Resolução de uma Questão

Determine o valor medio da função fxyzx² z y² z na região delimitada pelas superficies z 1 x 2 y 2 e z 0 Determine valor médio de fxyz na região delimitada pelos superfícies z 1 x² y² e z 0 O valor médio de uma função em uma região R é f médio 1VR R fxyz dv onde VR é o volume da região e R fxyzdv é integral tripla da função na região Região R z 1 x² y² z 0 usando coordenadas cilíndricas r θ z onde x r cos θ y r sen θ z z z 1 x² y² z 1 x² y² x² r²cos² θ y² r² sen² θ x² y² r² pois cos² θ sen² θ 1 logo z 1 x² y² em coordenadas cilíndricas é z 1 r² Temos a região R z 1 r² z 0 Em coordenadas cilíndricas fxyz se torna frθz fxyz x² z y² z frθz r² cos² θ z r² sen² θ z Digitalizado com CamScanner fr θ z r² z cos²θ sen²θ fr θ z r² z pois cos²θ sen²θ 1 Em coordenadas cilíndricas dV r dz dr dθ De tudo isso VR 0²π 0¹ 0¹r² r dz dr dθ 0²π 0¹ r z0¹r² dr dθ 0²π 0¹ r 1r² dr dθ 0²π 0¹ r r³ dr dθ 0²π r²2 r⁴40¹ dθ 0²π 12 14 dθ 0²π 14 dθ θ40²π 2π4 π2 VR π2 R fx y z dV 0²π 0¹ 0¹r² r² z r dz dr dθ 0²π 0¹ r³ z²20¹r² dr dθ 0²π 0¹ r³ 1r²² 2 dr dθ 12 0²π 0¹ r³ 12 r² r⁴ dr dθ 12 0²π 0¹ r³ 2 r⁵ r⁷ dr dθ 12 0²π r⁴4 2 r⁶6 r⁸80¹ dθ 12 0²π 14 13 18 dθ 12 0²π 6 8 324 dθ 12 0²π 124 dθ 148 θ0²π 2π48 π24 R fx y z π24 fmedio 1VR R fxyz 1π2 π24 2π π24 224 112 fmedio 112