Aula de Inferência Estatística - Engenharia Civil

Inferência Estatística Curso Engenharia Civil Disciplina Probabilidade e Estatística Profa Dra Amanda Buosi Gazon Milani Aula 19072023 Inferência Estatística População é o conjunto de todos os indivíduoselementosresultados sob investigação Amostra é qualquer subconjunto da população Dados são as observações coletadas medidas gênero respostas de sondagens características observadas Parâmetro é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população Estatística é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra É uma função da amostra Considere X₁ X₂ Xn uma amostra aleatória da variável X As estatísticas mais comuns são X X₁ X₂ Xn nᵢ₁ Xin média amostral S² X₁ X² X₂ X² Xn X²n 1 nᵢ₁XiX²n1 variância amostral S S² desvio padrão amostral Estatística Distribuições Amostrais Teorema do Limite Central TLC Teorema do Limite Central Distribuição amostral da média com variância conhecida Distribuição amostral da média com variância desconhecida Suponha que queremos determinar a proporção de sucessos p de uma certa população Logo podemos definir uma variável aleatória X da seguinte maneira X 1 se ocorre sucesso 0 se ocorre fracasso Assim temos que X é uma variável discreta com distribuição de Bernoulli tal que μ EX p e σ² VarX p1 p Retirada uma amostra aleatória X₁ X₂ Xn de tamanho n dessa população e indicando por Yn o total de sucessos nesta amostra Yn X₁ X₂ Xn sabemos que Yn Binomialn p Podemos escrever que Yn n ᵢ1 Xi n ᵢ1 Xin nX mas pelo Teorema do Limite Central terá distribuição approximadamente normal com média p e variância p1 pn ou seja X Np p1 pn Note que X na expressão acima é a própria variável p e desse modo para n grande podemos considerar a distribuição amostral de p como aproximadamente normal p Np p1 pn Z p p p1 pn N0 1 Inferência Estatística Estimação Estimação Conceitos Estimativa pontual é um único valor ou ponto usado para approximar um parâmetro populacional Intervalo de confiança é uma faixa ou um intervalo de valores usada para se estimar o verdadeiro valor de um parâmetro populacional A um intervalo de confiança está associado um Nível de confiança é a probabilidade 1α ou o equivalente em porcentagem que é a proporção de vezes que o intervalo de confiança realmente contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional supondo que o processo de estimativa seja repetido um grande número de vezes As escolhas mais comuns são 90 α010 95 α005 e 99 α001 Estimação Conceitos Valor crítico é um número na fronteira que separa estatísticas amostrais que têm chance de ocorrer daquelas que não têm Por exemplo na N01 o valor crítico zα2 é tal que deixa α2 de área à sua direita e portanto zα2 é tal que deixa α2 de área à sua esquerda Figura Representação valor crítico para um dado nível de confiança 1α Fonte Elaborado pelo autor Valor crítico Exemplo Encontrando um valor crítico zα2 na distribuição N01 α005 nível de confiança 95 Procurar na Tabela de Escores Z Negativos o valor que deixa α2005 à esquerda de zα2 ou alternativamente procurar na Tabela de Escores Z Positivos o valor que deixa α21α1α20975 à esquerda de zα2 ou seja zα2 tal que PZzα20025 ou zα2 tal que PZzα20975 Temos zα2196 Valor crítico Exemplo Encontrando um valor crítico zα2 na distribuição N0 1 α 0 01 nível de confiança 99 Procurar na Tabela de Escores Z Negativos o valor que deixa α2 0005 à esquerda de zα2 ou alternativamente procurar na Tabela de Escores Z Positivos o valor que deixa α2 1 α 1 α2 0995 à esquerda de zα2 ou seja zα2 tal que PZ zα2 0005 ou zα2 tal que PZ zα2 0995 Temos zα2 2575 Valor crítico Exemplo Encontrando um valor crítico zα2 na distribuição N0 1 α 0 10 nível de confiança 90 Procurar na Tabela de Escores Z Negativos o valor que deixa α2 005 à esquerda de zα2 ou alternativamente procurar na Tabela de Escores Z Positivos o valor que deixa α2 1 α 1 α2 095 à esquerda de zα2 ou seja zα2 tal que PZ zα2 005 ou zα2 tal que PZ zα2 095 Temos zα2 1645 Valor crítico Em resumo os valores críticos associados aos níveis de confiança de 90 95 e 99 estão listados na tabela a seguir Nível de Confiança 1 α α α2 valor crítico zα2 90 090 010 005 1645 95 095 005 0025 196 99 099 001 0005 2575 Figura Representação valor crítico para um dado nível de confiança 1 α Estimação da Proporção Populacional Problema Considere uma pesquisa de satisfação 280 pessoas foram entrevistadas 123 declararam estarem satisfeitas n 280 x 123 Seja X 0 se a pessoa não estava satisfeita fracasso 1 se a pessoa estava satisfeita sucesso O parâmetro associado a variáveis do tipo sucessofracasso é a proporção Estimação da Proporção Populacional Notações para proporção p proporção populacional ˆp xn proporção amostral de x sucessos em uma amostra de tamanho n ˆq 1 ˆp proporção amostral de fracassos em uma amostra de tamanho n Estimativa pontual para proporção A proporção amostral ˆp é a melhor estimativa pontual da proporção populacional p No exemplo da pesquisa de satisfação temos que ˆp 123280 0 44 é a melhor estimativa pontual para a proporção populacional Para melhorar a estimativa da proporção vamos construir o intervalo de confiança para p Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional Intervalo de confiança para proporção O intervalo de confiança para a proporção populacional é dado por ˆp E p ˆp E em que E zα2 ˆp ˆqn Formas equivalentes ˆp E ˆp E ˆp E E é conhecido como margem de erro ˆp E limite de confiança inferior ˆp E limite de confiança superior Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional Exemplo Considerando os dados da pesquisa de satisfação determine o intervalo de confiança para um nível de 95 de confiança n 280 ˆp 123280 0 439 e q 1 0 439 0 561 Primeiramente calculemos a margem de erro considerando 95 de confiança α 0 05 E zα2pq n 19604390561 280 0058 Assim o intervalo de confiança para p proporção de pessoas satisfeitas é dado por ˆp E p ˆp E 0439 0058 p 0439 0058 0381 p 0497 Alternativamente p 0381 0497 ou p 0439 0058 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional Exercício Considerando os dados da pesquisa de satisfação calcular os intervalos de confiança para os níveis de confiança 90 e 99 Tamanho amostral para Proporção Populacional Suponhamos que desejamos coletar dados amostrais com o objetivo de estimar alguma proporção populacional Quando uma estimativa ˆp é conhecida n zα2²pˆq E² Quando não se conhece qualquer estimativa ˆp Neste caso substituímos ˆp por 0 5 e consequentemente q 0 5 n zα2²0 25 E² Portanto para determinar o tamanho amostral mínimo numa pesquisa cujo objetivo é uma proporção basta estabelecermos previamente o nível de confiança e a margem de erro tolerável desejados Tamanho amostral para Proporção Populacional Interpretação de um intervalo de confiança Interpretação de um intervalo de confiança