Funções de Várias Variáveis: Plano Tangente e Aproximação Linear

Funções de várias variáveis Plano Tangente e Aproximação Linear Profª Gérsica V L de Freitas 13 de setembro de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 12 Suponha que uma superfície S dada por z fx y onde f tenha derivadas parciais contínuas de primeira ordem e seja P x0 y0 z0 um ponto em S Sejam T1 e T2 as retas tangentes à curva C1 e C2 no ponto P curvas obtidas pela intersecção dos planos verticais y y0 e x x0 com a superfície S respectivamente Então o plano tangente à superfície S no ponto P é denido como o plano que contém as retas da tangente T1 e T2 Profª Gérsica Freitas Aula 12 Sabemos que fx é o coeciente angular da reta tangente à curva de intersecção do plano y y0 com a superfície S no ponto x0 y0 fy é o coeciente angular da reta tangente à curva de intersecção do plano x x0 com a superfície S no ponto x0 y0 Seja hx y k1x k2y k3 o plano tangente à S no ponto x0 y0 se ele existir Então k1 fxx0 y0 inclinação na direção do eixo Ox k2 fyx0 y0 inclinação na direção do eixo Oy Daí hx y fxx0 y0x fyx0 y0y k3 1 Profª Gérsica Freitas Aula 12 Como o ponto P x0 y0 z0 também pertence ao plano tangente temos que hx0 y0 fx0 y0 Assim hx0 y0 fxx0 y0x0 fyx0 y0y0 k3 fx0 y0 k3 fx0 y0 fxx0 y0x0 fyx0 y0y0 Substituindo em 1 temos hx y fxx0 y0xfyx0 y0yfx0 y0fxx0 y0x0fyx0 y0 Profª Gérsica Freitas Aula 12 Denição Equação do plano tangente à superfície z fx y no ponto P x0 y0 z0 se ele existir hx y fxx0 y0x x0 fyx0 y0y y0 fx0 y0 Exemplo Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico z 2x2 y2 no ponto 1 1 3 Profª Gérsica Freitas Aula 12 Exemplo Determine o plano tangente da funcdo z xcosy ye no ponto P0 00 Exemplo Verifique se existe o plano tangente da funcdo Verh no ponto P0 00 Definigéo Dizemos que uma funcdo fx y é diferenciavel no ponto 29 yo se as derivadas parciais fz x0 yo fyXo yo existem e se lim LW e w04ow 20 Fy 2090 yyoFx090 g 2y 2040 Vv x20 yyo Teorema Se as derivadas parciais fz e fy existirem perto do ponto xo yo e forem continuas em xo yo entado f é diferencidvel em x0 yo Exemplo Mostre que fxy 3ry 4xy 2xy é diferencidvel em todo o seu dominio Exemplo Mostre que fxy z y é diferenciavel em todo o seu dominio A Figura a mostra o paraboloide elíptico e seu plano tangente em 1 1 3 do exemplo acima Nas partes b e c damos zoom em direção ao ponto 1 1 3 restringindo o domínio da função fx y Observe que quanto mais ampliamos a região próxima ao ponto mais plano parece o gráco da superfície e mais se parece com o plano tangente Profª Gérsica Freitas Aula 12 Aproximação linear A equação do plano tangente é uma boa aproximaçãode f próximo ao ponto de tangência Denição A função linear cujo gráco é o plano tangente Lx y fx0 y0 fxx0 y0x x0 fyx0 y0y y0 é denominado linearização de f em x0 y0 e a aproximação fx y fx0 y0 fxx0 y0x x0 fyx0 y0y y0 é chamada aproximação linear pelo plano tangente de f em x0 y0 Exemplo Encontre a linearização da função fx y 2x2 y2 no ponto 1 1 e usea para aproximar f11 095 Profª Gérsica Freitas Aula 12 Exemplo Mostre que fx y xexy é diferenciável em 1 0 e encontre sua linearização nesse ponto Em seguida use a linearização para aproximar f11 01 As derivadas parciais são fxx y exy xexy fx1 0 1 fyx y x2exy fy1 0 1 Tanto fx quanto fy são funções contínuas portanto f é diferenciável pelo Teorema anterior A linearização é dada por hx y fx1 0x 1 fy1 0y 0 f1 0 1x 1 1y 0 1 x y Ou seja a aproximação linear correspondente é xexy x y Assim f11 01 11 0 1 1 Compare esse valor com o valor real de f11 01 11e011 0 98542 Profª Gérsica Freitas Aula 12 Exercício Mostre que fx y x2 xy 1 2y2 3 é diferenciável em 3 2 e encontre sua linearização nesse ponto Em seguida use a linearização para aproximar f295 199 Profª Gérsica Freitas Aula 12