Lista de Exercícios Calculo 4 - Integrais Iteradas e Duplas - Resolucao de Problemas

Lista de Exercícios Préprova 1 de Cálculo 4 Seção 152 314 Calcule a integral iterada 3 ₁⁴ ₀² 6x² 2x dy dx 4 ₀¹ ₁² 4x³ 9x²y² dy dx 5 ₀² ₀π2 x sen y dy dx 6 π6π2 15 cos y dx dy 7 3³ ₀π2 y y² cos x dx dy 8 ₀¹ ₁² xeˣy dy dx 9 ₁⁴ ₁² xy yx dy dx 10 ₀¹ ₀³ eˣ3y dx dy 11 ₀¹ ₀¹ vu v²⁴ du dv 12 ₀¹ ₀¹ xy x² y² dy dx 13 ₀² ₀π r sen²θ dθ dr 14 ₀¹ ₀¹ s t ds dt 1522 Calcule a integral dupla 15 R senx y dA R xy 0 x π2 0 y π2 16 R y xy² dA R xy 0 x 2 1 y 2 17 R xy²x² 1 dA R xy 0 x 1 3 y 3 18 R 1 x²1 y² dA R xy 0 x 1 0 y 1 19 R x senx y dA R 0 π6 0 π3 20 R x1 xy dA R 0 1 0 1 21 R yexy dA R 0 2 0 3 22 R 11 x y dA R 1 3 1 2 1722 Calcule a integral dupla 17 D x cos y dA D é limitada por y 0 y x² x 1 18 D x² 2y dA D é limitada por y x y x³ x 0 19 D y² dA D é a região triangular com vértices 0 1 1 2 4 1 20 D xy² dA D é limitada por x 0 e x 1 y² 21 D 2x y dA D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 22 D 2xy dA D é a região triangular com vértices 0 0 1 2 e 0 3 2332 Determine o volume do sólido dado 23 Abaixo do plano x 2y z 1 e acima da região limitada por x y 1 e x² y 1 24 Abaixo da superfície z 2x y² e acima da região limitada por x y² e x y³ 25 Abaixo da superfície z xy e acima do triângulo e vértices 1 1 4 1 e 1 2 26 Limitado pelo paraboloide z x² 3y² e pelos planos x 0 y 1 y x z 0 27 Limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x 2y z 6 28 Limitado pelos planos z x y x x y 2 e z 0 29 Limitado pelos cilindros z x² y x² e pelos planos z 0 y 4 30 Limitado pelo cilindro y² z² 4 e pelos planos x 2y x 0 z 0 no primeiro octante 31 Limitado pelo cilindro x² y² 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante 32 Limitado pelos cilindros x² y² r² e y² z² r² 25 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x 6y 2z 15 0 e acima do retângulo R xy 1 x 2 1 y 1 26 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z 3y² x² 2 e acima do retângulo R 1 1 2 2 27 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x²4 y²9 z 1 e acima do retângulo R 1 1 2 2 28 Determine o volume do sólido limitado pela superfície z 1 eˣ sen y e pelos planos x 1 y 0 y π e z 0 29 Determine o volume do sólido limitado pela superfície z x sec²y e pelos planos z 0 x 0 x 2 y 0 e y π4 30 Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z 16 x² e pelo plano y 5 31 Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z 2 x² y 2² e pelos planos z 1 x 1 x 1 y 0 e y 4 3536 Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado 35 fxy x²y R possui vértices 1 0 1 5 1 5 1 0 36 fxy eʸ x eʸ R 0 4 0 1 Seção 153 710 Calcule a integral dupla 7 D y² dA D xy 1 y 1 y 2 x y 8 D yx⁵ 1 dA D xy 0 x 1 0 y x² 9 D x dA D xy 0 x π 0 y sen x 10 D x³ dA D xy 1 x e 0 y ln x 4348 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração 43 ₀¹ ₀ʸ fxy dy dx 44 ₀² ₓ²⁴ fxy dy dx 45 ₀π2 ₀cos x fxy dy dx 46 2² ₀4x² fxy dx dy 47 ₁² ₀ln x fxy dy dx 48 ₀¹ arctg xπ4 fxy dy dx 5556 Expresse D como a união de regiões do tipo I ou do tipo II e calcule a integral 55 D x² dA 52 D y dA 5960 Encontre o valor médio de f na região D 59 fxy xy D é o triângulo com vértices 00 10 e 13 60 fxy x sen y D é limitada pelas curvas y 0 y x² e x 1 Seção 154 714 Calcule a integral dada colocandoa em coordenadas polares 7 D x² y dA onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 8 R 2x y dA onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x² y² 4 e as retas x 0 e y x 9 R senx² y² dA onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3 10 R y²x² y² dA onde R é a região que fica entre os círculos x² y² a² e x² y² b² com 0 a b 11 D ex²y² dA onde D é a região limitada pelo semicírculo x 4 y² e o eixo y 12 D cos x² y² dA onde D é o disco com centro na origem e raio 2 13 R arctgyx dA onde R xy 1 x² y² 4 0 y x 14 D x dA onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x² y² 4 e x² y² 2x 1518 Utilize a integral dupla para determinar a área da região 15 Um laço da rosácea r cos 3θ 16 A região limitada por ambos os cardioides r 1 cosθ e r 1 cosθ 17 A região dentro do círculo x 1² y² 1 e fora do círculo x² y² 1 18 A região dentro do círculo r 1 cosθ e fora do círculo r 3 cosθ 1927 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado 19 Abaixo do cone z x² y² e acima do disco x² y² 4 20 Abaixo do paraboloide z 18 2x² 2y² e acima do plano xy 21 Limitado pelo hiperboloide x² y² z² 1 e pelo plano z 2 22 Dentro da esfera x² y² z² 16 e fora do cilindro x² y² 4 23 Uma esfera de raio a 24 Limitado pelo paraboloide z 1 zx² zy² e pelo plano z 7 no primeiro octante 25 Acima do cone z x² y² e abaixo da esfera x² y² z² 1 26 Limitado pelos paraboloides z 3x² 3y² e z 4 x² y² 27 Dentro tanto do cilindro x² y² 4 quanto do elipsoide 4x² 4y² z² 64 2932 Calcule a integral iterada convertendoa antes para coordenadas polares 29 3³ ₀9x² senx² y² dy dx 30 ₀a a²y²0 x² y dx dy 31 ₀¹ y2y² x y dx dy 32 ₀² ₀2xx² x² y² dy dx Seção 155 1 Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 0 x 5 2 y 5 de modo que a densidade de carga em x y é σxy 2x 4y medida em coulombs por metro quadrado Determine a carga total no retângulo 2 Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco x² y² 1 de modo que a densidade de carga em x y é σxy x² y² medida em coulombs por metro quadrado Determine a carga total no disco 11 Uma lâmina ocupa a parte do disco x² y² 1 no primeiro quadrante Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x 12 Determine o centro de massa da lâmina do Exercício 11 se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem 13 O limite de uma lâmina consiste nos semicírculos y 1 x² e y 4 x² juntamente com as partes do eixo x que os une Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem 14 Encontre o centro de massa da lâmina do Exercício 13 se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem 15 Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles com os lados iguais tendo comprimento a se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa 16 A lâmina ocupa a região dentro do círculo x² y² 2y mas fora do círculo x² y² 1 Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem 17 Encontre os momentos de inércia Ix Iy I0 para a lâmina do Exercício 7 18 Encontre os momentos de inércia Ix Iy I0 para a lâmina do Exercício 12 19 Encontre os momentos de inércia Ix Iy I0 para a lâmina do Exercício 15