Funções de Várias Variáveis: Definições e Exemplos

Funções de várias variáveis Profª Gérsica V L de Freitas 19 de agosto de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 09 Muitos fenômenos do mundo real são modelados por funções de várias varáveis Por exemplo a temperatura em um ponto da superfície da Terra em um dado instante de tempo depende da longitude x e da latitude y do ponto Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis x e y ou como uma função do par x y Indicaremos essa dependência funcional escrevendo Tx y Figura http geoconceicaoblogspotcom Profª Gérsica Freitas Aula 09 Denição Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais x y de um conjunto D um único valor real denotado por fx y O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f ou seja fx yx y D Profª Gérsica Freitas Aula 09 Notação Escrevemos z fx y para tornar explícitos os valores tomados por f em um ponto genérico x y As variáveis x e y são variáveis independentes e z é a variável dependente Profª Gérsica Freitas Aula 09 Observação O domínio da função é o maior conjunto para o qual a regra de denição gera números reais a menos que o domínio seja explicitado Profª Gérsica Freitas Aula 09 Observação I x e y são denominados variáveis independentes II z fx y é denominado varáveis dependente III Nenhum elemento de D pode ser relacionado com dois ou mais elementos do contradomínio IV o domínio da função é o seguinte conjunto D Domf x y R2x Dx e y Dy V Todo elemento de D deve ser relacionado com algum elemento de Imf R Note que Imf z Rfx y z para algum x y D Profª Gérsica Freitas Aula 09 Exemplo 1 Seja a funcdo z fxy y x Calcule f2 4 e encontre o dominio e a imagem da f 1 Exemplo 2 Seja a funcdo z fxy roy Calcule f24 e x encontre o dominio e a imagem da f Exemplo 3 Seja a funcdo z fxy alny 2 Calcule f 24 e encontre o dominio e a imagem da f Exemplo 4 Seja a funcdo z fxy senxy Calcule f 2 47 encontre o dominio e a imagem da f Exemplo 5 Seja a funcdo z fxy 9 x y Calcule f 20 e encontre o dominio e a imagem da f Exemplo 6 A quantidade de luz q Wm interceptada por um dossel de milho pode ser dada como funcao da radiacdo fotossinteticamente ativa r Wm e do indice de 4rea foliar Am Modelando esse problema a partir da lei de Beer podese calcular g através de gr A r1e onde o dominio é A r A R0 r 10 055 A 372 Exemplo 7 Em regiões com inverno severo o índice de sensação térmica é frequentemente utilizado para descrever a severidade aparente do frio Esse índice W mede a temperatura subjetiva que depende da temperatura real T e da velocidade do vento v Assim W é uma função de T e de v e podemos escrever W fT v A Tabela abaixo apresenta valores de W compilados pelo Serviço Nacional de Meteorologia dos Estados Unidos e pelo Serviço Meteorológico do Canadá Calcule f5 50 e explique o signicado desse valor Figura Índice de sensação térmica como função da temperatura do ar e velocidade do vento Profª Gérsica Freitas Aula 09 Grácos Outra forma de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é considerar seu gráco Denição Se f é uma função de duas variáveis com domínio D então o gráco de f é o conjunto de todos os pontos x y z R3 tal que z fx y e x y D Profª Gérsica Freitas Aula 09 Observação Assim como o gráco de uma função f de uma única variável é uma curva C com equação y fx o gráco de uma função f com duas variáveis é uma superfície S com equação z fx y Profª Gérsica Freitas Aula 09 Exemplo Esboce o gráco da função fx y 6 3x 2y O gráco de f tem a equação z 6 3x 2y ou 3x 2y z 6 que representa a equação de um plano Primeiramente vamos encontrar as interseções com os eixos coordenados y z 0 3x 6 x 2 2 0 0 x z 0 2y 6 y 3 0 3 0 x y 0 z 6 0 0 6 Profª Gérsica Freitas Aula 09 Exemplo Determine o domínio e a imagem e esboce o gráco de hx y 4x2 y2 O gráco de f tem a equação z 4x2 y2 Primeiramente vamos encontrar as interseções com os planos coordenados z 0 4x2 y2 0 x y 0 y 0 z 4x2 parábola x 0 z y2 parábola Profª Gérsica Freitas Aula 09 Exemplo Represente gracamente fx y 100 x2 y2 O gráco de f tem a equação z 100 x2 y2 Primeiramente vamos encontrar as interseções com os planos coordenados z 0 x2 y2 100 circunferência de raio 10 y 0 z x2 100 parábola x 0 z y2 100 parábola Profª Gérsica Freitas Aula 09 Exemplo Determine o domínio e a imagem do gráco de hx y ln9 x2 9y2 O domínio da função hx y é Df x y R2 x2 9 y2 1 e Imf ln9 Exemplo Seja fx y x2e3xy Calcule a f2 0 b Determine o domínio de f c Determine a imagem de f Profª Gérsica Freitas Aula 09