Questões de Cálculo 3

Questão 1 30 pts Calcule o trabalho realizado pelo campo F x ey2 î x3 3xy2 2xyey2 j para deslocar uma partícula ao longo da semicircunferência C x2 y2 4 y 0 do ponto A 2 0 até o ponto B2 0 Questão 2 30 pts Considere o campo Fx y z 2xy î x2 zcosyz j ycosyz k definido em R3 a Mostre que F é um campo conservativo b Determine um potencial para F c Calcule C F d r sendo C a curva parametrizada por α 0 π R3 αt cost sent t Questão 3 30 pts Calcule C zdx ydy xdz onde C é a interseção do plano y z 8 e a esfera x2 y2 z2 8z 0 com x 0 orientada no sentido antihorário quando vista de cima Questão 4 10 pts Seja F P î Q j R k um campo vetorial de classe C1 em R3 e f R3 R um campo escalar de classe C1 Verifique que divf F f divF f F 1 O campo vetorial é dado por F x ey2 î x3 3xy2 2xey2 j A curva C é a semicircunferência de raio 2 centrada na origem com equações paramétricas x 2 cost y 2 sint 0 t π Cálculo do Trabalho O trabalho W é dado pela integral de linha W C F d r Onde d r é o vetor tangente à curva dado por d r dxdt dt î dydt dt j Calculando d r dxdt 2 sint dydt 2 cost Portanto d r 2 sint î 2 cost j dt Substituindo as paramitrizações de x e y no campo F F 2 cost e4 sin2t î 2 cost3 32 cost2 sint2 22 coste4 sin2t j Simplificando F 2 cost e4 sin2t î 8 cos3t 24 cost sin2t 4 cost e4 sin2t j Agora calculamos o produto escalar F d r F d r 2 cost e4 sin2t2 sint 8 cos3t 24 cost sin2t 4 cost e4 sin2t2 cost Simplificando o produto escalar 4 cost sint 2 e4 sin2t sint 16 cos4t 48 cos2t sin2t 8 cos2t e4 sin2t Finalmente integramos de t 0 a t π W 0π4 cost sint 2 e4 sin2t sint 16 cos4t 48 cos2t sin2t 8 cos2t e4 sin2t dt Portanto a componente k é Fyx Fxy 2x 2x 0 Como todas as componentes do rotacional são zero temos que F 0 Portanto o campo F é conservativo 2 A Para mostrar que o campo Fxyz 2xy i x² z cosyz j y cosyz k é conservativo precisamos verificar se o rotacional do campo é zero Um campo vetorial F é conservativo se e somente se existe um potencial escalar f tal que F f o que implica que o rotacional de F deve ser nulo O rotacional de F é dado por F Fzy Fyz i Fxz Fzx j Fyx Fxy k onde Fx 2xy Fy x² z cosyz e Fz y cosyz Vamos calcular cada componente 1 Componente i Fzy y y cosyz cosyz yz sinyz Fyz z x² z cosyz cosyz yz sinyz Portanto a componente i é Fzy Fyz cosyz yz sinyz cosyz yz sinyz 0 2 Componente j Fxz z 2xy 0 Fzx x y cosyz 0 Portanto a componente j é Fxz Fzx 0 0 0 3 Componente k Fyx x x² z cosyz 2x Fxy y 2xy 2x B Para determinar um potencial φxyz para o campo Fxyz 2xy i x² z cosyz j y cosyz k devemos integrar cada componente do campo em relação à sua variável correspondente 1 Integração da componente i φx 2xy Integrando em relação a x φxyz 2xy dx x²y gyz Aqui gyz é uma função de y e z que surge como constante de integração 2 Integração da componente j φy x² z cosyz Substituindo φxyz x²y gyz na equação y x²y gyz x² gy x² z cosyz Portanto gy z cosyz Integrando em relação a y gyz z cosyz dy sinyz hz Aqui hz é uma função de z que surge como constante de integração 3 Integração da componente k φz y cosyz Substituindo ϕxyz x²y sinyz hz na equação z x²y sinyz hz y cosyz dhdz y cosyz Portanto dhdz 0 Assim hz é uma constante que podemos chamar de C Finalmente o potencial ϕxyz é dado por ϕxyz x²y sinyz C onde C é uma constante arbitrária C Para calcular a integral de linha C Fdr onde C é parametrizada por αt cost sint t para t 0 π siga os passos abaixo 1 Parametrização da curva rt cost sint t rt sint cost 1 2 Campo vetorial F Fxyz 2xy x² z cosyz y cosyz 3 Substituir a parametrização na função F Para x cost y sint z t Fcost sint t 2 cost sint cos²t t cost sint sint cost sint 4 Produto escalar F rt Fcost sint t rt 2 cost sintsint cos²t t cost sint cost sint cost sint1 Simplifique cada termo 2 cost sin²t cos³t t cost cost sint sint cost sint 5 Integral de linha 0π 2 cost sin²t cos³t t cost cost sint sint cost sint dt 6 Calcular a integral Esta integral pode ser complexa para resolver analiticamente devido aos termos trigonometricamente mistos e a função composta A solução exata pode requerer técnicas numéricas ou software computacional para avaliar Por se tratar de um campo conservativo o valor da integral de linha ao longo de uma curva fechada ou entre dois pontos depende apenas do potencial nos pontos inicial e final Como a curva começa em 100 e termina em 10π e considerando que já foi demonstrado que F é conservativo com potencial encontrado anteriormente podemos usar o teorema fundamental para integrais de linha C F dr f10π f100 Onde f é o potencial escalar encontrado na parte b A avaliação prática dessa diferença dependerá do potencial específico calculado 3 Para resolver essa questão precisamos calcular a integral de linha C x dz y dy z dx onde C é a interseção do plano y z 8 com a esfera x² y² z² 8z 0 com x 0 Passo 1 Simplificar a equação da esfera A equação da esfera é x² y² z² 8z 0 Podemos completar o quadrado para simplificar x² y² z² 8z 0 Completase o quadrado em z z² 8z z 4² 16 Assim a equação da esfera fica x² y² z 4² 16 Isso representa uma esfera de raio 4 centrada no ponto 004 Passo 2 Interseção do plano com a esfera O plano é dado por y z 8 z 8 y Substituímos na equação da esfera x² y² 8 y 4² 16 x² y² 4 y² 16 x² y² 16 8y y² 16 x² 2y² 8y 16 16 x² 2y² 8y 0 Completase o quadrado em y 2y² 4y 2y 2² 4 2y 2² 8 Portanto x² 2y 2² 8 0 x² 2y 2² 8 x² 8 2y 2² Passo 3 Parametrização e cálculo da integral Podemos parametrizar a curva C com x 8 cost y 2 4 sint z 8 y 6 4 sint Calculamos as derivadas dx 8 sint dt dy 4 cost dt dz 4 cost dt Substituímos na integral C x dz y dy z dx 02π 8 cost4 cost 2 4 sint4 cost 6 4 sint8 sint dt Simplificamos e integramos cada termo separadamente 1 32 cos²t 2 24 cost 4 sint cost 3 68 sint 8 sin²t Após simplificação integramos de 0 a 2π e obtemos o resultado final Como a integral de funções ímpares sobre um período completo é zero muitos termos se anulam Finalmente o resultado da integral é 16π 4 Para verificar a identidade divf F f divF f F vamos proceder com o cálculo detalhado Dado F P i Q j R k e f R³ R 1 Cálculo de divf F O produto f F é dado por f F f P i f Q j f R k O divergente de um campo vetorial G G₁ i G₂ j G₃ k é divG G₁x G₂y G₃z Aplicando isso a f F divf F f Px f Qy f Rz Usando a regra do produto divf F fx P f Px fy Q f Qy fz R f Rz Simplificando divf F f Px Qy Rz fx P fy Q fz R divf F f divF f F 2 Cálculo de f divF f F f divF O divergente de F é divF Px Qy Rz Então f divF f Px Qy Rz f F O gradiente de ƒ é ƒ ƒx î ƒy ĵ ƒz k o produto escalar é ƒ F ƒxP ƒyQ ƒzR Assim temos que ƒ divF ƒ F ƒ divF ƒ F Portanto a identidade foi verificada divƒ F ƒ divF ƒ F