Lista - Leis de Maxwell - 2023-1

3) Enquanto um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 20 cm de diâmetro está sendo carregado, a densidade de corrente da corrente de deslocamento na região entre as placas é uniforme e tem módulo de 20 A/m2. (a) Calcule o módulo B do campo magnético a uma distância r = 50 mm do eixo de simetria dessa região. (b) Calcule dE/dt nessa região. 4) A partir das equações de Maxwell na forma integral, escreva as equações de Maxwell na forma diferencial usando os teoremas de Gauss (ou da divergência) e o de Stokes. 5) Partindo das equações de Maxwell na forma diferencial, encontre a equação de onda, para o campo elétrico e para o campo magnético, se propagando no vácuo. 1) A corrente de deslocamento é definida como i_d = \varepsilon_0 \frac{d \Phi}{dt}, onde \Phi = \int_s \vec{E} \cdot d\vec{A}. Seja um capacitor de placas paralelas de capaci- tância C. Sabemos que o campo entre as placas e \vec{E}(t) = \frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0}, onde \sigma(t) é a densidade de carga. Logo, \vec{E}(t) = \frac{q_0(t)}{\varepsilon_0 A} e, então \Phi = \int_s \vec{E} \cdot d\vec{A} = EA = \frac{q_0(t) A}{\varepsilon_0 A} = \frac{q_0(t)}{\varepsilon_0}. Logo, i_d = \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \frac{q_0(t)}{\varepsilon_0} = \frac{d q_0(t)}{dt}, mas, a carga no capacitor é q_0(t) = C V(t), de modo que i_d(t) = C \frac{d V(t)}{dt} 3) a) Temos J_d = 20 \frac{A}{m^2}, de modo que i_d = J_d \pi r^2 = 20\pi (50 \cdot 10^{-3})^2 = \frac{\pi}{20} A Pela Lei de Ampere Maxwell: \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (i + i_d) = \mu_0 i_d . Logo, B 2\pi r = \mu_0 i_d \rightarrow B = \frac{\mu_0 i_d}{2\pi r} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \pi / 20}{2\pi \cdot 50 \cdot 10^{-3}} Temos: B = 6,28 \cdot 10^{-7} T b) Sabemos que i_d = \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int \vec{E} \cdot d\vec{A}. Mas, i_d = \int \vec{J}_d \cdot d\vec{A}, de modo que podemos identificar J_d = \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{J_d}{\varepsilon_0} = \frac{20}{8,85 \cdot 10^{-12}} \frac{\partial E}{\partial t} = 2,26 \cdot 10^{12} \frac{N}{C \cdot s} 4) Lei de Gauss: \int \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho dV, onde \rho é a densidade de carga. Pelo teorema de Gauss, \int \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int \vec{\nabla} \cdot \vec{E} dV . Logo, \int \vec{\nabla} \cdot \vec{E} dV = \int \frac{\rho}{\varepsilon_0} dV \implies \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} Lei de Gauss do Magnetismo: \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 , Pelo Teorema de Gauss, \int \vec{\nabla} \cdot \vec{B} dV = 0 \implies \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 Lei de Faraday: \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int \vec{B} \cdot d\vec{A}. Pelo teorema de Stokes, \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int \nabla \times \vec{E} \cdot d\vec{A}. Logo, \int \nabla \times \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{A}, de modo que \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} Lei de Ampère - Maxwell: Temos \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i + \mu_0 \varepsilon_0 \dot{i} . Ou seja, \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left[ \int \vec{J} \cdot d\vec{A} + \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int \vec{E} \cdot d\vec{A} \right] Pelo teorema de Stokes, \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int \nabla \times \vec{B} \cdot d\vec{A}. Logo, \int \nabla \times \vec{B} \cdot d\vec{A} = \int \left[ \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right] \cdot dA Portanto, \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} 5) No vácuo, temos \nabla \cdot \vec{E} = 0 \quad (1) \nabla \cdot \vec{B} = 0 \quad (2) \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad (3) \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad (4) Tomando o rotacional da equação 3, temos, usando que \nabla \times (\nabla \times \vec{F}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{F}) - \nabla^2 \vec{F} : \nabla \times \nabla \times \vec{E} = \nabla (\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{B} . \therefore \nabla \cdot \vec{E} = 0 no vácuo Como \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, então: \nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} O cálculo para \vec{B} é análogo. Tomamos o rotacional da equação 4: \nabla \times \nabla \times \vec{B} = \nabla (\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{E} . Como \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, então: \nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}