AV3 Calculo III UFPB - Integral de Superficie Gauss e Stokes

UFPB CCEN Departamento de Matemática CÁLCULO III AV3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE GAUSS E STOKES ALUNOA ID UFPB Nota QUESTÕES MÚLTIPLA ESCOLHA valor 100 pontos 01 Assinale o valor da área da porção do plano x 2y z 1 interna ao cilindro 3x² 4y² 12 a 2π3 b 2π6 c 3π2 d 4π3 e 6π2 f 6π6 g 02 Ao calcular o fluxo do campo F 2x y² i x³z 2y j xy z k através da fronteira da região Ω x 3 y 3 z 3 na direção da normal exterior obtémse a 128 b 136 c 140 d 156 e 192 f 216 g 03 Seja S a porção do plano 2x 2y 2z 1 de area 2 delimitada por uma curva γ simples fechada e regular com orientação horária quando vista da origem Assinale o valor da circulação do campo F x² 2z i 2x y j 2y z³k ao redor da curva γ a 3 b 3 c 43 d 53 e 12 f 33 g 04 O campo F de classe C¹ é tal que rotF 2yi 2k Se γ é o corte da superfície x² y² z pelo plano z 1 com orientação positiva visto de cima assinale o valor de γ FTds a 2π b 3π c 4π d 12π e 16π f π8 g 05 Ao calcular s y³z²dS sobre o cilindro S x² y² 4 y 0 0 z 1 obtémse a 483 b 363 c 649 d 329 e 163 f 89 g 06 Seja γ o corte do cilindro S y z 1 pelo plano x 6 com orientação positiva quando visto de cima A circulação de F x² y²i zj 2y x²k ao redor da curva γ é igual a a 0 b 6 c 4 d 2 e 8 f 10 g GABARITO RESPOSTAS DO TRABALHO 01 a b c d e f g 02 a b c d e f g 03 a b c d e f g 04 a b c d e f g 05 a b c d e f g 06 a b c d e f g 07 a b c d e f g PARTE II ESCREVENDO PARA APRENDER valor 30 pontos 08 O volume de certo sólido Ω vem dado por volΩ 21 y0 0z dzdxdy 41 4y0 0z dzdxdy a Esboce graficamente a região D projeção de Ω no plano xy b Expresse o volΩ por uma integral dupla na ordem dydx c Calcule o valor de volΩ RESPONDA AQUI A QUESTÃO 08 use também o verso da folha a b 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x 1 2 3 4 2 PARTE I QUESTÕES MÚLTIPLA ESCOLHA valor 70 pontos Nota 01 Se D xy 0 x 2 e 2x y 4 o valor da integral dupla D 2dA é igual a a1 b 2 c 4 d 3 e 8 f 9 g NDR 02 Assinale o valor da massa da placa D x² y² 1 x 0 y 0 com densidade σxy 3x² a 3π16 b 3π8 c π8 d π16 e π12 f 3π4 g NDR 03 Assinale o volume do corpo Ω descrito por x² y² 2x 0 z 2 x 0 y 0 aπ8 b π4 c π2 d π e 3π2 f 9π4 g NDR 04 Sobre a região D x² y² 1 y 0 assinale o valor de D x² y² dA a 4π3 b 9π2 c π6 d 8π3 e π3 f 9π g NDR 05 Ao calcular a integral dupla iterada 0⁴π y4π 2sen xxdxdy encontrase o valor a16 b 10 c 8 d 6 e4 f 2 g NDR 06 Ao integrar a função fxyz 2jr² y² sobre o sólido r² y² 4 0 z 3 obtémse a 162π b 16π c 2π d 48π e 3π f 81π g NDR 07 O sólido esférico Ω x² y² z² 1 de densidade constante σ 15 gira em torno do eixo z com velocidade angular constante O momento de inércia Iz é dado por Iz Ω x² y² σ dV O cálculo do momento Iz tornase mais simples em coordenadas esféricas Assinale o valor de Iz a 2π b 6π c 8π d 4π e 2π f π g NDR 07 Seja γ a interseção da superfície S x² y² z² 4 com o plano α x y 2z 0 orientada no sentido horário quando vista de cima Assinale o valor da circulação do campo Fxyz yj zj 2xk ao redor da curva γ a 27π2 b 3π3 c 24π d 16π17 e 7π11 f 5π6 g Box 08 Seja S a superfície descrita na forma paramétrica por ruv ui vj 4 u² v² k u² v² 2 Se F xyz 4yi 16x 4yk e Ns é a normal exterior à superfície S assinale o valor da integral sRotF Ns dS a 12π b 4π c 16π d 20π e 36π f 2π g Box GABARITO preenchimento obrigatório 01 02 03 04 05 06 07 08 a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c c c d d d d d d d d e e e e e e e e f f f f f f f f g g g g g g g g UFPR COHN Departamento de Matemática CÁLCULO III AV1 INTEGRAL DE LINHA A FÓRMULA DE GREEN NOME ID UFPR PARTE 1 QUESTÕES MÚLTIPLA ESCOLHA valor 60 pontos Nota Box 01 Se D é a região delimitada pelo triângulo de vértices A00 B30 e C32 selecione no menu o valor da integral de linha ₀ᴰ x³ 2y dx 3x cos y dy a 64 b 452 c 40 d 15 e 10 f 463 g NDR 02 Se γ é a fronteira da região D 0x² 4y² 36 assinale o valor da integral γ x dy y dx a π b 16π c 16π d 12π e 3π f 12π g NDR 03 Seja γ o corte do cilindro y x² pelo plano z 2 orientado de A 112 para B002 Assinale o valor da integral γ 2x 4y z² dx 3yz dy z⁴ y⁴ z⁴ dz a 43 b 43 c 0 d 2 e 23 f 23 g NDR 04 Assinale o valor numérico do fluxo do campo F 2x y² sen y i x³ 2y j através da fronteira da região D x² y² 2 a 12π b 10π c 3π d 6π e 8π f 2π g NDR 05 Uma placa D de área AD 4 e densidade σ 1 tem o formato de uma elipse Se xy é o centro de massa e Iy o momento de inércia da placa D assinale o valor de ₀ᴰ 2x³dy x²ydx a 4Iy b 8πxy c 7Iy d 4πy e Iy f 8πx g NDR 06 Um fio tem o formato da curva γ x cos t y sen t z 2t 0 t π2 e a densidade no ponto xyz do fio é σ xyz z Assinale o momento de inércia do fio em relação ao eixo z a 125 π² b 145 π² c 165 π² d 185 π² e 325 π² f 345 π² g NDR ATENÇÃO Salvo menção em contrário os arcos são percorridos no sentido antihorário positivo GABARITO preenchimento obrigatório 01 a b c d e f g 02 a b c d e f g 03 a b c d e f g 04 a b c d e f g 05 a b c d e f g 06 a b c d e f g PARTE II ESCREVENDO PARA APRENDER valor 40 pontos Nota Box 07 Considere o campo vetorial F 3xy² z i λx²y j x 5z² k a Determine o valor que se deve atribuir a λ para que o campo F seja conservativo b Com o valor de λ encontrado em a calcule o trabalho da força F para deslocar um objeto do ponto A 300 ao ponto B 312 RESONDA AQUI A QUESTÃO 07 use também o verso da fo 1 D 2dA 02 2x4 2y dy dx 02 2x4 2y dx 02 42x dx 02 84x dx 8x 2x2 02 8 20 2 22 02 16 8 8 1 2 x2 y2 1 x 0 y 0 Coordenadas polares 3 quadrante x r cosθ y r senθ x2 y2 r2 dx dy r dr dθ x2 y2 1 r2 1 r 1 0 r 1 π2 θ π M D σxydA π2π 01 3 r2 cos2θ r dr dθ π2π 01 3 cos2θ r3 dr dθ π2π 3 cos2θ 14 r4 01 dθ π2π 34 cos2θ dθ π2π 34 12 1 cos2θ dθ 38 θ 12 sen2θ π2π 38 π π2 12 sen2π senπ 38 π2 12 0 0 3π16 u m 1 3 x2 y2 2x 0 x 2 x 0 y 0 Coordenadas cilíndricas X r cosθ y r senθ x2 y2 r2 z z dx dy dz r dr dz dθ n2 2 r cosθ r 2 cosθ V Ω dv 0 r 2 cosθ 0 θ π2 0 z 2 V 02 0π2 02 cosθ r dr dθ dz 02 0π2 r dr dθ dz 02 0π2 12 r2 02 cosθ dθ dz 02 0π2 12 2 cosθ2 dθ dz 12 02 0π2 4 cos2θ dθ dz 02 0π2 2 12 1 cos2θ dθ dz 02 0π2 1 cos2θ dθ dz 02 θ 12 sen2θ 0π2 dz 02 π2 12 sen4π sen0 dz 02 π2 dz π2 z 02 2π2 π u V 1 4 x2 y2 1 y 0 0 θ π 0 r 1 D x2y2 dA 0π 01 r2 r dr dθ 0π 01 r2 dr dθ 2 0π 13 r3 01 dθ 0π 13 dθ 13 θ 0π 13 π0 π3 1 5 04π y4π 2 senxx dx dy Invertendo a ordem de integração 0 x π 0 y 4x 0π 04x 2 senxx dy dx 0π 2 senx x y 04x dx 0π 2 senx x 4x 0 dx 0π 8 senx dx 0π 8 senx dx 8 cosx 0π 8cosπ cos0 8 1 1 16 1 6 fxyz 2 x2 y2 fzrθ 2 r2 x2 y2 4 r2 4 r 2 0 r 2 0 θ 2π 0 z 3 03 02π 02 2 r2 r dr dθ dz 03 02π 02 2 r3 dr dθ dz 03 02π 12 r4 02 dθ dz 03 02π 12 16 dθ dz 03 02π 8 dθ dz 03 8 θ 02π dz 03 16π dz 16π z 03 16 3π 48π 3 7 x² y² z² 1 ρ² 1 ρ 1 ρ² 15 0 ρ 1 0 θ 2π 0 φ π Coordenadas esféricas x ρ senφ cosθ y ρ senφ senθ z ρ cosφ x² y² z² ρ² dx dy dz ρ² senφ dρ dφ dθ Iz ₀π ₀2π ₀¹ 15ρ² sen²φ ρ² senφ dρ dθ dφ ₀π ₀2π ₀¹ 15 sen³φ ρ⁴ dρ dθ dφ ₀π ₀2π 15 sen³φ 15 ρ⁵ ₀¹ dθ dφ ₀π ₀2π 15 15 sen³φ dθ dφ ₀π 3 sen³φ θ ₀2π dφ ₀π 6π sen³φ dφ ₀π 6π senφ1cos²φ dφ 6π ₀π senφ dφ ₀π cos²φ senφ dφ 6π cosφ 13 cos³φ ₀π 6π cosπ cos0 13cos³π cos³0 6π 1 1 131 1 6π 2 23 6π 6 23 8π 8 a y 4x y x b VolΩ 21 x2 x dy dx 21 24x x dy dx 11 24 x dy dx VolΩ 21 x4x x dy dx 11 24 x dy dx c VolΩ 21 x y x4x dx 11 x y 24 dx 21 x 4x x dx 11 x 4 2 dx 21 4 x² dx 11 2 x dx 4x 13x³ 21 x²11 41 2 131³ 2³ 1² 1² 53 uv Arquivo 2 1 x 2y z 1 z 1 x 2y Coordenadas elípticas x 2 r cosθ y 3 r senθ 3x² 4y² r² dx dy 23 r dr dθ A 1 zx² zy² dA A 1 1 4 dA 6 dA A ₀2π ₀12 6 23 r dr dθ ₀2π ₀12 218 r dr dθ ₀2π 18 12 dθ 12 r² ₀12 ₀2π dθ 1218 θ₀2π 24π 18 ua 2 F xyz 2x y² x³ z 2y x y z Teorema de Gauss φ Ω divF dV divF x 2x y² y x³ z 2y z x y z divF 2 2 1 1 φ 33 33 33 1 dx dy dz 33 33 33 x dx dy dz 33 33 3 3 dy dz 33 33 6 dy dx 33 6y 33 dz 33 933 dz 33 36 dz 36 z 33 36 33 216 Fii 7 3 V ab E dr ab Frt rt dt Seja a interseccao do plano com os planos xa x0 ya y0 z 12 x y zx 1 zx2 1 zy 1 zy2 1 As 2 0a 0a 111 dA 0a 0a 3 dx dy 0a 3 x a0 dy 0a a 3 dy a 3 y a0 a2 3 2 a2 23 7 a 23 Plano x0 x0 yt z 12 t r1t 0 t 12 t r1t 0 1 1 0 t a Plano xa xa yt z 12 a t r2t a t 12 a t r2t 01 1 Plano y0 xt y0 z 12 t r3t t0 12 t r3t 101 Plano ya xt ya z 12 t a r4t t a 12 t a r4t 10 1 8 W W1 W2 W3 W4 W1 023 212 t t 2t 12 t3 01 1 dt 056572 W2 023 a2 212 a t 2a t 2t 12 a t3 0 1 1 dt 023 2a t 2t 12 a t3 dt 35534 W3 0a t2 212 t 2t 12 t3 1 0 1 dt 0a t2 1 2t 12 t3 dt 034508 W4 0a t2 212 a t 2t a 2a 12 a t3 1 0 1 dt 0a t2 1 2a 2t 12 a t3 dt 309056 W 02422 9 ⑤ S y³z² dS x² y² 4 y 0 Para metrizando x r cost y r sent z 1 0 0 t π 0 r 2 ϕrt r cost r sent 1 ϕrrt cost sent 0 ϕtrt r sent r cost 0 n i j k cost sent 0 r sent r cost 0 r cos²t r sen²t k n r² r r k 0 0 r S y³z² dS 0π 0² r³ sen³t 1² r dr dt 0π 0² sen³t r⁴ dr dt 0π sen³t 15 r⁵ 0² dt 325 0π sen³t dt 325 43 12815 n ⑧ ⑥ y z 1 x 6 1 t 1 x 6 y 1 t z t r₁t 6 1 t t r₁t 0 1 1 x 6 y 1 t z t r₂t 6 1 t t r₂t 0 1 1 w w₁ w₂ w₃ w₄ w₁ 1¹ 36 1 t² t 21 t 36 0 1 1 dt 1¹ 37t 34 dt 68 w₂ 1¹ 36 1 t² t 21 t 36 0 1 1 dt 1¹ 3t 38 dt 76 w₃ 1¹ 36 t² 1 t 2t 36 0 1 1 dt 1¹ 1 t 2t 36 dt 70 w₄ 1¹ 36 t² 1 t t 36 0 1 1 dt 1¹ 1 t t 36 dt 70 w 138 n ⑨ ⑦ Parametrizando a interseção com Gregebra rt 179 cost 037 sent 089 cost 073 sent 183 sen t rt 179 sent 037 cost 089 sen t 073 cost 183 cost W 02π 089 cost 073 sent179 sent 037 cost 183 sent073 cost 089 sent 2179 cost 037 sent 183 cost dt 513964 511671 2058183 1032548 ⑨ ⑧ ru v u v 4 u² v² ruu v 1 0 2u rvu v 0 1 2v NS rv ru i j k 1 0 2u 0 1 2v 2u i 2v j k 2u 2v 1 RotF i x j y k z 4y 0 16x 4y 4 i 16 j 4 k 4 16 4 S RotF N dS 22 2 u²2 u² 4 16 4 2u 2v 1 dv du u r cosθ v r senθ dudv r dr dθ 0 r 2 0 θ 2π 8π n ⑧ Arquivo 3 1 Teorema de Green C Pdx Qdy D Qx Py dA Qx x 3x cos3y 3 Py y x3 2y 2 30 0x3 3 2 dydx 152 2 9x2 4y2 36 36 x24 y29 1 x 21 cosθ dx 21 sinθ dθ y 31 sinθ dy 3 cosθ dθ 0 θ 2π γ x dy y dx 02π 2 cosθ 3 cosθ 6 sin2θ dθ 02π 6 cos2θ 6 sin2θ dθ 02π 6 dθ 6 θ02π 12π 3 y t2 dy 2t dt x t dx dt z 2 dz 0 10 2t 4t2 4 2t 3t2 2 dt 10 12t3 4t2 2t 4 dt 23 19 7 F 3x y2 z λ x2 y x 5 z2 Se rotF 0 o campo é conservativo i x j y k z 3 x y2 z λ x2 y x 5 z2 0 i 1 1 j 2 x y λ 6 x y k 0 2 x y λ 6 x y λ 3 a b AB B A 0 1 2 x 3 y t 0 t 1 z 2 t r t 3 t 2 t r t 0 1 2 W 01 3x y2 z i 3 x2 y j x 5 z2 0 1 2 dt 01 3 x2 y 2 x 10 z2 dt 01 39 t 23 104 t2 dt 01 40 t2 27 t 6 dt 1976