Questões de Cálculo 4

1 Determine o volume de um sólido que está acima do plano xy abaixo do cone z x²y² e dentro da esfera x²y²z² 16 2 Determine a coordenada Z do centro de massa do sólido que está acima do cone z x²y² e abaixo do hiperboloide z 50 x²y como função densidade 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 3 Calcule a integral dupla com limites de integraçãoxy 𝑒𝑥2𝑦2𝑑𝐴 𝑜nde E é o retângulo delimitado pelas retas xy 0 xy 4 xy 0 e xy 5 4 Calcule a integral tripla com pontos de integração E zdv onde E é o sólido delimitado pelos planos y 0 z 0 xy 2 e pelo cilindro y² z² 1 5 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Fxy 3xcosy 2ycosxi 32 x²seny 2senxj ao mover um objeto ao longo do caminho descrito pela curva y semx² 0 x 2π 6 2 Determine x 0 o centro de massa de um arame fino no formato do quarto de círculo x² y² 16 x 0 y0 se a função densidade é 𝜌𝑥 𝑦 2𝑥 3𝑦 7 Um muro cuja base tem o formato da curva C x 4sent y 4cost z 3t com 0tπ2 tem altura acima de um ponto x y z da sua base dada por hx y z x y 3 Determine a área superficial do muro 8 Determine o trabalho realizado pelo campo de forças Fx y ex x2 yi e y x y 2j para mover um objeto ao longo da circunferência x²y²36 no sentido antihorário cone reto x²y²z² plano zy x0 Note que podemos determinar o volume do sólido em coordenadas esféricas seu jacobiano é ρ² sen ψ e o sólido pode ser descrito por 0 θ 2π 0 ψ π4 ou 45 e 0 ρ 4 Assim V sólido dV 0²π 0π4 0⁴ ρ² sen ψ dρ dψ dθ 2π 0π4 sen ψ ρ³3 ₀⁴ dψ 2π 4³3 0π4 sen ψ dψ 128π3 cos ψ 0π4 128π3 1 22 64 2 2 π3 z x² y² z 50 x² y² plano zy x0 z 50 y² Para determinar a coordenada z do centro de massa basta utilizar a fórmula zm 1M E z ρxyz dV onde M E ρxyz dV A região pode ser obtida por em esféricas 0 θ 2π 0 ψ π4 e 0 ρ 50 o jacobiano é ρ² sen ψ Assim x ρ sen ψ cos θ y ρ sen ψ sen θ e z ρ cos ψ M E ρxyz dV 0²π 0π4 050 ρ² sen² ψ cos² θ ρ² sen² ψ sen² θ ρ² cos² ψ ρ² sen ψ dρ dψ dθ 0²π 0π4 050 ρ⁴ sen ψ dρ dψ dθ 2π 0π4 sen ψ dψ 050 ρ⁵ dρ 2π5 5052 cos ψ 0π4 2π5 5052 1 22 500 50 π 2 2 500 π 2 50 10 Agora calculando zm temos zm 1500π250 10 E z ρxyz dV 1500π250 10 0²π 0π4 050 ρ cos ψ ρ² ρ² sen ψ dρ dψ dθ 1500π250 10 2π 0π4 050 ρ⁵ cos ψ sen ψ dρ dψ 1250250 10 16 0π4 12 sen2ψ ρ⁶ 050 dψ 50³12250250 10 0π4 sen2ψ dψ 50³12250250 10 cos2ψ2 0π4 50³24250250 10 1251250 5 Traçando as retas em R² y x y x y x 4 y 5 x y 5 x y x 4 considere a seguinte mudança de variáveis μ x y N x y x μ N2 y N μ2 A matriz jacobiana é J xμ xν yμ yν 12 12 12 12 J det 12 12 12 12 14 14 12 Note que os limites de integração mudam por se x y 5 N 5 x y 0 N 0 x y 0 μ 0 x y 4 μ 4 Assim 0 μ 4 e 0 N 5 Assim a integral se torna E x yex2 y2 dA E x y exyx4 dA E N euv dA 04 05 N euv dA du 05 N 04 euv du dv 05 e4v 1 dv 14 e4v N 05 14 e20 5 14 e20 14 5 5 a curva y senx2 pode ser parametrizada por γt t sen t2 0 t 2π Assim o trabalho pode ser calculado pela integral de linha W γ F dr 02π Fγt γt dt 02π 3t cossen t2 2 sen t2 cos t 32 t2 sensen t2 2 sen t 1 2t cos t2 dt 02π 3t cossen t2 2 cos t sen t2 3 t3 sensen t2 cos t2 4 t sen t cos t2 dt 3 02π t cossen t2 dt 2 02π cos t sen t2 dt 3 02π t3 cos t2 sen sen t2 dt 4 02π t sen t cos t2 dt Todas essas integrais são nãoelementares técnicas do cálculo 1 não ajudam aqui então calculando numericamente temos W 579224 J 6 utilizando coordenadas cilíndricas seu jacobiano é r assim note que o ângulo θ medido em relação ao eixo x vai de 0 a π2 enquanto o raio r vai de 0 a 2 e por fim z vai de z0 até z1 Logo E z dV 0π2 02 01 z r dz dr dθ π2 02 r z22 01 dr π4 02 r dr π8 r2 02 π2 6 A representação do arco é uma parametrização parael γt 4cos t 9sen t π2 t 0 γt 4 sen t 9 cos t e γ 4 As coordenadas do centro de massa são dadas por Xm 1M γ xρxyds e ym 1M γ yρxyds onde M γ ρxyds Assim M γ ρxyds 00 ργtγtdt π20 4 24cos t 39sen t dt 32 π20 cos t dt 98 π20 sen t dt 32 sen tπ20 48 cos tπ20 32 48 80 calculando agora Xm 180 γ xρxyds 180 π20 16 cos t 8 cos t 12 sen t dt 15 π20 8 cos² t 12 sen t cos t dt 2π5 mod o dueto do ponto ym 180 γ yρxyds 180 π20 16 sen t8 cos t 12 sen t dt 15 π20 8 sen t cos t 12 sen² t dt 3π5 Assim o centro de massa é dado por Cm xm ym 2π5 3π5 7 A curva C pode ser descrita por γt 4 sen t 4 cos t 3t com t 0 π2 e assim γt 4 cos t 4 sen t 3 γ 16 cos² t 16 sen² t 912 2512 5 Assim a área superficial pode ser obtida por As γ hxyz ds 0π2 hγtγt dt 5 44 0π2 sen t cos³ t dt u cos t du sen t dt 5 44 10 u³ du 5 4³ u⁴10 5 4³ 320 8 x² y² 36 uma parametrização é dada por no sentido antihorário γt 6 cos t 6 sen t 0 t 2π γt 6 sen t 6 cos t assim o trabalho é dado por W γ F dr 02π Fγt γt dt 02π e6 cos t 6 cos t2 6 sen t e6 sen t 6 cos t6 sen t2 6 sen t 6 cos t dt 02π 6 sen t e6 cos t 64 cos² t sen² t 6 cos t e6 sen t 64 cos² t sen² t dt 02π 6 sen t e6 cos t dt 02π 6 cos t e6 sen t dt 264 02π cos² t sen² t dt 60 eu du 00 ev dv 2 64 02π 14 2 cos t sen t2 dt limite de integrações nulas 642 02π sen² 2t dt 642 02π 12 12 cos 4t dt 642 t2 18 sen 4t02π π 642 648 π J