Teoria das Probabilidades: Abordagem Axiomática e Exemplos Práticos

TEORIA DAS PROBABILIDADES Abordagem Axiomática Andrei Nikolaevich Kolmogorov Tambov 25 de abril de 1903 Moscou 20 de outubro de 1987 foi um matemático soviético Kolmogorov participou das principais descobertas científicas do século XX nas áreas de probabilidade e estatística e em teoria da informação Um de seus principais trabalhos publicados foi Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Fundamentos de Teoria das Probabilidades em que ele lança as bases da axiomatização da teoria das probabilidades Fonte Wikipédia a enciclopédia livre Propriedades Sejam A e B eventos quaisquer contidos em um espaço amosral Ω P1 Pφ 0 em que φ denota o conjunto vazio Justifique P2 PAc 1 PA em que Ac é o evento complementar de A P3 PA Bc PA PA B P4 PAc B PB PA B Justifique P5 PA B PA PB PA B P2 PAc 1 PA em que Ac é o evento complementar de A Podemos escrever Ω A Ac donde segue que PΩ PA Ac Utilizando os Axiomas 2 e 3 obtemos 1 PA PAc Logo PAc 1 PA como queríamos mostrar PA B PA PB PA B Podemos escrever A B A Bc A B Ac B daí PA B PA Bc A B Ac B Utilizando o Axioma 3 obtemos PA B PA Bc PA B PAc B Utilizando as propriedades P3 e P4 segue que PA B PA PA B PA B PB PA B daí PA B PA PB PA B como queríamos mostrar P3 PA Bc PA PA B Podemos escrever A A Bc A B donde segue que PA PA Bc A B Utilizando o Axioma 3 obtemos PA PA Bc PA B Logo PA Bc PA PA B como queríamos mostrar Exemplo 1 Considere um experimento aleatório e com espaço amostral Ω e os eventos A Ω e B Ω tais que PA 25 PB 13 e PA B 18 Determine a PAc b PBc c PA B d PAc Bc e PAc Bc f PA Bc g PAc B Exemplo 1 Solução a PAc Utilizando a propriedade P2 temos que PAc 1 PA 1 25 35 06 b PBc Utilizando a propriedade P2 temos que PBc 1 PB 1 13 23 067 Exemplo 1 Solução c PA B Utilizando a propriedade P5 temos que PA B PA PB PA B 25 13 18 73120 061 Exemplo 1 Solução d PAc Bc Inicialmente utilizamos uma das leis de De Morgan para reescrever o evento de interesse em seguida aplicamos as propriedades P2 e P5 PAc Bc PA Bc 1 PA B 1 73120 47120 039 Exemplo 1 Solução e PAc Bc Inicialmente utilizamos uma das leis de De Morgan para reescrever o evento de interesse em seguida aplicamos a propriedade P2 PAc Bc PA Bc 1 PA B 1 18 78 088 Exemplo 1 Solução f PA Bc Utilizando a propriedade P3 temos que PA Bc PA PA B 25 18 1140 028 Exemplo 1 Solução g PAc B Utilizando a propriedade P5 temos que PAc B PAc PB PAc B Agora aplicando as propriedades P2 e P4 obtemos PAc B 1 PA PB PB PA B 1 PA PA B 1 25 18 2940 072 Exemplo 2 Pedro leva dois livros para ler durante as férias A probabilidade de ele gostar do primeiro livro é de 07 de gostar do segundo livro é de 04 e de gostar de ambos os livros é de 03 Calcule a probabilidade de que ele a goste de pelo menos um dos livros b não goste nem do primeiro e nem do segundo livro c goste apenas do primeiro livro d goste de exatamente um dos livros Exemplo 2 Solução Considera os seguintes eventos A Pedro gostar do primeiro livro B Pedro gostar do segundo livro Temos que PA 07 PB 04 e PA B 03 a goste de pelo menos um dos livros PA B PA PB PA B 07 04 03 08 Exemplo 2 Solução b não goste nem do primeiro e nem do segundo livro PAc Bc PA Bc 1 PA B 1 08 02 c goste apenas do primeiro livro PA Bc PA PA B 07 03 04 Exemplo 2 Solução d goste de exatamente um dos livros PA Bc Ac B PA Bc PAc B PA PA B PB PA B PA PB 2 PA B 07 04 2 03 05 Estatística Básica 7ª edição Wilton O Bussab e Pedro A Morettin 2011 Editora Saraiva livro texto Estatística Aplicada à Administração e Economia 2ª edição David R Anderson Denis J Sweeney e Thomas A Williams 2007 Cengage Learning Noções de Probabilidade e Estatística Marcos N Magalhães e Antonio C P de Lima 2002 Edusp Probabilidade Aplicações à Estatística 2ª edição Paul L Meyer 1995 LTC Aquilo que escuto eu esqueço aquilo que vejo eu lembro aquilo que faço eu aprendo