerando as func oes trigonometricas definidas por f x 2 sen x gx sen2x e hx 2 sen x temse a f x hx para todo x R b gx hx para todo x R c f x e gx tˆem perıodos iguais httpmatematicaobmeporgbr 1 matematicaobmeporgbr d f x e hx tˆem perıodos diferentes e gx sen x f x para todo x R Exercıcio 12 Seja a e b numeros reais ambos nao nulos e f R R dada por f x a cos x b sen x Determine o perıodo de f 3 Exercıcios de Aprofundamento e de Exames Exercıcio 13 Mostre que nenhuma funcao quadratica pode ser uma funcao ımpar Exercıcio 14 Mostre que toda funcao f R R pode ser escrita como uma soma de uma funcao par com uma funcao ımpar Exercıcio 15 Mostre que o produto de duas func oes ımpares e uma funcao par Exercıcio 16 Dadas as func oes f x 1ex 1ex x R 0 e gx x sen x x R podemos afirmar que a ambas sao pares b f e par e g e ımpar c f e ımpar e g e par d f nao e par nem ımpar e g e par e ambas sao ımpares Exercıcio 17 Seja f R R uma funcao ımpar tal que f x 5 f x para todo x R e f 13 1 Determine o valor da soma f 163 f 293 f 12 f 7 Exercıcio 18 Dados os inteiros positivos p e q com mdcp q 1 considere a funcao f R R dada por f x cospx cosqx Determine o perıodo de f Exercıcio 19 Seja a um numero irracional Prove que a funcao f R R dada por f x cos x cosax nao e periodica httpmatematicaobmeporgbr 2 matematicaobmeporgbr Respostas e Solucoes 1 O perıodo de f e 2π 2 2π 2 a Par b Nao e par e nem ımpar pois f x f x f x f x 4x2 senx24x3 nao e uma funcao iden ticamente nula c Impar d Par 3 a f x x x2 1 f x Portanto f e uma funcao ımpar b f x x2 x4 1 f x Portanto f e uma funcao par c f x x3 3x x6 x4 x2 f x Portanto f e uma funcao ımpar 4 Seja g f 1 Escreva y f x daı gy g f x g f x x g f x gy Portanto g e uma funcao ımpar 5 a π b π c 2π 6 Como cosx2 π2 senx2 e a funcao sen kx e ımpar podemos concluir que f x sendo diferenca de duas func oes ımpares e uma funcao ımpar Alem disso como os perıodos de sen3x e senx2 sao 2π3 e 4π 6 2π3 respectivamente segue que o perıodo de f e 6π 7 a Temos f xgx f xgx f xgx Logo f g e uma funcao ımpar b Temos f gx f gx f gx f gx f gx Logo f g e uma funcao par c g f x g f x g f x g f x Logo g f e uma funcao par 8 Para x y 1 temos f 1 f 12 f 1 f 1 Portanto f 1 0 Agora escolhendo x y 1 temos f 1 f 12 0 f 1 f 1 Assim f 1 0 Finalmente f x f 1x f 1 f x f x Logo f e uma funcao par 9 F Pois a funcao g e periodica de perıodo p2 F Pois a funcao h e periodica de perıodo p12 2p F Pois a funcao h e periodica de perıodo p 10 Extraıdo da Unifesp Sao verdadeiros apenas os itens 2 e 4 Logo a opcao correta esta na letra C 11 Extraıdo da FATEC Como o perıodo de senkx e 2πk segue que f tem peıodo 2π g tem perıodo π e h tem perıodo 2π Alem disso gπ4 1 senπ4 22 e f 0 0 2 h0 Sabendo que sen α 1 1 temos gx sen2x 1 1 1 sen x hx A unica resposta correta esta na letra B httpmatematicaobmeporgbr 3 matematicaobmeporgbr 12 Como aa²b² ba²b² é um ponto no círculo unitário existe y tal que cos y aa²b² e sen y ba²b² Portanto fx a cos x b sen x a² b² aa²b² cos x ba²b² sen x a² b² cos x y Portanto o período de f é o mesmo de cosx que é 2π 13 Suponha que fx ax² bx c com a 0 é uma função ímpar Assim fx fx ax² bx c ax² bx c ax² c 0 para todo x ℝ Entretanto a equação ax² c 0 possui no máximo duas raízes reais Isso é um absurdo 14 Sejam gx fx fx2 e hx fx fx2 Assim gx fx fx2 gx e hx fx fx2 hx Portanto g é uma função par e h é uma função ímpar Basta notar agora que fx gx hx 15 Suponha que f e g são funções ímpares e que hx fxgx Daí hx fxgx fxgx fxgx hx Portanto h é uma função par 16 Temos fx 1 ex1 ex 1 1ex1 1ex ex 1ex ex 1ex ex 1ex 1 fx Portanto f é ímpar Como gx x senx xsen x x sen x gx segue que g é par A resposta correta é o item C 17 Temos f13 1 f13 5 1 f163 1 Como f é uma função ímpar ie fx fx segue que f13 1 f13 5 5 1 f293 1 e f7 f12 5 f12 f12 Finalmente f163 f293 f12 f7 1 1 f12 f12 0 18 Suponha que existe T 0 tal que fx T fx para todo x ℝ Então f0 fT 2 cospT cosqT Daı cospT cosqT 1 e assim existe inteiros positi vos k1 e k2 tais que pT 2πk1 qT 2πk2 Consequentemente k1 p k2 q T 2π Claramente f x 2π f x e assim 2π e um multiplo inteiro do perıodo digamos 2π lT com lN Portanto p lk1 e q lk2 Como mdcp q 1 segue que l 1 e T 2π 19 Suponha por absurdo que a funcao f possui um perıodo T Assim 2 f 0 f T cosT cosaT Como cos x e no maximo 1 segue que cos T cosaT 1 e assim existem inteiros nao nulos k1 e k2 tais que T 2πk1 aT 2πk2 Logo a k2 k1 Q Isso e um absurdo Portanto f nao e periodica Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contatocursoarquimedescom httpmatematicaobmeporgbr 5 matematicaobmeporgbr