Intervalos Estatísticos e Testes de Hipóteses

UNIDADE 07 UNIDADE 07 Sabrina Alves de Freitas sabrinaafcearufpbbr INTERVALOS ESTATÍSTICOS INTERVALOS ESTATÍSTICOS Intervalos Estatísticos Propriedades Básicas Intervalos de Confiança para Amostras Grandes Intervalos Baseados em uma Distribuição Normal da População Testes de Hipóteses com Base em uma Única Amostra INTERVALOS ESTATÍSTICOS INTERVALOS ESTATÍSTICOS Propriedades básicas dos intervalos de confiança Intervalos de confiança ICs Intervalo de valores plausíveis para um parâmetro de interesse Interesse Encontrar m 1 caso Suponha distribuição normal e s conhecido Situação irreal Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 Os engenheiros industriais que se especializam em ergonomia estão preocupados em projetar espaços e dispositivos operados por trabalhadores de modo a obter maior produtividade e conforto O artigo Studies on ergonomically designed alphanumeric keyboards relata o estudo da altura preferida de um teclado experimental com grande apoio para o pulso e o antebraço Uma amostra de n31 digitadores treinados foi selecionada e a altura preferida do teclado foi determinada para cada digitador A altura preferida média resultante da amostra foi x80cm Supondo que a altura preferida tenha distribuição normal com s2cm obtenha um intervalo de confiança para m a altura média real preferida pela população de todos os digitadores experientes Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 e m desconhecido Além disso na amostra aleatória x80 Unidade 06 X tem distribuição normal mxm e sx 2 s2n 431 Se o nível de confiança do intervalo para a média for de 95 encontramos o valor de interesse za2valor crítico na distribuição normal padrão tal que a área da região delimitada pelo intervalo za2 za2 seja de 95 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 X80 sx 2 431 Fza2Fza2095 Þ 2Fza21095 Þ Fza20975 Encontrar o valor na tabela normal padrão cuja probabilidade acumulada seja 0975 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 X80 sx 2 431 Fza2Fza2095 Þ 2Fza21095 Þ Fza20975 Þ Za2196 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 X80 sx 2 431 Padronizar a va X Manipular a desiguladade para função de m Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 X80 sx 2 431 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 X80 sx 2 431 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 071 X Nms2 n31 s24 X80 sx 2 431 Podemos estar altamente confiantes no intervalo de 95 de confiança que 793 m 807 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Distribuição normal e s conhecido Propriedades básicas dos intervalos de confiança Um intervalo de 1001 a de confiança para a média m de uma população normal quando o valor de s é conhecido é dado por ou equivalentemente por Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 072 O processo de produção das unidades de caixa de controle de um tipo específico de motor foi modificado recentemente Antes dessa modificação dados históricos tinham sugerido que a distribuição dos diâmetros dos orifícios para buchas nas caixas tinha distribuição normal com um desvio padrão de 0100mm Acreditase que a modificação não afetou a forma da distribuição ou o desvio padrão mas que o valor do diâmetro médio pode ter sido alterado Uma amostra de 40 unidades da caixa é selecionada e o diâmetro do orifício é determinado para cada uma resultando em um diâmetro médio da amostra de 5426mm Vamos calcular um intervalo de confiança para o diâmetro médio real do orifício usando um nível de confiança de 90 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 072 s 01 n 40 x 5426 IC de 90 1001 a 90 Þ a 01 za2 z005 1645 Tabela normal padrão Com um grau de confiança razoavelmente alto podemos dizer que 54 m 5452 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Por que seguir para um nível de confiança de 95 quando se pode chegar a um nível de 99 Quanto maior o grau de confiança desejado mais largo será o intervalo resultante Uma estratégia interessante é especificar o nível de confiança desejado e a amplitude do intervalo para então determinar que tamanho da amostra é necessário Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 073 O monitoramento extensivo de um sistema operacional de computador sugeriu que o tempo de resposta a um comando de edição específico tem distribuição normal com desvio padrão de 25 milissegundos Um novo sistema operacional foi instalado e desejamos estimar o tempo de resposta médio real m do novo ambiente Supondo que os tempos de resposta ainda tenham distribuição normal com s 25 que tamanho de amostra é necessário para garantir que o IC de 95 resultante tenha uma amplitude de no máximo 10 Propriedades básicas dos intervalos de confiança Exemplo 073 Uma vez que n deve ser um número inteiro é necessário um tamanho de amostra de 97 2 caso Tamanho amostral suficientemente grande n40 X1 X2 Xn uma amostra aleatória de uma população com média m e desvio padrão s Para n suficientemente grande X tem distribuição aproximadamente normal Intervalos de confiança para amostras grandes 2 caso Tamanho amostral suficientemente grande n40 Considere s desconhecido Para n suficientemente grande a substituição de s por s acrescenta pouca variabilidade adicional Intervalos de confiança para amostras grandes 2 caso Tamanho amostral suficientemente grande n40 é um intervalo de confiança de amostra grande para m com nível de aproximadamente 1001 a de confiança Intervalos de confiança para amostras grandes Exemplo 074 Os dados a seguir são leituras informadas em odômetros para uma amostra de 50 Boxsters Com base nessa amostra temos n 50 x 456794 e s 26641675 Intervalos de confiança para amostras grandes 2948 2996 7197 8338 8500 8759 12710 12925 15767 20000 23247 24863 26000 26210 30552 30600 35700 36466 40316 40596 41021 41234 43000 44607 45000 45027 45442 46963 47978 49518 52000 53334 54208 56062 57000 57365 60020 60265 60803 62851 64404 72140 74594 79308 79500 80000 80000 84000 113000 118634 Exemplo 074 n 50 x 456794 e s 26641675 Um nível de confiança de cerca de 95 exige z0025 196 e o intervalo é Intervalos de confiança para amostras grandes 3 caso Suponha distribuição normal e s desconhecido Quando X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição normal com média m a va possui uma distribuição de probabilidade chamada distribuição t t de Student com n 1 u graus de liberdade gl Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Propriedades das distribuições t Denote por tu a distribuição t com u gl Cada curva tu possui formato de sino e está centrada em 0 Toda curva tu é mais dispersa que a curva normal padronizada z À medida que u aumenta a dispersão da curva tu correspondente diminui Quando u a sequência das curvas tu aproximase da curva normal padronizada Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Propriedades das distribuições t Denote por tu a distribuição t com u gl Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Seja tau o número no eixo de medição para o qual a área sob a curva t com u gl à direita de tau é a tau é chamado valor crítico t Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Seja tau o número no eixo de medição para o qual a área sob a curva t com u gl à direita de tau é a Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Sejam x e s a média e o desvio padrão amostrais calculados a partir dos resultados de uma amostra aleatória de uma população normal com média m Então um intervalo de 1001 a de confiança para m é Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Exemplo 075 Mesmo com o declínio dos mercados tradicionais de madeira de liquidâmbar grandes toras de madeiras usadas para a construção de pontes e esteiras tornaramse crescentemente escassas O artigo Development of novel industrial laminated planks from sweetgum lumber J of Bridge Engr 2008 6466 descreveu a fabricação e os testes de vigas mistas desenvolvidas para agregar valor à madeira de liquidâmbar de baixa qualidade A seguir estão dados resumidos expressados em Mpa sobre o módulo de ruptura Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Exemplo 075 680799 763706 666328 616503 699141 699223 698146 756975 743788 687239 766318 603228 690604 661717 698412 709371 765950 737861 729554 670276 744017 805326 828475 734795 742269 788687 631667 771365 750333 767499 x 7203191 e s 54354 Vamos agora calcular um intervalo de confiança usando um nível de confiança de 95 O IC é baseado em n 1 29 graus de liberdade de modo que o valor crítico t necessário é t002529 2045 Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Exemplo 075 Estimamos que 7000253 m 7406129 com 95 de confiança Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Exercício 071 Considere a seguinte amostra do teor de gordura em porcentagem de n 10 cachorrosquentes selecionados aleatoriamente Sensory and mechanical assessment of the quality of frankfurters J Texture Studies 1990 395409 252 213 228 170 298 210 255 160 209 195 Assumindo que foram selecionados de uma população que segue uma distribuição normal faça a estimativa do intervalo com um IC de 95 para o teor de gordura médio dessa população Intervalos baseados em uma distribuição de população normal Hipótese estatística Afirmação sobre um parâmetro ou sobre a forma de uma distribuição Em qualquer problema de teste de hipóteses existem duas suposições contraditórias em consideração Uma hipótese pode ser a alegação de que m075 e a outra m¹075 onde m é a medida média de certa variável aleatória Testes de hipóteses com base em uma única amostra Hipótese nula Hipótese alternativa A hipótese nula H0 é a alegação inicialmente assumida como verdadeira A hipótese alternativa Ha é a afirmação contraditória a H0 H1 também é usado como notação para a hipótese alternativa Rejeitar H0 ou não rejeitar H0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Erros envolvidos em testes de hipóteses Erro tipo I Rejeitar H0 quando é verdadeira Erro tipo II Não rejeitar H0 quando é falsa PErro tipo I a nível de significância PErro tipo II b 1b poder do teste Testes de hipóteses com base em uma única amostra O procedimento para a realização dos testes 1 Enunciar as hipóteses H0 e Ha 2 Fixar o nível de significância α 3 Por meio dos elementos amostrais calcular a estatística do teste 4 Comparar o valor da estatística do teste ao valor obtido a partir da distribuição teórica específica para o teste para um valor prefixado do nível de significância e concluir de acordo com a localização da estatística calculada se ela se encontra na região de aceitação ou de rejeição de H0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Valorp é a probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra assumindo verdadeira a hipótese nula Alternativa ao ponto 4 5 Se o valorp for menor que o nível de significância estipulado assumese o erro tipo I e rejeitase a hipótese nula Ao contrário se o valorp for maior não é assumido o erro tipo I e se aceita a hipótese nula Testes de hipóteses com base em uma única amostra Dado um número real μ0 o teste verifica se esse valor pode ser aceito como a média populacional As hipóteses são H0 μ μ0 Ha μ μ0 bilateral ou μ μ0 unilateral ou μ μ0 unilateral Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida X1 X2 Xn amostra aleatória de uma va X com VXs2 Supondo H0 verdadeiro EX μ0 e para n30 tem distribuição aproximadamente normal padronizada Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste unilateral Ha m m0 α PRejeitar H 0 H0 é verdadeira Devemos rejeitar H0 se a média amostral fica acima de um valor crítico xc e aceitála caso contrário Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste unilateral Ha m m0 α PRejeitar H 0 H0 é verdadeira Devemos rejeitar H0 se a média amostral fica acima de um valor crítico xc e aceitála caso contrário Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste unilateral Ha m m0 Se x xc rejeitase H0 Se z zα rejeitase H0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste unilateral Ha m m0 Se x xc rejeitase H0 Se z zα rejeitase H0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Exemplo 076 A média do tempo de vida de uma amostra de 100 lâmpadas produzidas por uma companhia é de 990 horas Sabese que o desvio padrão da população é 95 horas Segundo a companhia as lâmpadas têm vida média de 1000 horas contudo existe a preocupação de que o tempo médio possa ser inferior testar as hipóteses a um nível de significância de 005 Se x 990 95 n100 σ As hipóteses são H0 1000 e H μ 1 1000 Daí μ μ0 1000 Para 005 temse z α α 1645 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Exemplo 076 Se x 990 95 n100 σ As hipóteses são H0 1000 e H μ 1 1000 Daí μ μ0 1000 Para 005 temse z α α 1645 Como x xcaceitase H0 Como z zα aceitase H0 Valorp p PZ 10526 01463 Como p aceitase H α 0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste bilateral Ha m ¹ m0 Dois valores críticos de teste xc1 e xc2 Aceitase H0 se xc1 x xc2 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste bilateral Ha m ¹ m0 Dois valores críticos de teste xc1 e xc2 Aceitase H0 se xc1 x xc2 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Teste bilateral Ha m ¹ m0 Critério de comparação x Se x xc1 ou se x xc2rejeitase H0 Critério de comparação z Se z z 2 α ou z z 2 α rejeitase H0 Critério valorp p 2PZ z Se pa rejeitase H0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Exemplo 077 Um fabricante afirma que o comprimento dos parafusos por ele produzidos tem em média 1 cm o comprador rejeita a hipótese do fabricante se a média populacional for diferente do valor especificado pelo fabricante Sabese que o desvio padrão do comprimento dos parafusos é 002cm para comprovar a especificação dada pelo fabricante foi tomada uma amostra de 50 parafusos que resultou em uma média igual a 101 cm Com essas informações devese aceitar ou rejeitar a hipótese do fabricante Utilizar 5 α Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida Exemplo 077 H0 1 cm μ e Ha 1 cm μ Pelo critério da comparaçãox Como se x xc2rejeitase H0 Pelo critério do valorp Assim rejeitase H0 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 conhecida As hipóteses são H0 μ μ0 Ha μ μ0 bilateral ou μ μ0 unilateral ou μ μ0 unilateral O desvio padrão populacional s não conhecido é substituído pelo desvio padrão amostral sX que acarreta uma troca da distribuição normal pela distribuição t com n 1 graus de liberdade quando n30 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida X1 X2 Xn amostra aleatória de uma va X Supondo H0 verdadeiro EX μ0 e para n30 Critério de comparaçãox Rejeitase H0 quando Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida X1 X2 Xn amostra aleatória de uma va X Supondo H0 verdadeiro EX μ0 e para n30 Critério de comparaçãot Rejeitase H0 quando Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida X1 X2 Xn amostra aleatória de uma va X Supondo H0 verdadeiro EX μ0 e para n30 Valorp Rejeitase H0 quando Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida Exemplo 078 Testar a hipótese de que a média da estatura de uma dada população de adultos do gênero masculino seja de 170 m utilizando um nível de significância de 10 Use a seguinte amostra de 25 elementos da população 165 180 170 168 177 215 188 160 170 180 184 168 165 150 174 172 166 168 165 171 173 170 170 178 167 x 17256 sX 01179 010 n 25 t α n1 2 α t24005 17109 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida Testes de hipóteses com base em uma única amostra Teste para a média com s2 desconhecida Exercício 072 Uma amostra de 10 médias de matemática de uma população de alunos do ensino Médio de uma escola forneceu média amostral 56 e desvio padrão 13098 Alguém argumenta que a média populacional não alcança a média de aprovação que é 60 O que o teste de hipóteses revela a respeito Use um nível de significância de 10 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Relação entre testes de hipóteses e intervalos de confiança Suponha que qL qU seja um intervalo de 1001 a de confiança para q Então um teste de H0 q q0 versus Ha q ¹ q0 com nível de significância a rejeita a hipótese nula se o valor nulo q0 não estiver incluído no IC e não rejeita H0 se o valor nulo estiver no IC Testes de hipóteses com base em uma única amostra Exemplo 079 O tempo de vida médio amostral de 50 microfuradeiras foi de X1268 furos e o desvio padrão foi de s683 Fazendo 005 α o intervalo de confiança de 95 para o tempo de vida médio populacional é facilmente calculado como sendo 1079 1457 μ Suponha que queremos testar a hipótese de que é igual a um μ dos pontos extremos do intervalo Por exemplo considere o teste de H0 1079 versus H μ a μ¹1079 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Exemplo 079 Em H0 o valor observado X1268 vem de uma distribuição normal com média 1079 e desvio padrão 09659 O escore z é 1268 107909659196 Visto que H 0 especifica que é igual μ a 1079 as duas caudas contribuem para o valor P que é 005 e portanto igual a α Testes de hipóteses com base em uma única amostra Exemplo 079 Agora considere o teste da hipótese H0 μ1457 versus H a μ¹1457 em que 1457 é o outro ponto extremo do intervalo de confiança Desta vez obteremos z1268 145709659 196 e novamente o valor P é 005 E fácil verificar que se escolhermos qualquer valor μ0 no intervalo 1079 1457 e testar H0 μ μ0 versus Ha μ¹μ0 o valor p será maior do que 005 Testes de hipóteses com base em uma única amostra Exemplo 079 Por outro lado se escolhermos μ0 1079 ou μ0 1457 o valor p será menor do que 005 Portanto o intervalo de confiança de 95 consiste em precisamente esses valores de cujos valores P são maiores do μ que 005 em um teste de hipótese Nesse sentido o intervalo de confiança contém todos os valores que são plausíveis para a média populacional μ