Atividade de Vibrações - periódica Não Harmônica 2 Gls

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS VIBRAÇÕES DE SISTEMAS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE N O T A S D E A U L A S Virgílio Mendonça da Costa e Silva Outubro 2 0 2 3 2 5 Vibrações de Sistemas com 2 Graus de Liberdade Um sistema é denominado de dois graus de liberdade quando requer duas coordenadas para a descrição do seu movimento Tal sistema proporciona uma introdução simples ao comportamento de sistemas com vários graus de liberdade Um sistema com dois graus de liberdade terá também duas frequências naturais Quando ocorre vibração livre com uma destas frequências naturais existe uma relação definida entre as amplitudes das duas coordenadas e a configuração é referida como o modo normal O sistema de dois graus de liberdade terá então duas vibrações de modo normal correspondentes às duas frequências naturais A vibração livre iniciada sob qualquer condição será geralmente a superposição das duas vibrações de modo normal Entretanto vibração harmônica forçada ocorrerá na frequência da excitação e a amplitude das duas coordenadas tenderá para um máximo nas duas frequências naturais 51 Vibrações Livres sem Amortecimento 511 Determinação da Equação Diferencial do Movimento A equação diferencial do movimento de sistemas com dois graus de liberdade pode ser determinada tanto pelo método do somatório das forças utilizando a segunda lei do movimento de Newton quanto pelo método de energia utilizando a equação de Lagrange 5111 Método do Somatório de Forças Consideremos o sistema massa mola sem amortecimento composto das massas 1 M e 2 M e das molas 1 K 2 K e 3 K de massas desprezíveis representado pela Figura 51 O movimento do sistema é descrito completamente pelas coordenadas x1 t e x2 t medidas a partir da referência inercial que definem a posição das massas em qualquer tempo t em relação às respectivas posições de equilíbrio Aplicando a segunda lei do movimento de Newton a cada uma das massas obtêmse as equações diferenciais de movimento 1 1 1 2 1 2 2 M x K K x K x 0 ɺɺ 51 2 2 2 1 2 3 2 M x K x K K x 0 ɺɺ 52 3 Sistema de 2 GL em Equilibrio Estático M1 M2 K1 K3 x2t K2 Diagrama de Corpo livre x1t K1x1 K2x2x1 M1 M2 K3x2 x1t x2t 1 Xɺɺ 2 Xɺɺ Figura 51 Sistema de 2 GL sem Amortecimento Observase da equação 51 que a mesma contem um termo que envolve a coordenada 2 x ao passo que a equação 52 possui um termo que envolve a coordenada 1x Por conseqüência elas representam um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem acopladas Portanto podemos esperar que o movimento da massa 1 M influencie o movimento da massa 2 M e viceversa As equações 51 e 52 podem ser escritas na forma matricial como 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 x t x t K K K M 0 0 x t x t K K K 0 M 0 ɺɺ ɺɺ 53 ou simplesmente M x t K x t 0 ɺɺ 54 onde M e K são denominadas matrizes de massa e rigidez respectivamente definidas por 1 2 M 0 M 0 M 55 4 1 2 2 2 2 3 K K K K K K K 56 Podemos ver que as matrizes são de ordem 2 x 2 cujos elementos são respectivamente as massas e as rigidezes do sistema Além disso são matrizes simétricas neste caso podese escrever M M T 57 K K T 58 onde o índice T representa matriz transposta Também pode ser observado das equações 51 e 52 que o sistema torna se desacoplado somente quando K2 0 o que implica que as duas massas não estão fisicamente ligadas e neste caso as matrizes M e K passam a ser diagonais 5112 Método de Energia Equação de Lagrange Lagrange desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulando por meio das quantidades escalares de energia cinética T energia potencial U e trabalho W À medida que o sistema fica mais complicado tornase progressivamente difícil o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton quando então há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho Além disto a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa completamente a consideração das forças restritivas de articulações e guias sem atrito As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos sistemas de coordenadas Entretanto são necessárias n coordenadas independentes para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade Tais coordenadas independentes são chamadas coordenadas generalizadas e são usualmente representadas pelas letras iq O movimento de corpos nem sempre é livre mas sujeito muitas vezes a limitações predeterminadas Como exemplo a Figura 52 mostra um pêndulo esférico de comprimento l Sua posição pode ser completamente definida pelas duas 5 coordenadas independentes ψ e φ Nestas condições ψ e φ são coordenadas generalizadas e o pêndulo esférico representa um sistema de dois graus de liberdade Figura 52 Pêndulo Esférico A posição do pêndulo esférico pode ser também estabelecida pelas três coordenadas retangulares x y e z que excedem de um os graus de liberdade do sistema Entretanto as coordenadas x y e z não são independentes pois elas estão relacionadas pela equação de restrição 2 2 2 2 x y z l 0 59 Uma das coordenadas pode ser eliminada pela equação acima reduzindo desta forma a dois o número de coordenadas necessárias Chamamse coordenadas supérfluas as que excedem o número de graus de liberdade do sistema e é necessário para a sua eliminação número igual de equações de restrição Denominamse de holonômicas as restrições se as coordenadas em excesso podem ser eliminadas por meio das equações de restrição Tais restrições são na forma 1 2 n C q q q t 0 510 As restrições nos sistemas nãoholonômicos não são expressas em termos de coordenadas ou coordenadas e tempo como na Equação 510 Restrições não holonômicas são expressas somente como relações entre as diferenciais como na seguinte equação a₁dq₁ a₂dq₂ andqn amdt 0 511 Não é possível então a eliminação das coordenadas dependentes por meios algébricos Trabalho Virtual Um deslocamento virtual δx δθ δr etc é uma mudança infinitesimal da coordenada que pode ser concebida de qualquer maneira sem consideração do tempo t mas não violando as restrições do sistema Consideremos um sistema de partículas sob a influencia de várias forças Se o sistema está em equilíbrio estático a resultante Rj das forças atuando sobre qualquer partícula j deve ser zero e nulo é o trabalho realizado por estas forças num deslocamento virtual δ rj δW j Rj δ rj 0 512 Se a força Rj é dividida numa força aplicada Fj e numa força restritiva fi há então equilíbrio entre Fj e fi e nenhuma delas é zero Limitando nossa discussão a forças restritivas que não realizam trabalho tal como a reação de um assoalho liso a equação do trabalho virtual se reduz a δW j Fj δ rj 0 513 a qual exprime o princípio do trabalho virtual como apresentado por J Bernoulli 1717 Em resumo a equação acima estabelece que num sistema em equilíbrio estático o trabalho efetuado pelas forças aplicadas num deslocamento virtual compatível com as restrições é igual a zero Trabalho Virtual em Termos de Coordenadas Generalizadas 6 Consideremos um sistema de n graus de liberdade no qual o deslocamento rj possa ser expresso por n coordenadas generalizadas independentes qi e o tempo t rj rj q1 q2 qn t 514 O deslocamento virtual da coordenada rj é δrj i δ rj δ qi δ qi 515 e o tempo t não é envolvido Quando o sistema está em equilíbrio o trabalho virtual pode ser expresso agora em termos das coordenadas generalizadas qi pela equação 515 δW j Fj δ rj j i Fj δ rj δ qi δ qi 516 Intercambiando a ordem de soma e sendo Qi j Fj δ rj δ qi 517 definida como a força generalizada o trabalho virtual do sistema expresso em termos das coordenadas generalizadas tornase δW i Qi δ qi 518 Exemplo1 Consideremos para ilustrar o método do trabalho virtual o problema de se estabelecer a posição de equilíbrio de uma barra rígida limitada no seu movimento conforme indicado na Figura 53 7 Figura 53 Barra em Equilíbrio Estático A posição da barra é estabelecida completamente pela coordenada θ que pode servir como coordenada generalizada Se se dá à barra um deslocamento virtual δθ os deslocamentos correspondentes δ r1 δ r2 e δ rG dos pontos 1 2 e G devem ser compatíveis com as restrições do sistema Eles todos podem ser expressos em termos de δθ que é a única quantidade independente à qual se pode atribuir qualquer valor arbitrário Há dois tipos de forças atuando sobre a barra As forças restritivas são f1 e f2 ao passo que a gravidade w é uma força aplicada Supondo contactos sem atrito as forças restritivas f1 e f2 são normais aos deslocamentos virtuais δ r1 e δ r2 respectivamente e por isso não há trabalho quando a barra é sujeita a um deslocamento virtual δθ Nestas condições o trabalho virtual do sistema resulta apenas da força aplicada δW f1 δ r1 f2 δ r2 w δ rG 0 0 w δ rG Uma vez que rG é alguma função de θ podemos escrever δ rG δ rG δ θ δ θ e a equação para o trabalho virtual tornase 8 δW w δ rGδ θ δ θ Qθ δ θ Na equação acima Qθ w δ rGδ θ é a força generalizada associada ú coordenada generalizada θ Usando vetares Unitários i e j ao longo dos eixos x e y Figura 53 a equação para rG é rG rG i cos θ j sen θ 1 ccos θ i cos θ j sen θ Diferenciando em relação a θ δ rG l sen θ i l cos θ c sec θ2 j δθ e tomando o produto escalar com w w j o trabalho virtual que deve ser zero tornase δW w l cos θ c sec θ 2 δθ 0 A equação é satisfeita por l cos θ c sec θ 2 0 ou cos θ ³cl 9 que define a posição de equilíbrio da barra O estudante pode verificar o fato de que o centro de massa G ocupa o ponto mais baixo na posição acima e que δ rG é um deslocamento horizontal Desenvolvimento da Equação de Lagrange O princípio do trabalho virtual estabelecido para o caso de equilíbrio estático pode ser estendido à dinâmica por meio de um raciocínio exposto por dAlembert 1743 Segundo dAlembert uma vez que a soma das forças atuando sobre uma partícula resulta numa aceleração mi ri a aplicação de uma força igual a mi ri produziria uma condição de equilíbrio A equação para a partícula pode então ser expressa como Fi fi mi ri 0 519 onde Fi e fi são as forças aplicadas e restritivas respectivamente Decorre então do princípio do trabalho virtual que para um sistema de partículas Σi Fi mi r δ ri 0 520 onde o trabalho efetuado pelas torças restritivas fi é zero novamente Nestas condições para um sistema dinâmico o princípio do trabalho virtual requer que a força aplicada Fi seja substituída por Fi mi r a qual introduz um novo termo Σi mi r δ ri Vamos mostrar agora que este novo termo é relacionado à energia cinética T pela equação Σk1n ddt δ T δ qk δ T δ qk δ qk 521 Considerando um corpo possível de ser representado por um sistema de partículas sua energia cinética é igual a 10 T Σi 12 mi ri² Σi 12 mi ri ri 522 A posição de qualquer partícula num sistema de n graus de liberdade pode ser expressa em termos das n coordenadas generalizadas q1 q2 qn e em alguns casos do tempo t ri ri q1 q2 qn t 523 e sua velocidade ri ri q1 q1 ri q2 q2 ri qn qn ri t 524 Duas importantes relações resultam destas equações Primeira se tomamos a derivada parcial de ri com relação à qk ela será igual ao coeficiente de qk ri qk ri qk 525 Segundo o deslocamento virtual de ri a partir da Equação 515 é δ ri ri q1 δ q1 ri q2 δ q2 ri qn δ qn Σ nk1 ri qk δ qk 526 onde se nota que o tempo t não entra na equação definição de deslocamento virtual independente de tempo Utilizando a equação acima para δ ri temos mi ri δ ri Σ nk1ni mi ri ri qk δ qk 527 Examinamos a seguir um dos termos desta soma 11 mi ri ri qk ddt mi ri ri qk mi ri ddt ri qk 528 Na Equação 525 ri qk no primeiro termo pode ser substituído por ri qk e a ordem de diferenciação no segundo termo pode ser invertida de modo que ddt ri qk ri qk 529 O resultado é mi ri ri qk ddt mi ri ri qk mi ri ri qk 530 ddt qk qk12 mi ri² e mi ri δ ri Σk1ⁿ ddt qk qk12 mi ri² δ qk 531 Somando as i partículas chegamos ao resultado Σi mi ri δ ri Σk1ⁿ ddt T qk T qk δ qk 532 onde T 12 Σi mi ri² é a energia cinética do sistema Para completar o desenvolvimento o trabalho efetuado pelas forças aplicadas no deslocamento virtual são expressas da seguinte forma 12 δW Σi Fi δ ri Σi Fi Σk1ⁿ ri qk δ qk Σk1ⁿ Σi Fi ri qk δ qk 533 Σk1ⁿ Qk δ qk onde Qk Σi Fi ri qk 534 é chamada a força generalizada associada à coordenada qk As dimensões de Qk dependerão das dimensões de qk de modo que se qk é um ângulo θ a força generalizada será um momento Voltamos agora as Equações 532 e 533 à Equação original 520 Σk1ⁿ ddt T qk T qk Qk δ qk 0 535 Considerando que as nδqk correspondentes aos n graus de liberdade são quantidades independentes podemos escolhêlas de qualquer maneira que quisermos Isolando uma das δqi 0 O e considerando zero as restantes δqs obtemos a equação de Lagrange para a coordenada qj ddt T qj T qj Qj 0 536 Uma equação semelhante pode ser estabelecida para as n coordenadas do sistema com a repetição do processo com as outras coordenadas 13 14 Há poucas variações da equação de Lagrange que podem ser mencionadas agora Se temos um sistema conservativo o trabalho efetuado é igual ao negativo da energia potencial 1 2 n W U q q q 537 e o trabalho virtual da equação 533 pode ser substituído por δ δ k k U W q q 538 Assim em lugar de k Q usamos k U q e reescrevemos a equação de Lagrange desta forma k k k d T T U 0 d t q q q ɺ 539 A segunda variante resulta do conhecimento que U não é uma função de qɺk de modo que definimos um Lagrangiano L como L T U 540 podemos escrever a equação 539 como k k d L L 0 d t q q ɺ 541 Quando existem forças nãoconservativas no sistema o trabalho por elas efetuado pode ser separado na forma δ δ n k k k 1 W Q q 542 e neste caso é possível apresentar a equação de Lagrange para um sistema não conservativo como 15 k k k d L L Q d t q q ɺ ou k k k k d T T U Q d t q q q ɺ 543 Estas últimas formas nos permitem estender o uso do método de Lagrange aos sistemas não conservativos e em consequência o método de Lagrange é aplicável a todos os sistemas dinâmicos incluindo vibrações amortecidas Usando a equação de Lagrange para determinar a equação do movimento do sistema de dois graus de liberdade representado pela Figura 51 temos As coordenadas generalizadas 1 1 x q e 2 2 x q 544 A energia cinética e a energia potencial do sistema são respectivamente 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 T M q M q ɺ ɺ 545 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2 2 2 U K q K q q K q 546 Calculando as derivadas para i 1 temos 1 1 1 T M q q ɺ ɺ 547 1 1 1 d T M q d t q ɺɺ ɺ 548 1 T 0 q 549 1 1 2 2 1 1 U K q K q q q 550 16 Substituindo na equação de Lagrange equação 543 os valores obtidos nas equações 448 549 e 550 chegase a 1 1 1 2 1 2 2 M q K K q K q 0 ɺɺ 551 ou 1 1 1 2 1 2 2 M x K K x K x 0 ɺɺ 552 Calculando as derivadas para i 2 temos 2 2 2 T M q q ɺ ɺ 553 2 2 2 d T M q d t q ɺɺ ɺ 554 2 T 0 q 555 2 2 1 3 2 2 U K q q K q q 556 Substituindo na equação de Lagrange equação 543 os valores obtidos nas equações 454 555 e 556 chegase a 2 2 1 2 2 2 1 M q K K q K q 0 ɺɺ 557 ou 2 2 2 1 2 3 2 M x K x K K x 0 ɺɺ 558 512 Solução e Análise das Equações Diferencial do Movimento Estamos interessados em saber se 1 M e 2 M podem oscilar harmonicamente com a mesma freqüência angular e ângulo de fase mas com amplitudes diferentes Admitindo que seja possível ter movimento harmônico de 1 M e 2 M à mesma frequência ω e com o mesmo ângulo de fase φ tomamos para solução 17 ω φ 1 1 x t X cos t 559 ω φ 2 2 x t X cos t 560 onde 1 X e 2 X são constantes que denotam as amplitudes máximas de x1 t e x2 t e φ o ângulo de fase Substituindo as equações 559 e 560 nas equações diferenciais do movimento 51 e 52 obtemos ω ω φ 2 1 1 2 1 2 2 M K K X K X cos t 0 561 ω ω φ 2 2 1 2 2 3 2 K X M K K X cos t 0 562 Uma vez que as equações 561 e 562 são validas para quaisquer valores de t os termos entre colchetes devem ser nulos Assim temos 1 ω2 1 2 1 2 2 M K K X K X 0 563 ω2 2 1 2 2 3 2 K X M K K X 0 564 que representam duas equações algébricas homogêneas simultâneas com incógnitas 1 X e 2 X Podemos ver que as mesmas são satisfeitas para solução trivial 1 2 X X 0 o que implica que não há nenhuma vibração Para uma solução não trivial de 1 X e 2 X o determinante dos coeficientes abaixo deve ser zero ω ω 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 M K K K 0 K M K K 565 ou ω ω 4 2 2 1 2 1 2 2 2 3 1 1 2 2 3 2 M M K K M K K M K K K K K 0 566 A equação 566 é denominada equação de frequência ou equação característica porque a solução dessa equação dá as frequências ou os valores característicos do sistema As raízes da equação são dadas por 18 ω ω 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 1 1 2 12 2 1 2 1 2 2 1 2 K K M K K M 1 2 M M K K M K K M 1 2 M M K K K K K 4 M M 567 Isso mostra que é possível que o sistema tenha uma solução harmônica não trivial da forma das equações 559 e 560 quando ω é igual a ω1 e ω2 dadas pela equação 567 Denominamos ω1 e ω2 as frequências naturais do sistema 5121 Conceito Físico de Modo de Vibração Os valores de 1 X e 2 X dependem das frequências naturais ω1 e ω2 Denotaremos os valores de 1 X e 2 X correspondentes a ω1 como X11 e X21 e os correspondentes a ω2 como X12 e X22 Ademais visto que as equações 563 e 564 são homogêneas somente as razões 1 1 1 2 1 r X X e 2 2 2 2 1 r X X podem ser determinadas Para ω ω 2 2 1 e ω ω 2 2 2 a equações 563 e 564 nos conduz a ω ω 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 M K K X K r K M K K X 568 ω ω 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 M K K X K r K M K K X 569 Observase que as duas razões dadas para cada ir i 12 nas equações 568 e 569 são idênticas Os modos normais de vibração correspondentes a ω2 1 e ω2 2 podem ser expressos respectivamente como x1 X₁1 X₂1 X₁1 r₁ X₁1 570 e x2 X₁2 X₂2 X₁2 r₂ X₁2 571 Os valores de x1 e x2 que denotam os modos normais de vibração são conhecidos como vetores modais do sistema A solução de vibração livre ou o movimento no tempo podem ser expressos pelas equações 559 e 560 assim temse Para o Primeiro modo x1t x₁1t x₂1t X₁1 cos ω₁ t ϕ₁ r₁ X₁1 cos ω₁ t ϕ₁ 572 Para o segundo modo x2t x₁2t x₂2t X₁2 cos ω₂ t ϕ₂ r₂ X₁2 cos ω₂ t ϕ₂ 573 onde as constantes X₁1 X₁2 ϕ₁ e ϕ₂ são determinadas pelas condições iniciais Cada uma das equações de movimento equações 51 e 52 envolve derivadas de segunda ordem de tempo por consequência precisamos especificar duas condições iniciais para cada massa Podemos fazer o sistema vibrar em seu iésimo modo normal i 12 sujeitandoo às condições iniciais específicas x₁ t0 X₁i constante e ẋ₁ t0 0 574 x₂ t0 r₁ X₁i e ẋ₂ t0 0 575 19 Contudo para quaisquer outras condições iniciais gerais ambos os modos serão excitados O movimento resultante que é dado pela solução geral das equações 51 e 52 pode ser obtido por uma superposição linear dos dois modos normais equações 572 e 573 vecxt c1 vecx1t c2 vecx2t 576 onde c1 e c2 são constantes Visto que vecx1t e vecx2t envolve as constantes desconhecidas vecX11 e vecX12 podemos escolher c1 c2 1 sem nenhuma perda de generalidade Assim as componentes do vetor vecxt podem ser expressas usando a equação 576 com c1 c2 1 e as equações 572 e 573 x1t x11t x12t X11 cosomega1 t phi1 X12 cosomega2 t phi2 577 x2t x21t x22t r1 X11 cosomega1 t phi1 r2 X12 cosomega2 t phi2 578 onde as constantes desconhecidas vecX11 vecX12 phi1 e phi2 podem ser determinadas pelas condições iniciais x1t0 x10 e dotx1t0 dotx10 579 x2t0 x20 e dotx2t0 dotx20 580 Substituindo as condições definidas pelas equações 579 580 nas equações 577 e 578 obtémse x10 X11 cosphi1 X12 cosphi2 581 dotx10 omega2 X11 senphi1 omega2 X12 senphi2 582 x20 r X11 cosphi1 r2 X12 cosphi2 583 dotx20 omega2 r1 X11 senphi1 omega2 r2 X12 senphi2 584 20 21 As equações 581 582 583 e 584 podem ser considerada como quatro equações algébricas com incógnitas φ 1 1 1 X cos φ 2 1 2 X cos φ 1 1 1 X sen e φ 2 1 2 X sen A solução pode ser expressa como φ 1 2 1 2 1 1 2 1 r x 0 x 0 X cos r r 585 φ 2 1 1 2 1 2 2 1 r x 0 x 0 X cos r r 586 φ ω 1 2 1 2 1 1 1 2 1 r x 0 x 0 X sen r r ɺ ɺ 587 φ ω 2 1 1 2 1 2 2 2 1 r x 0 x 0 X sen r r ɺ ɺ 588 da qual obtemos a solução desejada φ φ 12 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 X X cos X sen ω 12 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 r x 0 x 0 1 r x 0 x 0 r r ɺ ɺ 589 φ φ 12 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 X X cos X sen ω 12 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 r x 0 x 0 1 r x 0 x 0 r r ɺ ɺ 590 φ φ ω φ 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 X sen r x 0 x 0 tg tg r x 0 x 0 X cos ɺ ɺ 591 φ φ ω φ 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 X sen r x 0 x 0 tg tg r x 0 x 0 X cos ɺ ɺ 592 22 Exemplo 2 Determine as freqüências naturais e formas nodais de um sistema massamola mostrado na Figura 54 que está restrito a moverse apenas no sentido vertical Considere n 1 Solução Se medirmos 1x e 2 x em relação às posições de equilíbrio estático das massas 1 M e 2 M respectivamente as equações de movimento e a solução obtida para o sistema da Figura 51 também são aplicáveis a esse caso se substituirmos 1 2 M M M e 1 2 3 K K K K Assim as equações de movimento equações 51 e 52 são dadas por 1 1 1 2 M x 2Kx Kx 0 ɺɺ E21 2 2 1 2 M x Kx 2Kx 0 ɺɺ E22 Considerando soluções harmônicas como ω φ i i x t X cos t para i 12 E23 M1M K1K x2t x1t M2M K3K K2nK Figura 54 Sistema de Dois Graus de Liberdade A equação da frequência pode ser obtida pela substituição da equação E23 nas equações E21 e E22 M omega2 2K K K M omega2 2K 0 E24 ou M2 omega4 4KM omega2 3K 0 E25 A solução da equação E25 dá as frequências naturais omega1 leftfrac4KM left 16K2 M2 12 M2 K2 right122M2right12 sqrtfracKM E26 omega2 leftfrac4KM left 16K2 M2 12 M2 K2 right122M2right12 sqrtfrac3KM E27 Pelas equações 568 e 569 os coeficientes de amplitude são dados por r1 fracX21X11 frac M omega12 2KK fracKM omega12 2K 1 E28 r2 fracX22X12 frac M omega22 2KK fracKM omega22 2K 1 E29 Os modos naturais são dados pelas equações 572 e 573 Para o Primeiro modo vecx1 leftbeginarrayc x11t x21t endarrayright leftbeginarrayc X11 cos left sqrtfracKM t phi1 right X11 cos left sqrtfracKM t phi1 right endarrayright E210 23 Para o segundo modo vecx2t leftbeginarrayc x12t x22t endarrayright leftbeginarrayc X12 cos left sqrtfrac3KM t phi2 right X12 cos left sqrtfrac3KM t phi2 right endarrayright E211 Podemos ver pela equação E210 que quando o sistema vibra em seu primeiro modo as amplitudes das duas massas permanecem as mesmas Isso implica que o comprimento da mola do meio permanece constante Assim os movimentos de M1 e M2 estão em fase conforme mostra a Figura 55a Quando o sistema vibra em seu segundo modo a equação E211 mostra que os deslocamentos das duas massas têm a mesma magnitude com sinais opostos Desta forma os movimentos de M1 e M2 estão defasados de 180circ conforme mostra a Figura 55b Nesse caso o ponto médio da mola do meio permanece estacionário para todo tempo t Tal ponto é denominado nó Pelas equações 577 e 578 o movimento solução geral do sistema pode ser expresso como x1t X11 cos left sqrtfracKM t phi1 right X12 cos left sqrtfrac3KM t phi2 right E212 x2t X11 cos left sqrtfracKM t phi1 right X12 cos left sqrtfrac3KM t phi2 right E213 Figura 55 a Sistema de Dois Graus de Liberdade Vibrando no Primeiro Modo 24 25 Nó M1 M2 M1 M2 Figura 55 b Sistema de Dois Graus de Liberdade Vibrando no Segundo Modo Podemos ver que o cálculo das freqüências naturais e formas nodais é longo e tedioso Há programas de computador conveniente que podem ser usados para cálculo numérico das freqüências naturais e formas nodais de sistemas de vários graus de liberdade No sistema de dois graus de liberdade representado pela da Figura 54 pode ser aplicado condições iniciais especificas que farão com que o mesmo vibre nos modos de vibração Para as condições iniciais arbitrárias o movimento das massas é descrito pelas equações 577 e 578 No presente caso 1r 1 e 2r 1 e portanto as equações 577 e 578 reduzemse às equações E212 e E213 Admitindo que as condições iniciais sejam as das equações 579 e 580 as constantes X11 X12 φ1 e φ2 podem ser obtidas pelas equações 589 a 590 usando 1r 1 e 2r 1 12 2 2 1 1 1 2 1 2 1 M X x 0 x 0 x 0 x 0 2 K ɺ ɺ E214 12 2 2 2 1 1 2 1 2 1 M X x 0 x 0 x 0 x 0 2 3K ɺ ɺ E215 φ 1 2 1 1 2 1 2 M x 0 x 0 tg K r x 0 x 0 ɺ ɺ E216 ϕ2 tg1 M x1 0 x2 0 3K x1 0 x2 0 E217 O primeiro modo normal do sistema é dado pela equação E210 ou seja x1t X11 cos KM t ϕ1 X11 cos KM t ϕ1 E218 A comparação das equações E212 e E218 mostra que o movimento do sistema é idêntico ao primeiro modo normal somente se X12 0 Isto requer pela equação E215 que x1 0 x2 0 e x1 0 x2 0 E219 O segundo modo normal do sistema é dado pela equação E211 x2t X12 cos 3KM t ϕ2 X12 cos 3KM t ϕ2 E220 A comparação das equações E213 e E220 mostra que o movimento do sistema coincide com o segundo modo normal somente se X11 0 Isto implica pela equação E214 que x1 0 x2 0 e x1 0 x2 0 E221 26 27 513 Acoplamento de Coordenadas As equações diferenciais de movimento para o sistema de dois graus de liberdade são em geral acopladas no sentido de que ambas as coordenadas aparecem em cada equação No caso mais geral as duas equações para o sistema não amortecido têm a seguinte forma 11 1 12 2 11 1 12 2 M x M x K x K x 0 ɺɺ ɺɺ 593 21 1 22 2 21 1 22 2 M x M x K x K x 0 ɺɺ ɺɺ 594 Estas equações podem ser expressas na forma matricial como 1 1 11 12 11 12 2 2 21 22 21 22 x t x t M M K K 0 x t x t M M K K 0 ɺɺ ɺɺ 595 que revela imediatamente o tipo de acoplamento presente Massa ou acoplamento dinâmico existe se a matriz de massa è não diagonal ao passo que rigidez ou acoplamento estático existe se a matriz de rigidez é nãodiagonal É possível também estabelecer o tipo de acoplamento a partir das expressões para a energia cinética e potencial Produtos cruzados em cada expressão denotam acoplamentos dinâmico ou estático dependendo que eles sejam encontrados em T ou U A escolha de coordenadas estabelece o tipo de acoplamento e ambos podem estar presentes É possível encontrar um sistema de coordenadas que não apresente qualquer forma de acoplamento Neste caso as equações são desacopladas e cada uma pode ser resolvida separadamente da outra Tais coordenadas são chamadas coordenadas principais ou coordenadas normais Embora seja sempre praticável desacoplar as equações de movimento para o Sistema não amortecido este não é sempre o caso para um sistema amortecido As equações matriciais seguintes mostram um sistema que tem os acoplamentos dinâmico e estático zero porém as coordenadas são acopladas pela matriz de amortecimento 28 1 1 1 11 11 12 11 2 2 2 22 21 22 22 x t x t x t M 0 C C K 0 0 x t x t x t 0 M C C 0 K 0 ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ 596 Se na equação acima 12 21 C C 0 então se diz que o amortecimento é proporcional proporcional à matriz de rigidez ou de massa e o sistema de equações tornase desacoplado Exemplo 3 A Figura 56 mostra uma barra rígida com seu centro de massa não coincidente com seu centro geométrico isto é 1 2 l l e suportada por duas molas 1 K 2 K Trata se de um sistema de dois graus de liberdade visto que são necessárias duas coordenadas independentes para se descrever seu movimento A escolha das coordenadas definirá o tipo de acoplamento que pode ser determinado imediatamente a partir das matrizes de massa e rigidez Massa ou acoplamento dinâmico existe se a matriz de massa é não diagonal enquanto que rigidez ou acoplamento estático existe se a matriz de rigidez é não diagonal É possível também que haja as duas formas de acoplamento l1 l2 K1 K2 Mg Figura 56 Sistema de Dois Graus de Liberdade Acoplamento Estático Escolhendo as coordenadas x e θ sendo x o deslocamento linear do centro de massa o sistema terá acoplamento estático como se observa na equação matricial θ θ 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 K K K l K l x t x t M 0 0 t t 0 J 0 K l K l K l K l ɺɺ ɺɺ E31 29 Se 2 2 1 1 K l K l o acoplamento desaparece e obtemos x desacoplado e vibrações θ x Ref K1x l1θ K2x l2θ Figura 57 Coordenadas que Conduzem ao Acoplamento Estático Acoplamento Dinâmico Há algum ponto C ao longo da barra onde a força aplicada normalmente à barra produz translação simples isto é 1 3 2 4 K l K l Podese mostrar que são as seguintes as equações em termos de C x e θ θ θ 1 2 C 2 2 C 1 3 2 4 K K 0 x t x t M Me 0 t t Me J 0 0 K l K l ɺɺ ɺɺ E32 que mostram terem as coordenadas escolhidas eliminado o acoplamento estático e introduzindo o dinâmico l3 l4 K1 K2 C G e xC Ref K1xC l3θ K2xC l4θ Figura 58 Coordenadas que Conduzem ao Acoplamento Dinâmico 30 Acoplamento Estático e Dinâmico Se escolhermos 1 x x na extremidade da barra as equações de movimento tornamse θ θ 1 1 2 2 2 1 2 2 x t x t M M l 0 K K K l t t M l J 0 K l K l ɺɺ ɺɺ E33 e estão presentes agora ambos os acoplamentos l K1 K2 l1 x1 Ref K1x1 K2x1 l θ θ Figura 59 Coordenadas que Conduzem aos Acoplamentos Estático e Dinâmico Exemplo 4 Determinar os modos normais de vibração de um automóvel representado pela Figura 56 simulado pelo sistema simplificado de dois graus de liberdade com os seguintes valores numéricos 1 1 2 C 2 2 W 3200 lb l 45 pés K 2400 lbpés W J r l 55 pés K 2400 lbpés g r 4pés l 10 pés Figura 510 Sistema de Dois Graus de Liberdade 31 As equações de movimento indicam acoplamento estático θ θ 1 1 1 2 2 M x K x l K x l 0 ɺɺ E41 θ θ θ C 1 1 1 2 2 2 J K x l l K x l l 0 ɺɺ E42 Admitindo o movimento harmônico temos ω θ ω 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 C x t K K M K l K l t K l K l K l K l J E43 A partir do determinante da equação matricial as duas frequências naturais são ω ω 1 2 690 rad s 110 cps 906 rad s 144 cps As razões de amplitudes para as duas freqüências são ω ω θ θ 1 2 x 146 pésrad 306 polgrau x 109 pésrad 0288 polgrau Os perfis de modo são ilustrados pelos diagramas da Figura 511 K1 K2 146 pés 110 cps Nó K1 K2 109 pés 144 cps Nó Figura 511 Modos Normais do Sistema Representado na Figura 510 32 515 Representação Gráfica dos Movimentos Exemplo 5 Para mostrar graficamente a resposta de um sistema de dois graus de liberdade com vibração livre considere o sistema da Figura 51 onde 1 2 3 1 2 K 30 Nm K 5 Nm K 0 Nm M 10 Kg M 1 Kg Admitindo para condições iniciais x1 0 1 e 2 1 2 x 0 x 0 x 0 0 ɺ ɺ E51 Para os dados apresentados o problema de autovalor solução das equações 563 e 564 pode ser escrito como ω ω 2 1 1 1 2 2 2 2 2 X 0 M K K K X 0 K 5 E52 ou ω ω 2 1 2 2 X 0 10 35 5 X 0 5 5 E53 Igualando o determinante da equação E53 a zero chegase a ω ω 4 2 10 85 150 0 E54 pela qual as frequências naturais podem ser determinadas como ω ω 2 2 1 2 25 60 ou ω1 15811 ω2 24495 A Substituição de ω2 ω12 25 na equação E53 resulta em X21 2X11 enquanto ω2 ω12 60 na equação E63 dá X22 5X12 Assim os modos normais ou autovetores são dados de acordo com as equações 570 e 571 por x1 X11 X21 1 2 X11 E55 e x2 X12 X22 1 5 X12 E56 As respostas às vibrações livres das massas M1 e M2 são dadas pelas equações 577 e 578 ou seja x1 t X11 cos15811t ϕ1 X12 cos24495t ϕ2 E57 x2 t 2 X11 cos15811t ϕ1 5 X12 cos24495t ϕ2 E58 onde X11 X12 ϕ1 e ϕ2 são constantes que deverão ser determinadas pelas condições iniciais Usando as condições iniciais admitidas pela equação E51 nas equações E57 e E58 obtémse x1 t 0 1 X11 cosϕ1 X12 cosϕ2 E59 x2 t 0 0 2 X11 cosϕ1 5 X12 cosϕ2 E510 x1 t 0 0 15811 X11senϕ1 24495 X12 sen ϕ2 E511 x2 t 0 0 31622 X11 senϕ1 122475 X12 sen ϕ2 E512 A solução das equações E59 e E510 dá como resultado X11 cosϕ1 57 X12 cosϕ2 27 E513 Enquanto a solução das equações E511 e E512 dá como resultado 33 34 φ 1 1 1 X sen 0 φ 2 1 2 X sen 0 E514 As equações E513 e E514 nos leva a 1 1 5 X 7 2 1 2 X 7 φ1 0 φ2 0 Assim as respostas à vibração livre de massas 1 M e 2 M são dadas por 1 5 2 x t cos 15811t cos 24495t 7 7 E515 2 10 10 x t cos 15811t cos 24495t 7 7 E516 A representação gráfica das equações E515 e E516 é mostradas nas Figuras 512 e 513 Figura 512 Resposta de um Sistema de Dois Graus de Liberdade Massa M1 para as Condições que levou a Equação E515 35 Figura 513 Resposta de um Sistema de Dois Graus de Liberdade Massa M2 para as Condições que levou a Equação E516 52 Vibrações Livres com Amortecimento 521 Determinação da Equação Diferencial do Movimento Consideremos o sistema massamolaamortecedor de dois graus de liberdade composto das massas 1 M e 2 M dos amortecedores de coeficientes 1 C e 2 C de massas desprezíveis e das molas de constantes 1 K 2 K de massas desprezíveis representado pela Figura 514 O movimento do sistema é descrito completamente pelas coordenadas x1 t e x2 t medidas a partir da referência inercial que definem a posição das massas em qualquer tempo t em relação às respectivas posições de equilíbrio Aplicando a segunda lei do movimento de Newton a cada uma das massas obtêmse as equações diferenciais de movimento 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 M x C C x K K x C x K x 0 ɺɺ ɺ ɺ 597 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 M x C x K x C x K x 0 ɺɺ ɺ ɺ 598 M1 M2 Sistema de 2 GL em Equilibrio Estático K1 K2 C1 C2 x1t x2t Diagrama de Corpo livre K1x1 K2x2x1 M1 M2 x1t x2t 1 Xɺɺ 2 Xɺɺ 1 C Xɺ 1 2 2 1 C X X ɺ ɺ Figura 514 Sistema de Dois Graus de Liberdade com Amortecimento Esse mesmo resultado pode ser obtido através do método de energia pela utilização da equação de Lagrange para sistemas não conservativos ou seja k k k k d T T U D 0 d t q q q q ɺ ɺ 599 36 onde D é a energia dissipada dada por 2 i i D 1 C q 2 ɺ Neste caso teríamos 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 T M x M x ɺ ɺ 5100 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 U K x K x x 5101 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 D C x C x x ɺ ɺ ɺ 5102 1 1 1 d T M x d t x ɺɺ ɺ 5103 2 2 2 d T M x d t x ɺɺ ɺ 5104 1 2 T T 0 x x 5105 1 1 2 2 1 1 U K x K x x x 5106 2 2 1 2 U K x x x 5107 1 1 2 2 1 1 D C x C x x x ɺ ɺ ɺ ɺ 5108 2 2 1 2 D C x x x ɺ ɺ ɺ 5109 Substituindo as equações 5103 até 5109 na equação de Lagrange para sistemas não conservativos equação 599 chegase as mesmas equações de movimentos dadas pelas equações 597 e 598 522 Solução e Análise da Equação Diferencial do Movimento Admitimos para solução movimentos harmônicos da forma s t 1 1 x A e 5110 s t 2 2 x A e 5111 37 Substituindo as equações 5110 e 5111 e suas derivadas nas equações diferenciais do movimento 597 e 598 resulta na seguinte equação algébrica para ser satisfeita 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A 0 M s C C s K K C s K A 0 C s K M s C s K 5112 Para solução não trivial o determinante dos coeficientes da matriz na equação 5112 deve ser igual a zero Assim nós obtemos a equação característica 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 M s C C s K K M s C s K C s K 0 5113 ou 4 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 M M s M C M C C s M K C C M K K s C K C K s K K 0 5114 Desde que os coeficientes na equação 5114 são positivos as raízes não nulas do polinômio de quarto grau nem pode ser real positiva nem complexa com parte real positiva Fica a possibilidade de que as raízes possam ser reais negativas ou complexas com parte real negativa Se o amortecimento é pequeno o sistema pode vibrar livremente e todas as raízes serão complexas Elas ocorrem em pares conjugados que podem ser expressas por ω 11 1 a1 s n i ω 12 1 a1 s n i 5115 e ω 21 2 a2 s n i ω 22 2 a2 s n i 5116 Os termos 1 n e 2 n representam números positivos relacionados ao amortecimento enquanto que ωa1 e ωa2 denotam frequências angulares amortecidas Substituindo cada uma dessas raízes na equação 5112 nós obtemos as correspondentes razões 38 2 2 jk 2 2 jk 2 jk 2 jk 2 1 jk 1 2 jk 1 2 2 jk 2 C s K M s C s K r M s C C s K K C s K 5117 onde j 1 2 e k 1 2 As razões ijr são pares de conjugado complexos Então a solução completa pode ser escrita como 11 12 21 22 s t s t s t s t 1 11 11 12 12 21 21 22 22 x r A e r A e r A e r A e 5118 11 12 21 22 s t s t s t s t 2 11 12 21 22 x A e A e A e A e 5119 onde os coeficientes ij A são pares de conjugados complexos que podem ser determinados das condições iniciais Como feito para sistemas de um grau de liberdade as equações 5118 e 5119 podem ser transformadas através da aplicação da formula de Euler em expressões contendo termos senoidais e cossenoidais Com estas transformações chegase a ω ω ω ω 1 2 n t n t 1 1 1 a1 1 2 a1 2 3 a2 2 4 a2 x e r B cos t r B sen t e r B cos t r B sen t 5120 ω ω ω ω 1 2 n t n t 2 1 a1 2 a1 3 a2 4 a2 x e B cos t B sen t e B cos t B sen t 5121 onde 1 2 1 1 r B a B b B 1 2 1 2 r B b B a B 5122 3 4 2 3 r B c B d B 3 4 2 4 r B d B c B 5123 1 11 B A A12 2 11 B i A A12 5124 3 21 B A A22 4 21 B i A A22 5125 11 r a ib 12 r a ib 5126 21 r c id 22 r c id 5127 53 Vibrações Forçadas com e sem Amortecimento 39 531 Determinação da Equação Diferencial do Movimento Consideremos que o sistema de dois graus de liberdade representado pela Figura 51 onde a massa 1 M é excitada por uma força harmônica ω 0 F F sen t A equação diferencial do movimento para vibração forçada sem amortecimento pode ser escrita como ω 1 1 11 12 1 0 i t 2 2 21 22 2 M 0 x K K x F e 0 M x K K x 0 ɺɺ ɺɺ 5128 532 Solução e Análise da Equação Diferencial do Movimento Admitimos que a solução seja do tipo ω 1 1 i t 2 2 x X e x X 5129 Substituindo esta solução na equação 5128 obtémse ω ω 2 11 1 12 1 0 2 2 21 22 2 K M K X F X 0 K K M 5130 ou de maneira mais simples ω 1 0 2 X F Z X 0 5131 Prémultiplicando equação 5131 por ω 1 Z obtémse ω ω ω 1 1 0 0 2 adj Z X F F Z X 0 0 Z 5132 Referindose a equação 5132 o determinante Z ω pode ser expresso como Zω M1M2 ω12 ω2 ω22 ω2 5133 onde ω1 e ω2 são as frequências dos modos normais Visto que a equação 5132 tornase X1 X2 1 Zω K22 M2 ω2 K12 K21 K12 M1 ω2 F0 0 5134 ou X1 K22 M2 ω2 F0 M1M2 ω12 ω2 ω22 ω2 5135 X2 K12 F0 M1M2 ω12 ω2 ω22 ω2 5136 Para sistema com amortecimento a substituição da solução 5131 na equação diferencial considerando excitação nas duas massas resulta em K11 iωC11 M1 ω2 K12 iωC12 K12 iωC12 K22 iωC22 M2 ω2 X1 X2 F01 F02 5137 Definindo Zrs iω ωMrs iωCrs Krs para r s 1 2 e escrevendo a equação 5137 como Z iω X F0 5138 onde Z iω Z11 iω Z12 iω Z21 iω Z22 iω 5139 X X1 X2 e F F01 F02 5140 40 A equação 5138 pode ser resolvida para obter X Ziω1 F0 5141 onde a inversa Ziω1 é dada por Ziω1 1Z11iωZ22iω Z12iω2 Z22iω Z12iω Z12iω Z11iω 5142 As equações 5141 e 5142 levam a solução X1iω Z22iω F10 Z12iω F20Z11iωZ22iω Z12iω2 5143 X2iω Z12iω F10 Z22iω F20Z11iωZ22iω Z12iω2 5144 Exemplo 6 Determinar a resposta em regime permanente do sistema mostrado na Figura 54 quando a massa M1 é excitada pela força F F10 senω t Traçar o gráfico da curva de resposta em freqüência De acordo com a equação 5128 a equação diferencial do movimento para M1 M2 M K11 K22 2K K12 K F1 F0 eiωt F2 0 será M1 0 0 M2 ẍ1 ẍ2 2K K K 2K x1 x2 F0 0 eiωt E61 41 42 De acordo com as equações 5135 e 5136 temos para solução ω ω ω ω ω 2 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2K M F X M E62 ω ω ω ω 0 2 2 2 2 2 2 1 2 K F X M E63 Do Exemplo 2 vimos que ω2 1 K M e ω2 2 3K M assim podemos escrever as equações E62 e E63 como ω ω ω ω ω ω ω ω 2 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 F X K 1 E64 ω ω ω ω ω ω 0 2 2 2 2 2 1 1 1 F X K 1 E65 As curvas de respostas 1 X e 2 X são mostradas na Figura 515 em termos do parâmetro adimensional ω ω1 No parâmetro adimensional ω ω1 ω1 foi selecionada arbitrariamente mas ω2 poderia ter sido selecionada com igual facilidade Podemos ver que as amplitudes 1 X e 2 X tornamse infinitas quando ω ω 2 2 1 ou ω ω 2 2 2 Assim há duas condições de ressonâncias para o sistema Uma em ω1 e outra em ω2 Em todos os outros valores de ω as amplitudes de vibração são finitas Podemos notar pela Figura 515 que há um valor particular da freqüência ω no qual a vibração da massa 1 M à qual a força F1 t é aplicada é reduzida a zero Essa característica forma a base do absorvedor dinâmico de vibração discutido a seguir 43 Figura 515 Resposta do Sistema de Dois Graus de Liberdade da Figura 54 5321 Absorvedor de Vibração Uma máquina ou sistema pode experimentar vibração excessiva se sofrer ação de uma força cuja excitação quase coincidir com uma freqüência natural da máquina ou sistema Nesses casos a vibração da máquina ou sistema pode ser reduzida com a utilização de um neutralizador de vibração ou absorvedor dinâmico de vibração que é simplesmente outro sistema massamola O absorvedor dinâmico de vibração é projetado de modo tal que as freqüências naturais do sistema resultante fiquem longe da freqüência de excitação Consideraremos a análise de um absorvedor de vibração idealizado a máquina como um sistema com um grau de liberdade Quando ligamos uma massa auxiliar 2 M a uma máquina de massa 1 M por maio de uma mola de rigidez 2 K o sistema com dois graus de liberdade resultante será parecido com o mostrado na Figura 516 As equações de movimento das massas 1 M e 2 M são ω 1 1 1 2 2 1 0 2 2 2 2 2 M 0 x K K K x F sen t 0 M x K K x 0 ɺɺ ɺɺ 5145 Supondo uma solução harmônica 44 ω j j x t X sen t para j 12 5146 podemos obter as amplitudes de regime permanente das massas 1 M e 2 M como ω ω ω 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 K M F X K K M K M K 5147 ω ω 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 K F X K K M K M K 5148 M2 M1 K1 2 K1 2 X1 t K2 0 F F sen t ω Máquina Isolador Isolador Figura 516 Absorvedor Dinâmico de Vibração Nosso interesse primordial é reduzir a amplitude da máquina 1 X Para que a amplitude de 1 M seja zero o numerador da equação 5147 deve ser igual a zero o que dá ω2 2 2 K M 5149 Se a máquina antes da adição do absorvedor dinâmico de vibração funcionar perto da ressonância ω ω 2 2 1 1 1 K M Assim se o absorvedor for projetado de modo tal que 45 ω2 2 1 2 1 K K M M 5150 a amplitude de vibração da máquina ao operar às sua frequência de ressonância original será zero Definindo δ 0 st 1 F K ω 12 1 1 1 K M 5151 com a freqüência natural da máquina ou sistema principal e ω 12 2 2 2 K M 5152 como a freqüência natural do absorvedor ou sistema auxiliar as equações 5147 e 5148 podem ser reescritas como ω ω δ ω ω ω ω 2 2 1 2 2 st 2 2 1 1 2 1 1 X K K 1 1 K K 5153 δ ω ω ω ω 2 2 2 st 2 2 1 1 2 1 X 1 K K 1 1 K K 5154 A Figura 517 mostra a variação da amplitude de vibração da máquina δ 1 st X em relação à velocidade da máquina ω ω1 Os dois picos correspondem às duas freqüências naturais do sistema composto Como vimos antes X1 0 em ω ω1 Nessa freqüência a equação 5144 dá δ 0 1 2 st 2 2 F X K K K 5155 46 Figura 517 Efeito de um Absorvedor de Vibração não Amortecido Sobre a Resposta da Máquina Isso mostra que a força exercida pela mola auxiliar é oposta à força aplicada 2 2 0 K X F e a neutralizada reduzindo desse modo 1 X a zero O tamanho do absorvedor dinâmico de vibração pode ser determinado pelas equações 5150 e 5155 ω2 2 2 2 2 0 K X M X F 5156 Assim os valores de 2 K e 2 M dependem do valor permissível de 2 X Observase pela Figura 517 que o absorvedor dinâmico de vibração embora elimine a vibração na frequência aplicada conhecida ω introduz duas frequências de ressonâncias Ω1 e Ω2 nas quais a amplitude da máquina é infinita Portanto na prática a frequência de operação ω deve ser mantida longe das frequências Ω1 e Ω2 Os valores de Ω1 e Ω2 podem ser determinados igualando o denominador da equação 5153 a zero Observando que ω ω 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 K K M M M K M M K M e igualando o denominador da equação 5153 a zero obtémse 47 ω ω ω ω ω ω ω ω 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 M 1 1 1 0 M 5157 As duas raízes dessa equação são dadas por ω ω ω ω ω ω Ω Ω ω ω ω ω 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 M M 1 1 1 1 4 M M 2 5158 que são funções de 1 M M2 e ω ω 1 2 Observações 1 Podemos ver pela equação 5158 que Ω1 é menor e Ω2 é maior que a velocidade de operação que é igual à frequência natural ω1 da máquina Assim a máquina deve passar por Ω1 durante a partida e a parada o que resulta em grandes amplitudes 2 Uma vez que o absorvedor dinâmico é sintonizado para uma única frequência de excitação ω a amplitude de regime permanente da máquina é zero somente nessa freqüência Se a máquina funcionar em outras freqüências então a amplitude de vibração da máquina pode tornarse grande 3 As variações de Ω ω 1 2 e Ω ω 2 2 e as funções da razão de massas 2 1 M M são mostradas na Figura 518 para três valores diferentes da razão de frequências ω ω 2 1 Podemos ver que a diferença entre Ω1 e Ω2 aumenta com o aumento dos valores de 2 1 M M vetores unitários e1 e e2 o ângulo θ descreve a rotação do disco em relação à horizontal e o ângulo φ descreve a posição do pêndulo em relação ao disco Observase na Figura 519 que o sistema de coordenadas representados pelos vetores unitários e1 e2 muda de posição a medida que o ângulo θ varia no tempo enquanto o sistema de coordenadas representados pelos vetores unitários e1 e2 muda de posição a medida que o ângulo θ φ varia no tempo Fazendo as coordenadas no ponto O paralela e normal a r a reta r gira com velocidade angular ẋθ ẋφ como mostram as Figura 520 e Figura 521 Figura 519 Pêndulo Centrífugo Na Figura 519 vemos que o vetor de posição que descreve a localização da massa m tomado como referência o ponto O é dado por rm R e1 r e1 5159 Derivando a equação 5159 obtémse 49 Figura 518 Variações de Efeito de Ω1 e Ω2 dadas pela Equação 5158 5322 Pendulo Centrifugo Absorvedor O absorvedor de vibração da seção 5321 é eficiente apenas a uma frequência ωω1 Além disso com frequências ressonantes de cada lado de ω1 é muito limitada a utilidade do absorvedor massamola Para um sistema rotativo como o do motor de automóvel os torques de excitação são proporcionais à velocidade rotacional n que pode variar numa larga faixa Nestas condições para que o absorvedor seja eficiente sua frequência natural deve ser também proporcional à velocidade As características do pêndulo centrífugo são idealmente adequadas para este propósito A Figura 519 mostra o essencial de um pêndulo centrífugo Ele é um sistema não linear de dois graus de liberdade Todavia limitaremos as oscilações a ângulos pequenos reduzindo assim a sua complexidade Vamos determinar a aceleração absoluta do pêndulo preso à disco mostrado na Figura 519 Este sistema é representativo de uma centrífuga absorvedor de pêndulo Suponha que o ponto O é fixo em um referencial inercial os vetores unitários e1 e e2 são fixados ao pêndulo e que os vetores unitários ortogonais e1 e e2 são fixos ao rotacional disco Os movimentos do pêndulo são restritos ao plano que contém o vecvm R fracdvece1dt r fracdvece1dt quad 5160 que de acordo com as Figura 520 e Figura 521 chegase a vecvm R dot heta vece2 rdot hetadotvarphi vece2 quad 5161 vecam R ddot heta vece2 R dot heta2 vece1 r ddot hetaddotvarphi vece2 r dot hetadotvarphi2 vece1 quad 5163 52 R 2 R r r r ϕ θ ϕ θ ɺ ɺɺ ɺɺ 5166 A força atuando no disco é a força do pêndulo que é dirigida ao longo de r θ φ θ φ θ φ 2 F m R cos R sen r ɺɺ ɺ ɺɺ ɺɺ 5167 O momento desta força no disco é F R sen ϕ de modo que admitindo ângulos pequenos a segunda equação do movimento será 2 J m R R 2 r R T θ θ θ ϕ θ ϕ ϕ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ 5168 onde T é o torque perturbador no disco Os ângulos θ e ϕ requerem a solução simultânea das Equações 5166 e 5168 o que obviamente somos incapazes de efetuar Suporemos então que o movimento do disco seja uma rotação constante n mais uma pequena oscilação senoidal na forma seguinte n t 0 sen t θ θ ω n 0 cos t n θ ω θ ω ɺ 5169 2 0 sen t θ ω θ ω ɺɺ A equação 5166 tornase 2 2 0 R R r n sen t r r ϕ ϕ ω θ ω ɺɺ 5170 e identificamos que a frequência natural do pêndulo é 54 2 2 2 2 0 2 2 2 2 m R r R n m R r T sen t R n r 1 r R n ω θ ω θ ω ω ɺɺ 5174 Podemos escrever a equação de torque como T Jeff θ ɺɺ O pêndulo se comporta como uma roda de inércia torcional dada por ω 2 eff 2 2 m R r J 1 r R n 5175 a qual tornase infinito na sua frequência natural Isto traz algumas dificuldades no projeto de pêndulos Por exemplo para suprimir este torque perturbador de frequência igual a quatro vezes a velocidade de rotação n o pêndulo deve cumprir o requisito ω 2 2 2 4 n n Rr ou rR 116 5323 O Amortecedor Torcional de Vibração Em contraste com o absorvedor de vibração que se opõe à força excitadora o amortecedor de vibração dissipa a energia A Figura 523 representa um amortecedor de vibração do tipo de atrito conhecido pelo nome de Lanchester de emprego prático em sistemas torcionais como motores a gás e diesel na limitação das amplitudes de vibração nas velocidades críticas O amortecedor consiste de dois discos a que giram livremente no eixo e que são acionadas somente por meio dos anéis de atrito b quando a pressão normal é exercida pelas molas das cavilhas c Quando devidamente regulados os discos giram com o eixo em pequenas oscilações Entretanto quando as oscilações torcionais do eixo apresentam tendência de aumentar e se tornarem grandes os discos não acompanham o eixo em razão da sua grande inércia e a energia é dissipada pelo atrito resultante do movimento relativo A dissipação de energia limita assim a amplitude de oscilação e evita desta forma altos esforços de torção no eixo 55 Figura 523 Amortecedor Torcional de Vibração Apesar da simplicidade do amortecedor torcional a análise matemática do seu comportamento é um tanto complicada Por exemplo os discos podem deslizar continuamente durante parte do ciclo ou absolutamente nada isto na dependência da pressão exercida pelas molas das cavilhas Se a pressão no anel de atrito é excessiva para deslizamento ou nula não haverá dissipação de energia e o amortecedor torna se inútil Evidentemente a dissipação máxima de energia ocorre sob alguma pressão intermediária resultando em eficiência ótima do amortecedor Obviamente o amortecedor deve ser colocado numa posição onde a amplitude de oscilação seja a maior a qual geralmente se encontra do lado do eixo distante do volante principal uma vez que o nó está usualmente perto da massa maior O Amortecedor de Vibração Viscoso NãoSintonizado Em um sistema rotativo tal como o motor de automóvel as frequências perturbadoras para oscilações torcionais são proporcionais à velocidade de rotação Entretanto há geralmente mais de uma freqüência desta natureza e o pêndulo centrífugo tem a desvantagem de que vários deles são necessários e sintonizados com o número de ordem da perturbação Em contraste com o pêndulo centrífugo o amortecedor torcional viscoso não sintonizado é eficiente numa larga faixa operacional Ele consiste em uma massa livre rotativa dentro de uma cavidade cilíndrica cheia com fluido viscoso conforme a Figura 524 Tal sistema é geralmente incorporado no interior da polia na extremidade de um eixo de manivela que aciona a correia do ventilador e é muitas vezes denominado como Amortecedor Houdaille 56 Figura 524 Amortecedor de Vibração Viscoso Não Sintonizado Podemos examinar o amortecedor viscoso não sintonizado como um sistema de dois graus de liberdade ao considerar o eixo de manivela ao qual ele está ligado como fixo numa extremidade e com o amortecedor na outra Com a rigidez torcional do eixo igual a K pol lb rad o amortecedor pode ser considerado como excitado por um torque harmônico i t 0 M e ω O torque do amortecedor resulta da viscosidade do fluido dentro da cavidade da polia e podemos supor que ele é proporcional à velocidade rotacional relativa entre a polia e a massa livre Desta forma as duas equações de movimento para a polia e a massa livre serão i t 0 J K C M e ω θ θ θ ϕ ɺɺ ɺ ɺ 5176 d J C 0 ϕ θ ϕ ɺ ɺɺ ɺ 5177 Admitindo que a solução seja na forma i t 0 e ω θ θ 5178 i t 0 e ω ϕ ϕ 5179 onde θ0 e ϕ0 são amplitudes complexas Sua substituição nas equações diferenciais 5176 e 5177 resultará 57 2 0 0 0 M K C C i i J J J J ω ω ω θ ϕ 5180 e 2 0 0 d d C C i i J J ω ω ω ϕ θ 5181 Eliminando ϕ0 entre as duas equações a expressão para amplitude θ0 da polia tornase 2 d 0 2 2 2 2 0 d d J i C M J K J i C J K J ω ω θ ω ω ω ω ω 5182 Fazendo 2 ωn KJ e d µ J J o amortecimento crítico será c n C 2 J ω n c C C 2 J C ζ ζ ω 5183 A equação da amplitude passará a ser 2 2 2 n 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 n n n n 4 K M 1 4 1 µ ω ω ζ θ µ ω ω ω ω ζ µ ω ω ω ω 5184 a qual indica que o adimensional 0 0 K θ M é uma função de três parâmetros ζ µ e n ω ω Se µ é mantido constante e 0 0 K θ M é traçado como uma função de ω ωn a curva para qualquer ζ aparecerá de alguma forma similar àquela de um sistema de um grau de liberdade com um único pico 58 Os dois valores extremos de 0 ζ e ζ são de interesse Quando 0 ζ temos um sistema não amortecido com frequência ressonante ωn K J e a amplitude será infinita nesta frequência Se ζ a massa do amortecedor e a roda moverão juntas como uma massa única e novamente temos um sistema não amortecido porém com frequência natural de d K J J Desta forma como o amortecedor Lanchester da seção anterior há um amortecimento ótimo o ζ para o qual a amplitude pico é um mínimo conforme a Figura 525 O resultado pode ser apresentado como um gráfico dos valores pico como uma função de ζ para qualquer µ conforme mostra a Figura 526 Podese mostrar que o amortecimento ótimo é igual a o 1 2 1 2 ζ µ µ 5185 e que a amplitude pico para amortecimento ótimo encontrase na frequência igual a ω µ ωn 2 2 5186 Podemos chegar a estas conclusões observando que todas as curvas da Figura 525 passam por um ponto comum P qualquer que seja o valor numérico de ζ Assim igualando a equação de 0 0 K θ M para 0 ζ e ζ encontramos a Equação 5186 Então a curva para amortecimento ótimo deve passar por P com uma inclinação zero de modo que se substituímos ω ω µ 2 n 2 2 na Equação 5184 e a igualamos à amplitude encontrada na curva não amortecida para a mesma frequência obtemos a expressão para o ζ É evidente que estas conclusões aplicamse também ao sistema massamola da Figura 527 o qual é um caso especial do absorvedor de vibração amortecida com a mola do amortecedor igual a zero 59 Figura 525 Resposta de um Amortecedor Viscoso Não Sintonizado Figura 526 Gráfico de Valores de Pico em Função de ζ Figura 527 Amortecedor Viscoso Não Sintonizado 54 Vibrações Torcionais 541 Sistema LivreLivre com Duas Inércias Analisamos no Unidade II Parte II Seção 2433 Equivalência de Inércia de Sistemas InérciaBarraInércia o sistema torcional da Figura 528 composto de um 60 disco com momento de inércia de massa 1I fixado a uma barra uma com rigidez torcional T K com diâmetro d e comprimento L de massa desprezível tendo a outra extremidade fixa a um disco com momento de inércia de massa 2I Figura 528 Sistema Torcional LivreLivre com Duas Inércias Apesar deste sistema ser composto por duas inércias ele possui apenas um modo de vibração que corresponde aos movimentos angulares dos discos em sentido oposto neste caso possui apenas uma frequência natural Entretanto é possível modelarmos como um sistema de dois graus de liberdade usando o Método Newtoniano de Somatório de Momentos ou Método de Energia com a utilização da Equação de Lagrange Qualquer que seja o método utilizado chegase as equações 5187 e 5188 a seguir 1 1 T 1 T 2 I K K 0 θ θ θ ɺɺ 5187 2 2 T 1 T 2 I K K 0 θ θ θ ɺɺ 5188 As equações 5187 e 5188 podem ser escritas na forma matricial como 1 1 T T 1 2 2 T T 2 t I 0 K K t 0 t 0 I K K t 0 θ θ θ θ ɺɺ ɺɺ 5189 5411 Solução e Análise das Equações Diferencial do Movimento Estamos interessados em saber se 1I e 2I podem oscilar harmonicamente com a mesma frequência angular e ângulo de fase mas com amplitudes diferentes 61 Admitindo que seja possível ter movimento harmônico de 1I e 2I à mesma frequência ω e com o mesmo ângulo de fase φ tomamos para solução 1 1 t cos t θ Θ ω φ 5190 2 2 t cos t θ Θ ω φ 5191 onde 1 Θ e 2 Θ são constantes que denotam as amplitudes máximas de θ1 t e θ2 t e φ o ângulo de fase Substituindo as equações 5190 e 5191 nas equações diferenciais do movimento 5187 e 5188 obtémse 2 1 T 1 T 2 I K K cos t 0 ω Θ Θ ω φ 5192 2 T 1 2 T 2 K I K cos t 0 Θ ω Θ ω φ 5193 Uma vez que as equações 5192 e 5193 são validas para quaisquer valores de t incluindo aqueles cujo cos ωt φ seja diferente de zero temos que obrigatoriamente os termos entre colchetes devem ser nulos Assim 2 1 T 1 T 2 I K K 0 ω Θ Θ 5194 2 T 1 2 T 2 K M K 0 Θ ω Θ 5195 que representam duas equações algébricas homogêneas simultâneas com incógnitas 1 Θ e 2 Θ Podemos ver que as mesmas são satisfeitas para solução trivial 1 2 0 Θ Θ o que implica nenhuma vibração Para uma solução não trivial de 1 Θ e 2 Θ o determinante dos coeficientes abaixo deve ser zero 2 1 T T 2 T 2 T I K K 0 K I K ω ω 5196 4 2 1 2 1 2 T I I I I K 0 ω ω ou 62 2 2 1 2 1 2 T I I I I K 0 ω ω 5197 A equação 5197 é denominada equação de frequência ou equação característica porque a solução dessa equação dá as frequências ou os valores característicos do sistema As raízes da equação são dadas por 2 1 0 0 ω ω 1 2 T 2 1 2 I I K I I ω 5198 Isso mostra que o sistema tem apenas uma solução harmônica com frequência dada pela equações 5198 Se substituirmos o valor da Rigidez Torcional da Barra de Comprimento L e Diâmetro d dada por 4 T G d K 32 L π Obtémse o mesmo resultado da frequência natural dada pela equação 2282 ou seja 4 1 2 n 1 2 G d I I 1 1 f 2 2 32 L I I π π ω π 2 282 542 Sistema LivreLivre com Três Inércias 5421 Modelagem através de Análise dos Movimentos Angulares dos Discos Considere o sistema torcional composto de três discos com momento de inércia de massa 1I 2I e 3I fixados a duas barras uma com rigidez torcional KT1 com diâmetro 1 d e comprimento 1 L de massa desprezível e outra com rigidez torcional KT2 com diâmetro 2 d e comprimento 2 L também de massa desprezível conforme Figura 529 63 I 1 L 1 d 1 I 2 d 2 L 2 I I 3 Figura 529 Sistema Torcional LivreLivre com Três Inércia As vibrações são de natureza torcional Com os movimentos vibratórios existem quatros possibilidades de nós descritos nos três casos a seguir e ilustrados na Figura 530 1 N 2 N 2 Θ 1 Θ 3 Θ a L1 2 L b 1 L a 2 L b Θ2 1 Θ 3 Θ a b 1 N i ii 2 Θ 1 Θ 3 Θ a b 1 N iii Figura 530 Pontos Nodais Referente aos Movimentos Vibratórios Caso I Considere os discos de inércias 1I e 3I com movimento angular na mesma direção e o disco de inércia 2I com movimento angular em direção oposta Os pontos nodais 1 N e 2 N ocorrerão como mostrados na Figura 530 i onde 64 1I Momento de Inércia de Massa do Disco 1 2I Momento de Inércia de Massa do Disco 2 3I Momento de Inércia de Massa do Disco 3 1 L Comprimento da Barra 1 2 L Comprimento da Barra 2 a Distância entre o disco 1 e o nó 1 N b Distância entre o disco 2 e o nó 2 N De acordo com as equações obtidas anteriormente Capitulo 2 as frequências naturais de vibrações torcional dos discos são Disco 1 4 1 n1 1 G d 1 f 2 32 a I π π ou se 1 2 d d d 4 n1 1 1 G d f 2 32 a I π π 5199 Disco 2 T1 T2 n2 2 K K 1 f 2 I π 5200 onde 4 1 T1 1 G d K 32 L a π 5201 4 2 T2 2 G d K 32 L b π 5202 65 Substituindo as equações 5201 e 5202 na equação 5200 e admitindo que os diâmetros das barras são iguais ou seja 1 2 d d d chegase a 4 n2 2 1 2 1 G d 1 1 f 2 32 I L a L b π π 5203 Disco 3 4 2 n3 3 G d 1 f 2 32 b I π π ou se 1 2 d d d 4 n3 3 1 G d f 2 32 b I π π 5204 Mas as frequências naturais de todos os discos são iguais assim n1 n3 n3 f f f Das equações 5203 e 5204 obtémse 2 1 2 3 1 1 1 1 I L a L b b I 5205 Das equações 5199 e 5204 obtémse 1 3 a I b I ou 3 1 b I a I 5206 66 Substituindo o valor de a da equação 5206 na equação 5205 obtémse 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 b I I L b b I L I 3 1 1 3 2 2 1 I b b 1 0 L I b I I L b I 1 3 2 1 1 3 1 2 I I b b 1 0 I L I b I I L b 2 2 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 I I I L b b I L b I b I I I L I b L b 0 5207 A equação 5207 é quadrática em b Existem dois valores de b e dois valores de a equação 5206 Assim existirão dois valores de nós e dois valores de frequências nodais As duas frequências nodais podem ser computadas com ajuda das equações 5199 e 5204 Caso II Quando os discos 1 e 2 giram em uma mesma direção e o disco 3 gira em direção oposta existirá um simples nó para vibração torcional Ele está localizado em uma posição entre os discos 2 e 3 A Figura 530 ii não mostra a posição exata do nó Neste caso a b Caso III Novamente existirá um simples nó para vibração torcional quando os discos 2 e 3 giram em uma mesma direção e o disco 1 gira em direção oposta Ele está localizado 67 em uma posição entre os discos 2 e 3 Isto é mostrado na Figura 530 iii onde a b A posição do nó é indicada por 1 N 5422 Modelagem como um Sistema de Três Graus de Liberdades Apesar deste sistema ser composto por três inércias ele possui apenas dois modos de vibrações Como tratase de um sistema LivreLivre com relação ao referencial inercial neste caso possui apenas duas frequências naturais Entretanto é possível modelarmos como um sistema de três graus de liberdade usando o Método Newtoniano de Somatório de Momentos ou Método de Energia com a utilização da Equação de Lagrange Qualquer que seja o método utilizado chegase as equações 5208 5209 e 5210 a seguir 1 1 T1 1 T1 2 I K K 0 θ θ θ ɺɺ 5208 2 2 T1 1 T1 T2 2 T2 3 I K K K K 0 θ θ θ θ ɺɺ 5209 3 3 T2 2 T2 3 I K K 0 θ θ θ ɺɺ 5210 As equações 5208 5209 e 5210 podem ser escritas na forma matricial como 1 1 T1 T1 1 2 2 T1 T1 T2 T2 2 3 3 T2 T2 3 I 0 0 t K K 0 t 0 0 I 0 t K K K K t 0 0 0 I t 0 K K t 0 θ θ θ θ θ θ ɺɺ ɺɺ ɺɺ 5211 5423 Solução e Análise das Equações Diferencial do Movimento Estamos interessados em saber se 1I 2I e 3I podem oscilar harmonicamente com a mesma frequência angular e ângulo de fase mas com amplitudes diferentes Admitindo que seja possível ter movimento harmônico de 1I 2I e 3I à mesma frequência ω e com o mesmo ângulo de fase φ tomamos para solução 68 1 1 t cos t θ Θ ω φ 5212 2 2 t cos t θ Θ ω φ 5213 3 3 t cos t θ Θ ω φ 5214 onde 1 Θ 2 Θ e 3 Θ são constantes que denotam as amplitudes máximas de θ1 t 2 t θ θ3 t e φ o ângulo de fase Substituindo as equações 5212 5213 e 5214 nas equações diferenciais do movimento equações 5208 5209 e 5210 obtémse 2 1 T1 1 T1 2 I K K cos t 0 ω Θ Θ ω φ 5215 2 T1 1 2 T1 T2 2 T2 3 K I K K K cos t 0 Θ ω Θ Θ ω φ 5216 2 2 T2 2 T2 3 I K K cos t 0 ω Θ Θ ω φ 5217 Uma vez que as equações 5215 5216 e 5217 são validas para quaisquer valores de t incluindo aqueles cujo cos ωt φ seja diferente de zero temos que obrigatoriamente os termos entre colchetes devem ser nulos Assim 2 1 T1 1 T1 2 I K K 0 ω Θ Θ 5218 2 T1 1 2 T1 T2 2 T2 3 K I K K K 0 Θ ω Θ Θ 5219 2 2 T2 2 T2 3 I K K 0 ω Θ Θ 5220 que representam três equações algébricas homogêneas simultâneas com incógnitas 1 Θ 2 Θ e 3 Θ Podemos ver que as mesmas são satisfeitas para solução trivial 1 2 3 0 Θ Θ Θ o que implica em nenhum movimento vibratório Para uma solução não trivial de 1 Θ 2 Θ e 3 Θ o determinante dos coeficientes abaixo deve ser zero 69 2 1 T1 T1 2 T1 2 T1 T2 T2 2 T2 3 T2 I K K 0 K I K K K 0 0 K I K ω ω ω 5221 A equação 5221 é a equação de frequências também conhecida como polinômio característico ou equação característica porque a solução dessa equação dá as frequências ou os valores característicos do sistema similar a equação 5197 ou seja 2 4 2 1 2 3 1 2 1 3 T2 2 3 1 3 T1 T1 T2 1 2 2 I I I I I I I K I I I I K K K I I I 0 ω ω ω 5222 A equação 5222 é cubica em 2 ω com uma das raízes nula Isto já seria esperado porque estamos tratando de um sistema com dois graus de liberdade As raízes da equação são dadas por 2 1 0 0 ω ω 2 T1 T2 1 2 3 2 T1 T1 T2 T2 T1 T1 T2 T2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 K K I I I K K K K K K K K 1 2 I I I I I I I I I ω 5223 Isso mostra que o sistema tem apenas duas soluções harmônica com frequência dada pela equações 5223 Se substituirmos estas duas frequências mas equações 5218 5219 e 5220 nos conduz a 1 1 T1 1 2 1 T1 1 2 K r K I Θ ω Θ 5224 1 3 T2 2 2 1 T2 3 2 K r K I Θ ω Θ 5225 70 Quando ω 0 ambas as relações acima são unitárias indicando que todo sistema gira rigidamente Para valores de ω 1 ω a mais baixa frequência uma das razões das equações 5224 e 5225 é positivo e o outro é negativo E para ω 2 ω ambas os razões são negativos 543 Sistema LivreLivre com Duas Inércias e Engrenamento Considere o sistema torcional da Figura 531 a composto de um disco com momento de inércia de massa 1I fixado a uma barra uma com rigidez torcional KT1 com diâmetro 1 d e comprimento 1 L de massa desprezível tendo na outra extremidade uma engrenagem de raio 1r acoplada a uma segunda engrenagem de raio 2r ambas de inércia desprezível ou não A segunda engrenagem está fixa na extremidade de outra barra com rigidez torcional KT2 com diâmetro 2 d comprimento 2 L e massa desprezível tendo a outra extremidade fixa a um disco com momento de inércia de massa 2I A análise do sistema recai sobre os dois casos descritos a seguir Caso I O Pinhão e a Engrenagem Possuem Inércias Desprezíveis Se assumimos que i as inércias de ambas as barras do Pinhão de raio primitivo 1r e da Engrenagem de raio primitivo 2r são desprezíveis ii o drive é positivo isto é não existe deslizamento e iii os dentes do pinhão e da engrenagem são carregados dentro de seus limites elásticos podemos encontrar um sistema torcional equivalente semelhante ao da Figura 531 b e analisar como feito no Capítulo II Parte II Seção 2434 Equivalência de Inércia de Sistemas com Engrenagens ou no Capítulo V Seção 541 Sistema LivreLivre com Duas Inércias I1 L1 L2 d1 I2 d2 r1 raio r2 raio T1 K T2 K n2I2 d1 I1 KT1 n2KT2 L1 2 L 2 d a b Figura 531 Sistema Torcional LivreLivre com Duas Inércia e com Engrenamento 71 Como primeiro passo para determinação do sistema equivalente considere que o disco 1 com momento de inércia de massa 1I quando submetida a um torque que provoque um deslocamento angular θ1 na pinhão de raio 1r faz com que a engrenagem de raio 2r tenha um deslocamento angular θ2 Da cinemática de sistemas com engrenagens podese escrever θ θ 1 1 2 2 r r 5226 ou θ θ 1 2 1 2 r r 2227 Podemos usar o método de energia para transformar o sistema torcional de Figura 531 a no sistema torcional equivalente representado pela Figura 532 b Assim a energia cinética T e potencial U do sistema dinâmico representado pela Figura 531 a poderão ser escritas como θ θ 2 2 1 1 2 2 1 1 T I I 2 2 ɺ ɺ 5228 θ θ 2 2 T1 1 T2 2 1 1 U K K 2 2 2229 Substituindo o valor de θ2 equação 5227 nas equações 5228 e 5229 obtémse θ θ 2 2 2 1 1 2 1 1 1 T I I n 2 2 ɺ ɺ 5230 θ θ 2 2 2 T1 1 T2 1 1 1 U K K n 2 2 5231 onde 1 2 n r r As equações 5230 e 5231 representam o sistema torcional da Figura 531 b composto de um disco com momento de inércia de massa 1I fixado a uma barra 72 uma com rigidez torcional KT1 com diâmetro 1 d e comprimento 1 L em série com outra barra com diâmetro 2 d e comprimento 2 L compatíveis para uma rigidez torcional 2 2 n K ambas com massas desprezíveis fixa na outra extremidade um disco com momento de inércia de massa 2 2 n I A partir deste ponto podemos encontrar uma barra de rigidez torcional equivalente às duas barras em série e transformar o sistema da Figura 231 b no sistema representado pela Figura 532 Neste caso a rigidez equivalente será dada por Te T1 T2 1 1 1 K K K 5232 ou T1 T2 Te T1 T2 K K K K K 5233 onde 2 T2 T2 K n K 2 I 1I 2 n I2 Te K d L Figura 532 Sistema Torcional LivreLivre com Duas Inércia Assim de acordo com desenvolvimentos feitos na Unidade II Parte II Seção 2434 Equivalência de Inércia de Sistemas com Engrenagens ou no Capítulo V Seção 541 Sistema LivreLivre com Duas Inércias obtémse 4 2 1 2 n 2 1 2 G d I n I 1 1 f 2 2 32 L I n I π π ω π 5234 73 Os valores de d e L na equação 5234 devem satisfazer a equação 5235 para que os sistemas representados pelas Figuras 531 a e 532 sejam equivalentes com vibração torcional na frequência nf 2 4 4 4 1 2 4 2 4 2 1 1 2 n d d d L L d n L d 5235 ou seja a frequência natural do sistema será da Figuras 531 a será 4 4 3 1 2 1 2 n 4 2 4 1 2 2 1 1 2 G d d I n I f 1 2 32 I I L d n L d π π 5236 Caso II O Pinhão e a Engrenagem Possuem Inércias Não Desprezíveis Se as inércias do Pinhão e da Engrenagem é para serem consideradas precisamos transformar o sistema torcional da Figuras 531 a no sistema torcional composto de três discos com momento de inércia de massa 1I IPE e 2 2 n I fixados a duas barras uma com rigidez torcional KT1 com diâmetro 1 d e comprimento 1 L de massa desprezível e outra com diâmetro 2 d e comprimento 2 L compatíveis para a rigidez torcional KT2 também de massa desprezível Figura 533 onde o IPE é a Inércia Equivalente do Pinhão e da Engrenagem após transformações 1I PE I d1 2 d L1 2 L KT1 2 T2 T2 K n K 2 2 n I 2 2 n I Figura 533 Sistema Torcional LivreLivre com Três Inércia 74 Lembramos que o sistema original Figuras 531 a pode ser transformado em sistema equivalente com relação a qualquer das barras Entretanto nesta análise transformamos o sistema original no sistema equivalente da Figura 533 tomando como referência a barra 1 ou seja Assumimos neste caso o disco 1 como o driver As transformação acima foram feitas com base no princípio conservação de energia cinética e potencial entre os dois sistemas representados pelas Figuras 531 a e 533 Assim a energia cinética T e potencial U do sistema dinâmico representado pela Figura 531a considerando as Inércias do Pinhão e da Engrenagem poderão ser escritas como 2 2 2 2 1 1 P 1 E 2 2 FIGURA531 2 a 1 1 1 1 T I I I I 2 2 2 2 θ θ θ θ ɺ ɺ ɺ ɺ 5237 FIGURA531 T a 2 2 1 1 T2 2 1 1 U K K 2 2 θ θ 2238 Substituindo o valor de θ2 equação 5227 nas equações 5237 e 5238 obtémse 2 2 2 2 2 2 1 1 P FIGURA531a 1 E 1 2 1 1 1 1 1 T I I I n I n 2 2 2 2 θ θ θ θ ɺ ɺ ɺ ɺ 5239 2 2 2 T1 1 T2 1 FIGURA531a 1 1 U K K n 2 2 θ θ 5240 onde 1 2 n r r A energia cinética T e potencial U do sistema dinâmico representado pela Figura 533 será dada por 2 2 2 1 Figura 533 1 PE 1 2 1 1 1 1 T I I I 2 2 2 θ θ θ ɺ ɺ ɺ 5241 2 2 T1 F u 1 T2 ig ra 533 2 1 1 U K K 2 2 θ θ 2242 75 Como os dois sistemas têm as mesmas energias Princípio de Conservação da Energia igualamos as energias cinética equações 5239 e 5240 e as energias potenciais equações 5241 e 5242 obtémse 2 PE P E I I n I 5243 2 2 2 I n I 5244 2 T2 T2 K n K 5245 onde 1I Inércia do disco 1 P I Inércia do Pinhão E I Inércia da Engrenagem 2 2 n I Inércia equivalente do novo disco 2 após transformação KT1 Rigidez torcional do disco 1 2 d Novo diâmetro da barra 2 2 L Novo comprimento da Barra 2 1 2 n r r É preciso ficar claro no desenvolvimento acima que os valores de 2 d e 2 L devem satisfazer a equação 5246 para garantir que 2 T2 T2 K n K ou seja 4 2 4 2 2 2 2 d n d L L 5246 Assim de acordo com desenvolvimentos feitos no item 542 Sistema Livre Livre com Três Duas Inércias chegase nas duas soluções harmônica com frequência dada pela equações 5218 ou seja 76 2 2 2 3 2 2 2 2 T1 T2 1 P E 2 2 T1 T1 T2 T2 T1 T1 T2 T2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 P E 2 1 P E 2 1 P E 2 4 K n K I I n I n I K K n K n K K K n K n K 1 2 I I n I n I I I n I n I I I n I n I ω 5247 55 Mobilidade e Impedância Mecânica 551 Definições e Princípios A mobilidade de um sistema mecânico é definida como a relação entre o valor máximo da resposta em um ponto do sistema produzida pelo valor máximo de uma força de excitação aplicada ou seja Se os valores máximos da resposta e da força de excitação em um sistema mecânico forem respectivamente R e F a mobilidade poderá matematicamente ser representada por R M F 5248 A impedância mecânico é o inverso da mobilidade ou seja F Z R 5249 Outros termos têm sido usados por diferentes autores para definir mobilidade e impedância mecânica tais como resposta por unidade de força e força requerida para produzir uma unidade de resposta Quando os valores da força e movimento são medidos em um mesmo ponto e na mesma direção as relações definidas pelas equações 5248 e 5249 recebem respectivamente o nome de Mobilidade e Impedância de Ponto Quando são medidos em pontos diferentes ou em um mesmo ponto mas com ângulo entre os vetores de força e movimento resposta recebem o nome de Mobilidade e Impedância de Transferência A forma do movimento de resposta R a ser usada depende algumas vezes da preferência pessoal da análise do tipo de problema e da frequência 77 As repostas em deslocamentos são geralmente escolhidas principalmente em baixas frequências não somente devido à proporcionalidade entre força e o deslocamento mas devido às altas mobilidades dos sistemas mecânicos em tais frequências conforme mostram os diagramas da Figura 536 Para altas frequências é aconselhável respostas em aceleração devido aos altos valores de respostas em tais frequências Usamse também respostas em aceleração quando a inércia do carregamento predomina As respostas em velocidade podem ser escolhidas em todos os níveis de frequências principalmente em excitações por impactos Para simplificar o tratamento matemático as forças e movimentos são convenientemente expressos em termos de números complexos Assim os movimentos dos sistemas mecânicos podem ser descritos como ω x X ej t 5250 ω ω ω j t j t v x j X e V e ɺ 5251 ω ω ω ω ω 2 j t j t j t a x X e v j V e A e ɺɺ ɺ 5252 De acordo com as equações 5250 5251 e 5252 temos para amplitudes ω V j X 5253 ω A j V 5254 A ω2 X 5255 onde ω ω ω ej t cos t j sen t Se considerarmos a força de excitação ω f F ej t e a resposta ω ϕ j t v V e tem se ϕ V j M V e F 5256 onde MV é um número complexo com módulo V F e com ângulo de fase ϕ representando a defasagem entre a força e a velocidade 552 Mobilidade e Impedância de Elementos Estruturais 78 A mobilidade ou impedância mecânica pode ser encontrada para cada um dos componentes do sistema mecânico ou seja massa mola e amortecedor Neste caso a mobilidade por exemplo é o movimento de uma extremidade do elemento relativo a outra extremidade dividido pela máxima força de excitação atuando através do elemento Dependendo do tipo de resposta temos Para Respostas em Velocidade Mola O deslocamento de uma mola é dado por X FK Da equação 5253 podemos escrever ω V K V j M F K 5257 Como a impedância é o inverso da mobilidade podemos escrever ω V K F j K Z V 5258 Massa A relação entre força e movimento é dada por F M A Da equação 5254 podemos escrever ω V M V j M F M 5259 Como a impedância é o inverso da mobilidade podemos escrever 00 ω V M Z F j M V 5260 Amortecedor Se o amortecimento é viscoso a força de amortecimento é dada por F C V Logo V C V 1 M F C 5261 79 Como a impedância é o inverso da mobilidade podemos escrever V C Z F C V 5262 Um amortecedor dissipa energia vibracional em forma de calor sendo essa energia não recuperável Enquanto isso uma mola e uma massa em movimento não dissipam energia mas armazenam respectivamente em forma de energia potencial e cinética que são recuperáveis Com isso podemos concluir que a mobilidade e a impedância mecânica de velocidade são números complexos os quais possuem termos imaginários representando armazenamento de energia e termos reais representando dissipação de energia Os diagramas representados pelas Figuras 534 e 535 trazem respectivamente as relações entre mobilidade e impedância em função da frequência para cada elemento estrutural Para Respostas em Deslocamento Como mencionamos anteriormente a resposta de um sistema mecânico a uma determinada excitação pode também ser analisada em termos de deslocamento As equações da mobilidade e impedância mecânica podem ser encontradas de maneira similar como feito para resposta em velocidade assim temos Mola X K X 1 M F K 5263 X K Z F K X 5264 Massa ω X M 2 X 1 M F M 5265 ω X 2 M Z F M X 5266 80 Amortecedor ω X C V j M F C 5267 ω X C Z F j C V 5268 Neste caso temos que a mobilidade e impedância são números complexos cujas partes reais e imaginarias representam respectivamente armazenamento e dissipação de energia A mobilidade e impedância mecânica de deslocamento são também chamadas respectivamente de Receptância e Rigidez Dinâmica M ω M M K M C M Z ω K Z M Z C Z Figura 534 Mobilidade X Frequência Figura 535 Impedância X Frequência Para Respostas em Aceleração O terceiro método para se obter resposta de sistemas dinâmicos é encontrar a relação da máxima aceleração pela máxima força de excitação aplicada Esse método é designado mobilidade ou impedância mecânica de aceleração Para cada um dos elementos estruturais temos Mola ω2 A K A M F K 5269 81 ω A K 2 F K Z A 5270 Massa A M A 1 M F M 5271 A M Z F M A 5272 Amortecedor ω A C A j M F C 5273 ω A C F j C Z A 5274 A mobilidade e impedância de aceleração é um número complexo cuja parte real e imaginaria representam respectivamente armazenamento e dissipação de energia vibracional A mobilidade e impedância mecânica de aceleração são também chamadas respectivamente de Inertância e Massa Aparente As relações existentes entre as diversas formas de mobilidade podem ser obtidas facilmente das definições básicas apresentadas pelas equações 5253 5254 e 5255 ou seja ω V M j MX 5275 ω A M j MV 5276 ω A 2 X M M 5277 Os diagramas representados pela Figura 536 mostram o comportamento de um espectro de frequência para cada uma das diferentes alternativas de mobilidade e impedância mecânica A resposta vibracional de uma estrutura pode em muitos casos ser representada por um modelo teórico o qual consiste de massas molas e amortecedores Se a estrutura é complexa e se a resposta deve ser duplicada sobre um grande intervalo de frequência o número de elementos necessários para representar a estrutura pode ser muito grande Entretanto tanto para sistemas simples como para estruturas mais complexas a resposta pode ser suficientemente representada para uma faixa limitada de frequências por poucos elementos 82 Figura 536 Espectros de Frequências de Diversas Formas de Mobilidade e Impedância 83 553 Mobilidade e Impedância de Elementos Estruturais Combinados O caso mais simples de sistemas com elementos combinados que estamos familiarizados é o sistema massamola Na literatura básica este sistema é fundamentalmente simbolizado como mostra a Figura 537 Entretanto essa representação pode nos levar a concepção de que seus elementos estão em série o que de fato é um sistema que possui elementos em paralelo onde a força é distribuída entre a massa e a mola M x1t K Figura 537 Representação de um Sistema Mecânico MassaMola Para encontrarmos a mobilidade ou impedância mecânica de um sistema com vários elementos precisamos primeiro saber aonde teremos mobilidade e impedância dos elementos em série ou paralelo A fim de traçarmos um diagrama esquemático de associações de mobilidade e impedância consideramos o sistema masamolaamortecedor representado na Figura 538 M K C xt j t f F e ω Figura 538 Representação de um Sistema Mecânico MassaMolaAmortecedor A equação diferencial do movimento é ω M x C x K x F ej t ɺɺ ɺ 5278 84 Admitimos para equação 5278 uma solução do tipo ω ϕ j t x X e 5279 Substituindo a equação 5279 na equação 5278 obtémse ω ϕ ω ω ω j t 2 j t M X j C X K X e F e ou ϕ ω ω 2 j M X j C X K X e F ou ϕ ω ω j 2 X 1 e F M j C K 5280 Comparando a equação 5280 com as equações 5263 5265 e 5267 concluise que X X X X M C K 1 M 1 1 1 M M M 5281 Como a impedância é o inverso da mobilidade podemos escrever X X X X M C Z Z Z ZK 5282 Podese concluir pela equação 5292 que para um sistema massamola amortecedor excitado pela massa para efeito de impedância mecânica o sistema possui os três elementos em paralelo Se o mesmo sistema for excitado pela base o paralelismo entre a mola e o amortecedor evidentemente não será alterado mas a massa passará a associarse em série com a mola e o amortecedor Para provar que em um sistema excitado pela base a massa está em série com a suspensão considere o simples sistema massamola da Figura 537 seja excitado pela base A equação diferencial que rege o movimento do sistema massamola excitado pela base será 85 M x K x K y ɺɺ 5283 onde x e y representam respectivamente o movimento massa e da base Admitimos que os movimentos da massa e da base sejam ω ϕ j t x X e 5284 ω y Y ej t 5285 Substituindo as equações 5284 e 5285 na equação diferencial do movimento 5283 temse ϕ ω2 j M K X e K Y 5286 A mola e a massa estão solicitadas com a mesma força Assim podese escrever j ϕ X M X e M F 5287 Substituindo a equação 5287 na equação 5286 chegase a ω ω 2 2 M K F K Y M ou ω ω 2 2 F Y M Y M K ou ω2 F 1 1 1 Y M K 5288 Comparando a equação 5288 com as equações 5263 e 5265 concluise que X X X M K 1 1 M M M 5289 ou X X X K M M MM 5290 86 Como a impedância é o inverso da mobilidade podemos escrever X X X M K 1 1 1 Z Z Z 5291 Podese concluir pela equação 5291 que para um sistema massamola excitado pela base para efeito de impedância mecânica o sistema possui os dois elementos massa e mola em série Generalizando concluímos que um sistema com n elementos em série possui a mobilidade de ponto igual à soma das mobilidades dos n elementos individuais ou seja 1 2 3 n M M M M M 5292 Analogamente se um sistema possui n elementos em paralelo a sua impedância será a soma das impedâncias dos n elementos individuais ou seja 1 2 3 n Z Z Z Z Z 5293 Antes de escrevermos a equação da mobilidade ou impedância de um sistema mecânico é interessante fazermos um diagrama esquemático ou circuito dinâmico semelhante a de um sistema elétrico forçacorrente o que nos mostrará se os elementos estão associados em série ou paralelo O uso destes diagramas é necessário em sistemas mais complexos Nestes diagramas os elementos que estão fixos em suportes são mostrados aterrados A coneção terra também se aplica para cada elemento massa quando têm aceleração com relação ao espaço inercial Neste caso o elemento massa é aterrado como suporte fixo A Figura 539 b mostra um diagrama esquemático para um sistema com três graus de liberdade representado pela Figura 539 a As linhas verticais em um diagrama esquemático são linhas tendo um movimento em comum enquanto as horizontais possuem a mesma força ou torque atuando através dos elementos É importante lembrar que quando a impedância em um determinado ponto é nula a condição de ressonância existe isto é uma força nula produz uma amplitude finita ou uma força finita produz uma resposta infinita 87 554 Outras Formas de Definições de Mobilidade e Impedância Os sistemas que possuem maior grau de complexidade possuem também diferentes formas de discussões Os dados de impedância ou mobilidade podem ser requeridos para relatar o movimento em mais de uma coordenada Em estruturas por exemplo existe interesse em movimentos de mais de um ponto ou movimentos de um ponto em mais de uma direção Nestes casos novos termos ou novas definições de impedância são abordados em literaturas especializadas tais como impedância direta interimpedância matriz de impedância e matriz de reciprocidade O exemplo representado na Figura 540 ilustra o significado destes termos M1 K1 C1 j t f F e ω M2 M3 C2 K2 a M2 M3 M1 F C1 K1 C2 K2 b Figura 539 Modelo Físico e Circuito Dinâmico de um Sistema Mecânico de 3 GL Consideramos que nas vigas da Figura 540 a foram escolhidos dois pontos de interesses 1 e 2 Isto pode representar uma parte de uma grande estrutura na qual é necessário fixar outras partes ou componentes nos dois pontos mostrados Neste caso é necessário que se conheça as propriedades de impedância ou mobilidade nestes dois pontos 88 Figura 540 Mobilidade e Impedância de Sistemas Contínuos Se aplicarmos uma força de excitação no ponto 1 e determinarmos as duas respostas laterais 1 X e 2 X nos pontos 1 e 2 então podemos definir duas receptâncias chamadas de receptância de ponto e recptância de transferência 1 11 1 X M F 2 21 1 X M F 5294 Se aplicarmos agora a força de excitação no ponto 2 tendo removido a excitação no ponto 1 obtemos mais duas receptâncias ou seja 1 12 2 X M F 2 22 2 X M F 5295 Assim a descrição completa deste sistema com relação aos dois pontos de interesse pode ser representada na forma de matriz chamada de matriz de receptância 11 12 21 22 M M M M 5296 A equação de mobilidade na forma matricial ficará 11 12 1 1 21 22 2 2 M M F X M M F X 5297 Algumas vezes estamos interessados apenas em um simples ponto de movimento de uma estrutura mas em várias direções Assim o ponto 1 da viga da 89 Figura 540 b pode ter respostas de interesses nas direções x e y Neste caso existirão quatro valores de receptâncias Mxx Mxy Myx e Myy As receptâncias Mxx e Myy são denominados de mobilidade direta e Mxy e Myx de intermobilidade 555 Curvas de Mobilidade e Impedância Um dos problemas em testes de impedância mecânica ou mobilidade é se garantir que uma determinada curva está correta ou mais ou menos razoável simplesmente observando sua aparência Em virtude de numerosos acasos existentes os quais podem introduzir grandes erros entre dados de medidas devemos examinar certas características básicas de uma curva de impedância mecânica ou mobilidade para garantirmos sua validade Uma das técnicas usadas é esboçar sobre a curva um esqueleto conforme indicações a seguir 5551 Esqueletos Esta técnica foi desenvolvida por Salter e se encontra discutida mais detalhadamente na próxima seção Ela consta de um esboço formado por linhas retas chamadas de esqueletos sobre um determinado diagrama de mobilidade ou impedância mecânica versus frequência em escala logarítmica como mostra a curva de mobilidade de uma viga em balanço representada pela Figura 541 Figura 541 Mobilidade e Impedância de Uma Viga em Balanço 90 Pode ser mostrado que para baixas frequências o comportamento de qualquer sistema mecânico aproximará para uma massa ou mola e a correspondente parte da curva seguirá uma linha de massa ou linha de rigidez No dado exemplo se a linha da extremidade que liga com a primeira frequência de ressonância for de rigidez ela mudará para uma linha de massa nessa frequência Cada seguimento de reta constitui um ramo do esqueleto A segunda linha no nosso exemplo de massa encontra a próxima linha de rigidez em uma outra frequência representada no diagrama pelo primeiro vale que é denominada frequência de anti ressonância Nesta primeira frequência de antiressonância o esqueleto muda novamente de direção para uma outra linha de rigidez seguindo evidentemente para segunda frequência de ressonância para mais tarde voltar a uma linha de massa e assim sucessivamente até completar o intervalo de frequência A inclinação do esqueleto em diagramas de mobilidade é diminuída de 2 em cada frequência ressonante de 1 para 1 e é aumentada de 2 em cada frequência de antiressonância Note que o esqueleto pode ser desenhado para quaisquer das formas alternadas de mobilidade e impedância seguindo sempre a regra geral Desde que existam sempre alternadas ressonâncias e antiressonancias os diagramas de mobilidade de ponto seguirão constantemente o formato mostrado na Figura 541 Já no diagramas de mobilidade de ponto mostrado na Figura 542 a regra geral com relação à mudança de inclinação não é cumprida Os esqueletos podem demonstrar não só quanto uma medida de impedância ou mobilidade é plausível mas também serve como base para identificação de parâmetros de sistemas mecânicos Deve ser observado se no caso de impedância ou mobilidade de ponto a inclinação de cada ramo do esqueleto varia de mais ou menos 2 em cada ressonância e antiressonância pois uma violação desta regra indicará uma medição errada 91 Figura 542 Medição de Mobilidade com Ausência de Ponto de Medida Outra característica básica é que as ressonâncias devem ser alternadas com as antiressonâncias para mobilidade e impedância de ponto A aparente violação desta regra geralmente indicará que um ponto de impedância ou mobilidade não está sendo obtido Os valores de massa e rigidez correspondente a cada ramo do esqueleto podem ser relacionados com a distribuição de massa e rigidez da estrutura Os mais baixos e mais altos ramos do esqueleto fornecem informações diretas a respeito da massa total ou rigidez da estrutura e a massa ou rigidez do elemento no ponto O procedimento para obtenção destas informações será discutido em detalhes na próxima seção Deve ser observado no diagrama da Figura 539 que a massa efetiva e rigidez para cada ressonância decresce e cresce respectivamente indicando uma progressiva localização de vibração nos modos mais altos Figura 543 Mobilidade e Impedância de Sistemas Contínuos 92 5552 Montagem de Diagramas de Mobilidade e Impedância através Esqueletos Mostramos a seguir os passos para obtenção das curvas de mobilidade e impedância de alguns sistemas mecânica Sistema MassaMola O sistema massamola representado pela Figura 537 possui o circuito dinâmico mostrado na Figura 544 M F K Figura 544 Circuito Dinâmico do Sistema MassaMola De acordo com o desenvolvimento apresentado anteriormente a impedância de ponto para o referido sistema será V V V M K Z Z Z 5298 Substituindo na equação 5298 os valores de impedância dos elementos mola e massa equações 5258 e 5160 temse ω ω V Z j M K 5299 Observase da equação 5299 que para baixas frequências o termo jMω pode ser desprezível Logo a curva de impedância tenderá para reta K jω Analogamente para altos valores de frequência o termo jK ω pode ser desprezível assim a curva de impedância tenderá para reta jMω De posse das duas retas assintotas traçamos o diagrama de impedância representado pela Figura 545 93 Figura 545 Construção Gráfica do Diagrama de Impedância do Sistema MassaMola Observe na Figura 545 que a curva de impedância tende a zero no ponto de frequência correspondente a ω ω K j M j ω K M 5300 A curva da Figura 545 foi obtida subtraindose o mais baixo valor do mais alto para cada frequência A curva de mobilidade para o mesmo sistema será o inverso em virtude da própria definição de mobilidade M 1 Z Se o mesmo sistema for agora excitado pela base teremos a curva de impedância invertida com relação à apresentada pela Figura 545 Neste caso o diagrama de mobilidade terá um ponto de frequência correspondente a um valor de mobilidade mínima Este pondo de frequência é chamado frequência de anti ressonância isto é uma força infinita e necessária para produzir qualquer movimento como um todo Sistema MassaMolaMassa O sistema mecânico representado pela Figura 546 a é um sistema mecânico de dois graus de liberdade que tem a característica especial de possuir apenas uma frequência natural ou seja as massas 1 M e 2 M vibram na mesma frequência O circuito dinâmico para este sistema está representado pela Figura 546 b 94 M1 K M2 j t f F e ω M2 F K M1 a b b Figura 546 Modelo Físico e Circuito Dinâmico de um Sistema MassaMolaMassa A impedância mecânica no ponto b do sistema será V b V V M K 1 Z 1 1 Z Z 5301 Portanto a impedância mecânica de ponto do sistema será V 22 M2 b Z Z Z ou ω ω ω 22 2 1 1 Z j M j j K M 5302 O diagrama de impedância mecânica versus frequência poder ser construído com base na equação 5302 obedecendo aos seguintes passos 1 Para valores relativamente baixos de frequências o termo ω j K tende para zero Logo a curva de impedância tenderá para a reta ω 1 2 j M M 2 Para valores relativamente altos de frequências o termo ω 1ω 1 j K j M tende para zero Logo a curva de impedância tenderá para a reta jM2ω 3 Rearranjando os termos da equação 5302 podemos escrever ω ω ω ω 3 1 2 1 2 22 2 1 j K M K M M M Z K M 5303 95 Os valores de ressonância e antiressonância do sistema poderão ser obtidos da equação 5303 fazendo a mobilidade e a impedância tender a um valor infinito ou seja Freqüência de Ressonância ω ω ω3 1 2 1 2 K M K M M M 0 5304 ou ω 1 2 1 2 K M M M M 5305 Frequência de AntiRessonância 1 ω2 K M 0 5306 ou ω 1 K M 5307 Seguindo os três passos descritos anteriormente obtemos as curvas de impedância Figura 547 para o sistema mecânico representado pela Figura 546 b 1 2 1 K M M M Figura 547 Impedância de Ponto do Sistema MassaMolaMassa para Três Valores de 2 1 M M A impedância de transferência será 96 12 1 F Z V 5308 onde b 1 M1 F V Z 5309 Fazendo b b F F F F chegase a 22 M1 12 b Z Z Z Z 5310 556 Influência do Amortecimento Até agora tratarmos de mobilidade e impedância mecânica de sistemas sem falar no amortecimento A influência do amortecimento nos diagramas de mobilidade e impedância é observada pelo fator de amplificação do sistema ou seja 1 C Q K M 5311 O fator de amplificação como seu próprio nome indica representa o fator com o qual multiplicamos ou dividimos os valores de interseção entre linhas de massa e rigidez no diagrama de mobilidade para obter respectivamente o valor da mobilidade de ressonância e antiressonância Isto pode ser verificado no desenvolvimento abaixo Considere um sistema massamolaamortecedor excitado pela massa A mobilidade de ponto do sistema conforme desenvolvimentos anteriores ver equações 5257 5259 e 5261 será expressa por ω ω V 1 M C j M K 5312 A equação 5312 pode ser escrita da forma ξ β β V 1 M 1 2 KM j KM 5313 97 onde β ω ωn ωn frequência natural do sistema ξ C CC C C amortecimento crítico Consideramos agora o mesmo sistema sem amortecimento A magnitude de mobilidade correspondendo ao ponto de interseção das linhas de massa e rigidez do diagrama de mobilidade é chamada de mobilidade característica e representada por ω ω n Cr n j 1 M j K M KM 5314 Substituindo a equação 2314 na equação 2313 obtemos ξ β β V Cr Cr 1 M 2 j 1 M M 5315 ou ξ β β V MCr M 1 2 5316 A condição de ressonância ocorre quando β 1 logo β V Cr Res M M 2 5317 ou V Res Cr Cr C M M Q M KM 5318 Neste caso a impedância mecânica será V Res Cr 1 Z Z Q 5319 A Figura 548 mostra um diagrama de impedância mecânica plotado para valores do fator de amplificação igual a 4 10 e 25 98 Figura 548 Curvas de Impedância Amortecida 557 Exemplo de Aplicação Como Exemplo de Aplicação encontraremos os espectros de resposta de velocidade para o sistema da Figura 549 que está sendo excitado por uma força harmônica de estado estacionário f 10 cos t ω atuando na massa 1 m Duas mobilidades são evidentes neste sistema e um espectro separado pode ser desenhado para cada uma Uma é a mobilidade do ponto de condução M11 que é a resposta da massa 1 m resultante da força imposta F atuando na massa 1 m A outra é a mobilidade de transferência M21 que é a resposta da massa 2 m resultante da força impressa F atuando na massa 1 m 2 1 m 01 lb s in 1 W 386 lb 2 W 386 lb 2 2 m 1 lb s in 6 1 k 5 10 lbin 7 2 k 10 lbin f 10 cos t ω Figura 549 Sistema de 2 GL com Excitação na Massa 1 99 Devese perceber que a mobilidade é um coeficiente de influência dinâmico pois representa a resposta dinâmica em um determinado ponto a uma força harmônica aplicada Desde que a energia de deformação seja armazenada no sistema o princípio da reciprocidade se aplica às mobilidades de transferência especificadas pela equações vistas anteriormente assim 12 M M21 Ou seja a resposta da massa 1 m resultante de uma força imposta unitária atuando na massa 2 m é igual à resposta da massa 1 m resultante de uma força imposta unitária atuando na massa 1 m Seria possível determinar esses coeficientes de influência dinâmica ou mobilidades pelo método clássico a partir das equações vistas na Seção 53 Vibrações Forçadas com e sem Amortecimento isso é dividindo a resposta pela força aplicada F temos imediatamente uma expressão em termos de ω para a mobilidade do ponto D M11 com base no deslocamento Se a mesma operação for realizada para resposta da outra massa a mobilidade de transferência D M21 é obtida Essas equações podem ser convertidas em uma base de velocidade multiplicando o lado direito por jω Os valores de jω jω e jω podem ser substituidos para localizar pontos no espectro de resposta da Figura 551 5571 Método de Mobilidade de Componentes Para este método o primeiro passo é desenhar o diagrama esquemático de Impedância mostrado na Figura 550 Este esquema é desenhado de acordo com os princípios descritos na Seção 5552 Montagem de Diagramas de Mobilidade e Impedância 2 k F 2 m a b d 1 k 1 m Figura 550 Diagrama de Impedância do Siatema da Figura 545 100 As equações definidoras que representam a mobilidade de cada componente incluindo substituições numéricas são V m1 1 j 10j M m ω ω 5320 V m2 2 j j M m ω ω 5321 V 6 k1 1 j M 02 10 j k ω ω 5322 V 6 k 2 2 j M 01 10 j k ω ω 5323 Estas mobilidades são as linhas retas tracejadas na Figura 551 Na Figura 549 observe que V Mm2 e V Mk 2 atuam em série Assim da equação 5282 podemos escrever V V V b m2 k 2 M M M 5324 Todos os pontos fixado a massa 1 m têm uma velocidade comum portanto atuam em paralelo Consequentemente a combinada mobilidade de ponto de velocidade será V V 11 c V V V m1 k1 b 1 M M 1 1 1 M M M 5325 V 11 V V V m1 k1 b 1 M Z Z Z 5326 Para obter a mobilidade de velocidade de transferência V M21 note primeiro que a força atuando no ramo b na Figura 546 é b F onde 101 V b b b V 11 F Z F F F F Z 5327 então V V V m2 b 2 m2 V 11 M Z F V M F Z 5328 Portanto V M21 a mobilidade de velocidade da massa 2 m causada pela força imposta F aplicada na massa 1 m será V V V V V m2 b 2 m2 11 21 V V 11 b M Z V M M M F Z M 5329 Embora seja possível combinar as expressões derivadas em equações simples para V 11 M e V M21 em termos de m k e ω geralmente é mais simples e fácil realizar as operações indicadas sucessivamente em forma de tabela para valores assumidos de ω para chegar ao espectro da Figura 551 Um valor infinito de mobilidade corresponde a uma condição ressonante pois então uma resposta infinita resulta de uma dada força imposta ou uma resposta definida é obtida para uma força imposta zero Como a impedância é o inverso da mobilidade a impedância na ressonância é zero Isso oferece a oportunidade de encontrar as frequências naturais do sistema pelo método de mobilidade e impedância Para ilustrar a equação xx pode ser escrito da forma V 11 V V V m1 k1 b 1 1 1 Z M M M 5330 V 11 V V V V m1 k1 m2 k 2 1 1 1 Z M M M M 5331 Igualando esta expressão a zero para obter a condição ressonante e substituindo nos valores de mobilidade de velocidade apresentados na Seção 552 Mobilidade e Impedância de Elementos Estruturais obtemse 102 m1 k1 1 0 j j j m2 j k2 ω ω ω ω 5332 Resolvendo essa equação para os valores dados de k e m obtemse as frequências de ressonância do sistema 1783 e 12500 rads 5572 Discussão De Espectro De Resposta Como o sistema considerado não tem amortecimento o ângulo de fase φ é 90 graus ou 90 graus ou seja φ é 0 graus ou 180 graus para fornecer velocidades positivas ou negativas e portanto mobilidades Observese na Figura 551 que o sinal das mobilidades é especificado um sinal positivo indicando que a velocidade está em fase com a força motriz e um sinal negativo indicando que ela está 180 graus fora de fase As mobilidades de ponto V 11 M são plotadas com linhas sólidas azul e as mobilidades de transferência V M21 com linhas sólidas vermelha Podese observar que a mobilidade se torna infinita nas freqüências de 1783 e 12500 rads que correspondem às freqüências naturais mencionadas acima Para entender a interação dos diversos componentes do sistema é conveniente considerar que ele é dividido em dois subsistemas Um deles consiste em massa 2 m e mola 2 k para dar uma frequência natural 6 n2 2 2 k m 10 10 1 3162 rads ω Podese observar na Figura 551 que esta frequência corresponde à interseção das linhas de V Mm2 e V Mk 2 indicando uma frequência natural para a massa e mola inferior da Figura 549 ou ramo b do diagrama de impedância da Figura 550 Essa frequência é indicada na Figura 551 e será notado que V M11 é então zero para indicar uma condição nodal para a massa 1 m dando assim uma ação dinâmica de absorção de vibração como mencionado delineado na Seção 5321 Absorvedor de Vibração O outro subsistema consiste da massa 1 m e da mola 1 k e tem uma frequência natural 6 n1 1 1 k m 5 10 01 7070 rads ω Podese observar na Figura 551 que esta frequência corresponde à interseção das linhas V Mm1 e V Mk1 para indicar uma frequência natural da massa superior e da mola Esta frequência está indicada na 103 Figura 551 e será observado que a mobilidade de transferência V M21 tem um valor mínimo Figura 551 Espectro de Velocidade do Siatema da Figura 545 Entre as frequências ωn1 e ωn2 3162 e 7070 rads respectivamente os valores de V M21 são aproximadamente iguais a V Mm2 na Figura 547 Essa condição indica que o movimento ou velocidade da massa 2 m é controlado principalmente pelo tamanho de 2 m nessa faixa de frequência Para baixas frequências o componente de controle tanto para V M11 quanto para V M21 é a mola 1 k conforme mostrado pelas curvas tornandose assintóticas à linha V Mk1 na Figura 551 Assim em baixas frequências a mola 1 k controla amplamente o movimento Em altas frequências o movimento da massa 1 m é controlado principalmente por sua própria massa como mostrado pela curva V M11 sendo assintótica à linha V Mm1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO HARMONICAMENTE DE SISTEMAS COM 1 GL N O T A S D E A U L A S Virgílio Mendonça da Costa e Silva S e t e m b r o 2 0 2 4 2 42 Vibrações Forçada Não Harmonicamente 421 Introdução Vimos na seção anterior às vibrações de sistemas de um grau de liberdade provocada por excitações harmônicas ou seja excitações cujas forças podem ser representadas por funções periódicas senoidais ou cossenoidais Passamos agora para movimentos excitados por forças periódicas não harmônicas e forças não periódicas As forças de excitações não harmônicas também podem ser periódicas ou não periódicas As forças não periódicas podem agir durante um intervalo de tempo curto longo ou infinito Se a duração da força de excitação for pequena em comparação com a frequência natural do sistema esta força recebe o nome de choque De maneira geral se um sistema dinâmico é excitado pela aplicação súbita de uma força não periódica num tempo finito a resposta e este tipo de excitação é denominada resposta transiente uma vez que não são geralmente produzidas oscilações de estado permanente O movimento executado por um came ao seu seguidor a vibração sofrida por um instrumento caindo de uma altura a força aplicada à base de uma prensa de forjar o movimento sofrido por um automóvel passando por um buraco o movimento sofrido por um edifício durante um terremoto etc são exemplos de forças de excitação não periódica Se a força for periódica mas não harmônica ela pode ser substituída por um somatório de forças harmônicas Então usando o principio da superposição a resposta do sistema pode ser determinada pela superposição das respostas às forças harmônicas individuais Contudo se o sistema for sujeito a uma força não periódica aplicada repentinamente a resposta envolverá vibração transitória A resposta transitória de um sistema também pode ser determinada pelo que é conhecido como integral de convolução 422 Tipos de Excitação De maneira geral as excitações podem ser 3 Força de Excitação Periódicas Não Periódicas Harmônicas Não Harmônicas Regular Irregular 423 Excitações Periódicas Não Harmônicas 4231 Força Aplicada de Forma Regular Quando uma força F t é periódica com período τ 2π w ela pode ser expandida em uma serie de Fourier ω ω 0 j j j 1 j 1 a F t a cos j t b senj t 2 459 onde τ ω τ j 0 a 2 F t cos j t dt j 0 1 2 460 τ ω τ j 0 b 2 F t senj t dt j 0 1 2 461 Assim a equação do movimento pode ser expressa como ω ω 0 j j j 1 j 1 a M X C X K X F t a cos j t b senj t 2 ɺɺ ɺ 462 4 Pelo principio da superposição a solução em regime permanente da equação 462 é a somadas soluções em regime permanente das seguintes equações a0 M X C X K X 2 ɺɺ ɺ 463 ω j M X C X K X a cos j t ɺɺ ɺ 464 ω j M X C X K X b senj t ɺɺ ɺ 465 As soluções das equações 463 464 e 465 são respectivamente 0 p a x t 2K 466 ω φ ω ω ζ ω ω j p 2 2 2 2 n n a K x t cos j t 1 j 2 j 467 ω φ ω ω ζ ω ω j p 2 2 2 2 n n b K x t sen j t 1 j 2 j 468 onde ω ζ ω φ ω ω 1 n 2 2 n 2 j tg 1 j 5 Desta forma a solução geral da equação 462 para regime permanente é dada por ω φ ω ω ζ ω ω ω φ ω ω ζ ω ω j 0 p 2 2 2 j 1 2 n n j 2 2 2 j 1 2 n n a a K x t cos j t 2K 1 j 2 j b K sin j t 1 j 2 j 469 Podemos ver pela solução equação 469 que amplitude e o deslocamento de fase correspondente ao jéssimo termo depende de j Se ω ωn j para qualquer j a amplitude da harmônica correspondente será comparativamente grande Isto será válido em particular para pequenos valores de j e ζ Ademais a medida que j fica maior a amplitude tornase menor e os termos correspondentes tendem a zero Assim normalmente alguns dos primeiros termos são suficientes para obter a resposta com precisão razoável A solução equação 469 representa a resposta do sistema em regime permanente A parte transitória da solução que surge em função das condições iniciais também pode ser incluída para determinar a solução completa Para determinar a solução completa precisamos avaliar as constantes arbitrárias igualando o valor da solução completa e sua derivada aos valores especificados do deslocamento inicial x 0 e da velocidade inicial x 0 ɺ Essa operação resulta em uma expressão complicada para a parte transitória da solução total Exemplo 1 No estudo de vibrações de uma válvula usada em sistemas de controle hidráulicos a válvula e sua haste elástica são modeladas como um sistema massa mola amortecido como mostra a Figura a a seguir Além da força da mola e de amortecimento há a força de pressão do fluido exercida sobre a válvula que muda o grau de abertura e fechamento da válvula Determine a resposta permanente da 6 válvula quando a pressão na câmara varia como indicado na Figura b Suponha que k 2500 N m c 10 N s m e m 025 kg Solução A válvula pode ser considerada como uma massa ligada a uma mola e a um amortecedor de um lado e sujeita a uma força F t do outro lado A força pode ser expressa como F t A p t onde A é a seção transversal da câmara dada por π π π 2 2 2 50 A 625 mm 0000625 m 4 e p t é a pressão que age sobre a válvula a qualquer instante t Visto que p t é periódica com período τ 2 segundos e A é uma constante F t também é uma 7 função periódica com período τ 2 segundos A frequência da força é ω π τ π 2 rad s A força F t pode ser expressa em uma série de Fourier como ω ω ω ω 0 1 2 1 2 F t a a cos t a cos 2 t b sen t b sen 2 t onde τ ω τ j 0 a 2 F t cos j t dt j 0 1 2 τ ω τ j 0 b 2 F t senj t dt j 0 1 2 Já que a força F t é dada por 50000 A t para 0 t 2 τ F t 50000 A 2 t para t 2 τ τ os coeficientes j a e j b calculados são 1 2 0 0 1 a 2 50000At dt 50000A 2 t dt 50000A 2 π π π 1 2 5 1 2 0 1 2 2 10 A a 50000At cos t dt 50000A 2 t cos t dt 2 π π 1 2 1 0 1 b 2 50000At sen t dt 50000A 2 t sen t dt 0 2 π π 1 2 2 0 1 a 2 50000At cos 2 t dt 50000A 2 t cos 2 t dt 0 2 8 π π 1 2 2 0 1 b 2 50000At sen 2 t dt 50000A 2 t sen 2 t dt 0 2 π π π 1 2 5 3 2 0 1 2 2 10 A a 50000At cos 3 t dt 50000A 2 t cos 3 t dt 2 9 π π 1 2 3 0 1 b 2 50000At sen 3 t dt 50000A 2 t sen 3 t dt 0 2 De maneira semelhante podemos obter 4 5 4 5 a a b b 0 Considerando somente as três primeiras harmônicas a força pode ser aproximada a ω ω π π 5 5 2 2 2 10 A 2 10 A F t 25000 A cos t cos 3 t 9 A resposta em regime permanente da válvula à força dada pela expressão acima será 5 2 P 1 2 2 2 n n 5 2 3 2 2 2 n n 2 10 A k 25000 A X t cos t k 1 2 2 10 A 9 k cos 3 t 1 3 6 π ω ϕ ω ω ζ ω ω π ω ϕ ω ω ζ ω ω A frequência natural da válvula é dada por ωn k 2500 100 rad s m 025 9 e a frequência de excitaçãoω por π π ω π τ 2 2 2 rad s Assim a razão de frequência será ω π ωn 031416 100 e o fator de amortecimento ζ ω c n c c 10 02 c 2 m 2 025 100 Os ângulos de fase ϕ1 e ϕ3 serão ω ζ ω ϕ ω ω 1 1 n 1 2 2 n 2 2 02 031416 tg tg 00125664 rad 1 031416 1 ω ζ ω ϕ ω ω 1 1 n 3 2 2 n 6 6 02 031416 tg tg 00380483 rad 1 9 031416 1 9 Com base nos resultados acima a solução pode ser escrita como π π XP t 0019635 0015930 cos t 00125664 00017828 cos 3 t 00380483 m 4232 Força Aplicada de Forma Irregular 10 Em alguns casos a força que age sobre um sistema pode ser bastante irregular e só pode ser determinada por procedimentos experimentais Entre os exemplos de tais forças citamos a força do vento e as forças induzidas por terremotos Nestes casos as forças estarão disponíveis em forma gráficas e não será possível determinar nenhuma expressão analítica pra descrever F t Às vezes o valor de F t estará disponível apenas em uma pequena quantidade de pontos discretos 1 2 3 N t t t t Em todos estes casos é possível determinar os coeficientes de Fourier por um procedimento de integração numérica Se 1 2 3 N F F F F denotam os valores de F t em 1 2 3 N t t t t respectivamente onde N denota um número par de pontos equidistantes em um único período τ τ N t como mostra a Figura 415 a aplicação da regra trapezoidal dá N 0 i i 1 a 2 F N 470 π τ N i j i i 1 2j t a 2 F cos j 1 2 3 N 471 π τ N i j i i 1 2j t b 2 F sen j 1 2 3 N 472 Uma vez conhecidos os coeficientes de Fourier 0a j a e j b a resposta do sistema em regime permanente pode ser determinada pela equação 469 como π τωn r 2 473 11 Figura 415 Força de Excitação Irregular 424 Excitações Não Periódicas Vimos que forças periódicas de qualquer forma de onda geralmente podem ser representadas por série de Fourier como uma superposição de componentes harmônicas de varias frequências Então a resposta de um sistema linear é determinada pela superposição da resposta harmônica a cada uma das forças de excitação Quando a força de excitação F t não for periódica como a resultante do deslocamento de ar provocado por uma explosão é preciso um método diferente para calcular a resposta Vários métodos podem ser usados para determinar a resposta do sistema a uma excitação arbitrária Alguns desses métodos são Método Clássico Solução Clássica Método da Excitação por uma Integral de Fourier Visto Anteriormente Método da Integral de Convolução Método da Transformada de Laplace Método de Integração Numérica 4241 Método Clássico A forma geral da equação diferencial para um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento sujeito a uma excitação não periódica descrita em termos gerais como F t pode ser escrita como 12 M X K X Ft ɺɺ 474 Como vimos nas seções anteriores à equação 474 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes Portanto sua solução é composta de duas partes 1ª Parte Solução geral da equação diferencial homogênea associada ou seja Solução geral da equação diferencial M X K X 0 ɺɺ 475 Esta solução é a de um sistema de vibração livre sem amortecimento de sistemas de 1 GL determinada no capitulo anterior como ω ω n n X t A cos t B sen t 476 2ª Parte Uma solução particular qualquer uma da equação diferencial não homogênea dada pela equação 474 A solução particular Xp t é geralmente encontrada assumindose valores e verificandose se satisfaz a equação 474 A Tabela 41 mostra valores de soluções particulares para vários tipos de excitações não periódicas A solução particular para excitações mais complexas são frequentemente encontradas da composição das formas mais simples por superposição Portanto a solução geral será ω ω n n p X t A cos t B sen t X t 477 Se a equação é resolvida para as condições iniciais 13 X t X 0 t 0 X t X 0 ɺ ɺ 478 Obtemos ω ω ω p p n n p n X 0 X 0 X t X 0 X 0 cos t sen t X t ɺ ɺ 479 onde Xp 0 e Xp 0 ɺ são respectivamente valores de Xp t e Xp t ɺ para t 0 Essa equação pode ser escrita da forma ω φ ω 2 2 p p n p n X 0 X 0 X t X 0 X 0 cos t X t ɺ ɺ 480 onde φ ω p 1 n p X 0 X 0 tg X 0 X 0 ɺ ɺ Tabela 41 Soluções Particulares para Excitações Não Periódicas Ft K M Ft xP t F Ft F t F K 14 F t Ft t F t K 2 F t Ft t 2 F K t 2M K 3 F t Ft t 2 F t t 6M K K F e s t Ft t s t 2 F e M s K s t F e Ft t s t 2 F e M s K F sen ω t n F sen ω t Ft t 2 F sen t K M ω ω n 2 F cos t 2 M ω ω F cos ω t n F cos ω t Ft t 2 F cos t K M ω ω n 2 F sen t 2 M ω ω Sistemas sem Amortecimento Para um sistema com amortecimento temos a equação diferencial do movimento 15 M X CX K X F t ɺɺ ɺ 481 A solução geral é composta da resposta da equação homogênea associada mais a solução particular ou seja 1 2 s t s t 1 2 p X t B e B e X t 482 A Tabela 42 mostra uma lista de valores da solução particular para os tipos mais comum de excitações Os valores podem ser aplicados tanto a sistemas sub amortecidos como sistemas superamortecidos mas não para sistemas com amortecimento crítico Diferenciando a equação 482 temos 1 2 s t s t 1 1 2 p X t B s e B s e X t ɺ ɺ 483 Introduzindo as condições iniciais definidas pelas equações 478 encontra se p 2 p 1 1 2 X 0 X 0 s X 0 X 0 B s s ɺ ɺ 484 e p 1 p 2 1 2 X 0 X 0 s X 0 X 0 B s s ɺ ɺ 485 Então a solução geral tornase 16 1 2 p 2 p s t 1 2 p 1 p s t p 1 2 X 0 X 0 s X 0 X 0 X t e s s X 0 X 0 s X 0 X 0 e X t s s ɺ ɺ ɺ ɺ 486 As expressões para deslocamento da massa em função do tempo podem ser obtidas da equação 486 substituindose os valores das condições iniciais e o valor da solução particular quando t 0 Para o caso de sistemas subamortecidos é só substituir na equação 482 as expressões de s1 e s2 obtidas da solução da equação homogênea e aplicar a equação de Euler Finalmente fazer 3 1 2 B B B e 4 1 2 B B B j onde j 1 e introduzir as condições iniciais para obter C2M t 3 d 4 d p X t e B cos t B sen t X t ω ω 487 assim 3 X 0 B Xp 0 ou 3 B X 0 Xp 0 488 Diferenciando a equação 487 obtémse C 2M t C 2M t 3 d 3 d d C2M t C 2M t 4 d 3 d d p X t C e B cos t e B sen t 2M c e B sen t e B cos t X t 2m ω ω ω ω ω ω ɺ 489 Então 3 4 d p X 0 C B B X t 2M ω ɺ 490 ou 17 p p 4 d C C X 0 X 0 X 0 X 0 2M 2M B ω ɺ ɺ 491 Então a solução geral tornase C 2M t p d p p d p d X t e X 0 X 0 cos t C C X 0 X 0 X 0 X 0 2M 2M sen t X t ω ω ω ɺ ɺ 492 onde Xp 0 e Xp 0 ɺ são respectivamente valores de Xp t e Xp t ɺ para t 0 Tabela 42 Soluções Particulares para Excitações Não Periódicas Ft K M Ft C xP t F Ft F t F K F t Ft t 2 F K t C K 18 2 F t Ft t 2 2 2 F t C t M C K 2 K K K 3 F t Ft t 3 2 2 3 2 2 3 3F t Ct 2Mt 2C t 4MC 2C K 3 K K K K K F e s t Ft t s t 2 F e M s C s K s t F e Ft t s t 2 F e M s C s K F sen ω t Ft t 2 2 2 2 F K M sen t FC cos t K M C ω ω ω ω ω ω F cos ω t Ft t 2 2 2 2 FC sen t F K M cos t K M C ω ω ω ω ω ω Sistemas com Amortecimento 42411 Resposta a uma Excitação Degrau 19 Para um sistema massamola com massa M mola de massa desprezível e rigidez K submetido a uma excitação degrau de magnitude 0 F temos 0 F t F e de acordo com a Tabela 41 0 p F X t K 493 Neste caso a solução geral de acordo com a equação 480 para tal sistema será 2 2 p 0 p n n X 0 X 0 F X t X 0 X 0 cos t K ω φ ω ɺ ɺ 494 Aplicando as condições de contorno X t X 0 0 t 0 X t X 0 0 ɺ ɺ 495 Chegase a 0 n X t F 1 cos t K ω 496 Esse resultado indica que a resposta máxima à excitação degrau de magnitude 0 F é igual a duas vezes a deflexão estática A Figura 416 mostra a resposta de um sistema sem amortecimento a uma excitação degrau de magnitude 0 F Figura 416 Resposta de um Sistema MassaMola a um Degrau 20 A resposta para sistema com subamortecido equação 492 temos C 2M t 0 d 0 0 d d F X t e X 0 cos t K F c C X 0 X 0 F 2M 2M K sen t K ω ω ω ɺ 497 Aplicando as condições de contorno da equação 495 chegase a C 2M t 0 d 0 0 d d F X t e cos t K F C F 2M K sen t K ω ω ω 498 Após algumas manipulações matemáticas obtémse n t 0 d 2 F e X t 1 cos t K 1 ζ ω ω ψ ζ 499 onde n C ζ 2 M ω 2 d n 1 ω ω ζ n K M ω 21 1 2 tg 1 ζ ψ ζ A Figura 417 mostra um gráfico para um degrau unitário em função do tempo para sistema com subamortecimento Figura 417 Resposta a um Sistema MassaMolaAmortecedor a Degrau Unitário Este tipo de excitação é muito comum em casos práticos onde as características de desempenho desejadas de sistemas de controle são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo Sistemas com armazenamento de energia não podem responder instantaneamente e terão respostas transitórias sempre que sujeitos à entradas ou perturbações A excitação por degrau unitário é fácil de gerar e é suficientemente severa Ao especificar as características de resposta transitórias de um sistema de controle para uma entrada degrau unitário é comum especificarse Tempo de Atraso td Tempo necessário para a resposta alcançar pela primeira vez a metade do valor final Tempo de Subida tr Tempo necessário para a resposta passar de 10 a 90 5 a 95 ou 0 a 100 do seu valor final Para sistemas de segunda ordem subamortecido normalmente se usa tempo de subida de 10 a 90 22 Instante de Pico tp Tempo necessário para a resposta alcançar o primeiro pico do sobressinal Sobressinal Máximo Mp Máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário Se o valor final de regime estacionário da resposta defere então comumente se usa o máximo sobressinal percentual definido por Máximo sobresinal percentual X tp X 100 X Esse valor indica diretamente a estabilidade relativa do sistema Tempo de Acomodação ts Tempo necessário para a resposta alcançar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final faixa essa de magnitude especificada por uma percentagem absoluta do valor final normalmente 2 ou 5 A escolha de que percentagem usar no critério de erro pode ser determinada a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão 42412 Resposta a uma Excitação Degrau Transladado Se a excitação por degrau for transladada no tempo como mostra a Figura 418 a resposta pode ser dada pelas equações 496 e 499 respectivamente para sistema sem amortecimento e sistema subamortecidos com a substituição de t por 0 t t Assim temos 0 n 0 X t F 1 cos t t K ω 4100 n 0 t t 0 d 0 2 F e X t 1 cos t t K 1 ζ ω ω ψ ζ 4101 23 Figura 418 Resposta de um Sistema MassaMola a um Degrau Transladado 42413 Resposta a uma Excitação Rampa Para um sistema massamola com massa M mola de massa desprezível e rigidez K submetido a uma excitação tipo rampa definida por 0 F t F t temos de acordo com a Tabela 41 0 p F t X t K 4102 Neste caso a solução geral de acordo com a equação 477 para tal sistema será 0 n n F t X t A cos t B sen t K ω ω 4103 Aplicando as condições de contorno X t X 0 0 t 0 X t X 0 0 ɺ ɺ 4104 Chegase a 0 0 n n F t F X t sen t k k ω ω 4105 24 ou 0 n n n X t F t sen t k ω ω ω 4106 A Figura 419 mostra a resposta de um sistema sem amortecimento a uma excitação rampa definida por 0 F t F t Figura 419 Resposta de um Sistema MassaMola a uma Rampa A resposta para sistema subamortecido equação 492 temos p X 0 0 e 0 p F X 0 K ɺ 4107 Logo C2M t d 0 0 d d X t e X 0 cos t F C X 0 X 0 F t 2M K sen t K ω ω ω ɺ 4108 Aplicando as condições de contorno da equação 495 chegase a 25 0 C2M t 0 d d F F t K X t e sen ω t K ω 4109 ou n 0 t 0 d d F F t K X t e sen t K ζ ω ω ω 4110 42414 Resposta a uma Excitação Pulso Retangular Várias excitações básicas podem ser combinadas em uma variedade de maneiras para se obter uma excitação específica Em sistemas lineares a resposta à combinação de uma ou mais funções de excitação todas atuando ao mesmo tempo pode ser encontrada pela superposição da resposta a cada excitação isolada Em matemática isso é conhecido como princípio da superposição Um caso bem comum é a excitação definida por um pulso retangular De acordo com a Figura 420 podemos observar que a excitação pulso retangular de tempo 0t pode ser composta da excitação degrau menos a excitação degrau transladado de 0t Neste caso pelo princípio da superposição a resposta de um sistema mecânico a uma excitação pulso retangular de tempo 0t será uma combinação das respostas dada pelas equações 496 e 4100 e das equações 499 e 4101 para respectivamente sistemas sem amortecimento e sistemas subamortecidos Para sistemas sem amortecimento 0 0 n n 0 F F X t 1 cos t 1 cos t t K K ω ω 4111 ou 0 n 0 n X t F cos t t cos t K ω ω 4112 26 Para sistemas subamortecidos n 0 n t t t 0 0 d d 0 2 2 F F e e X t 1 cos t 1 cos t t K K 1 1 ζ ω ζ ω ω ψ ω ψ ζ ζ 4113 ou n n 0 t t 0 d d 0 2 X t F e cos t e cos t t K 1 ζ ω ζ ω ω ψ ω ψ ζ 4114 Figura 420 Excitação Pulso Retangular Exemplo 2 Encontrar a resposta através do Método Clássico de um sistema massamola submetido a uma excitação pelo pulso retangular da Figura 420 com as condições dadas pela equação 4104 Solução A solução geral para um sistema de um grau submetida a uma excitação qualquer é obtida pela superposição da solução homogênea xh t e da solução particular xp t como h P x t x t x t 27 Assim temos ω ω 0 1 n 1 n F x t A cos t B sen t K para 0 t t Aplicando as condições de contorno dadas pela equação 4104 obtémse 0 0 1 1 F F 0 A A K K ω ω ω ω 1 n n 1 n n x t A sen t B cos t ɺ logo ω 1 n 1 0 B B 0 Substituindo os valores de A1 e B1 obtidos anteriormente na equação de solução obtemos ω 0 n x t F 1 cos t K para 0 t t Para 0 t t temos ω ω 2 n 2 n x t A cos t B sen t Para o tempo 0t temos ω ω ω 0 0 n 0 2 n 0 2 n 0 F x t 1 cos t A cos t B sen t K I ω ω ω ω ω ω 0 0 n n 0 2 n n 0 2 n n 0 F x t sen t A sen t B cos t K ɺ II Multiplicando as equações I e II por ω ω n n 0 sen t e n 0 cos ω t respectivamente obtemos 28 ω ω ω ω ω ω ω ω 2 0 n 0 n n 0 2 n 0 n n 0 2 n n 0 F 1 cos t sen t A cos t sen t B sen t K III ω ω ω ω ω ω ω ω 2 0 n n 0 n 0 2 n n 0 n 0 2 n n 0 F sen t cos t A sen t cos t B cos t K IV Somando os resultados das equações III e IV acima chegase a ω ω ω ω ω ω ω 0 0 n n 0 n n n n 0 2 n F F 1 cos t sen t sen t cos t B K K Explicitando o valor de B2 temos ω 0 2 n 0 F B sen t K Substituindo o valor de B2 acima na equação III obtemos ω ω ω ω ω ω ω ω ω 2 0 0 n 0 n n 0 2 n 0 n n 0 n 0 n n 0 F F 1 cos t sen t A cos t sen t sen t sen t K K De onde chegase a 2 0 n 0 n 0 0 2 n 0 n 0 F 1 cos t sen t F A K cos t 1 cos t K ω ω ω ω Substituindo os valores de A2 e B2 na solução para 0 t t temos 0 0 n 0 n n 0 n F F x t cos t 1 cos t sen t sen t K K ω ω ω ω 29 ou 0 n 0 n x t F cos t t cos t K ω ω como obtido anteriormente 4242 Integral de Convolução A magnitude de uma força de excitação não periódica normalmente varia com o tempo Ela age durante um período de tempo especificado e então para A forma mais simples é a força impulsiva A força impulsiva tem uma grande magnitude F e age durante um período de tempo muito curto t Sabemos pela dinâmica que um impulso pode ser medido pela determinação da variação no momento do sistema causado por ele Se 1xɺ e 2 xɺ representam as velocidades da massa M antes e depois da aplicação do impulso temos Impulso 2 F t M x M x1 ɺ ɺ 4115 Designando a magnitude do impulso F t por Fɶ podemos escrever em geral t t F t F dt ɶ 4116 Um impulso unitário fɶ é definido como t t t t 0 f lim F dt F t 1 ɶ 4117 30 Podemos ver que para que F dt tenha um valor finito F tende a infinito visto que dt tende a zero Embora a função impulso unitário não tenha significado físico é uma ferramenta conveniente na presente análise O impulso unitário fɶ que age em t 0 também é determinado pala função delta de Dirac t δ A função delta de Dirac no tempo t τ denotada por δ t τ tem as seguintes propriedades t 0 δ τ para t τ para t τ 4118 onde 0 t dt 1 δ τ 0 t F t dt 1 F δ τ τ 0 τ Por isso uma força impulsiva que age em t τ pode ser denotada por F t F δ t τ ɶ 42421 Resposta ao Impulso Em primeiro lugar consideramos a resposta de um sistema com um grau de liberdade a uma excitação por impulso Este caso é importante no estudo à resposta à excitações mais gerais Considere um sistema massamola viscosamente amortecido sujeito a um impulso unitário em t 0 como mostrado nas Figuras 421 a e 421 b Para um sistema subamortecido a solução da equação de movimento M X C X K X 0 ɺɺ ɺ 4119 é dada por Ver vibrações livres com amortecimento 31 n n t d d d X 0 X 0 X t e sen t X 0 cos t ζ ω ζ ω ω ω ω ɺ 4120 onde n C ζ 2 M ω 2 d n 1 ω ω ζ n K M ω Se a massa estiver em repouso antes de impulso unitário ser aplicado x x 0 ɺ para t 0 ou em t 0 obtemos pela relação impulso momento Impulso f 1 ɶ 0 M x t 0 M x t 0 M x ɺ ɺ ɺ 4121 Figura 421 Sistema de Um Grau de Liberdade Submetido a um Impulso 32 Assim as condições iniciais são dadas por 0 x t 0 x 0 4122 0 1 x t 0 x M ɺ ɺ Em vista das equações 4122 a equação 4120 reduzse a n t d d x t g t e sen t M ζ ω ω ω 4123 A equação 4123 dá a resposta de um sistema com um grau de liberdade a um impulso unitária que também é conhecido como função de resposta ao impulso representada por g t A função g t equação 4123 é mostrada na Figura 421 c Se a magnitude do impulso for Fɶ em vez da unidade a velocidade inicial x 0 ɺ é F M ɶ e a resposta do sistema tornase n t d d x t F e sen t F g t M ζ ω ω ω ɺɺ ɶ 4124 Se o impulso Fɶ for aplicado em um tempo arbitrário t τ como mostra a Figura 422 esse impulso mudará a velocidade em t τ por uma quantidade F M ɶ Admitindo que x 0 até o impulso ser aplicado o deslocamento x em qualquer tempo subsequente t causado por uma mudança na velocidade no tempo τ é dada pela equação 4124 onde t é substituído pelo tempo decorrido após a aplicação do impulso isto é t τ Assim obtemos x t F g t τ ɶ 4125 Isto é mostrado na Figura 422 33 Figura 422 Resposta a Um Impulso em Tempo Arbitrário 42422 Resposta a uma Excitação Geral Agora consideramos a resposta do sistema a uma força externa arbitrária F t mostrada na Figura 423 Podemos admitir que essa força seja composta por uma serie de impulsos de magnitudes variáveis Supondo que no tempo τ a força age sobre o sistema por um curto período τ O impulso que age em t τ seja é dado por F τ τ A qualquer tempo t o tempo transcorrido desde o inicio do impulso é t τ portanto a resposta do sistema em t resultante apenas desse impulso é dada pela equação 4125 com F ɶ F τ τ x t F g t τ τ τ 4126 A resposta total no tempo t pode ser determinada somando todas as respostas aos impulsos elementares que agem em todos os tempos τ x t F g t τ τ τ 4127 34 Fazendo τ 0 e substituindo o somatório por integração obtemos t 0 x t F g t d τ τ τ 4128 Substituindo a equação 4123 na equação 4128 obtemos n t t d 0 d 1 x t F e sen t d M ζ ω τ τ ω τ τ ω 4129 que representa a resposta de um sistema subamortecido com um grau de liberdade à excitação arbitrária F t Observe que a equação 4129 não considera o efeito das condições iniciais do sistema A integral na equação 4128 ou equação 4128 é denominada Integral de Convolução ou Integral de Duhamel Em muitos casos a função tem uma forma que permite uma integração explicita da equação 4129 Caso tal integração não seja possível ela pode ser avaliada por métodos numéricos sem muita dificuldade Figura 423 Excitação Arbitrária Não Periódica A resposta de um sistema mecânico a qualquer excitação não periódica pode ser resolvida usando a Integral de Convolução ou Integral de Duhamel dada pela equação 4129 Como exemplo calculamos a resposta de um sistema massamola com e sem amortecimento excitado por um degrau utilizando a referida equação 35 Para sistema sem amortecimento a equação 4129 pode ser escrita da forma t n 0 n 1 x t F sen t d M τ ω τ τ ω 4130 Resposta a uma Excitação Degrau Substituindo na equação 4130 F τ por 0 F magnitude do degrau temos t 0 d 0 n t 0 d 2 0 n 1 x t F sen t d M F cos t M ω τ τ ω ω τ ω 4131 ou 0 d F X t 1 cos t K ω 4132 Para sistema com amortecimento temos n t t 0 d 0 d 1 x t F e sen t d M ζ ω τ ω τ τ ω 4133 Usando a técnica de integração por partes chegase a n t 0 d 2 F e x t 1 cos t K 1 ζ ω ω ψ ζ 4134 onde 1 2 tg 1 ζ ψ ζ Esses mesmos resultados foram obtidos quando usamos o método clássico 36 Resposta a uma Excitação Rampa Exemplo 3 Encontrar a resposta através do Método da Integral de Convolução de um sistema massamola submetido a uma excitação rampa representada pela Figura 419 com as condições dadas pela equação 4104 Solução Para uma excitação tipo rampa a força de excitação será 0 F t F t Substituindo na equação 4130 temos t 0 n 0 n 1 x t F sen t d M τ ω τ τ ω ou t 0 n 0 n x t F sen t d M τ ω τ τ ω Resolvendo a solução através de integração por partes temos u dv u v v du I Fazendo n n n cos t dv sen t d v u du d ω τ ω τ τ ω τ τ Substituindo em I temos 37 t t t n n n 0 0 n n 0 cos t cos t sen t d d τ ω τ ω τ τ ω τ τ τ ω ω t n n 2 2 n n n n 0 sen t sen t t t ω τ ω ω ω ω ω Logo t 0 n 0 n x t F sen t d M τ ω τ τ ω n 0 2 n n n sen t F t x t M ω ω ω ω ou n 0 n sen t x t F t K ω ω como visto anteriormente Exemplo 4 Encontrar a resposta através do Método da Integral de Convolução de um sistema massamola submetido a uma excitação pulso retangular representada pela Figura 420 com as condições dadas pela equação 4104 Solução Para uma excitação tipo pulso retangular a força de excitação será 0 0 0 F para t t F t 0 para t t 38 Substituindo na equação 4130 temos Para 0 t t temos t t n 0 0 n 0 n n n 0 cos t F F x t sen t d M M ω τ ω τ τ ω ω ω ou 0 0 n n n n n F F cos t 1 x t 1 cos t M K ω ω ω ω ω Para 0 t t temos Opção I 0 0 t t 0 n n 0 t n n 1 1 x t F sen t d 0 sen t d M M ω τ τ ω τ τ ω ω 0 n 0 n x t F cos t t cos t K ω ω Opção II 0 t t 0 n 0 n 0 t n n 1 1 x t F sen t d F sen t d M M ω τ τ ω τ τ ω ω 0 n 0 n x t F cos t t cos t K ω ω como visto anteriormente 39 Exemplo 5 Encontrar a resposta através do Método da Integral de Convolução de um sistema massamola submetido a uma força de excitação dada pela figura abaixo com as condições dadas pela equação 4104 Ft t t 0 0 F 1 F Solução Para uma excitação dada pela figura a força de excitação será 0 0 0 0 0 F t para t t t F t F para t t Substituindo na equação 4130 temos Para 0 t t temos t 0 n 0 n 0 F 1 x t sen t d M t τ ω τ τ ω 40 t 0 n n 2 0 n n n 0 F 1 x t cos t sen t Mt τ ω τ ω τ ω ω ω ou 0 n 2 0 n n F 1 x t t sen t Mt ω ω ω Para 0 t t temos Opção I 0 0 t t 0 n 0 n 0 t n 0 n F 1 1 x t sen t d F sen t d M t M τ ω τ τ ω τ τ ω ω 0 0 t t 0 n n n 2 n n n n 0 t F 1 1 x t cos t sen t cos t M τ ω τ ω τ ω τ ω ω ω ω ou 0 0 n 0 n 0 n n 0 2 0 n n n n n F 1 1 1 1 x t t cos t t sen t t sen t cos t t Mt ω ω ω ω ω ω ω ω ω Opção II 0 t t 0 n 1 n 0 t n 0 n F 1 1 x t sen t d F sen t d M t M τ ω τ τ ω τ τ ω ω onde F1 é uma função tal que 41 0 0 1 0 1 0 0 0 t F t F F F F F t t Logo temos 0 t t 0 0 n 0 n 0 t n 0 n 0 F F 1 1 x t sen t d F sen t d M t M t τ τ ω τ τ ω τ τ ω ω ou 0 0 n 0 n 0 n n 0 2 0 n n n n n F 1 1 1 1 x t t cos t t sen t t sen t cos t t Mt ω ω ω ω ω ω ω ω ω 42423 Resposta a Excitação da Base Se um sistema massamolaamortecedor for sujeito a uma excitação arbitrária de base descrita por seu deslocamento velocidade ou aceleração a equação de movimento pode ser expressa em termos do deslocamento relativo da massa z x y da seguinte maneira ver seção 414 M z C z K z M y ɺɺ ɺ ɺɺ 4135 Essa equação é semelhante à equação M x C x K x F ɺɺ ɺ 4136 com a substituição de x pela variável z e da força de excitação F pelo termo M yɺɺ Por consequência todos os resultados derivados para sistemas excitados por uma força são aplicáveis ao sistema excitado pela base também para z quando o termo F for substituído por M yɺɺ Para um sistema subamortecido sujeito à excitação da base podemos determinar o deslocamento relativo pela equação 4129 n t t d 0 d z t 1 y e sen t d ζ ω τ τ ω τ τ ω ɺɺ 4137 42 425 Espectro de Resposta a Choques Nas seções anteriores nos encontramos a resposta no tempo de um sistema massamola sem amortecimento submetido a uma excitação por pulso de tempo de duração 0t Comentamos no início desta Unidade IV Parte II que quando o tempo de duração 0t é pequeno comparado com o período natural n τ de oscilação a excitação é chamada de Choque Tais excitações são frequentemente encontradas em engenharias de equipamentos que devem passar por testes de vibrações para receber a certificação de projeto satisfatório De particular interesse é a resposta máxima de pico que é uma medida de severidade do choque Em ordem para categorizar todos os tipos de excitação por choque os Sistemas MassaMola de 1 GL são escolhidos como um padrão Os Engenheiros acham útil para projetos o conceito de Espectro de Resposta O espectro de resposta é uma representação gráfica do pico máximo de resposta de um oscilador de 1 GL em função da frequência natural do mesmo oscilador Considerando que o espectro de resposta é determinado a partir de um simples ponto na curva respostatempo o qual representa um dado incompleto de informação ele sozinho não define a força do choque De fato é possivel que espectros de resposta muito semelhantes correspondem a duas oscilações de choques diferentes Apesar dessa limitação o espectro de resposta é um conceito útil extensivamente usado Portanto o gráfico que mostra a variação da resposta máxima máximo deslocamento máxima velocidade máxima aceleração ou qualquer outra quantidade máxima com a frequência natural ou período natural de um sistema com um grau de liberdade e uma excitação especifica é conhecido como espectro de resposta Uma vez que a resposta máxima é representada em gráfico em relação à frequência natural ou período natural o espectro de resposta dá a resposta máxima de todos os possíveis sistemas com um grau de liberdade Um exemplo de aplicação é o uso do espectro de resposta na engenharia de projetos de terremotos Nesse caso a equação 4129 pode ser usada para expressar a resposta de pico de um sistema não amortecido com um grau de liberdade à aplicação de uma força arbitrária F t como 43 t max max 0 n 1 x t F sen t dt M τ τ ω 4138 No caso em que o choque é devido a um repentino movimento do ponto de suporte força arbitrária F t é substituída pela aceleração y t ɺɺ usando a equação 4137 para sistemas sem amortecimento ou seja t max max 0 n 1 z t y sen t dt M τ τ ω ɺɺ 4139 Em resumo após obtido a resposta do sistema à excitação por choque devemos derivar estes resultados igualar a zero para encontrar a relação de tempo ou frequência onde a resposta é máxima Do ponto de vista gráfico uma vez disponível o espectro de resposta correspondente a uma excitação especificada tudo o que precisamos saber é a frequência natural do sistema para determinar a sua resposta máxima Como exemplo determinamos a seguir o espectro de resposta não amortecido para uma excitação senoidal meia senoide representada pela Figura 424 usando as condições iniciais X 0 X 0 0 ɺ Figura 424 Excitação por Pulso Senoidal A equação do movimento pode ser expressa por 0 0 0 F sen w t p 0 t t M x C x K x 0 p t t ɺɺ ɺ 4140 44 onde 0 t π ω A solução da equação 4140 pode ser obtida pela superposição da solução homogênea xh t e da solução particular xp t como h p x t x t x t 4141 Isto é 0 n n 2 F x t A cos t B sen t sen t K M ω ω ω ω 4142 onde A e B são constantes e n ω é a frequência natural do sistema dada por n n 2 K M π ω τ 4143 Usando as condições iniciais X 0 X 0 0 ɺ na equação 4142 obtémse A 0 e 0 2 n F B K M ω ω ω 4144 Assim a solução tornase 0 n 2 n n F K x t sen t sen t 1 ω ω ω ω ω ω para 0 0 t t 4145 Que pode ser escrita como 45 n 2 st 0 0 n n 0 x t 1 t 2 t sen sen t 2 t 1 2 t τ π π δ τ τ para 0 0 t t 4146 onde 0 st F δ K 4147 A solução dada pela equação é válida somente durante o período de aplicação da força 0 0 t t Visto que não há nenhuma força aplicada para 0 t t a solução pode ser expressa como uma solução de vibração livre n n x t A cos t B sen t ω ω para 0 t t 4148 onde as constantes A e B podem ser determinadas usando os valores de 0 x t t e 0 x t t ɺ dados pelas condições pra duração 0 t t Isto é 0 n 0 0 n n 0 n 0 2 t x t t sen 2 t A cos t B sen t π τ α τ ω ω 4149 0 0 0 0 n n n 0 n n 0 2 t x t t cos t t A sen t B cos t π π π α τ ω ω ω ω ɺ 4150 onde st 2 n 0 1 2 t δ α τ 4151 As equações 4149 e 4150 podem ser resolvidas para determinar A e B como 46 n 0 n 0 A sen t t α π ω ω 4152 n 0 n 0 B 1 cos t t α π ω ω As equações 4152 podem ser substituídas na equação 4148 para obter n 0 0 2 st n n n n 0 x t t t t 2 t sen 2 sen 2 1 2 t τ π π δ τ τ τ τ para 0 t t 4153 As equações 4146 e 4153 que dão as respostas do sistema em forma adimensional x δst é expressa em termos de n t τ Assim para qualquer valor especifico de n t τ o valor máximo pode ser determinado Exemplo 6 Sabemos que a excitação do pulso senoidal dado pela Figura 424 só atua até o tempo 0t e que após esse tempo a força de excitação é nula Determine a solução representada ne equação 4153 através da resposta obtida na equação 4146 para determinar as condições iniciais do movimento após o pulso Solução Após o pulso a resposta passa a ser a de um sistema de um grau de liberdade com vibrações livre e sem amortecimento e as condições iniciais para o movimento decorrente da excitação nula serão 0 0 0 X t X t t t X t X t ɺ ɺ E61 47 Neste caso a resposte do movimento será 0 0 n n n x t x t x t cos t sen t ω ω ω ɺ E62 onde 0 t t t ou seja força nula transladada Como a solução dada pela equação 4146 é válida também para os valores de x t0 e x t0 ɺ podem se determinados da equação da mesma Para determinar x t0 é só substituir 0 t t na equação 4146 ou seja 0 0 0 n 2 st 0 0 n n 0 x t t 2 t 1 sen sen t 2 t 1 2 t π π τ δ τ τ ou st 0 n 0 2 0 n n 0 2 t x t 2 t sen 1 2 t δ π τ τ τ E63 Para determinar x t0 ɺ é só derivar a equação 4146 e substituir 0 t t ou seja Derivando a equação 4146 obtémse 0 n 2 st 0 0 0 n n n 0 x t 2 t 1 t 2 t cos cos t t 2 t 1 2 t π τ π π π δ τ τ τ ɺ E64 Substituído 0 t t equação E64 obtémse 48 0 0 0 0 n 2 st 0 0 0 n n n 0 x t t 2 t 2 t 1 cos cos t t 2 t 1 2 t π π π τ π δ τ τ τ ɺ ou st 0 0 n 0 2 0 0 n n n 0 2 t 2 t x t cos t 2 t 1 2 t δ π π τ π τ τ τ ɺ E65 Substituído as equações E63 e E65 na equação E62 obtémse st 0 n 0 n 2 0 n n 0 2 t x t x t sen cos t 2 t 1 2 t δ π τ ω τ τ st 0 0 n 0 n 2 0 0 n n n n 0 2 t 2 t 1 x t cos sen t t 2 t 1 2 t δ π π τ π ω τ τ ω τ ɺ Como n n ω t τ obtémse n 0 0 2 st n n n n 0 x t t t 2 t t sen sen 2 2 1 2 t τ π π δ τ τ τ τ E66 Substituindo 0 t t t na equação E66 chegase a n 0 0 2 st n n n n 0 x t t t t 2 t sen 2 sen 2 1 2 t τ π π δ τ τ τ τ para 0 t t resultado idêntico ao obtido na equação 4153 49 Falamos anteriormente que o espectro de resposta é representação gráfica das máximas respostas do sistema à excitações impostas em função da relação de frequências frequência de excitação e frequência natural do sistema ou período de excitação e período de vibração livre do sistema Para obtermos o espetro de resposta referente a excitação de meia seno representada na Figura 424 passamos primeiro para facilitar o desenvolvimento matemático as respostas dadas pelas equações 4146 e 4153 para o domínio de frequências Assim obtemos n 2 st n n x t 1 sen t sen t 1 ω ω ω δ ω ω ω para 0 0 t t 4154 n n 0 n n 2 st n x t sen t t sen t 1 ω ω ω ω ω δ ω ω para 0 t t 4155 onde 0 t ω π n 0 2 t ω π e n n 0 2t ω ω τ Para obtermos a resposta máxima para 0 0 t t devemos primeiro determinar o valor de m t na qual st x t δ 0 ɺ na equação 4154 e então substituilo na mesma Assim derivando a equação 4154 com relação ao tempo obtemos n 2 st n x t cos t cos t 0 1 ω ω ω δ ω ω ɺ 4156 Observase na equação 4156 que uma maneira de obtermos solução nula é fazendo com que o termo entre chaves seja nulo ou seja cos t cos n t 0 ω ω 4157 Recorrendo a relação trigonométrica que diz 50 cos cos 2 sen sen 2 2 α β α β α β concluímos que m t deve satisfazer a equação n n m m sen t sen t 0 2 2 ω ω ω ω 4158 A equação 4158 tem duas famílias de soluções ou seja m1 m2 n t 2 n t π ω ω para n 1 2 3 4159 Substituindo es equações 4159 na equação 1154 obtemos max n 2 st n n n n x t 1 2 n 2 n sen sen 1 π ω π ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω a 4160 max n 2 st n n n n x t 1 2 n 2 n sen sen 1 π ω π ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω b É obvio das equações 4160 que a resposta correspondente a t tm1 alcança mais altos valores que a resposta correspondente a t tm2 Assim consideramos apenas a equação 4160 a Para simplificar Observase que o primeiro termo entre chaves pode ser escrito como n n n n n n 2 n 2 n 2 n sen sen sen π ω π π ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 4161 Introduzindo o resultado obtido na equação 5161 no primeiro termo entre chaves da equação 4160 a obtémse 51 max n n 2 st n n n n x t 2 n 2 n 1 sen sen 1 π ω π ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω ou max st n n x t 1 2 n sen 1 1 π ω ω δ ω ω ou retornando ao domínio do tempo max n n st 0 0 x t 1 2 n sen 1 1 2 t 2 t π τ τ δ para 0 0 t t 4162 A questão que permanece é como determinar o valor do inteiro n Para responder essa questão nós lembramos que tm1 deve ocorrer durante o pulso de modo que a partir da equação 4162 nós devemos ter que n 0 n 2 n 1 t n 1 2 ω π π ω ω ω ω 4163 Para determinar a resposta para qualquer tempo subsequente ao término do pulso 0 t t recorremos ao resultado dado pela equação 4155 que pode ser escrita como n n 0 n n 0 n 2 st n x t 1 cos t sen t sen t cos t 1 ω ω ω ω ω ω δ ω ω para 0 t t 4164 Como antes para obtermos a resposta máxima nós devemos primeiro determinar o m t no qual st x t δ 0 ɺ na equação 4164 e então substituir o valor de m t na mesma Derivando a equação 4164 com relação ao tempo e fazendo t tm obtemos 52 n 0 n m n 0 n m 2 st n x t 1 cos t cos t sen t sen t 0 1 ω ω ω ω ω δ ω ω ɺ 4165 Observase na equação 4165 que uma maneira de obtermos solução nula é fazendo com que o termo entre chaves seja nulo ou seja n 0 n m n 0 n m 1 cos t cos t sen t sen t 0 ω ω ω ω ou n 0 n m n 0 1 cos t tan t sen t ω ω ω 4166 Para determinarmos os valores de sen n 0 ω t e cos n 0 ω t que satisfaz a equação 4165 representamos graficamente Figura 425 a equação 4166 Figura 425 Representação Gráfica da Equação 4166 Da Figura 425 observase que n 0 n m 1 cos t sen t h ω ω 4167 n m n m sen t cos t h ω ω onde 2 2 n m n 0 n 0 h sen t 1 cos t 2 1 cos t ω ω ω 53 Recorrendo a relação trigonométrica que diz 1 cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 2 2 α α α α concluímos que n t0 h 2 cos 2 ω 4168 Substituindo as equações 4167 e 4168 na equação 4164 obtémse 2 2 n 0 n 0 max n 2 n 0 st n x t 1 cos t sen t t 2 cos 1 2 ω ω ω ω ω δ ω ω ou max n 0 n 2 st n x t t 2 cos 2 1 ω ω ω δ ω ω ou retornando ao domínio do tempo max n 0 n 2 st n x t t 2 cos 2 1 ω ω ω δ ω ω para 0 t t 4169 O espetro de resposta é simplesmente a representação gráfica de st x t max δ versus n t τ na qual ambas equações 4162 e 4169 devem ser consideradas Claro que somente os maiores valores devem ser usados Note que para valores de n τ 2 t0 a solução dada pela equação 4162 não é válida mas para n τ 2 t0 ambas as soluções são válidas Verificase que a resposta máxima é dada pelas equações 4169 para n τ 2 t0 e 4162 para n τ 2 t0 54 Esse valor máximo de st x t δ quando representado graficamente em relação a n t τ da o espectro de resposta mostrado na Figura 426 Podemos observar que o valor máximo de st x δ 175 ocorre a um valor de n t τ 075 Figura 426 Espectro de Resposta de um Sistema Massa Mola a um Meio Pulso Senoidal Nesse exemplo a força aplicada é simples por consequência foi obtida uma solução de forma fechada para o espectro de resposta Todavia se a força aplicada for arbitraria só podemos obter o espetro de resposta por meios numéricos É evidente que podemos também usar neste caso a Integral de Convolução dada pela equação 4129 para expressar a resposta de pico de um sistema não amortecido com um grau de liberdade submetido à aplicação de uma força arbitrária F t como t max max 0 n 1 x t F sen t dt M τ τ ω 4170 Para o caso de excitação pela base determinaremos agora o espectro de resposta para um deslocamento relativo z x y de um sistema massa mola sem amortecimento excitado pela base com a aceleração representada na Figura 427 55 Figura 427 Excitação por Pulso Triangular A aceleração da base pode ser expressa por max 0 t y t y 1 t ɺɺ ɺɺ para 0 0 t 2 t 4171 y t 0 ɺɺ para 0 t 2 t 4172 Resposta durante o tempo 0 0 t 2 t Substituindo a equação 4171 na equação 4137 a resposta pode ser expressa para um sistema não amortecido como t max n n n n 0 n 0 z t 1 y 1 sen t cos cos t sen d t τ ω ω τ ω ω τ τ ω ɺɺ 4173 Essa equação é a de uma excitação por pulso triangular exceto que yɺɺmax aparece no lugar de 0 F M Por consequência z t pode ser escrita como max n n 2 n 0 n 0 y t 1 z t 1 cos t sen t t t ω ω ω ω ɺɺ 4174 56 Para determinar a resposta máxima zmax fazemos max n 0 n n 2 0 n z t y 1 t sen t cos t 0 t ω ω ω ω ɺɺ ɺ 4175 Essa equação dá o tm no qual zmax ocorre 1 m n 0 n t 2 tg ω t ω 4176 Substituindo a equação 4176 na equação 4174 a resposta máxima pode ser determinada por max m max n m n m 2 n 0 n 0 y t 1 z 1 cos t sen t t t ω ω ω ω ɺɺ 4177 Resposta durante o tempo 0 t 2 t Visto que não há nenhuma excitação durante esse tempo podemos usar a solução para vibração livre 0 0 n n n z z t z cos t sen t ω ω ω ɺ 4178 Considerando o deslocamento inicial e a velocidade inicial como 0 0 z z t 2t e 0 0 z z t 2t ɺ ɺ 4179 O máximo z t de acordo com a equação 4179 pode ser identificado como 12 2 2 0 max 0 n z z z ω ɺ 4180 onde 0z e 0zɺ são calculados como indicado na equação 4180 57 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA MECÂNICA DISCIPLINA Vibrações dos Sistemas Mecânicos PERÍODO 20241 Trabalho de Verificação de Aprendizagem Individual 1 Um sistema da Figura 1 está submetido a uma excitação periódica não harmônica dada pelas Figura 2 determine a A Equação Diferencial do Movimento com e sem amortecimento b A Resposta do Sistema com a excitação contínua da Figura 2 para uma dada condição inicial e plote o resultado Ft t F t 1 cos2 t ω Fo Figura 1 Figura 2 2 Determine a resposta do Sistema do item 1 considerando que o mesmo está submetido uma excitação não periódica de meio cosseno seguido por um degrau dada pela Figura 3 Pedese a Solução pelo Método Clássico sem Amortecimento b Solução pelo Método da Integral de Convolução com e sem Amortecimento c Plote os Resultados para uma dada condição Inicial com s sem Amortecimento d Encontre o Espectro de Resposta expressão e gráfico sem Amortecimento e Por qualquer dos métodos encontre a resposta para Excitação pela Base 3 Uma estrutura pode ser modelada como mostra a Figura 4 Pedese a Atribuir valores para os parametros do sistema e escreva as equações de movimentos b Determine as frequências natuirais das vibrações do sistema e os modos de vibração c Encontre as respostas do sistema para uma dada condição inicial e plote os resultados d Colocar uma força de Excitação Harmônica no sistema e determinar as equações do movimento e Determinar a Solução da EDM referente ao item d e para uma dada condição inicia Plote os resultados e espectro Tempo Ft F0 πω Função Cos ω t Figura 4 L M2 L L2 M1 Figura 5 BOA SORTE 1 a Vinculo de movimento δγ cos α δ γcos α δ γcos α Diagrama de Corpo Livre Equilibrio de forças verticais ΣFy mÿ Ft mg Kscos α Cδ cos α mÿ Ft mg Kγcos²α Cγcos²α mÿ ÿ Ccos²αmÿ Kcos²αmγ 1 cos²wtm EQUAÇÃO COM AMORTECIMENTO eliminando o amortecimento C0 ÿ Kcos²αmγ 1 cos²wtm b Parâmetros escolhidos α0 C2 Nsm K 1 Nm m1 kg ω 2 rads ÿ 2ÿ y 1 cos²2t Solução homogênea λ² 2λ 1 0 λ 1² 0 λ₁ 1 λ₂ 1 yH Aet Btet Solução Particular cos²2t 12 12cos4t 1 cos²2t 15 12cos4t yP At² Bt C Dcos4t Esin4t ÿP 2At B 4Dsin4t 4Ecos4t ÿ 2A 16Dcos4t16Esin4t 2A 16Dcos4t 16Esin4t 22At B 4Dsin4t 4Ecos4t At² Bt C Dcos4t Esin4t 32 12cos4t A0 B0 C32 cos4t16D 8E D 12 15D 8E 12 sin4t16E 8D E 0 8D 15E 0 D 01025952 E 01017841 Substituindo Y Aet Btet 15 0102595Cos4t 010384Sen4t Y Aet Bet Btet 010381Sen4t 0105536Cos4t Condições iniciais escolhidas Y00 Y00 0 A 15 0102595 0 A B 0105536 A 14741 B 15295 Y 14741 et 15295tet 15 0102595Cos4t 010384Sen4t m Gráfico 15 0 10 3 2 a Carregamentos O gráfico não corresponde a função coswt cos01 coswπw 1 Logo coswt tem o seguinte gráfico 1 F coswt πw 1 Este é o gráfico real de coswt Logo Ft cos2t 0 t π2 Ft 1 t π2 Equação sem amortecimento Y Y cos2t 0 t π2 Y Y 1 t π2 Solução homogênea λ² 1 0 λ 1 i Yh ACos t BSen t Solução Particular 1 Yp1 CCos2t DSen2t Yp1 2CSen2t 2DCos2t Yp1 4CCos2t 4DSen2t 4CCos2t 4DSen2t CCos2t DSen2t Cos2t 3CCos2t 3DSen2t Cos2t 3C 1 C 0333 3D 0 D 0 Yp1 0333Cos2t Y1 Aet Btet 0333Cos2t Solução Particular 2 Yp2 Et² Ft G Yp2 2Et F Yp2 2E 2E Et² Ft G 1 Et² Ft G 2E 1 E 0 F 0 G 2E 1 G 1 Yp2 1 Y2 Aet Btet 1 Condições de Contorno Y10 0 Y10 0 0 A 0333 A 0333 0 A B B 0333 Y1t 0333 et 0333 t et 0333 cos2t Y1t 0333 et 0333 et 0333 t et 0666 sen2t Condições de Continuidade Y1π2 Y2π2 0333eπ2 0333 π2 eπ2 0333cosπ A1 0 1 A 15109 Y1π2 Y2π2 0333eπ2 0333eπ2 0333π2eπ2 0 A B 01087 15109 B B 14022 Logo Yt 0333et 0333tet 0333cos2t ut uπ2 Yt 0333et 0333tet 0333cos2t ut ut π2 15109 et π2 14022 t et π2 1 ut π2 m 6 b o Método da Integral de Convolução ÿ Y cos2tut ut π2 ut π2 Transformada de Laplace s2Y Y eπs2 Ss2 4 Ss2 4 eπs2 Y eπt2 Ss2 4 s2 1 eπt2s2 1 Ss2 4 s2 1 Frações Parciais AS Bs2 4 CS Ds2 1 AS Bs2 1 CS Ds2 4 S AS3 AS BS3 B CS3 4CS DS3 4D S S3A C S2B D SB 4C B 4D S A C 0 B D 0 A 4C 1 B 4D 0 A 13 B 0 C 13 D 0 Y eπs2 13 Ss2 4 13 Ss2 1 eπs2 1s2 1 13 Ss2 4 13 Ss2 1 7 Transformada inversa Y 0333 cos 2 t π2 0333 cos t π2 cos t π2 ut ut π2 0333 cos 2t 0333 cos t ut Y 0333 cos 2 t π 0666 cos t π2 ut ut π2 0333 cos 2t 0333 cos t ut c Plotando resultados 8 d Espectro de Resposta sem Amortecimento Xmáx 1 MWn 0 t Ft 2m tσdσ M1 Wn1 Xmáx 0 π2 Cos2t Sentσdσ π2 t 1 Sentσdσ Xmáx Cos2t Cost σ π20 1 π2 t Sentσdσ Xmáx Cos 2t Cos tσ π20 Cos tσ t π2 Xmáx Cos 2t Cos t π2 Cos 2t Cos t Cos 0 Cos t π2 Xmáx 1 Cos 2t Cos t π2 Cos 2t Cos t Cos t π2 e Resposta à excitação da base ẍ y Sen2t yH A Cost B Sent yP D Cos2t C Sen2t ẏP 2D Sen 2t 2C Cos 2t ÿP 4D Cos 2t 4C Sen 2t Cos 2t 4D D Sen C 4C Sen 2t 3D 0 4C 1 D 0 C 14 y A Cos t B Sen t 025 Sen 2t Condições iniciais y00 ẏ0 0 0 A 0 0 A 0 0 B 050 B050 Logo yt 050 Sen t 025 Sen 2t 3 a Deflexões unitárias L 1 L L2 RA RB ΣMB 0 2L RA L2 L0 RA025 ΣF 0 025 RB 2 0 RB175 M00 ML0125L M2L01252L 1 L 05L 025L 2L 25L L 015L L 05 015 1 1 0125 RB125 125 2 L 2L 25L 0125L 05L 1 δ1EI 0L025x05x dx 0L025L 075x05L 05x dx 1 δ1E I 0L0125x2 dx 0L0125L2 05Lx 0375 x2 dx 1 δ1E I 0125L33 0125L31 015LL22 0375L33 δ1 004167L3E I 1 δ2 E I 0L025x 025x dx 0L025L 075x 025x dx 0 05L 05L x05L x dx 1 δ2E I 0L00625x2 dx 0L01875x2 00625Lx dx 0 05L 0125L2 Lx x2 dx 1 δ2E I 00625L33 01875L33 00625L32 02505L3 L05L22 05L33 1 δ2 E I 005208L3E I 12 Sistema equivalente k12 m1 k22 m2 k12 1281 24EI2L3 12EIL3 k2 1δ2 192EIL3 k1k22k12 k2 12 192 EIL3 7385EIL3 12EIL3 7385EIL3 m1 m2 x1 x2 Ecuación de movimiento 12EIL3 x1 7385EIL3 x1 7385L IL3 x2 m1x1 7385EIL3 x2 7385EIL3 x1 m2x2 13 M1 0 19385 7385 x1 7385 7385 EIL3 x1 0 0 M2 x2 x2 0 Parámetros M1 M2 1 Kg EI 1 Nm2 L 1 m 1 0 x1 19385 7385 x1 θ 0 1 x2 7385 7385 x2 b Frecuencias naturales det w2 0 19385 7385 0 0 w2 7385 7385 det 19385 w2 7385 0 7385 7385 w2 19385 w27385 w2 73852 0 w4 2677w2 8862 0 w2 2677 26772 48862 2 2677 1903 2 W12 387 rad2s2 W22 2230 rad2s2 Wn1 1967 rads Wn2 4785 rads 14 x₁0 1 x₁0 x₂0 x₂0 0 s² x₁ 1 19385 x₁ 7385 x₂ 0 s² x₂ 7385 x₂ 7385 x₁ 0 x₁ s² 19385 7385 x₂ 1 7385 x₁ x₂ s² 7385 0 x₁ s² 7385 s⁴ 261775 s² 88162 s² 7385 s² 387s² 2290 x₂ 7385 s⁴ 261775 s² 88162 7385 s² 387s² 2290 Frações parciais A s Bs² 229 C s Ds² 387 A s³ 229 A s B s² 229 B C s³ 387 C s D s² 387 D s³ A C s² B D s 229 A 387 C 229 B 387 D A C 0 B D 1 229 A 387 C 0 229 B 387 D 7385 A 0 B 0185 C 0 D 0815 A C 0 B D 1 229 A 387 C 0 229 B 387 D 7385 A 0 B 0388 C 0 D 0388 16 Modos de vibrar 1 0 0 1w² x₁ w² x₂ 19385 7385 7385 7385x₁ x₂ 0 x₁ w² 19385 x₁ 7385 x₂ 0 x₁19385 w² 7385 x₂ x₂ x₁ 19385 w² 7385 x₂ x₁₁ 19385 387 7385 21 x₂ x₁₂ 19385 2290 7385 048 x₁ x₂₁ 1 21 w₁ 1967 rads x₁ x₂₂ 1 048 w₂ 4785 rads c Resposta x₁ s² x₁0 s x₁0 19385x₁ 7385x₂ 0 x₂ s² x₂0 s x₂0 7385 x₂ 7385 x₁ 0 15 x₁ 0185 s² 387 0875 s² 229 x₂ 0388 s² 387 0388 s² 229 Usando transformada inversa x₁t 0185 cos1967 t 1967 0815 cos4785 t 4785 x₂t 0388 cos1967 t 1967 0388 cos4785 t 4785 x₁t 0099 cos1967 t 0170 cos4785 t x₂t 0197 cos1967 t 0081 cos4875 t d A excitação harmônica altera apenas o membro direito da equação M x k x F F F₁ cos ωt F₂ cos ωt 1 cos t 1 cos t 1 0 0 1x₁ x₂ 19385 7385 7385 7385x₁ x₂ cos t cos t 17 e Para as mesmas condições iniciais X1 0185s2387 0815s2229 1s21s219385 X2 0388s2387 0388s2229 1s21s27385 FRAÇÕES PARCIAIS AS Bs219385 CS Ds21 1 s3A C s2B D s19385A C 19385B D 1 A C 0 B D 0 19385A C 0 19385B D 1 A 0 B 01054 C 0 D 01054 AS Bs2 7385 CS Ds2 1 1 A C 0 B D 0 7385A C 0 7385B D 1 A 0 B 0157 C 0 D 0157 X1 0185s2387 0815s2229 0054s21 0054s219385 X2 0388s2387 0388s2229 0157s21 0157s219385 TRANSFORMADA INVERSA X1t 0099cos1967t 017cos4785t 0054cost 00123cos4403t X2t 0197cos1967t 0087cos4875t 0157cost 0036cos4403t GRÁFICOS 03 0 03 8 x2 x1 79