Funções Inversas Racionais Mistas e Exponenciais - Lista de Exercícios

UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL UFFS MATEMÁTICA C LUCIA MENONCINI Funções Parte 3 1 FUNÇÃO INVERSA DEFINIÇÃO Seja 𝑦 𝑓𝑥 uma função de A em B ou seja 𝑓 𝐴 𝐵 Se para cada 𝑦 𝐵 existir exatamente um valor 𝑥 𝐴 tal que 𝑦 𝑓𝑥 então podemos definir uma função inversa 𝑔 𝐵 𝐴 tal que 𝑥 𝑔𝑦 A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por 𝑓1 Ex Calcule a função inversa 𝑓1 e esboce o gráfico de 𝑓 e de 𝑓1 a 𝑓𝑥 𝑥 2 b 𝑓𝑥 2𝑥2 2𝑥5 c 𝑓𝑥 𝑥2 Será que toda função admite inversa Como identificar geometricamente se a função admite inversa 2 FUNÇÃO RACIONAL DEFINIÇÃO É toda função do tipo 𝒇𝒙 𝒑𝒙 𝒒𝒙 com 𝑝𝑥 e 𝑞𝑥 polinômios e 𝑞𝑥 0 Ex Construa o gráfico das funções indicando domínio 𝐷𝑓 imagem 𝐼𝑚𝑓 e as assíntotas a 𝑓𝑥 2𝑥2 2𝑥5 b 𝑓𝑥 𝑥1 𝑥3 3 FUNÇÃO MISTA DEFINIÇÃO A função mista também é conhecida como função definida por sentenças Ela pode envolver diferentes tipos de funções Ex Construa o gráfico das funções indicando domínio 𝐷𝑓 imagem 𝐼𝑚𝑓 a 𝑓𝑥 1 𝑠𝑒 𝑥 1 𝑥2 1 𝑠𝑒 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑠𝑒 𝑥 2 b 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 2 2 𝑠𝑒 𝑥 2 4 FUNÇÃO EXPONENCIAL Exemplo 1 Em um dia quente de verão um pote de iogurte deixado fora da geladeira pode apresentar um grande número de bactérias Nt pois a colônia de bactérias cresce em função do tempo As bactérias se reproduzem de forma assexuada por bipartição Isto significa que cada indivíduo se parte em dois geneticamente iguais Em condições favoráveis se reproduzem rapidamente Considere que uma bactéria se divide a cada 1 h Qual será a população de bactérias em 24 h Tempo t Nt Expressão 0 1 2 3 4 5 t a Encontre uma função que representa esta situação b A taxa de expansão desta colônia é constante Justifique Exemplo 2 Em uma determinada colônia o número de bactérias de uma cultura cresce em função do tempo obedecendo à seguinte função 𝑓𝑡 2𝑡3 a Considerando t medido em horas determinar a quantidade de bactérias na colônia após 6 horas e após 1 dia DEFINIÇÃO Dado o número real a 0 𝑎 1 chamamos de função exponencial a função real 𝑓 𝑅 𝑅 que associa a cada real x o número real 𝑎𝑥 Assim ela assume a forma geral 𝒇𝒙 𝒂𝒙 em que a é chamada base e x é chamado expoente ou potência Exemplo 4 Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore a função exponencial 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏 Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Fixe 𝑏 0 Nesta situação o que acontece com curva quando 𝑎 1 E quando 𝑎 1 E quando 𝑎 0 b Descreva quando se pode afirmar que uma função exponencial é crescente e quando ela é decrescente observando os gráficos e as representações algébricas c Fixe 𝑎 2 O que acontece com a curva quando o coeficiente linear b é positivo E quando b é negativo Exemplo 5 Construa o gráfico das funções indicando domínio 𝐷𝑓 imagem 𝐼𝑚𝑓 as assíntotas e se a função é crescente ou decrescente a 𝑓𝑥 2𝑥 b 𝑔𝑥 2𝑥 1 c 𝑓𝑥 1 2 𝑥 d 𝑓𝑥 𝑒2𝑥1 sendo e a constante de Euler e vale 𝐞 𝟐 𝟕𝟏𝟕𝟐 5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA DEFINIÇÃO Dado o número real a 0 𝑎 1 chamamos de função logarítmica a função do tipo 𝒇𝒙 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 Exemplo 1 Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore a função exponencial 𝑓𝑥 log𝑎 𝑥 𝑏 Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Fixe 𝑏 0 O que acontece com curva quando 𝑎 1 E quando 𝑎 1 E quando 𝑎 0 b Descreva quando se pode afirmar que uma função logarítmica é crescente e quando ela é decrescente observando os gráficos e as representações algébricas c Fixe 𝑎 2 O que acontece com a curva quando o coeficiente linear b é positivo E quando b é negativo d Esboce o gráfico de 𝑓𝑥 𝑎𝑥 e 𝑔𝑥 log𝑎 𝑥 Em seguida esboce a reta ℎ𝑥 𝑥 O que você observa ao modificar nas duas funções os valores da base a Estas funções são inversas entre si Podemos dizer que a reta é um eixo de simetria Justifique Exemplo 1 Construa o gráfico das funções indicando domínio 𝐷𝑓 imagem 𝐼𝑚𝑓 as assíntotas e se a função é crescente ou decrescente a 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔 12 𝑥 b 𝑓𝑥 ln𝑥 c 𝑓𝑥 ln2𝑥 1 6 FUNÇÃO PERIÓDICA PAR ÍMPAR INJETIVA SOBREJETIVA BIJETIVA DEFINIÇÃO Dizemos que uma função 𝑓𝑥 é periódica se existe um número real T tal que 𝑓𝑥 𝑇 𝑓𝑥 𝑥 𝐷𝑓 O número T e chamado período da função f x O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento T como se observa na figura abaixo DEFINIÇÃO Uma função 𝑓𝑥 é dita PAR se 𝑓𝑥 𝑓𝑥 Uma função 𝑓𝑥 é dita ÍMPAR se 𝑓𝑥 𝑓𝑥 Ex Verificar quais funções são par ou ímpar 𝑓𝑥 𝑥2 𝑔𝑥 𝑥3 ℎ𝑥 𝑥2 2 DEFINIÇÃO Uma função 𝑓 𝐴 𝐵 é dita injetiva ou injetora se a seguinte condição for satisfeita 𝑥1 𝑥2 𝐴 𝑥1 𝑥2 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 DEFINIÇÃO Uma função 𝑓 𝐴 𝐵 é dita sobrejetiva ou sobrejetora se para todo 𝑦 𝐵 existir um 𝑥 𝐴 tal que 𝑓𝑥 𝑦 em símbolos 𝑦 𝐵 𝑥 𝐴 tal que 𝑦𝑥 𝑓𝑥 DEFINIÇÃO Uma função 𝑓 𝐴 𝐵 é dita bijetiva ou bijetora se 𝑓 for simultaneamente injetiva e sobrejetiva Ex Verifique quais funções são injetiva sobrejetiva ou bijetiva a 𝑓 1234 𝑅 𝑓𝑥 2𝑥 b 𝑓 1234 2468 𝑓𝑥 2𝑥 7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Considere a circunferência de raio 1 e x um número real Na imagem abaixo a ordenada 𝑂𝑃1 é chamada Seno de x e a abcissa 𝑂𝑃2 é chamada Cosseno de x DEFINIÇÃO Definimos a função seno como a função 𝑓 𝑅 𝑅 que a cada x faz corresponder o número real 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 DEFINIÇÃO Definimos a função cosseno como a função 𝑓 𝑅 𝑅 que a cada x faz corresponder o número real 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 DEFINIÇÃO Definimos a função tangente como a função 𝑓 𝑅 𝜋 2 𝑛𝜋 𝑅 com 𝑛 𝑍 em que cada x tem único correspondente 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 Exemplo 1Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore a função exponencial 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑏 𝑐 Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Atribua valores nulos para b e c Neste caso o que acontece com curva quando 𝑎 0 E quando 𝑎 0 b Fixe 𝑎 1 e 𝑐 0 Neste caso o que acontece com curva quando 𝑏 0 E quando b 0 c Fixe 𝑎 1 e 𝑏 0 Neste caso o que acontece com curva quando 𝑐 0 E quando c 0 90𝑜 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 180𝑜 𝜋 𝑟𝑎𝑑 270𝑜 3𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 0𝑜 360𝑜 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 Eixo do Seno Eixo do Cosseno Exemplo 2 Construa o gráfico das funções indicando domínio 𝐷𝑓 imagem 𝐼𝑚𝑓 o período a 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑓𝑥 sen 𝑥 2 b 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝜋 c 𝑓𝑥 cos𝑥 2𝜋 d 𝑓𝑥 cos3𝑥 𝜋 Ex Dado 𝑠𝑒𝑛𝑥 09 qual o valor de x