P1 - Variáveis Complexas - 2021-2

(GABARITO) Universidade Federal de Campina Grande Unidade Acadêmica de Matemática Disciplina: 1109108 Variáveis Complexas - Turma 01 - Semestre: 2021.2 Primeiro Estágio Aluno(a): MARCO ANTONIO LÁZARO VELÁSQUEZ Nota: ...................... Professor: Marco Antonio Lázaro Velásquez Data: 7 de junho de 2022. Importante: • Não retire o grampo da prova, use apenas o papel disponível da prova, escreva seus procedimentos e respostas com letra clara e legível. • A resolução da prova é individual, alunos que forem pegos colando terão automática- mente a nota mínima, questões e provas com soluções identicas terão também a nota mínima. /. (2.0 pontos) Encontre o argumento principal Arg(z) de z quando z = (𝑖/1+𝑖)^5. 2. Considere o número complexo z0 = −27. (a/) (1.5 ponto) Determine todos os valores diferentes (em coordenadas cartesianas) de z0^1/3. (b/) (0.5 pontos) No plano complexo, esboce os valores diferentes do item (a) como vértices de um polígono regular. 3. No plano complexo, considere S = {z ∈ ℂ : Re(z(𝑧̅ + 2)) < 3}. (a/) (1.0 ponto) Esboce o conjunto S. (/b) (0.5 pontos) O conjunto S é um domínio? Justifique sua resposta. (c/) (0.5 pontos) S é um conjunto limitado? Justifique sua resposta. /N. (1.0 ponto) Calcule lim (1+z)^(1/4)-1/z. z->0 V. (1.0 ponto) Calcule lim (z^3-3z^2+1)/(2z^2+5z-z). z->∞ 5. Considere a função 𝑓: ℂ → ℂ z ➝ 𝑓(z) = {0 , se z=0 z^2/z , se z ≠ 0. (a/) (1.0 ponto) f(z) é continua em z0 = 0? Justifique sua resposta. (b/) (1.0 ponto) f(z) é diferenciável z0 = 0? Justifique sua resposta. (a) \, \text{Seja} \ S \, \n\begin{cases} R=2, & \text{Seja} \, f(z) = \frac{z^3 - 3z^2 + 1}{z^2 + 5z - z} \end{cases} \, \n\text{Como} \, \lim_{z \to 0} \frac{z^3(1 + 5z - z^2)}{z^2(1 - 3z + z^3)} = 0 \, , \n\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \n(b) \, \text{Afirm-se que} \, \lim_{z \to 0} f(z) = 0.\, \text{De fato,} \, \ \n\\ |f(z) - 0| - 1 = \left|\frac{\overline{z}}{z}\right|^2 = \n\frac{|\overline{z}||z|}{|z||z|} = |z| , \n(b) \lim_{z \to \infty} f(z) = -\infty, \n\text{Portanto,} \, \lim_{z \to \infty} f(z) = 0. \n\Observe \text{que temos} \, f(0) = 0. \text{Assim,} \, \lim_{z \to 0} f(z) = f(0). \n\text{Portanto,} \, f(z) \, \text{é contínua em} \, z_0=0. 5(b) Observe que \, \lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} = \lim_{z \to 0} \frac{\overline{z}^2 - 0}{z} = \lim_{z \to 0} \left(\frac{\overline{z}}{z}\right)^2 \text{Como} \, \lim_{z \to 0} 1 = 1, \, \text{se} \, z = x + i0 \, \lim_{z \to 0} \left(\frac{1 + i}{1 + i}\right)^2 = \frac{1 - i}{1 + i} \, \text{se} \, z = x + ix \, \text{então o limite} \, \lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z} \, \text{não existe} \\ \text{Portanto,} \, f(z) \, \text{não é diferenciável em} \, z_0 = 0.