Noções Elementares de Amostragem e Estatísticas

UNIDADE 06 UNIDADE 06 Sabrina Alves de Freitas sabrinaafcearufpbbr NOÇÕES ELEMENTARES DE NOÇÕES ELEMENTARES DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM Estatísticas e suas Distribuições A Distribuição da Média Amostral Distribuição de uma Combinação Linear Conceitos Gerais de Estimação Pontual NOÇÕES ELEMENTARES DE NOÇÕES ELEMENTARES DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Sejam X uma variável aleatória e fx sua fdp O conjunto de n observações X1 X2 Xn tomados da va X e tendo como resultados numéricos x1 x2 xn é chamado de amostra aleatória amostra aleatória se as observações são obtidas observandose X independentemente sob as mesmas condições por n vezes As observações X1 X2 Xn são variáveis aleatórias independentes com a mesma fdp fx Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Se X1 X2 Xn for uma amostra aleatória da va X que tem fx como fdp então a fdp conjunta g de X1 X2 Xn pode ser escrita como gx1x2 xn fx1fx2 fxn Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Sejam X1 X2 Xn uma amostra aleatória da va X e sejam x1 x2 xn os valores tomados pela amostra Seja H uma função definida pela nupla x1 x2 xn Y HX1 X2 Xn é uma estatística estatística Além disso y Hx1 x2 xn Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições X1 X2 Xn amostra aleatória da va X Média amostral Variância amostral Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições X1 X2 Xn amostra aleatória da va X Mínimo da amostra Máximo da amostra Amplitude amostral Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições X1 X2 Xn amostra aleatória da va X jésima maior observação da amostra Se j1 Se jn Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Uma certa marca de MP3 player vem com 3 configurações um modelo com 2 GB de memória por 80 um modelo com 4 GB por 100 e uma versão com 8 GB que custa 120 Se 20 de todos os compradores escolherem o modelo de 2 GB 30 escolherem o modelo de 4 GB e 50 escolherem o modelo de 8 GB então a distribuição de probabilidade do custo X da compra de um único MP3 player selecionado aleatoriamente é dada por Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Suponha que em um determinado dia apenas dois MP3 players sejam vendidos Sejam X1 receita da primeira venda e X2 receita da segunda Suponha que X1 e X2 sejam independentes cada uma com a distribuição de probabilidades igual a de X Na tabela a seguir estão listados os pares x1 x2 possíveis a probabilidade de cada um e os valores resultantes de x e s2 Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Podese obter as distribuições de probabilidade das estatíticas de interesse Variância da média amostral Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Podese obter as distribuições de probabilidade das estatíticas de interesse Média da variância amostral Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Podese obter as distribuições de probabilidade das estatíticas de interesse Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Dedução da distribuição amostral Dedução da distribuição amostral Exemplo 061 Se em um determinado dia 4 MP3 players fossem vendidos teríamos Estatísticas e suas distribuições Estatísticas e suas distribuições Existem algumas relações gerais entre EX VX ES2 e a média m e a variância s2 da distribuição original A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral X1 X2 Xn amostra aleatória da va X fdp fx média m e desvio padrão s A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 062 Em um teste de fadiga à tração de um espécime de titânio o número esperado de ciclos para a primeira emissão acústica usada para indicar o início da trinca é m 28000 e o desvio padrão do número de ciclos é s 5000 Assuma X1 X2 X25 como os elementos de uma amostra aleatória de tamanho 25 em que cada Xi é o número de ciclos em um espécime diferente selecionado aleatoriamente A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 062 Então o valor esperado do número de ciclos médio da amostra até a primeira emissão é EX m 28000 e o número total esperado de ciclos para os 25 espécimes é ET0 nm 2528000 700000 A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 062 EX 28000 ET0 700000 O desvio padrão de X e de T0 são Se o tamanho da amostra aumenta para n 100 EX permanece inalterado mas sX 500 ou seja metade de seu valor anterior A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média m e desvio padrão s Então para qualquer n X tem distribuição normal T0 tem distribuição normal A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 063 A distribuição dos pesos de ovos g de um determinado tipo é normal com valor médio 53 e desvio padrão 03 consistente com os dados no artigo Evaluation of egg quality traits of chickens reared under backyard system in western uttar pradesh Indian J of Poultry Sci 2009 261262 Assuma que X1 X2 X12 denota o peso de 12 ovos aleatoriamente selecionados O peso total dos 12 ovos é T0X1 X2 X12 que tem distribuição normal com média ET0 1253 636 e variância VT0 12032 108 A probabilidade de que o peso total esteja entre 635 e 640 é A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 063 ET0 1253 636 VT0 12032 108 A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 063 Agora considere selecionar aleatoriamente apenas quatro destes ovos O peso médio amostral X tem distribuição normal com valor médio mX m 53 e desvio padrão sX 032 015 A probabilidade de que o peso médio amostral exceda 535 g é então de A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória de uma distribuição qualquer com média m e desvio padrão s Então se n for suficientemente grande X tem distribuição aproximadamente normal com T0 tem distribuição aproximadamente normal com Regra Prática O resultado tem boa aproximação para n30 A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 064 A quantidade de uma determinada impureza em um lote de um produto químico é uma variável aleatória com um valor médio de 40 g e desvio padrão de 15 g Se 50 lotes são preparados de maneira independente qual é a probabilidade aproximada de a média amostral da quantidade de impureza X estar entre 35 e 38 g Utilizaremos a aproximação normal para X com o valor médio de mX 40 e sX 02121 A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exemplo 064 Agora considere selecionar aleatoriamente 100 lotes e assuma que T0 representa a quantidade total de impureza nestes lotes Então o valor médio e o desvio padrão de T0 são 1004400 e 1015 15 respectivamente T0 tem aproximadamente uma distribuição normal A probabilidade de que este total seja de no máximo 425 g é A distribuição da média A distribuição da média amostral amostral Exercício 061 Assuma X o número de diferentes pessoas recebendo mensagens de texto durante um determinado dia que foram enviadas por um estudante selecionado aleatoriamente em uma grande universidade Suponha que o valor médio de X é 7 e que o desvio padrão é 6 valores muito próximos dos que foram relatados no artigo Cell Phone use and grade point average among undergraduate university students College Student J 2011 544551 Entre 100 destes estudantes selecionados aleatoriamente qual é a probabilidade de que o número médio amostral de diferentes pessoas que receberam mensagens exceda 5 Distribuição de uma Distribuição de uma combinação linear combinação linear Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias com valores médios mi e variâncias si 2 Então se X1 X2 Xn são independentes Distribuição de uma Distribuição de uma combinação linear combinação linear Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias com valores médios mi e variâncias si 2 Corolário Distribuição de uma Distribuição de uma combinação linear combinação linear Exemplo 065 Um fabricante de automóveis equipa um determinado modelo com um motor de seis cilindros ou de quatro cilindros Assuma X1 e X2 como o consumo de combustível de carros com seis e quatro cilindros selecionados de modo independente e aleatório respectivamente Com m1 22 m2 26 s1 12 e s2 15 Distribuição de uma Distribuição de uma combinação linear combinação linear Se X1 X2 Xn são va independentes com distribuição normal com médias eou variâncias possivelmente diferentes então qualquer combinação linear dos Xi também tem distribuição normal Conceitos gerais de estimação Conceitos gerais de estimação pontual pontual A estimativa pontual de um parâmetro q é um único número que pode ser considerado um valor razoável de q É obtida selecionando a estatística adequada e calculando seu valor a partir dos dados amostrais apresentados A estatística selecionada é chamada estimador pontual de q Um estimador é dito não viciado se E q q q Conceitos gerais de estimação Conceitos gerais de estimação pontual pontual Seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória de uma distribuição com valor médio m e desvio padrão s2 Então o estimador não é viciado para estimar s2 Conceitos gerais de estimação Conceitos gerais de estimação pontual pontual Precisamos mostrar que Es2s2 VXEX2EX2 Conceitos gerais de estimação Conceitos gerais de estimação pontual pontual Precisamos mostrar que Es2s2 VXEX2EX2 Conceitos gerais de estimação Conceitos gerais de estimação pontual pontual Precisamos mostrar que Es2s2 VXEX2EX2