Diferencial e Regra da Cadeia - Profª Gérsica V L de Freitas

Diferencial e Regra da Cadeia Profª Gérsica V L de Freitas 20 de setembro de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 13 Diferencias No Cálculo I para uma função de uma única variável y fx a variação incremento de y quando x varia entre a e a x é dada por y fa x fa 1 e a diferencial é dada por dy fadx onde dx é uma variável independente ou seja dx pode valer qualquer número real Profª Gérsica Freitas Aula 13 Observação y representa a variação de altura da curva y fx e dy representa a variação de altura da reta tangente quando x varia de a para a x Profª Gérsica Freitas Aula 13 Seja z fx y uma função de duas variáveis com derivadas parciais em a b contínuas e suponha que x varia de a para a x e y varia de b para b y Então o incremento correspondente de z é z fa x b y fa b 2 Profª Gérsica Freitas Aula 13 A Figura mostra a interpretação geométrica da diferencial dz e o incremento z dz representa a alteração da altura do plano tangente ao passo que z representa a alteração da altura da superfície z fx y quando xy varia de ab para a x b y Profª Gérsica Freitas Aula 13 Denimos os diferenciais dx e dy como variáveis independentes ou seja podem ter qualquer valor enquanto que dz é a variável dependente E o diferencial dz chamado de diferencial total por Denição Se movermos de a b a um ponto próximo a x b y então a variação resultante é dz fxa bdx fya bdy f xdx f y dy 3 na linearização de f e é denominada diferenciação total de f Na notação de diferencial a aproximação linear pode ser escrita como fx y fa b df Profª Gérsica Freitas Aula 13 a Sez fa y x7 3xy y determine a diferencial dz b Sex varia de 2 para 205 e y varia de 3 a 296 compare os valores de Az e dz SOLUCAO a Segue da definicdo que Oz Oz dz an tt Dy 2x 3ydx 3a 2ydy b Tomando x 2dxz Ax 005 y 3 e dy Ay 0 04 obtemos dz 22 330 05 32 230 04 0 65 O incremento de z é 205 32 052 96 2 96 27 323 37 06449 Observe que Az dz mas dz é mais simples de calcular Exemplo Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm respectivamente com possível erro nessas medidas de no máximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone SOLUÇÃO O volume V do cone com raio da base r e altura h é V πr2h3 Logo a diferencial de V é dV V r dr V h dh 2πrh 3 dr πr2 3 dh Como cada erro é de no máximo 0 1 cm temos r 0 1 h 0 1 Para estimarmos o maior erro no volume tomamos o maior erro na mensuração de r e de h portanto tomamos dr 0 1 e dh 0 1 para r 10 h 25 Isso dá dV 500π 3 0 1 100π 3 0 1 20π Assim o erro máximo cometido no cálculo do volume é de cerca de 20πcm3 63 cm3 Profª Gérsica Freitas Aula 13 Exercício Dada a função z x2 y2 xy a Determine uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente quando x y passa de 1 1 para 1 001 1 02 b Calcule z quando as variáveis independentes sofrem a variação dada no item a Profª Gérsica Freitas Aula 13 Regra da Cadeia Relembrando do Cálculo 1 de que a Regra da Cadeia para uma função de uma única variável nos dava uma regra para derivar uma função composta se y fx e x gt onde f e g são funções diferenciáveis então y é uma função diferenciável de t e dy dt dy dx dx dt Para as funções de mais de uma variável a Regra da Cadeia tem muitas versões cada uma delas fornecendo uma regra de derivação de uma função composta Profª Gérsica Freitas Aula 13 Caso I Seja fRR xy fxy e sejam zRR yRR th at th yt Podemos considerar uma funcdo g como segue gROR tr at yt Dai podemos também considerar a funcdo composta fogRR try fxt yt z ay 4 3ay az onde x sen2t e y cost determine TE quando t 0 y 0 1 c LinkUm trabalho sobre esse tema no GeoGebra Interpretacdo Podemos interpretar a derivada dz Ozdx 4 Oz dy dt Oxdt Oy dt como a taxa de variacdo de z com relacdo a t quando o ponto a y se move ao longo da curva C com equacées paramétricas x xt e y yt Teorema A Regra da Cadeia Caso 1 Suponha que z fx y seja uma função diferenciável de x e y onde x gt e y ht são funções diferenciáveis de t Então a função composta z fxt yt é uma função diferenciável de t e dz dt z x dx dt w y dy dt Exemplo Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada de z x y com relação a t ao longo do caminho x cost y sint Qual é o valor da derivada em t π2 Profª Gérsica Freitas Aula 13 Exemplo A pressão em P em kilopascals volume V em litros e temperatura T em kelvins de um mol de um gás ideal relacionamse pela equação PV 8 31T Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é 300K e está aumentando com a taxa de 01 Ks e o volume é 100L e está aumentando com a taxa de 02 Ls Solução Se t representa o tempo decorrido medido em segundos então em um dado instante temos T 300 dTdt 0 1 V 100 dVdt 0 2 Como P 8 31 T V pela Regra da Cadeia dP dt P T dT dt P V dV dt 8 31 V dT dt 8 31T V 2 dV dt 8 31 100 0 1 8 31300 1002 0 2 0 04155 A pressão está decrescendo com a taxa de 0 042kPas Profª Gérsica Freitas Aula 13 Caso II Seja fRR xy fxy e sejam zRR yR R st ast st 4 yst Podemos considerar uma funcdo g como segue gR R st xst ys t Dai podemos também considerar a funcao composta fogR R st fxst yst Teorema A Regra da Cadeia Caso 2 Suponha que z fx y seja uma função diferenciável de x e y onde x gs t e y hs t são funções diferenciáveis de s e t Então z s z x x s z y y s e z t z x x t z y y t Exemplo Se z xexseny onde x st2 e y s2t Determine z s e z t Profª Gérsica Freitas Aula 13 Observação Para lembrar da Regra da Cadeia é útil desenhar o grafo da árvore da gura Desenhamos os ramos da árvore saindo da variável dependente z para as variáveis intermediárias x e y a m de indicar que z é uma função de x e y Então desenhamos os ramos saindo de x e y para as variáveis independentes s e t Em cada ramo indicamos a derivada parcial correspondente Para achar zs determinamos o produto das parciais ao longo de cada caminho de z a s e somamos esses produtos De forma análoga para determinar zt usamos os caminhos de z a t Profª Gérsica Freitas Aula 13 Versão Geral A Regra da Cadeia Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis x1 x2 xn onde cada xj é uma função diferenciável de m variáveis t1 t2 tm Então u é uma função de t1 t2 tme u ti u x1 x1 ti u x2 x2 ti u xn xn ti para cada i 1 2 m Profª Gérsica Freitas Aula 13 Exemplo Se u x4y y2z3 onde x rset y rs2et e z r2s sint Determine us quando r 2 s 1 t 0 Exemplo Se gs t fs2 t2 t2 s2 e f é diferenciável mostre que g satisfaz t g s s g t 0 Exemplo Se z fx y tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e x r2 s2 y 2rs determine zr e 2zr2 Profª Gérsica Freitas Aula 13 Diferenciação Implícita Supomos que uma equação da forma Fx y 0 dena y implicitamente como uma função diferenciável de x isto é y fx onde Fx fx 0 para todo x no domínio de f Se F é diferenciável podemos aplicar o Casa 1 da Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da equação Fx y 0 com relação a x Já que x e y são funções de x obtemos F x dx dx F y dy dx 0 No entanto dxdx 1 então se Fy 0 resolvemos para dydx e obtemos dy dx F x F y Fx Fy Profª Gérsica Freitas Aula 13 Exemplo Determine y se x3 y3 6xy Solução A equação dada pode ser escrita como Fx y x3 y3 6xy 0 e dessa forma temos dy dx Fx Fy 3x2 6y 3y2 6x x2 2y y2 2x Profª Gérsica Freitas Aula 13 Suponha agora que z seja dado implicitamente como uma função z fx y por uma equação da forma Fx y z 0 Isso signica que Fx y fx y 0 para todo x y no domínio de f Se F e f forem diferenciáveis utilizamos a Regra da Cadeia para derivar a equação Fx y z 0 da seguinte forma F x x x F y y x F z z x 0 Mas xx 1 e xy 0 portanto essa equação se torna F x F z z x 0 Se Fz 0 resolvemos para zx e obtemos a primeira fórmula abaixo A fórmula para zy é obtida de uma maneira semelhante z x F x F z z y F y F z Profª Gérsica Freitas Aula 13 Exemplo Determine z x e z y se x3 y3 z3 6xyz 1 Solução Seja Fx y z x3 y3 z3 6xyz 1 Então z x Fx Fz 3x2 6yz 3z2 6xy x2 2yz z2 2xy z y Fy Fz 3y2 6xz 3z2 6xy y2 2xz z2 2xy Profª Gérsica Freitas Aula 13