P1 com Gabarito-2021-1

Universidade Federal de Campina Grande Unidade Acadˆemica de Matem´atica Disciplina: 1109108 Variveis Complezas − Turma 01 R − Semestre: 2021.1 Primeiro Est´agio Aluno(a): .................................................................................................. Nota: ...................... Professor: Marco Antonio L´azaro Vel´asquez Data: 23 de dezembro de 2021. 1. Determine a, b ∈ R de tal forma que a igualdade (−1 + i)a + (1 + 2i)b = 1 seja v´alida. (a) a = 2/3, b = −1/3. (b) a = 4/5, b = −1/5. (c) a = −4/5, b = 1/5. (d) a = −2/3, b = 1/3. (alternativa correta) (e) a = −1/2, b = 1/2. (f) Nenhuma das alternati- vas dadas ´e correta. 2. Dizemos que z ∈ C est´a na forma padr˜ao quando ele est´a escrito na forma a + bi, para alguns a, b ∈ R. Encontre a forma padr˜ao de z = 1 + i i + i 1 − i (a) z = 1 2 − 1 3 i. (b) z = −1 2 + 3 2 i. (c) z = 1 4 − 1 √ 3 i. (d) z = 1 2 − 1 2 i. (alternativa correta) (e) z = −1 2 + 1 2 i. 1 (f) Nenhuma das alternati- vas dadas ´e correta. 3. No plano complexo, o lugar geom´etrico dos pontos z ∈ C que verificam a equa¸c˜ao Re (z (¯z + 2)) = 3 representa (a) o c´ırculo de centro z0 = (0, 1) e raio R = 2. (b) o c´ırculo de centro z0 = (−1, 0) e raio R = 2. (alternativa correta) (c) a elipse cujos focos s˜ao dados nos pontos (±1, 0). (d) a linha reta que passa pela origem cuja incli- na¸c˜ao ´e −1. (e) a hip´erbole dada pela equa¸c˜ao x2 − y2 = 1. (f) Nenhuma das alternati- vas dadas ´e correta. 4. Com rela¸c˜ao ao conjunto S = {z ∈ C : Re (z2) > 1}, considere as seguintes afirma¸c˜oes: (i) S ´e aberto; (ii) S ´e fechado; (iii) S ´e limitado; (iv) S n˜ao ´e limitado; (v) S ´e conexo (vi) S admite a representa¸c˜ao gr´afica: 2 São verdadeiras: (a) (i), (iv) e (vi). \hspace{5mm} \textcolor{blue}{(\text{alternativa correta})} (b) (ii), (iv) e (vi). (c) (i), (iii) e (vi). (d) (i), (iv) e (v). (e) (i), (iii) e (v). (f) Nenhuma das alternati- vas dadas é correta. 5. Encontre todos os valores de (-1 - \sqrt{3}i)^{1/4}. (a) \ \left\{ \pm 2^{-3/2} \left( \sqrt{3} - i \right) , \pm 2^{-3/2} \left( 1 + \sqrt{3} i \right) \right\}. \hspace{5mm} \textcolor{blue}{(\text{alternativa correta})} (b) \ \left\{ \pm \frac{1}{3} \left( \sqrt{2} - i \right) , \pm \frac{1}{3} \left( 1 + \sqrt{2} i \right) \right\}. (c) \ \left\{ \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \sqrt{3} - i \right), \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 + \sqrt{3}i \right) \right\}. (d) \ \left\{ \pm \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} - i \right), \pm \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{2}i \right) \right\}. (e) \ \left\{ \pm \frac{1}{2} \left( 2 \sqrt{3} - i \right), \pm \frac{1}{2} \left( 1 + 2\sqrt{3}i \right) \right\}. (f) Nenhuma das alternati- vas dadas é correta. 6. Determine o domínio de definição da função f(z) = \text{Arg} \left( \frac{1}{z - \overline{z}} \right) . (a) {z ∈ C : Re(z) ̸= 0}. (b) {z ∈ C : Im(z) ̸= 0}. (alternativa correta) (c) {z ∈ C : z ̸= 0}. (d) {z ∈ C : |z| ̸= 1}. (e) Todo o plano complexo C. (f) Nenhuma das alternati- vas dadas ´e correta. 7. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (i) w = ez aplica {z = (x, y) : −π ≤ y ≤ 0} no semi-espa¸co {w = (u, v) : v ≤ 0}, (ii) w = z2 aplica {z = (x, y) : −π ≤ y ≤ 0} no semi-espa¸co {w = (u, v) : v ≤ 0}, (iii) w = ez aplica {z = (x, y) : ln 2 ≤ x ≤ ln 5} na regi˜ao {w = (ρ, φ) : 2 ≤ ρ ≤ 5}, (iv) w = z2 aplica {z = (x, y) : ln 2 ≤ x ≤ ln 5} na regi˜ao {w = (ρ, φ) : 2 ≤ ρ ≤ 5}, (v) w = z2 aplica a hip´erbole {z = (x, y) : x2 − y2 = 1} na reta vertical {w = (u, v) : u = 1}, (vi) w = z2 transforma a hip´erbole {z = (x, y) : 2xy = 1} na reta horizontal {w = (u, v) : v = 1}, S˜ao verdadeiras: (a) Todas as alternativas s˜ao v´alidas. (b) (ii), (iv), (v) e (vi). (c) (ii), (iii), (iv) e (vi). (d) (i), (iii), (v) e (vi). (alternativa correta) (e) (ii), (iii), (v) e (vi). (f) Nenhuma das alternati- vas dadas ´e correta. 4 8. Calcule o limite L = lim z→∞ e1/z + z2 + 5 2z − 1 . (a) L = 1/2. (b) L = 0. (c) L = ∞. (alternativa correta) (d) L = i. (e) L = i/2. (f) Nenhuma das alternati- vas dadas ´e correta. 9. Com rela¸c˜ao as fun¸c˜oes: f1(z) = 20z(5z3 + i)2, z ∈ C, f2(z) = z¯z, z ∈ C, f3(z) = Re(z), z ∈ C, f4(z) = (z2 + 1)4 2z + 1 , z ∈ C \ {−1/2}, f5(z) = ¯z + Im(z), z ∈ C, considere as seguintes afirma¸c˜oes: (i) f1(z), f2(z), f3(z), f4(z) e f5(z) admitem derivada, (ii) f1(z) e f4(z) admitem derivada, (iii) f1(z), f2(z) e f4(z) admitem derivada, (iv) f2(z) s´o admite derivada em z = 0, (v) f3(z) e f5(z) n˜ao admitem derivada, (vi) f5(z) s´o admite derivada em z = 0. S˜ao verdadeiras: (a) Todas as alternativas s˜ao v´alidas. (b) (ii), (iii) e (v). (c) (ii), (iv) e (vi). 5 (d) (ii), (iv) e (v). (\textcolor{blue}{\text{alternativa correta}}) (e) (ii), (v) e (vi). (f) Nenhuma das alternati- vas dadas é correta. 10. Com relação a função f(z) = \left\{\begin{array}{l} \left( \frac{z-1}{z-1} \right)^{2}, \quad \text{quando $z \neq 1$,}\\ 0 , \quad \text{quando $z = 1$,}\\ \end{array}\right. considere as seguintes afirmações: (i) \ f'(1) = \lim_{\Delta z \to 0} \left( \frac{\Delta z}{\Delta z} \right)^{2} = \left\{ \begin{array}{l} \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta x}{\Delta x} \right)^{2} = 1, \quad \Delta z = \Delta x + i0 , \\ \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{1-i}{1+i} \right)^{2} = -1, \quad \Delta z = \Delta x + ix , \\ \end{array} \right. (ii) \ f'(1) = \lim_{\Delta z \to 0} \left( \frac{\Delta z}{\Delta z} \right)^{2} = \left\{ \begin{array}{l} \lim_{\Delta y \to 0} \left( \frac{-i\Delta y}{i\Delta y} \right)^{2} = 1, \quad \Delta z = 0 + i\Delta y , \\ \lim_{\Delta y \to 0} \left( \frac{1-i}{1+i} \right)^{2} = -1, \quad \Delta z = \Delta x + ix , \\ \end{array} \right. (iii) \ f'(1) = 1 , (iv) \ f'(1) = -1 , (v) \ f'(1) \text{ não existe.} São verdadeiras: (a) \ \text{Todas as alternativas são} \textcolor{cc0000}{válidas.} (b) \ (i), (ii) e (iii). (c) \ (i), (ii) e (iv). (d) \ (i), (ii) e (v). (\textcolor{blue}{\text{alternativa correta}}) (e) \ (i), (ii), (iii) e (iv). (f) \ \text{Nenhuma das alternati- vas dadas é correta.} (01) \ \text{Se } \ z_1 = -1 + i = (-1,1) , \ z_2 = 1 + 2i = (1,2) e \ z_3 = 1 + 0i = (1,0) \ então (-1+i) a + (1+2i) b = 1 equivale a (-1,1) a + (1,2) b = (1,0), ou ainda, (-a+b,\ a+2b) = (1,0), de onde obtemos o sistema \begin{cases} -a+b=1\\ a+2b=0, \end{cases} sua única solução é \ a=-2/3 , \ b=1/3. (02) \ \text{Temos que} \frac{1+i}{-i} + \frac{i}{1-i} = \frac{(1+i)(-i)}{i(-i)} + \frac{i\ (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1-i}{1} + \frac{i-1}{2} = \frac{1-i}{2}. (03) \ \text{Se } \ z = x+iy \in \mathbb{C} \ então 3 = \text{Re}\left( z \overline{z+2} \right) = \text{Re}\left((x+iy)(x-iy+2)\right) = \text{Re}\left(x^2+2x+iy^2+2yi\right) = x^2+2x+y^2, de onde obtemos a equação \ (x+1)^2+y^2=4, que representa um círculo de centro \ (\-1,0) e raio \ R=2. (04) Se z = x+iy ∈ ℂ então Re(z²) > 1 ⇔ Re((x+iy)(x+iy)) > 1 ⇔ Re(x²−y² + 2ixy) > 1 ⇔ x²−y² > 1, de onde obtemos que o gráfico de S é (05) Temos −1−√3i = reiθ, com { r = √(−1)² + (−√3)² = 2 tanθ = −√3/−1 = √3. Como −1−√3i está no terceiro quadrante então θ = π/3 − π = −2π/3 ∈ (−π, π] é o argumento principal de −1−√3i. Assim, −1−√3i = 2 e^{i(−2π/3)}. Logo, os valores distintos de (−1−√3i)^{1/4} são dados por cₖ = 2^{1/4} e^{i(−π/12 + 2kπ/4)}, k ∈ {0, 1, 2, 3}. Daí, c₀ = 2^{1/4} e^{i(−π/6)} = 2^{1/4} (cos π/6 − i sen π/6) = 2^{1/4} (√3/2 − i/2) = 2^{−3/2} (√3−i), c₁ = 2^{1/4} e^{i(−π/6 + π/2)} = 2^{1/4} e^{i(−π/6)} * e^{iπ/2} = c₀ * i = 2^{−3/2} (1+√3 i), (06) Temos que 1/(z−z̅) faz sentido quando z−z̅ ≠ 0 ⇔ x+iy−(x−iy) ≠ 0 ⇔ 2iy ≠ 0 ⇔ y ≠ 0 ⇔ Im(z) ≠ 0. Portanto, o domínio de definição da função f(z) = 1/(z−z̅) é {z ∈ ℂ; Im(z) ≠ 0}. (07) Se z̅ = x+iy ∈ ℂ então temos que a transfor- mação w = e^{z̅} pode ser escrita como {ρ = e^x ϕ = y. Dessa forma, w = e^{z̅} aplica a faixa horizontal {z=(x+iy); −π ≤ y ≤ 0} no semi-espaço inferior {w=(u,v); v < 0}, e a faixa vertical {z=(x,y); ln2 ≤ x ≤ ln5} na região tipo-anel {w=(ρ,ϕ); 2 ≤ ρ ≤ 5}. Por outro lado, a transformação w = 2^{z²} pode ser escrita como {u = x²−y² v = 2xy. Para f(z) = \left\{ \begin{array}{ll} \left(\frac{\overline{z}-1}{z-1}\right)^2, & z \neq 1 \\ 0, & z = 1 \end{array} \right. f'(1) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(1+\Delta z) - f(1)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\left(\frac{1+\Delta z - 1}{1+\Delta z - 1}\right)^2 - 0}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \left(\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\right)^2 = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{se } \Delta z = \Delta x + i0 \\ -1, & \text{se } \Delta z = 0 + i\Delta y \end{array} \right. De forma análoga, f'(1) = \left\{ \begin{array}{ll} \lim_{\Delta y \to 0} \left(\frac{-i\Delta y}{i\Delta y}\right)^2 = 1, & \text{se } \Delta z = 0 + i\Delta y \\ \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^2 = -1, & \text{se } \Delta z = \Delta x + i\Delta x \end{array} \right. Portanto, f'(1) \text{ não existe.} logo, o mapeamento w=z^2 aplica a hipérbole \{z=(u+iv): x^2-y^2=1\} na reta vertical \{w=(u,iv): u=1\} e a hipérbole equilátera na reta horizontal \{w=(u,v): v=1\}. (08) Como \lim_{z \to 0} \frac{2(\frac{1}{z})-1}{e^{\frac{1}{z}}+(\frac{1}{z})^2+5} = \lim_{z \to 0} \frac{2-\overline z}{z^2 e^{\overline z}+1+5z^2} \\ = \lim_{z \to 0} \frac{z^2(2-z)}{z(z^2 e^\overline{z}+1+5z^2)} \\ = \frac{0(z-0)}{e^0+1+5(0)} = \frac{0}{1} = 0 \\ então \lim_{z \to \infty} \frac{e^{1/z}+z^2+5}{2z-1} = \infty. (09) Temos que f_1(z) = 20z(5z^3+i)^2 e f_4(z) = (\frac{z^2+1}{2z+1})^4 \text{ admitem derivada em todo } z \text{ contido nos seus domínios de definição. Temos também que } f_2(z) = 2\overline z = |z|^2 \text{ admite derivada só em } z=0. Além disso, f_3(z) = \text{Re}(z) e f_5(z) = \overline z + \text{Im}(z) \text{ não admitem derivada em qualquer } z \in \mathbb{C}.