Lista de Exercícios Resolvidos Calculo IV Campos Vetoriais Integrais de Linha - Teorema de Green

Lista3 Cálculo IV Prof Cícero Rita da Silva Campos Vetoriais Integrais de Linha TFIL Teorema de Green e Rotacional e Divergente 1 Calcule a integral de linha onde C é a curva dada a C x seny ds C segmento de reta que liga os pontos 03 até 46 b C x2 y3 x dy C é o arco da curva y x de 11 até 42 c C z2 dx x2 dy y2 dz onde C consiste nos segmentos de reta de 100a 412 2 Calcule a integral de linha C 4xy dx 2x2 3xy dy onde C consiste no segmento de reta de 32 a 10 e no arco do primeiro quadrante da circunferência x2 y2 1 de 10 a 01 percorrido no sentido antihorário 3 Calcule a integral de linha C x y dx y z dy x z dz onde C é o segmento de reta da origem ao ponto 124 4 Calcule a integral de linha C F dr onde C é dada pela função vetorial rt t2 î t3 ĵ t2 k onde 0 t 1 e Fxyz x yî y zĵ z2 k 5 Uma partícula percorre a cúbica retorcida rt tî t2 ĵ t3 k onde 0 t 1 Ache o trabalho total realizado se o movimento foi causado pelo campo de forças Fxyz ex î xez ĵ xsenty2 k O trabalho é dado em Joules 6 Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x t y cost z sent 0 t 2π Se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à origem 7 Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial rt onde a t b mostre que C r dr 12 rb ra 8 Determine se F é ou não um campo vetorial conservador Se for determine uma função f tal que F f a Fxy 2x 3yî 3x 4y 8ĵ b Fxy yex senyî ex xcoyĵ c Fxyz yzî xzĵ xy 2zk Use o resultado para calcular C F dr ao longo de C onde C é o segmento de reta de 102 a 463 9 Suponha que o campo de forças Fxy y2 2x 4î 2xy 4y 5ĵ mova uma partícula da origem ao ponto 11 a Mostre que F é conservativo b Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos i segmento de reta da origem ao ponto 11 ii do segmento da parábola y x2 da origem ao ponto 11 10 Mostre que a integral de linha C tgy dx xsec2 y dy é independente do caminho e calcule a integral C é qualquer caminho de 10 a 2 π4 11 Seja F f onde fxy senx 2y Encontre a curva c1 que não seja fechada que satisfaça a equação C1 F dr 0 12 Mostre que se um campo vetorial F Pî Qĵ Rk é conservativo e PQ e R têm derivadas parciais de 1ª ordem contínuas então Py Qx Pz Rx Qz Ry 13 Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva a C xy2 dx 2x2 y dy C é o triângulo com vértices 00 22 e 24 b C xe2x dx x4 2x2 y2 dy C é o limite da região entre os círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 c Fxy ex y2 ey x2 C consiste no arco da curva y cosx de π20 a π20 e o segmento de reta de π20 a π20 14 a Se Fxy 12 y î 12 x ĵ mostre 12 C xdy ydx A onde A é a área da região D b Encontre a área da região encerrada pela elipse x2a2 y2b2 1 15 Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial a Fxy xyez î yzex k b Fxy 1x2 y2 z2 x î y ĵ z k 16 Determine se o campo vetorial Fxyz y2 z3 î 2xyz3 ĵ 3xy2 z2 k é conservativo ou não Se for conservativo determine uma função f tal que F f 17 Seja rxy xî yĵ zk e r r mostre que a r 3 b r r 4r