Distribuições de Probabilidade Conjunta e Variáveis Aleatórias

UNIDADE 05 UNIDADE 05 Sabrina Alves de Freitas sabrinaafcearufpbbr DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTA PROBABILIDADE CONJUNTA Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Valores Esperados Covariância Correlação DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTA PROBABILIDADE CONJUNTA Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta X e Y duas va discretas Função de probabilidade conjunta pxy para cada x e para cada y Seja A um conjunto que consista em pares de valores x y Então Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Qualquer pessoa que comprar uma apólice de seguros para uma casa ou um automóvel deverá especificar um montante dedutível a quantia da perda a ser absorvida pelo segurado antes de a companhia de seguros começar a pagar Suponha que uma determinada empresa ofereça quantias dedutíveis de 100 500 e 1000 referentes a um seguro de automóvel e quantias dedutíveis de 500 1000 e 5000 relativas ao seguro de uma casa Considere selecionar aleatoriamente alguém que tenha apólices de seguro de automóvel e de residência desta companhia e digamos que X a quantia da apólice de automóvel dedutível e que Y a quantia da apólice de residência dedutível A fdp conjunta dessas duas variáveis aparece na tabela de probabilidade conjunta a seguir Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Claramente pxy 0 e é facilmente confirmado que a soma das nove probabilidades exibidas é 1 Calcular a probabilidade que o valor das duas apólices sejam iguais e calcular a probabilidade que a quantia dedutível do seguro do automóvel seja de pelo menos 500 Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 PXY e PX 500 Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta A função de distribuição de probabilidade marginal de X é dada por A função de distribuição de probabilidade marginal de Y é dada por Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Continuação Suponha que uma determinada empresa ofereça quantias dedutíveis de 100 500 e 1000 referentes a um seguro de automóvel e quantias dedutíveis de 500 1000 e 5000 relativas ao seguro de uma casa Sejam X a quantia da apólice de automóvel dedutível e que Y a quantia da apólice de residência dedutível A fdp conjunta dessas duas variáveis aparece na tabela de probabilidade conjunta a seguir Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Continuação Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Continuação Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta X e Y duas va contínuas Função de probabilidade conjunta fxy para cada x e para cada y Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 Um banco opera tanto em drivethru como em guichê de atendimento Em um dia selecionado aleatoriamente assuma X a proporção de tempo em que a o drivethru está em uso pelo menos um cliente está sendo atendido ou esperando para ser atendido e Y a proporção de tempo em que o guichê de atendimento está em uso O conjunto de valores possíveis de X Y é o retângulo D x y 0 x y 1 Suponha que a fdp conjunta de X Y seja dada por Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 A probabilidade de nenhuma das instalações estar ocupada em mais de um quarto do tempo é Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta As funções densidade de probabilidade marginal de X e Y denotadas por fXx e fY y respectivamente são dadas por Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 Continuação Um banco opera tanto em drivethru como em guichê de atendimento Em um dia selecionado aleatoriamente assuma X a proporção de tempo em que a o drivethru está em uso pelo menos um cliente está sendo atendido ou esperando para ser atendido e Y a proporção de tempo em que o guichê de atendimento está em uso O conjunto de valores possíveis de X Y é o retângulo D x y 0 x y 1 Suponha que a fdp conjunta de X Y seja dada por Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 Continuação Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 053 Uma empresa comercializa latas com amêndoas castanhas de caju e amendoins misturados Suponha que o peso líquido de cada lata seja exatamente 1 quilograma mas que a contribuição do peso de cada constituinte seja aleatória Como os três pesos devem somar 1 um modelo de probabilidade conjunta para quaisquer dois fornece todas as informações necessárias sobre o peso do terceiro tipo Sejam X peso das amêndoas em uma lata selecionada e Y peso das castanhas de caju Então a região de densidade positiva é D x y 0 x y 1 0 x y 1 a região sombreada ilustrada na figura Considere que a fdp conjunta de X Y seja Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 053 Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 053 Para calcular a probabilidade de dois tipos dos constituintes da lata formarem juntos no máximo 50 da lata assuma Axy 0 x 05 0 y 05 e x y 05 Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 053 A fdp marginal das amêndoas é obtida mantendo X fixo em x e integrando fx y ao longo da linha vertical que passa por x Pela simetria de fx y e a região D a fdp marginal de Y é obtida pela substituição de x e X em fXx por y e Y respectivamente Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta X e Y Variáveis Aleatórias X e Y são independentes se para cada par de valores x e y se forem discretas ou se forem contínuas Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Continuação Suponha que uma determinada empresa ofereça quantias deduzíveis de 100 500 e 1000 referentes a um seguro de automóvel e quantias dedutíveis de 500 1000 e 5000 relativas ao seguro de uma casa Sejam X a quantia da apólice de automóvel dedutível e que Y a quantia da apólice de residência dedutível A fdp conjunta dessas duas variáveis aparece na tabela de probabilidade conjunta a seguir Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 051 Continuação Portanto X e Y não são independentes Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 053 Continuação Uma empresa comercializa latas com amêndoas castanhas de caju e amendoins misturados Sejam X peso das amêndoas em uma lata selecionada e Y peso das castanhas de caju Então a região de densidade positiva é D x y 0 x y 1 0 x y 1 a região sombreada ilustrada na figura Considere que a fdp conjunta de X Y seja Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta X e Y Variáveis Aleatórias Se X e Y são independentes Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 054 Suponha que as vidas úteis de dois componentes sejam independentes umas das outras e que a primeira vida útil X1 tenha distribuição exponencial com parâmetro l1 enquanto a segunda X2 tenha distribuição exponencial com parâmetro l2 A fdp conjunta será então Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 054 Assuma l1 11000 e l2 11200 de forma que as vidas úteis esperadas sejam de 1000 e 1200 horas respectivamente A probabilidade de que ambas as vidas úteis sejam de no mínimo 1500 horas é Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Se X1 X2 Xn são va discretas a fdp conjunta das variáveis é a função Se as va são contínuas a fdp conjunta de X1 Xn é a função fx1 x2 xn de forma que para qualquer intervalo n a1 b1 an bn Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta As variáveis aleatórias X1 X2 Xn são ditas independentes se para cada subconjuntoXi1 Xi2 Xik das variáveis cada par cada trio e assim por diante a fdp conjunta do subconjunto for igual ao produto das fdp marginais Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 055 Se X1 X2 Xn representam as vidas úteis de n componentes que operam de forma independente uns dos outros e cada vida útil é distribuída exponencialmente com parâmetro l então para x1 0 x2 0 xn 0 Suponha um sistema que consiste desses componentes apresentará falha assim que um único componente tiver uma falha Deixe T representar a vida útil do sistema A probabilidade de o sistema durar mais que o tempo t é Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 055 Portanto que mostra que a vida útil do sistema tem uma distribuição exponencial com parâmetro nl e o valor esperado da vida útil do sistema é 1nl Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Sejam X e Y va contínuas com fdp conjunta fx y e fdp marginal de X fXx Para qualquer valor x de X para o qual fXx 0 a função densidade de probabilidade condicional de Y dado que X x é Se X e Y forem discretas substituir as fdp nesta definição fornecerá a fdp condicional de Y quando X x Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 Continuação X a proporção de tempo em que a o drivethru está em uso e Y a proporção de tempo em que o guichê de atendimento está em uso A fdp condicional de Y dado que X 08 é Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 Continuação A probabilidade de o guichê de atendimento estar ocupado no máximo metade do tempo dado que X 08 é Variáveis Aleatórias de Variáveis Aleatórias de Distribuição Conjunta Distribuição Conjunta Exemplo 052 Continuação Usando fYy temos PY 05 0350 Além disso EY 06 enquanto a proporção esperada de tempo em que o guichê de atendimento está ocupado dado que X 08 é Se X e Y são independentes a distribuição condicional é idêntica à distribuição marginal Valor Esperado Valor Esperado Sejam X e Y va distribuídas de maneira conjunta com fdp px y ou fdp fx y conforme as variáveis sejam discretas ou contínuas Então o valor esperado de uma função hX Y representada por EhX Y ou mhXY é dado por Exemplo 056 Cinco amigos compraram ingressos para um determinado show Se os ingressos forem dos lugares de 1 a 5 em certa fileira e os ingressos forem distribuídos aleatoriamente entre os cinco qual é o número esperado de assentos que separam quaisquer dois dos cinco Assuma X e Y como os números dos lugares da primeira e da segunda pessoas respectivamente Os pares possíveis X Y são 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 4 3 5 4 1 4 2 4 3 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 056 A fdp conjunta de X Y é O número de lugares que separam as duas pessoas é hX Y X Y 1 Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 056 Assim Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 053 Continuação Uma empresa comercializa latas com amêndoas castanhas de caju e amendoins misturados Sejam X peso das amêndoas em uma lata selecionada e Y peso das castanhas de caju Considere que a fdp conjunta de X Y seja Se 1 Kg de amêndoas custar à empresa 1500 1 Kg de castanhas de caju custar 2250 e 1 Kg amendoins custar 750 então o custo total do conteúdo de uma lata é hX Y 1500X 2250Y 7501 X Y 750 750X 1500Y Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 053 Continuação O custo total esperado é Valor Esperado Valor Esperado Exercício 051 Considere o caso em que foram medidos a força de cisalhamento da solda e seu diâmetro Se representamos por X2 o diâmetro em centímetros e por X1 a força em newtons e se sabemos que 0 x1 025 centímetros enquanto 0 x2 2000 newtons então o espaço amostral para X1 X2 é o conjunto x1 x2 0 x1 025 0 x2 2000 Valor Esperado Valor Esperado Exercício 051 Suponha que a fdp conjunta seja dada por Encontre as distribuições marginais de X1 e X2 Calcule EX1 e VX1 Valor Esperado Valor Esperado fx1x2 1500 0 0 x1 025 0 x2 2000 caso contrário A covariância entre duas va X e Y é Observe que Covariância Covariância Exemplo 051 Continuação Sejam X a quantia da apólice de automóvel dedutível e que Y a quantia da apólice de residência dedutível A fdp conjunta dessas duas variáveis aparece na tabela de probabilidade conjunta a seguir Covariância Covariância Exemplo 051 Continuação Covariância Covariância Exemplo 053 Continuação Uma empresa comercializa latas com amêndoas castanhas de caju e amendoins misturados Sejam X peso das amêndoas em uma lata selecionada e Y peso das castanhas de caju Considere que a fdp conjunta de X Y seja Calcular CovX Y Usando as funções marginais obtemos Covariância Covariância Exemplo 053 Continuação Uma covariância negativa neste caso é razoável porque uma quantidade maior de amêndoas na lata implica uma quantidade menor de castanhas de caju Covariância Covariância Infelizmente a covariância possui uma deficiência grave que impossibilita a interpretação de um valor calculado A deficiência da covariância é que o valor calculado depende criticamente das unidades de medida Teoricamente a escolha das unidades não deve afetar a medida da intensidade da relação o que é obtido definindose a escala da covariância Covariância Covariância O coeficiente de correlação de X e Y representado por CorrX Y rXY ou apenas r é definido por Correlação Correlação Exemplo 051 Continuação Sejam X a quantia da apólice de automóvel dedutível e que Y a quantia da apólice de residência dedutível A fdp conjunta dessas duas variáveis aparece na tabela de probabilidade conjunta a seguir Correlação Correlação Exemplo 051 Continuação Podese calcular facilmente EX2 353500 sX 2 353500 4852 118275 sX 343911 EY2 2987500 sY 2 1721875 e sY 1312202 Correlação Correlação Se a e c são ambos positivos ou negativos Para quaisquer duas va X e Y 1 r 1 As duas variáveis são consideradas não correlacionadas quando r 0 Correlação Correlação Proposição Se X e Y são independentes então r 0 mas r 0 não implica independência r 1 ou 1 se e somente se Y aX b para alguns números a e b com a ¹ 0 Correlação Correlação Exemplo 057 Sejam X e Y va discretas com fdp conjunta Os pontos que recebem probabilidade positiva estão identificados no sistema de coordenadas x y Correlação Correlação Exemplo 057 É evidente pela figura que o valor de X é determinado completamente pelo valor de Y e viceversa de modo que as duas variáveis são totalmente dependentes Contudo por simetria mX mY 0 e EXY 4025 24025 4025 4025 0 A covariância é então CovXY EXY mX mY 0 e assim rXY 0 Embora haja uma dependência perfeita também há uma ausência completa de qualquer relação linear Correlação Correlação Exercício 052 Um serviço de trânsito de uma cidade é avisado quando os onibus enguiçam e então envia uma equipe com guincho para rebocar os onibus para conserto A distribuição conjunta dos números de chamadas recebidas nas segundasfeiras e nas terçasfeiras é dada abaixo A variável X1 representa o número de chamadas nas segundasfeiras e X2 representa o número de chamadas nas terças feiras Correlação Correlação Exercício 052 Verifique se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e calcule seu coeficiente de correlação Correlação Correlação