Cônicas e Quádricas - Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Prof Jorge Costa Duarte Filho Profa Maria Silvia C Favareto 20162 CÔNICAS E QUÁDRICAS Estudaremos as curvas e superfícies que podem ser expressas por equações do segundo grau São as curvas ditas cônicas e as superfícies quádricas 41 CÔNICAS Usaremos genericamente o termo cônicas para identificar as seguintes curvas planas a circunferência elipse hipérbole e parábola Elas são chamadas de seções cônicas ou simplesmente cônicas porque podem ser obtidas a partir da interseção de um plano com um cone como é descrito a seguir Um cone circular C é a superfície obtida pela rotação de uma reta r chamada geratriz em torno de uma reta fixa s chamada eixo de rotação que se cortam em um ponto V chamado vértice do cone Esta superfície será estudada com mais detalhes no final deste capítulo Suponha que um plano π intercepte um cone C sem passar pelo vértice do cone Uma das seguintes situações ocorrerá a O plano π corta apenas uma folha do cone e é perpendicular ao eixo de rotação Neste caso a curva interseção é uma circunferência Fig 1 b O plano π corta apenas uma folha do cone mas é inclinado em relação ao eixo de rotação e a geratriz do cone Neste caso a curva interseção é uma elipse Fig 2 c O plano π corta apenas uma folha do cone e é paralelo à geratriz Neste caso a curva interseção é uma parábola Fig 3 d O plano π corta as duas folhas do cone e é paralelo ao eixo de rotação Neste caso a curva interseção é uma hipérbole Fig 4 As figuras a seguir ilustram essas situações 107 Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4 Se o plano π passar pelo vértice V do cone teremos as cônicas degeneradas um ponto uma reta duas retas A seguir faremos um estudo mais detalhado de cada um dessas curvas utilizando suas propriedades características para obter suas equações Por simplicidade vamos considerálas no plano coordenado x0y isto é z 0 Obteríamos resultados análogos nos planos coordenados y 0 ou x 0 411 Circunferência Chamase circunferência ao conjunto de pontos P x y do plano cuja distância a um ponto fixo C x0 y0 é constante O ponto fixo C chamase centro e a distância constante r chamase raio Vetorialmente a equação da circunferência é dCP r ou CP r Em coordenadas x x02 y y02 r x x02 y y02 r2 Temos assim a equação da circunferência de centro C x0 y0 e raio r 108 Exemplos 1 A equação de uma circunferência de centro C 2 1 e raio 3 é x 22 y 12 9 2 O centro e o raio da circunferência de equação x2 y2 23x 2y 89 0 são obtidos por completamento de quadrados x2 23x x2 23x 19 19 x 132 19 y2 2y y2 2y 1 1 y 12 1 Logo a equação fica x 132 19 y 12 1 89 0 x 132 y 12 2 de onde vemos que o centro é o ponto C 13 1 e seu raio é r sqrt2 412 Elipse Chamase elipse ao conjunto de pontos P x y do plano cartesiano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 do mesmo plano é constante Os pontos fixos F1 e F2 são chamados de focos da elipse A distância entre os focos F1 e F2 chamase distância focal e será indicada por 2c Chamase centro da elipse ao ponto médio C entre os focos F1 e F2 Os elementos PF1 e PF2 que ligam um ponto qualquer P da elipse aos focos F1 e F2 chamamse raios focais A soma dos raios focais será indicada por 2a Seguese da desigualdade triangular que 2c 2a ou c a Se c a a elipse se reduz ao segmento F1F2 Prove Se F1 F2 isto é c 0 a elipse se reduz a uma circunferência de centro C F1 F2 e raio a Uma elipse tem dois eixos o eixo maior ou eixo focal que é o segmento interno à elipse e contém os focos e o eixo menor ou eixo transverso que é o eixo interno à elipse passando pelo seu centro e perpendicular ao eixo focal e assim o centro da elipse é o ponto médio de seus eixos Elementos da Elipse C centro F1 F2 focos A1A2 eixo focal ou eixo maior B1B2 eixo transverso ou eixo menor PF1 PF2 raios focais A1 A2 B1 B2 vértices dF1 F2 distância focal 2c fig 3 A equação geral da elipse de focos F1 e F2 cuja soma dos raios focais é igual a 2a é PF1 PF2 2a 2 Dadas as coordenadas do ponto P a equação acima se reduz a uma expressão relativamente simples desde que sejam dados os focos em posições particulares como veremos a seguir 1 Equação da elipse com focos sobre um dos eixos coordenados e centro na origem do sistema Consideremos inicialmente os focos sobre o eixo 0x Então como C O é o ponto médio entre os focos teremos F1 c 0 F2 c 0 pois 2c é a distância focal Se P x y é um ponto qualquer da elipse da equação geral 2 vem sqrtx c2 y2 sqrtx c2 y2 2a Racionalizando e agrupando os termos convenientemente obtemos a2 c2x2 a2 y2 a2 c2a2 Como c a temos a2 c2 0 e chamando de b2 a2 c2 vem b2 x2 a2 y2 a2 b2 x2a2 y2b2 1 3 Observe que se o ponto P x y pertence à elipse também pertencerão a ela os pontos x y x y e x y Concluímos que a elipse é uma curva simétrica em relação ao centro e aos eixos focal e transverso Como tomamos o eixo focal sobre 0x e C 0 o eixo transverso estará sobre 0y e os vértices da elipse pontos de interseção da elipse com seus eixos focal e transverso serão A1 a 0 e A2 a 0 obtidos de 3 fazendo y 0 e fazendo x 0 em 3 obtémse B1 0 b e B2 0 b O número e ca é chamado excentricidade da elipse Note que na elipse a excentricidade é sempre menor que 1 pois c a Observando a figura 3 podemos concluir que a medida do eixo maior será A1A2 2a e a do eixo menor B1B2 2b Se os focos estivessem sobre o eixo coordenado 0y e o centro ainda coincidisse com a origem do sistema os focos teriam coordenadas F1 0 c e F2 0 c e de modo análogo ao que foi feito acima a equação geral da elipse nos levaria à expressão x2b2 y2a2 1 a b 4 Neste caso os vértices são B1 b 0 B2 b 0 A1 0 a e A2 0 a o eixo menor B1B2 2b o eixo maior A1A2 2a e excentricidade e ca 2 Equação da elipse com centro em C p q e focos sobre uma reta paralela ao eixo coordenado 0x passando por C Faremos de início uma translação de eixos Pelo ponto C p q centro da elipse consideremos outro sistema de eixos overlineOx paralelo a Ox e overline0y paralelo a 0y Seja P um ponto de coordenadas x y no sistema XOY e overlinex overliney no sistema XOY Vejamos relações entre as coordenadas do ponto P x p overlinex overlinex p x e y q overliney overliney q y Essas relações permitem a passagem de um sistema para outro sistema isto é nos permitem fazer uma translação de eixos Voltemos ao problema para determinar a equação de uma elipse de centro do ponto C p q e focos sobre a reta y q Observe que nesse novo sistema XOY teremos a mesma situação descrita em 1 com focos F1 c 0 F2 c 0 e portanto a equação da elipse será overlinex2 a2 overliney2 b2 1 Utilizando a translação de eixos teremos x p2 a2 y q2 b2 1 5 que é a equação da elipse de centro C p q e focos F1 p c q e F2 p c q Se os focos estiverem sobre a reta x p e centro C p q a equação da elipse será x p2 b2 y q2 a2 1 6 Observações 1 O caso 2 engloba o caso 1 quando se tem C 0 0 2 Se a b r obtemos de 2 a equação da circunferência de centro C p q e raio r De b2 a2 c2 vem c 0 como já foi vimos e portanto a excentricidade da circunferência é nula Exemplos 1 A elipse cujos focos são os pontos F1 3 0 F2 3 0 e cuja soma dos raios focais é 10 pode ser assim descrita Solução Conforme vimos acima a posição do centro e dos focos da elipse é fundamental para se escrever sua equação Como o centro é o ponto médio entre os focos temos aqui C 0 0 Além disso os focos F1 e F2 estão sobre o eixo 0x e portanto a equação desta elipse será do tipo dada em 3 111 x²a² y²b² 1 com a b Como 2a 10 temse a 5 e das coordenadas dos focos tiramos c 3 Além disso b² a² c² onde b 4 Logo temos uma elipse de equação x²25 y²16 1 com excentricidade e 35 Seus vértices são obtidos fazendo x 0 o que dá y 4 e fazendo y 0 obtemos x 5 Logo os vértices são A₁ 5 0 A₂ 5 0 B₁ 0 4 B₂ 0 4 Assim eixo maior está sobre o 0x com A₁A₂ 10 e o eixo menor sobre 0y e B₁B₂ 8 2 Escrever a equação descrever e esboçar a elipse de focos F₁ 2 3 F₂ 2 5 e eixo maior de comprimento 10 Solução O centro da elipse é o ponto médio dos focos C 2 1 Façamos uma translação de eixos passando a usar um novo sistema de eixos x0y com 0x0x 0yy0y e 0C21 isto é xx2 xx2 e yy1 yy1 Ora 2c F₁F₂ 8 logo c 4 Assim no sistema x0y temos F₁ 0 4 F₂ 0 4 e portanto o eixo focal está sobre 0y Como 2a 10 vem a 5 logo b sqrta² c² 3 Então no sistema auxiliar x0y temos a equação da elipse do tipo dada 4 x²9 y²25 1 Podemos obter os vértices da elipse fazendo y0 x 3 donde B₁ 30 B₂ 30 e x0 y5 donde A₁ 05 A₂ 05 Além disso temos que a excentricidade da elipse é e ca 45 seu eixo menor sobre 0x e B₁B₂ 6 e seu eixo maior sobre 0y com A₁A₂ 10 Observe que este estudo da elipse foi feito em relação ao sistema auxiliar x0y cuja origem 0 coincide com o centro da elipse No entanto o uso deste sistema tem como finalidade facilitar a obtenção de todos os elementos da elipse cuja descrição deve ser feita no sistema de eixos dado inicialmente isto é x0y Voltando a esse sistema através das fórmulas de mudança de coordenadas obtemos a equação da elipse x 2²9 y 1²25 1 que tem como excentricidade e 45 e cujos vértices são A₂ 0251 26 A₁ 0251 24 B₂ 3 2 01 11 B₁ 32 01 51 O eixo focal que se situava sobre 0y de equação x 0 passa a estar sobre a reta x 2 0 ou x 2 enquanto o eixo transverso que se situava em y0 e passa a estar sobre a reta y 1 Fica a cargo o leitor o esboço do gráfico da elipse 413 Hipérbole Chamase hipérbole ao conjunto de pontos P x y do plano tais que o módulo da diferença das distâncias de P a dois pontos fixos F₁ e F₂ do mesmo plano é constante Os pontos F₁ e F₂ denominamos de focos cujo ponto médio é o centro A distância entre os focos é a distância focal indicada por 2c e PF₁ PF₂ os raios focais da hipérbole A diferença dos raios focais será indicada por 2a A hipérbole tem um eixo focal que contém os focos e um eixo transverso perpendicular ao eixo focal e passando pelo centro mas que não corta a hipérbole Ele também é chamado de eixo imaginário A hipérbole tem apenas dois vértices A₁ e A₂ que são os pontos de interseção da hipérbole com o eixo focal A hipérbole é uma curva com dois ramos e conforme o ramo em que esteja o ponto P diferença dos raios focais será 2a ou 2a Portanto a equação geral da hipérbole de focos F₁ e F₂ é PF₁ PF₂ 2a 7 Dadas as coordenadas do ponto P a equação acima se reduz a uma expressão relativamente simples desde que sejam dados os focos em posições particulares como veremos a seguir 1 Equação da hipérbole com focos sobre um dos eixos coordenados e centro na origem Consideremos inicialmente os focos sobre o eixo 0x Sendo o centro C O o ponto médio entre os focos temos F₁ c 0 F₂ c 0 com 2c a distância focal Se P x y é um ponto qualquer da hipérbole da equação geral 7 vem sqrtx c² y² sqrtx c² y² 2a Racionalizando obtemos c² a²x² a²y² a²c² a² Ora PF₁ PF₂ F₁F₂ 2a 2c a c Tomando então b² c² a² vem b²x² a²y² a²b² x²a² y²b² 1 8 Observe que se o ponto x y pertence à hipérbole os pontos x y x y e x y também pertencerão Assim a hipérbole é simétrica em relação à origem e aos eixos coordenados Aqui o eixo focal estará sobre 0x e o eixo imaginário sobre 0y Os vértices são obtidos da 8 fazendo y 0 obtemos x a Logo A₁ a 0 e A₂ a 0 são os vértices Verificamos que de 8 observase que a hipérbole não corta o eixo transverso pois se x 0 vem y² b² o que é um absurdo Da equação 8 também obtemos y²b² x²a² 1 x²a² Se x 0 temse ba x y ba x e se x 0 temse ba x y ba x isto é para x 0 a hipérbole situase acima da reta y ba x e abaixo da reta y ba x Para x 0 a hipérbole situase acima da reta y ba x e abaixo da reta y ba x As retas y ba x são chamadas de assíntotas da hipérbole Isto significa que quando x se torna arbitrariamente grande os ramos da hipérbole tendem a se confundir com as retas acima Geometricamente as assíntotas da hipérbole podem ser obtidas marcando sobre o eixo focal os focos F₁ c 0 e F₂ c 0 e os vértices A₁ a 0 e A₂ a 0 a c levantando por um dos vértices por exemplo A₂ uma perpendicular ao eixo focal e interceptandoa por um arco de circunferência de centro C e raio c As assíntotas são as retas que passam por C e pelos pontos acima obtidos A excentricidade da hipérbole é o valor e ca 1 Se os focos estivessem sobre o eixo coordenado 0y e o centro ainda coincidisse com a origem do sistema os focos teriam coordenadas F₁ 0 c F₂ 0 c e a equação geral da hipérbole nos levaria à expressão y²a² x²b² 1 9 onde 2a é a diferença dos raios focais Observe que nesta hipérbole o eixo focal está sobre o eixo 0y Portanto a hipérbole só corta o eixo 0y nos vértices obtidos fazendo x 0 donde y a e portanto B₁ 0 a e B₂ 0 a Se fizéssemos y0 chegaríamos ao absurdo x²b² Aqui as assíntotas seriam yabx como se pode constatar graficamente na figura ao lado 2 Equação da hipérbole de centro Cp q e focos sobre uma reta paralela ao eixo coordenado 0x passando por C Neste caso de modo análogo como tratamos a elipse a mudança de coordenadas xp x xxp e yq y yyq nos fornece a equação da hipérbole de centro C p q e cujos focos são F₁pc q F₂pc q xp²a² yq²b² 1 10 Exemplo 1 Encontre a equação da hipérbole cujos focos são F₁0 4 e F₂0 4 e a diferença dos raios focais é 6 Solução Examinando as coordenadas de F₁ e F₂ verificamos que os focos estão sobre o eixo 0y Assim o centro será C0 0 e c4 Como 2a6 então a3 e c²a²b² b7 Logo a equação da hipérbole é do tipo 9 y²9 x²7 1 A hipérbole tem como vértices os pontos A₁0 3 A₂0 3 obtidos fazendose x0 na equação acima como assíntotas as retas y37x e excentricidade eca431 41 4 Parábola Consideremos em um plano uma reta r e um ponto F não pertencente à reta r Chamase parábola ao conjunto de pontos Px y do plano equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa r O ponto fixo F chamase foco e reta fixa r chamase diretriz da parábola Uma parábola tem apenas um eixo chamado eixo focal que é a reta que contém o foco F e é perpendicular à reta diretriz r O vértice da parábola denotado por V é o ponto de interseção entre a parábola e seu eixo focal Como V pertence à parábola ele está a igual distância do foco F e da diretriz r A equação geral de uma parábola de foco F e diretriz r é PF dP r 11 Em função das coordenadas do ponto P a equação acima se reduz a uma expressão simples desde que seja dado o foco em posições particulares como veremos a seguir 1 Equação da parábola como foco sobre um dos eixos coordenados e vértice na origem do sistema Consideremos o foco F da parábola sobre o eixo 0x F c 0 com c 0 O eixo focal será o eixo coordenado 0x e a diretriz será uma reta paralela ao eixo 0y passando pelo ponto c0 pois o foco e a diretriz são simétricos em relação ao vértice de equação xc veja Fig 1 Se Px y é um ponto qualquer da parábola e Mc y então da equação geral vem PMPF xc²xc²y² Racionalizando obtemos y² 4cx Se o foco fosse Fc 0 conforme Fig 2 a diretriz r seria a reta perpendicular a 0x de equação xc e teríamos a parábola de equação y² 4cx Fig 1 Fig 2 Observe que se o ponto Px y pertence à parábola o ponto x y também a ela pertencerá o que significa que a parábola é simétrica em relação a seu eixo focal Se o foco estivesse sobre o eixo coordenado 0y e o vértice ainda coincidisse com a origem do sistema teríamos F0 c ou F0 c e a diretriz interceptaria perpendicularmente o eixo focal 0y no ponto 0 c ou 0 c respectivamente Teríamos então as parábolas x²4cy x²4cy 13 2 Equação da parábola com vértice Vp q e foco sobre uma reta paralela ao eixo 0x Faremos inicialmente uma translação de eixos obtida através das fórmulas xp x x xp e yqy y yq Utilizando o sistema de eixos auxiliares x0y com 0 V teremos a situação descrita anteriormente obtendo assim y² 4cx ou y² 4cx conforme o foco F esteja à direita ou à esquerda de V Voltando ao sistema de eixos x0y teremos yq² 4cxp ou yq² 4cxp Observamos que qualquer que seja a posição da parábola ela é simétrica em relação ao seu eixo de simetria e tem a concavidade voltada para a parte do eixo focal que contém o foco Exemplo 1 Escreva a equação da parábola de foco F0 3 e cuja diretriz é a reta y3 Solução Examinando as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz observamos que o foco está sobre o eixo 0y e a diretriz é uma reta perpendicular a 0x Assim o eixo focal será o eixo 0y que cortará a reta diretriz no ponto 0 3 O vértice da parábola será o ponto médio entre 0 3 e F0 3 isto é V0 0 Então c3 e a equação da parábola será x² 12y 415 Exercícios resolvidos 1 Obtenha a equação da elipse que tem o centro em C3 0 um foco em F1 0 e é tangente ao eixo 0y Solução Examinando as coordenadas do centro e do foco dadas vemos que elas têm a mesma ordenada Logo estão situados sobre a mesma reta horizontal y0 isto é o eixo 0x Assim a elipse terá eixo focal 0x centro no ponto 3 0 e portanto sua equação será do tipo dada em 5 Além disso sendo tangente a 0y terá gráfico do tipo descrito acima A distância focal será cdF C2 Um dos vértices será 0 0 e assim a equação da elipse nos fornece 9a²1 a3 b a²c² 94 5 e obteremos finalmente x3²9 y²5 1 2 Escreva a equação da hipérbole de centro em C21 eixo focal paralelo a 0x e que passa pelos pontos 02 e 56 Solução De acordo com a posição do eixo focal e do centro a equação da hipérbole será do tipo x22a2 y12b2 1 Como os pontos 02 e 56 pertencem à hipérbole teremos 4a2 1b21 9a2 25b21 4α2 β2 1 9α2 25β2 1 com α 1a e β1b Resolvendo este sistema obtemos como solução α2 2491 β2 591 Logo a2 9124 b2 915 e a equação da hipérbole fica x229124 y12915 1 24x2 5y2 96x 10y 0 3 Identifique descreva e esboce as curvas a y2 8x 4y 20 0 b 4x2 9y2 16x 18 29 Solução a Por completamento de quadrados verificamos que y2 4y y22 4 Logo y2 8x 4y 20 y22 8x 24 0 y22 8x3 Fazendo a mudança de variáveis x x3 e y y 2 temos ȳ2 8x Consideremos então um novo sistema de eixos cartesianos x0y com 0 32 0x e 0y paralelos a 0x e 0y respectivamente A parábola dada tem vértice V 0 eixo focal ou de simetria sobre 0x Comparando sua equação acima com a forma padrão ȳ2 4cx temos 4c 8 donde c 2 isto é o foco F 20 a concavidade é voltada para a parte negativa do eixo 0x e a diretriz é a reta r de equação x 2 Voltando ao sistema x0y pelas fórmulas x x 3 e y y 2 x x 3 e y y 2 temos y22 8x3 Assim teremos V 3 2 c 2 F 1 2 diretriz r x 5 e eixo focal a reta y 2 b 4x2 9y2 16x 18y 29 Por completamento de quadrado temos 4x2 16x 4x2 4x 4 4 4x 22 16 9y2 18y 9y2 2y 1 1 9y 12 9 Logo 4x2 9y2 16x 18y 4x22 16 9y12 9 29 x229 y124 1 Fazendo a mudança de variáveis x x 2 e y y 1 obtemos x29 y24 1 Assim tomandose um novo sistema de eixos com origem em 0 2 1 e eixos 0x paralelo a 0x e 0y paralelo 0y vemos que a equação acima representa uma hipérbole de centro C 0 focos sobre 0x pois não corta o eixo 0y Portanto temos a2 9 a 3 b2 4 b 2 e c a2 b2 13 Então F₁ 13 0 e F₂ 13 0 Para obter os vértices fazemos na equação y 0 x 3 donde A₁ 30 A₂ 30 Assim teremos como assíntotas as retas y 23 x e como excentricidade e ca 133 1 Voltando agora ao sistema x0y e usando as equações de mudança de variáveis x x 2 e y y 1 x x 2 e y y 1 temos a equação da hipérbole x229 y124 1 cujo centro é o ponto C 2 1 e focos nos pontos F₁ 2 13 1 F₂ 2 13 1 Além disso seus vértices são os pontos A₁ 5 1 A₂ 1 1 e suas assíntotas são as retas y 1 23x 2 3y 2x 7 0 e 3y 2x 1 0 Esboce o gráfico 4 Escreva a equação da hipérbole de focos F₁ 2 2 F₂ 2 2 e tal que se semieixo focal vale 2 Solução Note que os focos não se situam em nenhum dos eixos coordenados nem sobre alguma reta paralela a um dos eixos coordenados Isto significa que a equação da curva pedida deve ser obtida diretamente de sua definição Se P x y é um ponto da hipérbole então PF₁ PF₂ 2a Como a 2 temos x 22 y 22 x 22 y 22 22 Esta é uma equação irracional que deve ser resolvida por quadraturas x 22 y 222 22 x 22 y 222 42x22 y22 42 x 42 y 8 2x 22 y 222 2x 2y 22 4xy 4 xy 1 y 1x 5 Calcule a área do quadrilátero que tem dois vértices nos focos da cônica x2 5y2 20 e os outros dois vértices coincidem com os extremos de seu eixo menor Solução A cônica dada cuja equação pode ser escrita na forma x220 y24 1 é uma elipse de focos sobre o eixo 0x F₁ 4 0 F₂ 40 a 20 b 2 c a2 b2 e vértices em V₁ 02 e V₂ 0 2 Analisando o quadrilátero F₁V₁F₂V₂ e notamos que F₁V₁ 4i 2ĵ e V₂F₂ 4i 2ĵ Logo F₁V₁ V₂F₂ Da mesma forma temos F₁V₂ 4i 2ĵ e V₁F₂ 4i 2ĵ o que implica F₁V₂ V₁F₂ Portanto o quadrilátero é um paralelogramo cuja área é F₁V₂ F₁V₁ 16 6 Obtenha na parábola y2 16x os pontos cujos raios focais medem 13 unidades Solução A equação da parábola nos mostra que ela é simétrica em relação ao eixo 0x passa pela origem que será seu vértice e é do tipo y2 4cx Temos então 4c 16 c 4 Logo F 40 é seu foco Se P x y é um ponto da parábola de raio focal 13 então dP F 13 ou seja x 42 y2 13 x2 8x 16 y2 169 Ora para os pontos x y da parábola temos y2 16x Portanto x2 8x 16 16x 169 x 42 169 Esta equação admite duas raízes x 17 e x 9 das quais apenas a segunda satisfaz ao problema pois y² 16 x 0 Então x 9 e de y² 144 vem y 12 o que fornece os pontos da parábola A 9 12 e B 9 12 com raios focais 13 41 6 Exercícios propostos Os exercícios abaixo se referem ao plano x0y isto é z 0 1 Escreva as equações das circunferências esboçando seus gráficos Obtenha todos os seus elementos centro raio a Centro 2 1 e raio 5 b Passa pelos pontos 1 2 1 1 2 3 c Um diâmetro é o segmento que une os pontos 0 1 e 2 3 d Corta o eixo 0x nos pontos 1 0 e 3 0 e o centro está a reta y x 1 2 Escreva as equações das elipses abaixo esboçando seus gráficos Obtenha todos os seus elementos focos vértices excentricidade centro eixos a Focos F1 3 0 F2 3 0 e soma dos raios focais 12 b Dois vértices em A1 3 4 e A23 4 e distância focal 4 c Vértices 5 0 5 0 0 4 0 4 d Focos sobre o eixo 0y distância focal 8 e excentricidade 23 e Centro 2 1 e passa pelos pontos 3 I e 2 3 f Focos 2 2 e 2 2 e soma dos raios focais 12 3 Escreva as equações das hipérboles abaixo esboçando seus gráficos Obtenha todos os seus elementos focos vértices excentricidade centro eixos a Focos F1 27 F2 25 e diferença dos raios focais 5 b Vértices 2 1 e 2 7 e excentricidade 32 c Vértices 0 2 e 0 2 assíntotas y 2x e não corta o eixo 0x d Focos 2 2 e 2 2 e vértices 22 e 2 2 4 Escreva as equações das parábolas esboçando seus gráficos Obtenha todos os seus elementos foco vértices eixo diretriz a Foco 3 0 e diretriz r x 3 0 b Foco 0 2 e diretriz r y 2 c Foco 2 0 e diretriz r x 4 0 d Foco 4 1 e diretriz y 3 e Vértice 2 0 e foco 0 0 f Vértice 4 1 eixo focal r y 1 0 e passa pelo ponto 3 3 5 Calcule a interseção da elipse de vértices 5 0 0 1 com a circunferência de centro na origem e raio 2 6 Determine os comprimentos dos raios focais do ponto 6 5 sobre a curva 5x² 4y² 80 7 Uma circunferência centrada no ponto 4 1 passa pelo foco da parábola x² 16 y 0 Mostre que esta circunferência é tangente à diretriz da parábola 8 Identifique e esboce as curvas abaixo Determine todos os seus elementos conforme o caso focos vértices centro eixos diretriz excentricidade assíntotas a x²5 y²2 1 b x 3²36 y 2²16 1 c x 2²16 y 2²25 1 d y² 12x e y² 4x 2y 9 0 f x² 4x 5 y 11 0 g x² y² 2x 0 h x² 2y 0 i x² y² 2x 6 y 10 j x² y² 4y 0 l 2x² 3y² 6 m 5 y² x² 20 0 n x² y² 6x 2 y28 o 4x² 4 y² 10 9 Uma corda da circunferência x² y² 25 encontrase sobre a reta x7y 25 0 Determine o comprimento da corda 10 Determine os valores de m e q para que a equação x² qy² 2mx10 represente a uma circunferência b uma elipse c uma parábola d uma hipérbole e uma reta f duas retas g um conjunto vazio h um ponto 11 Calcule a área do triângulo formado pela reta 9x 2y 24 0 e pelas assíntotas da hipérbole x²4 y²9 1 Esboce 12 Determine a equação da elipse cujos focos são os vértices da cônica x² y² 4 y 8 e dois de seus vértices são os focos da cônica dada 13 Escreva a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de modo que sua distância à reta x 3 0 é sempre duas unidades maior do que sua distância ao ponto 1 1 Esboce 14 A base de um triângulo é fixa sendo seus extremos os pontos 3 0 e 3 0 Determine e identifique a equação do lugar geométrico do vértice oposto à base se o produto das inclinações dos lados variáveis é sempre igual a 4 Esboce 15 Uma parábola tem como eixo focal o eixo imaginário da hipérbole y² 9x² 6 y 0 Passa pelos focos da cônica dada e corta o eixo dos x no ponto 10 Escreva a equação dessa parábola 16 A elipse cujos focos são 3 4 e 5 4 e a soma dos raios focais é 12 tem dois pontos cujos raios focais são todos iguais Escreva a equação da reta que passa por esses dois pontos 42 AS QUÁDRICAS Chamamse quádricas as superfícies que podem ser representadas por equações do 2⁰ grau nas três varáveis x y e z São elas as superfícies de revolução as superfícies cônicas as superfícies cilíndricas a esfera o elipsóide dois tipos de parabolóides dois tipos de hiperbóloides e o cone Estudaremos cada uma delas 421 Superfícies cilíndricas Chamase superfície cilíndrica ou simplesmente cilindro à superfície gerada por uma reta r que se move ao longo de uma curva C contida um plano perpendicular à reta r A reta r chamase geratriz do cilindro e a curva C chamase diretriz Aqui consideraremos apenas as superfícies cilíndricas cujas diretrizes C estão contidas em um dos planos coordenados Assim se a diretriz C estiver contida no plano x0y isto é z 0 sua equação será uma expressão do tipo fx y 0 e z 0 Um ponto P x y z pertencerá ao cilindro se e somente se suas coordenadas satisfizerem a equação fx y 0 Observe que neste caso a geratriz é uma reta r paralela ao eixo 0z que se transladará ortogonalmente sobre a curva C Nessas condições a equação do cilindro é fx y 0 sem nenhum vínculo para a variável z Se a diretriz C for uma cônica obteremos os cilindros quádricos denominados cilindro circular elíptico hiperbólico e parabólico conforme a diretriz for respectivamente uma circunferência uma elipse uma hipérbole uma parábola Exemplos 1 A equação x² y² 1 representa um cilindro circular cuja diretriz é a circunferência C x² y² 1 uma cônica no plano x0y e cuja geratriz é a reta r paralela ao eixo 0z 2 z 4 x² representa um cilindro parabólico cuja diretriz é a parábola C z 4 x² y0 uma cônica no plano x0y e cuja geratriz é a reta r paralela ao eixo 0y Observação Se a curva diretriz não for uma cônica por um processo análogo ao descrito no início deste tópico obtemos uma superfície cilíndrica mas que não será uma quád rica Exemplos 1 A equação 3x y 0 representa um cilindro plano cuja diretriz é a reta C y 3x z 0 e cuja geratriz é uma reta paralela ao eixo 0z Esta é uma superfície cilíndrica mas não é uma quád rica pois na sua equação não aparece termo do segundo grau Esta é outra maneira de caracterizar um plano sob certas condições 2 A equação z sen y representa uma superfície cilíndrica senoidal cuja diretriz é a curva trigonométrica z sen y x 0 e cuja geratriz é a reta r paralela ao eixo 0x Esta é uma superfície cilíndrica mas não é uma quád rica 422 Superfícies de revolução Chamase superfície de revolução à superfície gerada pela rotação ou revolução de uma curva plana C chamada de geratriz em torno de uma reta fixa r dito eixo de rotação situada no mesmo plano da curva C PC QC Consideraremos apenas as superfícies de revolução cujas geratrizes estão contidas em um dos planos coordenados e cujos eixos de rotação são um dos eixos coordenados do plano em questão Neste caso expressamos a curva C por y f z e o ponto Q da curva C descreverá uma circunferência de centro em 0z em um plano paralelo ao plano x0y de equação x² y² R² onde o raio R é o valor da ordenada y do ponto Q de C Como y fz vem x² y² f z ² que é a equação da superfície de revolução Exemplos 1 A parábola y² 4cz x0 c0 está contida no plano y0z Tomando por exemplo 0z como eixo de rotação cada um dos pontos Q da parábola descreverá uma circunferência em um plano paralelo ao plano x0y dada por x² y² R² onde R y fz de C Como y² 4cz temos x² y² 4cz Esta equação representa uma superfície de revolução chamada paraboloide circular que estudaremos no 4 A geratriz é a parábola y² 4cz x0 sendo 0z o eixo de revoluçãover Fig 1 Observe que estando a curva a C dada no plano y0z poderíamos ter escolhido como eixo de rotação do eixo 0y Neste caso ao fazermos a rotação um ponto Q de C descreverá a circunferência x² z² R² em um plano paralelo a x0z com R z fy de C Como z y²4c então x² z² y⁴16c² representa a superfície obtida observe que não é quád rica 2 A curva z my x 0 é uma reta no plano y0z que intercepta o eixo 0z na origem Tomando 0z como eixo de rotação cada ponto Q da reta dada descreverá uma circunferência em um plano paralelo ao plano x0y de equação x² y² R² Aqui temos R y fz Ora de C temos y zm donde a equação x² y² z²m² que representa um cone circular Fig 3 Poderíamos também ter escolhido 0y como eixo de rotação Neste caso um ponto Q da reta C descreveria uma circunferência de equação x² z² R² e R z fy Como em C z my temos x² z² m² y² que é a equação de outro cone circular Daremos um roteiro para identificar superfícies a partir de uma equação dada Nos restringiremos apenas aos casos de superfícies centradas na origem Dada uma equação quadrática identificaremos a superfície que a mesma representa seguindo as etapas abaixo 1 Verificamos se a equação apresenta no máximo uma das três variáveis com expoente 1 Em caso afirmativo prosseguimos a pesquisa 2 Determinamos as interseções da superfície com os três planos coordenados obtendo curvas conhecidas 3 A obtenção de duas curvas do mesmo tipo determina o nome genérico da quád rica 4 O conhecimento da terceira curvainterseção qualifica a superfície 5 Se ocorrer interseção vazia com algum plano coordenado e a equação só apresentar termos do 2º grau então a superfície terá duas folhas Se a interseção com algum plano coordenado for vazia e a equação apresentar termo do 1º grau então é preciso fazer uma translação de eixos 6 Determine as interseções da superfície com planos paralelos aos planos coordenados classificando as curvas obtidas 7 Atenção especial deve ser dada as interseções da superfície com planos paralelos aos planos coordenados cujas interseções com a superfície resultou vazia ou pontual 8 As interseções da superfície com os três eixos coordenados fornecem seus vértices neste caso os eixos coordenados são os eixos da superfície 9 Caso não se verifique a situação descrita no 1º item ou caso se verifique a segunda alternativa do item 5 após um conveniente ajuste ou completamento de quadrados fazemos uma translação de eixos passando a operar conforme necessário com um novo sistema Oxyz dado por x x p y y q z z s e usamos então o roteiro acima exposto para classificar e localizar a superfície no novo sistema de eixos Finalmente retornamos ao sistema de eixos inicial pelas fórmulas x x p y y q z z s processo análogo ao já desenvolvido com as cônicas 423 Esfera A equação x² y² z² r² representa uma esfera de centro na origem e raio r A esfera é uma superfície simétrica em relação à origem aos eixos e planos coordenados isto é se o ponto P x y z pertence à esfera também os pontos x y z x y z x y z x y z x y z x y z e x y z a ela pertencerão As interseções com os planos coordenados são as circunferências x² y² r² com o plano x0y z0 x² z² r² com o plano x0z y0 e y² z² r² com o plano y0z x0 Também são circunferências as interseções com planos paralelos aos planos coordenados Se k r obtemos as circunferências x² y² r² k² no plano z k x² z² r² k² no plano y k y² z² r² k² no plano x k Se k r as interseções com os planos x k y k e z k são vazias As interseções da esfera com os eixos coordenados 0x 0y e 0z são os pontos A₁ r00 A₂ r00 B₁ 0r0 B₂ 0r0 C₁ 00r e C₂ 00r A equação x x₀² y y₀² z z₀² r² representa uma esfera de centro no ponto x₀ y₀ z₀ e raio r Fazendo a translação x x x₀ y y y₀ z z z₀ obtemos x² y² z² r² que é uma equação do tipo anterior Da equação vemos que a esfera é o conjunto de pontos P x y z do espaço ℜ³ cuja distância a um ponto fixo é constante Observação Na equação de uma esfera as três variáveis aparecem com expoente 2 e esses termos têm coeficientes iguais e positivos Exemplos 1 A equação 2x² 2y² 2z² 4x 8y 2 0 representa uma esfera Completando os quadrados obtemos x 1² y 2² z² 4 cujo centro é C 1 2 0 e raio r2 2 A esfera de raio 1 e centro no ponto 0 1 2 é dada pela equação x² y 1² z 2² 1 ou seja x² y² z² 2y 4z 4 0 127 424 Elipsóide É a superfície representada pela equação x²a² y²b² z²c² 1 onde a b e c são números reais positivos e representam os semieixos do elipsóide A equação mostra que esta superfície é simétrica em relação à origem aos planos e eixos coordenados As interseções com planos coordenados x0y x0z y0z são respectivamente as elipses x²a² y²b² 1 z0 x²a² z²c² 1 y0 e y²b² z²c² 1 x0 A interseção com o plano paralelo ao plano x0y zk com k r é a elipse x²a² d y²b² d 1 com d 1 k²c² Analogamente para os planos paralelos aos outros planos coordenados Se k c a interseção com o plano zk é vazia Se k b ou se k a as interseções com os planos yb ou xa também serão vazias Os vértices do elipsóide são os pontos de interseção com eixos coordenados A₁ a 0 0 A₂ a 0 0 B₁ 0 b 0 B₂ 0 b 0 C₁ 00 c e C₂ 0 0 c Se dois dos valores a b e c são iguais a interseção com o plano coordenado que relaciona esses números é uma circunferência e teremos um elipsóide circular ou de revolução Se a b c as três interseções com os planos coordenados são circunferências e teremos portanto uma esfera O elipsóide acima descrito está centrado na origem Se porém seu centro fosse o ponto Cx₀ y₀ z₀ fazendo a translação de eixos x x x₀ y y y₀ z z z₀ e utilizando o novo sistema de eixos Oxyz com 0 C 0x 0x 0y 0y 0z 0z obtemos o elipsóide x²a² y²b² z²c² 1 x x₀²a² y y₀²b² z z₀²c² 1 Exemplo 1 A equação 4x² 9y² 9z² 36 0 representa um elipsóide De fato podemos reescrevêla x²9 y²4 z²4 1 128 que é a forma canônica da equação do elipsóide de centro na origem Fazendo interseções com os planos coordenados obteremos 1 com o plano x0y isto é z0 teremos a elipse x²9 y²4 1 2 com o plano x0z isto é y0 teremos a elipse x²9 z²4 1 2 com o plano y0z isto é x0 teremos a circunferência y² z² 4 Como duas das interseções forneceram elipse tratase de um elipsóide A última interseção mostra que se trata de um elipsóide circular ou de revolução 425 Parabolóides São superfícies representadas por uma das equações x²a² y²b² cz x²a² z²b² cy z²a² y²b² cx com a0 b0 c 0 Observamos que o expoente de duas das variáveis é 2 enquanto a terceira variável aparece apenas com expoente 1 Se os termos quadráticos têm o mesmo sinal tratase de um parabolóide elíptico ou parabolóide circular ou de revolução quando a b Se os termos quadráticos têm sinais contrários temos um parabolóide hiperbólico Estudaremos alguns destes casos 4251 Parabolóide elíptico ou circular Consideremos o parabolóide elíptico ou circular de equação x²a² y²b² cz com a0 b0 c0 É simétrica em relação aos planos coordenados x0z y0z e ao eixo 0z Se o ponto P x y z pertence à superfície também os pontos x y z x y z x y z e x y z a ela pertencerão Não é simétrica em relação ao plano x0y pois se x y z está na superfície o mesmo não acontece com x y z O eixo 0z será o eixo de simetria Vamos analisar os casos em que c 0 As interseções com os planos coordenados são 1 y0 plano xz temos parábola x²a² cz com eixo de simetria 0z 2 x0 plano yz temos parábola y²b² cz com eixo de simetria 0z 3 z0 temos o ponto 0 0 0 pois x²a² y²b² 0 somente se x0 e y0 As interseções com planos paralelos aos planos coordenados são 1 z k 0 x²a² ck y²b² ck 1 temos uma elipse no plano xy 129 2 yk x2 a2 c z k2cb2 temos uma parábola no plano xz 3 xk y2 b2 c z k2ca2 temos novamente uma parábola agora no plano yz Observe que no caso z k 0 o termo da direita da igualdade é positivo enquanto o termo da esquerda é negativo e portanto a interseção será vazia Essas interseções explicam o nome da superfície parabolóide elíptico Caso c 0 a mesma equação representa a superfície inteiramente contida na região z 0 como mostra a fig 2 Se em vez de elipse a interseção com um dos planos coordenados fosse uma circunferência teríamos um parabolóide circular ou de revolução e neste caso temos ab Observe que nos dois acima estudados o vértice do parabolóide é a origem do sistema Se o vértice se situasse no ponto V x0 y0 z0 mudando para um novo sistema de eixos Oxyz 0 V Ox 0x Oy 0y Oz 0z e x xx0 y y y0 z zz0 obteríamos x2a2 y2b2 c z x x02a2 y y02b2 czz0 As equações y2b2 z2c2 ax e x2a2 z2c2 by representam parabolóides elípticos cujos eixos de simetria são respectivamente os eixos coordenados 0x e 0y Exemplo 1 A equação x29 z24 4 y representa um parabolóide elíptico De fato as interseções com os planos coordenados são as curvas z2 16 y que é uma parábola no plano y0z tendo 0y como eixo de simetria e x2 36 y que também é uma parábola no plano x0y tendo 0y com eixo de simetria Desse modo temos um parabolóide com vértice na origem As interseções com planos yk 0 são as elipses x236k z216k 1 Tratase portanto de um parabolóide elíptico tendo 0y como eixo de simetria 4252 Parabolóide hiperbólico Vamos considerar a superfície de equação x2a2 y2b2 cz com a0 b0 c0 onde fizemos esta distribuição de sinais por facilidade de desenho Aqui as simetrias são apenas em relação aos planos x0z y0z e ao eixo 0z Vamos analisar o caso em que c 0 começando pelas interseções com os planos coordenados 1 x0z y0 x2 a2 cz temos uma parábola com eixo de simetria 0z e concavidade voltada para a parte negativa de 0z 2 y0z x0 y2 b2 cz temos uma parábola com eixo de simetria 0z e concavidade voltada para a parte positiva de 0z x0y z0 y bax neste caso temos duas retas Vejamos a interseção com planos paralelos ao plano x0y Se zk temos a hipérbole x2a2 ck y2b2 ck 1 fig 4 No caso em que c 0 obteríamos a mesma figura porém virada para baixo Observe que nos dois casos acima estudados c 0 e c 0 as duas parábolas interseções com os planos x0z e y0z tem seus vértices na origem Caso esse vértice comum esteja no ponto V x0 y0 z0 mediante a translação x xx0 y yy0 z zz0 com 0 V 0x 0x 0y 0y e 0z 0z obtemos a equação do parabolóide hiperbólico fig 5 x2a2 y2b2 c z ou x x02a2 y y02b2 cz z0 As equações x2a2 z2c2 by e y2b2 z2c2 ax também representam parabolóides hiperbólicos Exemplo 1 A equação x24 y29 z representa um parabolóide hiperbólico ou sela De fato as interseções com os planos coordenados são 1 x0 y2 9 z temos uma parábola no plano y0z com a concavidade voltada para a parte negativa de 0z seu eixo focal 2 y0 x2 4 z temos uma parábola no plano x0z com concavidade voltada para a parte positiva de 0z seu eixo focal 3 z0 y 32 x duas retas 4 z k2 0 x24 k2 y29 k2 1 hipérbole no plano paralelo a x0y e eixo focal paralelo a 0x 5 z k2 0 y29 k2 x24 k2 1 hipérbole no plano paralelo a x0y e eixo focal paralelo a 0y Tratase então de um parabolóide hiperbólico ou sela 426 Hiperbolóides São superfícies representadas por uma das equações x2a2 y2b2 z2c2 1 x2a2 y2b2 z2c2 1 x2a2 y2b2 z2c2 1 com a b c 0 Aqui as três variáveis se apresentam com expoente 2 As equações com apenas um sinal negativo representam os hiperbolóides de uma folha As equações com dois sinais negativos representam os hiperbolóides de duas folhas 4261 Hiperbolóide de uma folha Consideremos a superfície de equação x2a2 y2b2 z2c2 1 com a b c 0 Observamos que é uma superfície simétrica em relação à origem aos planos e eixos coordenados Vejamos suas interseções com os planos coordenados 1 x0z y0 x2a2 z2c2 1 temos uma hipérbole com eixo focal 0x 2 y0z x 0 y²b² z²c² 1 temos uma hipérbole com eixo focal 0y 3 x0y z 0 x²a² y²b² 1 temos uma elipse Vejamos as interseções com planos paralelos aos planos coordenados 4 y k b z ca x temos duas retas 5 y k b x²a²1 k²b² z²c²1 k²b² 1 hipérbole 6 Analogamente para os planos x k isto é teremos também duas retas e uma hipérbole na interseção dos planos x k a e x k a respectivamente com o hiperbolóide 7 z k x²a²1 k²c² y²b²1 k²c² 1 elipse Temos assim um hiperbolóide elíptico de uma folha Se na equação dada tivermos a b a superfície intercepta o plano x0y e planos a eles paralelos segundo circunferências Assim teremos um hiperbolóide circular ou de revolução de uma folha A variável que se apresenta com sinal diferente das outras indica o eixo de simetria da superfície Nos casos descritos as hipérboles têm centro na origem Se por acaso elas fossem centradas no ponto C x₀ y₀ z₀ fazendo a translação x x x₀ ȳ y y₀ z z z₀ e usando o sistema 0xyz com 0 C 0x0x 0y0y 0z0z obteríamos um hiperbolóide de uma folha de equação x²a² y²b² z²c² 1 ou x x₀²a² y y₀²b² z z₀²c² 1 Exemplo 1 A equação x²9 y²4 z²4 1 representa uma superfície com as seguintes características 1 y 0 z²4 x²9 1 hipérbole no plano x0z com eixo focal 0z 2 z 0 y²4 x²9 1 hipérbole no plano x0y com eixo focal 0y 3 x 0 y² z² 4 circunferência no plano y0z de centro na origem e raio 2 Temos então um hiperbolóide de uma folha circular ou revolucão 4262 Hiperbolóide de duas folhas Vamos considerar a superfície de equação x²a² y²b² z²c² 1 com a b c 0 onde a distribuição de sinais atende as conveniências do desenho É simétrica em relação à origem aos planos e eixos coordenados Vejamos as interseções com os planos coordenados e as interseções com planos paralelos ao plano x0y 1 x0z y 0 x²a² z²c² 1 vazia 2 y0z x 0 y²b² z²c² 1 hipérbole com eixo focal 0y 3 x0y z 0 y²b² x²a² 1 hipérbole com eixo focal 0y 4 y b temos os vértices V1 0 b 0 e V2 0 b 0 5 y k k c x²a²k²b² 1 z²c²k²b² 1 1 elipses 6 y k k c vazia Assim a superfície tem duas folhas fig 6 uma folha na região y b e a outra na região y b Portanto temos um hiperbolóide elíptico de duas folhas Se a b as interseções com os planos y k k b são circunferências e teremos então um hiperbolóide circular ou de revolução de duas folhas A variável que se apresenta com sinal diferente das demais indica o eixo de simetria da superfície Observe que as interseções com os planos coordenados x0y e y0z são hipérboles com centro na origem Se elas fossem centradas no ponto C x₀ y₀ z₀ fazendo a translação x x x₀ ȳ y y₀ z z z₀ e usando o sistema 0xyz com 0 C 0x0x 0y0y 0z0z obteríamos um hiperbolóide de duas folhas de equação x²a² y²b² z²c² 1 x x₀²a² y y₀²b² z z₀²c² 1 Exemplo 1 Vamos classificar e esboçar a superfície de equação x²4 y²9 z²16 1 Solução De acordo com o que vimos no início deste parágrafo nesta equação as três variáveis são quadráticas e existem dois sinais negativos Devemos ter um hiperbolóide de duas folhas Vejamos as interseções com os planos coordenados e com planos paralelos aos planos coordenados 1 y 0 x²4 z²16 1 hipérbole no plano x0z com eixo focal 0x 2 z 0 x²4 y²9 1 hipérbole no plano x0y com eixo focal 0x 3 x 0 y²9 z²16 1 vazia 4 x k com 2 k 2 y²9 z²16 k²4 1 A interseção é vazia pois k²4 1 0 4 x 2 y 0 e z 0 vértices V1 2 0 0 e V2 2 0 0 5 x k k 2 ou k 2 y²9 z²16 k²4 1 elipses Temos então um hiperbolóide elíptico de duas folhas fig 8 427 Cone elíptico É a superfície de equação x²a² y²b² z²c² 0 com a b c 0 É simétrica em relação à origem aos planos e eixos coordenados Vamos estudar as interseções com os planos coordenados e com planos paralelos aos planos coordenados 1 x0z y 0 z ca x duas retas 2 y0z x 0 z cb y duas retas 3 x0y z 0 x 0 y 0 um ponto V 0 0 0 4 z k 0 x²a²k² y²b²k² 1 elipses circunferências se a b fig 9 Temos um cone elíptico ou de revolução com vértices na origem fig 9 A variável que aparece com sinal diferente das demais indica o eixo simetria Se a b as interseções com os planos zk 0 são circunferências e teremos um cone circular ou de revolução Se o vértice do cone estiver no ponto V x₀ y₀ z₀ e o eixo de simetria for a reta z z₀ fazendo a translação x x x₀ y y y₀ z z z₀ e usando o novo sistema de eixos 0xyz com 0 V 0x 0x 0y 0y 0z 0z obtemos a equação do cone x²a² y²b² z²c² 0 ou x x₀²a² y y₀²b² z z₀²c² 0 Exemplo 1 A equação x² y²4 z²9 0 representa um cone tendo como eixo de simetria o eixo 0x De fato analisando as interseções com os planos coordenados obtemos 1 x 0 y²4 z²9 0 um ponto V 0 0 0 2 y 0 z 3x duas retas no plano x0z 3 z 0 y 2x duas retas no plano x0y 4 x k y²4k² z²9k² 1 elipses 428 Exercícios resolvidos Nos exercícios abaixo identifique descreva e esboce as superfícies dadas 1 x² y² z² 2z 0 Solução Todas as variáveis apresentamse com a maior potência igual a 2 e esses termos têm coeficientes iguais Além disso uma das variáveis também apresenta um termo do 1º grau e por completamento de quadrado obtemos x² y² z 1² 1 Tratase de uma esfera de centro C 0 0 1 e raio 1 esboço do gráfico a cargo do leitor cujas interseções com os planos coordenados são a x0y z 0 x² y² 0 V 000 um ponto b x0z y 0 x² z 1² 1 uma circunferência c y0z x 0 y² z 1² 1 circunferência 136 2 x² y² 4 z Solução Fazendo z 4 z x x e y y vem que x² y² z no sistema x0y onde 0 0 0 4 As interseções com os planos coordenados são a x0y y 0 x² z parábola com foco em 0z e concavidade voltada para a parte negativa de 0z b x0z x 0 y² z parábola com foco em 0z e concavidade voltada para a parte negativa de 0z Tratase então de um parabolóide Vejamos de que tipo c x0y z 0 x² y² 0 um ponto V 0 0 0 d z k 0 interseção vazia Logo a superfície está situada na região z 0 e z k 0 x² y² k circunferência de raio k Concluímos que a superfície é um parabolóide circular ou de revolução que corta o eixo 0z no ponto 0 0 4 e tem a concavidade voltada para baixo 3 x² y² z² 1 Solução As três variáveis se apresentam com expoente 2 e há dois sinais negativos e dois positivos Portanto temos um hiperbolóide de duas folhas Vejamos suas interseções com os planos coordenados a x0y z 0 y² x² 1 hipérbole com focos sobre o eixo 0y b x0z y 0 x² y² 1 vazia c y0z x 0 y² z² 1 hipérbole com focos sobre o eixo 0y fig 10 Interseções com planos paralelos ao plano x0z d y q x² z² q² 1 i se q 1 a interseção é vazia ii se q 1 temos os pontos 0 1 0 e 0 1 0 iii se q 1 temos as circunferências x² z² q² 1 de centro 0 q 0 e raio q² 1 Logo tratase de um hiperbolóide ou de revolução de duas folhas fig 10 137 4 x² y² z² 1 Solução As três variáveis apresentam expoente 2 e há apenas um sinal negativo Portanto temos um hiperbolóide de uma folha Vejamos as interseções com os planos coordenados 1 x0y z0 x² y² 1 hipérbole com vértices em 0x 2 x0z x0 z² y² 1 hipérbole com vértices em 0z 3 x0y y0 x² z² 1 circunferência de raio 1 e centro na origem Temos um hiperbolóide de uma folha circular fig 11 5 x² y² z² 0 Solução As três variáveis apresentamse com potência 2 e só há um sinal negativo No entanto o termo independente é nulo Tratase de um cone compare com os dois exercícios anteriores Determinemos suas interseções com os planos coordenados e planos paralelos aos planos coordenados 1 x0y z0 y x duas retas 2 y0z x0 z y duas retas 3 x0z y0 x² z² 0 um ponto V 0 0 0 4 y k x² z² k² circunferência de centro na origem e raio k Temos então um cone circular ou de revolução de vértice na origem e tendo 0y como eixo de revolução 6 x² z² y Solução Observe que duas variáveis apresentamse com potência 2 e uma tem potência 1 Tratase de um parabolóide Determinemos suas interseções com os planos coordenados e planos paralelos aos planos coordenados 1 x0y z 0 y x² parábola com foco em 0y e concavidade voltada para a parte positiva do eixo 0y 2 y0z x 0 y z² parábola com foco em 0z e concavidade voltada para a parte negativa do eixo 0z 3 x0z y 0 x² z² 0 duas retas z x fig 11 fig 12 138 4 y k2 x2k2 z2k2 1 hipérbole 5 y k2 z2k2 x2k2 1 hipérbole Temos um paraboloíde hiperbólico fig 12 7 Determine as possibilidades de interseção do hiperbolóide de uma folha x2 y2 z2 1 com o plano x mz 1 dependendo dos valores de m Solução Da equação do plano temos x 1 mZ Substituindo na equação do hiperbolóide vem que y2 m2 1 z2 2mz 2 0 Logo 71 Se m 1 y2 2z 2 parábolas com foco no eixo 0z 72 Se m 1 obtemos a equação y2 m2 1 z mm2 12 2 m2m2 1 cujo segundo membro pode se anular ser positivo ou negativo 73 Se 2 m2m2 1 0 isto é m 2 temos y2 z 22 0 Isto só é possível se y 0 e z 2 Como x 1 mz obtemos quatro pontos 1 0 2 1 0 2 3 0 2 3 0 2 74 Se 2 m2m2 1 0 teremos uma elipse o que ocorrerá apenas se 2 m2 0 e m2 1 0 ou seja 2 m 2 e m 1 ou m 1 Portanto se 2 m 1 ou 1 m 2 teremos elipses Se 2 m2 0 e m2 1 0 deveríamos ter m 2 ou m 2 e 1 m 1 o que é impossível 75 2 m2m2 1 0 em duas situações 751 2 m2 0 2 m 2 e m2 1 0 1 m 1 Logo m 1 e teremos uma hipérbole que não corta eixo 0y 752 2 m2 0 m 2 ou m 2 e m2 1 0 m 1 ou m 1 Logo m 2 Esta situação porém é impossível pois teríamos que a expressão seria positiva de um lado e negativa do outro o que é um absurdo Logo se m 2 a interseção é vazia Em resumo temos 1 Se m 1 ou m 1 teremos as parábolas y2 2z 1 e y2 2z 1 2 Se m 2 teremos quatro pontos 1 0 2 e 3 0 2 3 Se 2 m 1 ou 1 m 2 temos uma elipse 4 Se m 1 teremos uma hipérbole 5 Se m 2 a interseção é vazia 6 Não existe m tal que a interseção seja circunferência 7 Não existe m tal que a interseção seja duas retas 8 Escreva as equações dos planos tangentes à esfera x 32 y 22 z 12 25 e paralelo ao plano 4x 3z 17 0 Solução Os planos pedidos sendo paralelos ao plano π 4x 3z 17 0 admitem um mesmo vetor normal n 4i 3k A reta que passa pelo centro da esfera C 3 2 1 e é paralela a n cuja equação é x 3 4t y 2 z 1 3t intercepta a esfera em dois pontos pelos quais passam os planos procurados normais a n Vamos determinar a interseção desta reta com a esfera Então 3 4t 32 2 22 1 3t 12 25 t 1 Se t 1 obtemos x 7 y 2 e z 4 ou seja se t 1 a reta intercepta a esfera no ponto P1 7 2 4 Se t 1 obteremos o ponto P2 1 2 2 Portanto a equação do plano que passa por P1 e é normal a n será 4x 1 3z 4 0 ou 4x 3z 40 0 A equação do plano que passa por P2 e é normal a n será 4x 1 3z 2 0 ou 4x 3z 10 0 Assim os planos tangentes procurados são 4x 3z 40 0 e 4x 3z 10 0 429 Exercícios propostos 1 Discuta identifique e esboce as superfícies a y2 z2 4 c x2 4z2 4z e z y 2 b 9x2 9y2 36 d x2 8y 0 f y 3 2 Identifique discuta e esboce as superfícies de equações a x2 y2 z2 1 f x2 y2 z2 0 l 4y x2 2z2 b 9x2 4y2 36 4z2 g x2 y2 4x 6y 18z 13 0 m x2 9y2 9z2 c y2 4x 0 h x2 9y2 0 n 9x2 4z2 36y2 0 d x2 z2 4y2 i x2 2 2z 8y2 o x2 9y2 9z2 e x2 y2 z 0 j x2 9y2 9z p x2 4 0 3 Escreva a equação da esfera cuja diâmetro é o segmento que une os pontos 1 2 3 e 2 1 0 4 A reta y 3x z 0 gira em torno do eixo 0x determinando uma superfície Escreva a equação dessa superfície e identifique 5 Mostre que a equação y2 z2 0 representa dois planos que se interceptam Esboce Obtenha a interseção desses planos 6 Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o diâmetro da esfera x2 y2 z2 2x 6y z 11 que é perpendicular ao plano 5x y 2z 17 7 Escreva as equações dos planos tangentes à superfície x2 y2 z2 9 e paralelos ao plano x 2y 2z 15 0 8 Determine os valores de m para os quais a interseção do plano x my 2 0 com o paraboloíde elíptico x22 z23 y seja a uma parábola b uma circunferência c uma elipse d uma hipérbole e um ponto f duas retas g uma reta h vazia 9 Determine condições sobre as constantes a b e c de modo que a superfície x2a2 y2b2 z2c2 1 passe a ser obtida pela rotação em torno do eixo 0x de uma hipérbole do plano x0z com focos sobre o eixo 0z Identifique e esboce a superfície obtida e a curva geratriz 10 Escreva a equação do cilindro circunscrito à esfera x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 e cujas geratriz são paralelas ao eixo 0z 11 Determine a equação e identifique a superfície gerada pela rotação da reta z x y 2 em torno da reta x 0 y 2 12 Os cilindros x2 z2 4x 6z 9 0 e y2 z2 2y 6z 6 0 são circunscritos à mesma esfera Determine a equação dessa esfera 13 Uma esfera tem centro sobre o eixo 0z e no plano 2x 3y 4z 6 e é tangente ao plano x0y Escreva sua equação 14 Determine a equação da esfera cujo centro é o ponto 3 2 2 e que é tangente ao plano x 3y 2z 1 0