Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente - Aula 15

Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Profª Gérsica V L de Freitas 20 de setembro de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 15 Derivadas Direcionais Lembremonos de que se z fx y as derivadas parciais fx e fy são denidas como fx x0 y0 lim h0 f x0 h y0 f x0 y0 h fy x0 y0 lim h0 f x0 y0 h f x0 y0 h e representam as taxas de mudança de z nas direções x e y ou seja na direção dos vetores de unidade i e j Profª Gérsica Freitas Aula 15 Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z em x0 y0 na direção de um vetor unitário arbitrário u a b Para fazêlo devemos considerar a superfície S com equação z fx y e tomar z0 f x0 y0 Então o ponto P x0 y0 z0 está em S O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C A inclinação da reta tangente T a C em P é a taxa de variação de z na direção de u Profª Gérsica Freitas Aula 15 Veja abaixo o plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C Veja também a inclinação da reta tangente T a C em P que é a taxa de variação de z na direção de u Profª Gérsica Freitas Aula 15 Se Qx y z é outro ponto sobre C e P Q são as projeções de P Q sobre o plano xy então o vetor P Q é paralelo a u e portanto P Q hu ha hb para alguma escalar h Logo x x0 ha y y0 hb portanto x x0 ha y y0 hb e z h z z0 h f x0 ha y0 hb f x0 y0 h Se tomarmos o limite quando h 0 obteremos a taxa de variação de z na direção de u que é chamada derivada direcional de f na direção e sentido de u Denição A derivada direcionada de f em x0 y0 na direção do vetor unitário u a b é Duf x0 y0 lim h0 f x0 ha y0 hb f x0 y0 h se esse limite existir Profª Gérsica Freitas Aula 15 Exemplo Encontre a derivada direcional de fx y x2 xy em P1 2 na direção do vetar unitário u 1 2 i 1 2 j Teorema Se f é uma função diferenciável de x e y então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u a be Dufx y fxx ya fyx yb Profª Gérsica Freitas Aula 15 0 Vetor Gradiente Note que a derivada direcional de uma função diferenciável pode ser escrita como o produto escalar de dois vetores Dufx y fxx ya fyx yb fxx y fyx y a b fxx y fyx y u O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente no cômputo da derivada direcional mas também em muitas outras situações Assim Denição Se f é uma função de duas variáveis x e y então o gradiente de f é a função vetorial f denida por fx y fxx y fyx y f xi f y j A notação f é lida como del f Profª Gérsica Freitas Aula 15 Exemplo Sendo fx y sen x exy encontre fx y Calcule f0 1 Observação Com a notação de vetor gradiente podemos reescrever a derivada direcional de uma função diferenciável como Dufx y fx y u Isso expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor gradiente sobre u Exemplo Determine a derivada direcional da função fx y x2y3 4y no ponto 2 1 na direção do vetor v 2i 5j Profª Gérsica Freitas Aula 15 Funções de Três Variáveis Para as funções de três variáveis podemos denir derivadas direcionais de modo semelhante Novamente Dufx y z pode ser interpretado como a taxa de variação da função na direção de um vetor unitário u Denição A derivada direcionada de f em x0 y0 z0 na direção do vetor unitário u a b c é Duf x0 y0 z0 lim h0 f x0 ha y0 hb z0 hc f x0 y0 z0 h se esse limite existir Profª Gérsica Freitas Aula 15 Se fx y z for diferenciável e u a b c um vetor unitário então usando o mesmo método aplicado na demonstração do Teorema anterior podemos mostrar que Dufx y z fxx y za fyx y zb fzx y zc Para uma função f de três variáveis o vetor gradiente denotado por f ou grad f é fx y z fxx y z fyx y z fzx y z ou de modo mais abreviado f fx fy fz f xi f y j f z k Então como para as funções de duas variáveis a Fórmula para a derivada direcional pode ser reescrita como Dufx y z fx y z u Exemplo Se fx y z xsenyz a determine o gradiente de f e b determine a derivada direcional de f em 1 3 0 na direção de v i 2j k Profª Gérsica Freitas Aula 15