Apostila PDS - Processamento Digital de Sinais UNIFEI 2024

Universidade Federal de Itajubá Apostila de Processamento Digital de Sinais Prof Giscard Francimeire Cintra Veloso Itajubá 2024 Sumário Disciplina ECAC14A Processamento Digital de Sinais7 1 Sinais e Sistemas Discretos9 11 Sinais9 12 Série de Fourier10 121 Expansão de Funções10 Exercício 1112 122 Série Trigonométrica de Fourier12 123 Espectro de Fourier14 Exemplo 1115 Exercício 1217 Exercício 1318 124 Série Exponencial de Fourier18 Exemplo 1219 125 Espectro Exponencial de Fourier20 126 Frequências Negativas22 13 Transformada de Fourier22 131 Transformada de Fourier de Alguns Sinais Úteis24 Sinal de Porta pulso retangular rectx24 Função Impulso Unitário δt26 Função Exponencial Complexa ejωt27 14 Amostragem28 141 Quantização31 142 Teorema da Amostragem32 Exercício 1436 15 Transformada z36 151 Modelagem do Processo de Amostragem37 152 A Transformada z40 Exemplo 1341 Exemplo 1441 153 Propriedades da Transformada z43 16 Sinais Discretos44 Exemplo 1545 Exercício 1547 17 Sistemas Discretos47 Exemplo 1650 18 Plano z50 181 Resposta Transitória53 19 Equação de Diferenças e Algoritmo53 Exemplo 1754 110 Resposta ao Impulso e Convolução56 1101 Resposta ao Impulso56 1102 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo57 1103 Cálculo do Sinal de Saída por meio da Resposta ao Impulso60 Exemplo 1862 111 Resposta em Frequência63 Exemplo 1963 1 Exemplo 11065 112 Exercícios Propostos66 2 Transformada Discreta de Fourier68 21 Correlação68 211 Coeficiente de Correlação71 Exemplo 2173 22 Transformada Discreta de Fourier74 221 A Transformada75 222 O Espectro de Fourier76 Exemplo 2277 Exemplo 2377 223 Leakage79 223 O Espectro Duplicado80 224 Transformada Rápida de Fourier81 225 Aplicações da Transformada Rápida de Fourier82 Transformada Inversa de Fourier82 Convolução Rápida83 Exemplo 2485 Transformada de Fourier de Tempo Curto85 23 Exercícios Propostos89 3 Introdução aos Filtros Digitais94 31 Transformações Aproximadas94 311 Transformação Bilinear95 Exemplo 3195 312 Transformação por Polos e Zeros Casados96 Exemplo 3297 32 Resposta em Frequência de Filtros100 321 Tipos de Resposta em Frequência de Filtros100 Passabaixas101 Passaaltas101 Passafaixa102 Rejeitafaixa102 322 Resposta de Fase103 33 Projeto de Filtros Digitais104 331 Especificação do Filtro Digital104 Exemplo 33106 Exemplo 34107 332 Aproximação de um Filtro Digital108 333 Realização eou Implementação de um Filtro Digital111 34 Estruturas de Filtros Digitais111 341 Forma Direta I113 Exemplo 35116 342 Forma Direta II117 Exemplo 36119 35 Exercícios Propostos120 4 Filtros de Resposta ao Impulso Infinita IIR122 41 Modelagem do Filtro Butterworth122 411 Modelagem do Filtro Passabaixas123 Determinação da ordem e da frequência de corte124 Cálculo dos polos125 2 Montagem da função de transferência contínua126 Conversão da função de transferência de contínua para discreta127 412 Modelagem do Filtro Passaaltas129 Determinação da ordem e da frequência de corte129 Cálculo dos polos130 Montagem da função de transferência contínua130 Conversão da função de transferência de contínua para discreta131 413 Modelagem do filtros Passafaixa e Rejeitafaixa132 42 Exercícios Propostos135 5 Filtros de Resposta ao Impulso Finita FIR137 51 Algoritmos de Convolução137 512 Ponto de vista da entrada137 513 Ponto de vista da saída A Máquina de Convolução139 513 Algoritmo de tempo real para a convolução143 52 Filtros FIR145 521 Filtro Moving Average145 522 Filtro Windowedsinc147 53 Exercícios Propostos156 Referências Bibliográficas158 Figuras Figura 11 Sinal periódico fonte 213 Figura 12 Espectro de Amplitude do sinalfunção et2 limitada entre 0 e π fonte 214 Figura 13 Espectro de Fase do sinalfunção et2 limitada entre 0 e π fonte 215 Figura 15 Espectro da função exponencial do exemplo 1117 Figura 16 Sinal de pulso quadrado do exercício 13 fonte 218 Figura 17 Função periódica com valores no período definidos por et2fonte 219 Figura 18 Espectro exponencial do sinalfunção do exemplo 1221 Figura 19 Sinal nãoperiódico fonte 222 Figura 110 Sinal nãoperiódico tornado periódico fonte 223 Figura 111 Função de porta unitária fonte 224 Figura 112 Função de porta unitária expandida fonte 224 Figura 113 Transformada de Fourier da função de porta fonte 225 Figura 114 Espectros de magnitude e de fase da função de porta fonte 225 Figura 115 Função sinc fonte 225 Figura 117 Função δt e seu espectro fonte 226 Figura 118 O sinal constante dc e seu espectro fonte 227 Figura 119 O trem de impuso unitário fonte 227 Figura 120 O trem de impuso unitário e seu espectro fonte 228 Figura 121 Diagrama de blocos de um esquema típico de Processamento Digital de Sinais fonte 129 Figura 122 Detalhe do processo de digitalização de sinais fonte 129 Figura 123 Seleção de amostras de um sinal de tempo contínuo no processo de amostragem30 Figura 124 Sinais digitais manipuláveis em computadores digitais30 Figura 125 Níveis de quantização e erro de arredondamento32 Figura 126 O processo de amostragem com diferentes taxas fonte 133 Figura 127 O processo de amostragem no domínio da frequência fonte 135 3 Figura 128 Espectro de magnitude do sinal do exercício 1436 Figura 129 Detalhes do processo de amostragem do ponto de vista de um modelo matemático 37 Figura 130 O amostrador ideal37 Figura 131 A amostragem com o Trem de Impuso38 Figura 132 A função pulso unitário39 Figura 133 O modelo do processo de amostragem40 Figura 134 O modelo de um sistema contínuo47 Figura 135 O modelo de um sistema discreto48 Figura 137 Comparação entre os planos s e z quanto à estabilidade de sistemas51 Figura 138 Comparação entre os planos s e z quanto à correspondência entre os polos nos dois planos52 Figura 139 Polos no plano z e seus modos característicos52 Figura 140 Sistema modelado por uma função de transferência e seus sinais de entrada e saída 56 Figura 141 Sinal de entrada Impulso unitário aplicado a um sistema57 Figura 142 Sistema com sua resposta ao impulso hn57 Figura 143 Sistema representado por uma transformação linear e sinais de entrada e saída no tempo discreto58 Figura 144 Sistema linear com outro sinal de entrada e sua saída correspondente58 Figura 145 Sistema linear e a propriedade da homogeneidade59 Figura 146 Interpretação da Convolução fonte 161 Figura 147 Resposta de sistemas LIT a exponenciais complexas63 Figura 148 Resposta em frequência do sistema do exemplo 1964 Figura 149 Diagrama de bode do sistema do exemplo 11065 Figura 21 Multiplicação ponto a ponto amostra a amostra de duas sequências68 Figura 22 Comparação de duas sequências proporcionais69 Figura 23 Comparação de duas sequências opostas70 Figura 24 Comparação de duas sequências de amostras aleatórias70 Figura 25 Exemplo de gráficos do espectro de um sinal78 Figura 26 Ilustração do efeito de Leakage79 Figura 27 Janela de Hamming80 Figura 28 Espectro da figura 26 com redução do leakage pela aplicação da janela de Hamming 80 Figura 29 Espectro Espelhado81 Figura 210 Semelhanças entre as expressões da DFT e sua Inversa83 Figura 211 Sinais estacionários85 Figura 212 Sinais não estacionários86 Figura 213 Exemplos de sinais não estacionários86 Figura 214 Segmentos de um sinal para aplicação da STFT87 Figura 215 Janela da STFT deslizante87 Figura 216 Formação do espectrograma88 Figura 217 Exemplo de espectrograma num gráfico 3D88 Figura 218 Espectrograma de um sinal de voz89 Figura 31 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto obtido com a transformação bilinear com Ts01s96 Figura 32 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto obtido com a transformação bilinear com Ts005s96 Figura 33 Comparação das respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto provisório na transformação por Polos e Zeros Casados98 Figura 34 Comparação das respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto obtido pela transformação por Polos e Zeros Casados99 4 Figura 35 Comparação das respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto obtido pela transformação por Polos e Zeros Casados com Ts melhorado100 Figura 36 Tipo de resposta em frequência Passabaixas Fonte 1101 Figura 37 Tipo de resposta em frequência Passaaltas Fonte 1102 Figura 38 Tipo de resposta em frequência Passafaixa Fonte 1102 Figura 39 Tipo e resposta em frequência Rejeitafaixa Fonte 1103 Figura 310 Modificação de fase nas componentes causada por um filtro103 Figura 311 Gráfico de Atraso de Grupo104 Figura 312 Padrão de diagrama de tolerâncias com seus parâmetros105 Figura 313 Espectro do sinal do exemplo 33106 Figura 314 Diagrama de tolerâncias do exemplo 33107 Figura 315 Diagrama de tolerâncias do exemplo 34108 Figura 316 Circuito RC como filtro passabaixas109 Figura 317 Resposta em frequência do filtro passabaixas RC109 Figura 318 Resposta em frequência de um filtro passabaixas RC com fc100Hz110 Figura 319 Blocos básicos para diagramas de filtros digitais112 Figura 319 Construção da Forma Direta I lado da entrada115 Figura 320 Construção da Forma Direta I lado da saída115 Figura 321 Diagrama da Forma Direta I116 Figura 322 Diagrama do exemplo 35117 Figura 323 Construção da Forma Direta II lado da entrada118 Figura 324 Construção da Forma Direta II lado da saída118 Figura 325 Diagrama da Forma Direta II119 Figura 326 Diagrama do exemplo 36119 Figura 41 Disposição circular dos polos do filtro Butterworth123 Figura 42 Resposta em frequência de um exemplo de filtro Butterworth passabaixas contínuo 126 Figura 43 Ampliação do diagrama de resposta em frequência para verificar o requisito Rp127 Figura 44 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto Bilinear 128 Figura 45 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto Polos e Zeros Casados128 Figura 46 Exemplo de especificação de um filtro passaaltas129 Figura 47 Resposta em frequência do exemplo de filtro passaaltas131 Figura 48 Comparação das respostas em frequência do filtro passaaltas nas versões contínua e discreta Polos e Zeros Casados fs 2kHz132 Figura 49 Especificação de um filtro passafaixa de exemplo132 Figura 410 Sobreposição de filtros passabaixas e passaaltas para obter um filtro passafaixa 133 Figura 411 Combinação em cascata de filtros passabaixas e passaaltas para obter um passa faixa133 Figura 412 Resposta em frequência do filtro passafaixa do exemplo134 Figura 413 Combinação em paralelo de filtros passabaixas e passaaltas para obter um filtro rejeitafaixa134 Figura 51 A máquina de convolução Fonte 1139 Figura 52 Máquina de convolução e problemas de efeito de borda141 Figura 53 Efeito de borda do convolução142 Figura 54 Kernel de um filtro Moving Average de tamanho 5146 Figura 55 Distorção causada por um filtro Moving Average147 Figura 56 Filtragem no domínio da frequência148 Figura 57 Resposta em frequência de um filtro passabaixas ideal Fonte 1148 5 Figure 58 Função sinc Fonte 1149 Figura 59 Efeito da limitação da quantidade de amostras da função sinc fonte1149 Figura 510 Exemplo de janela fonte 1150 Figura 511 Função sinc multiplicada por uma janela fonte 1150 Figura 512 Exemplos de janelas e suas respostas em frequência fonte 1151 Figura 513 Frequência de corte no ganho de 05 e largura da banda de transição dependente do tamanho do kernel fonte 1152 Figura 514 Inversão espectral para obter o Windowedsinc passaaltas fonte 1154 Figura 515 Combinando um passabaixas com um passaaltas para obter um passafaixa fonte 1155 Figura 516 Combinando um passabaixas com um passaaltas para obter um rejeitafaixa fonte 1156 Tabelas Tabela 11 Alguns coeficientes da Série de Fourier do Exemplo 1116 Tabela 12 Tabela de Transformadas z e Transformadas de Laplace de funções importantes42 Tabela 21 Comparação entre o Algoritmo Rápido para a Convolução e o Método Direto em quantidade de multiplicações reais84 6 Disciplina ECAC14A Processamento Digital de Sinais Objetivos 3C 1 Usar o algoritmo FFT para obtenção do espectro de sinais e para outras aplicações 3B 2 Implementar processamento em tempo real 3B 3 Implementar e usar algoritmos de Filtros Digitais IIR 3C 4 Implementar e usar Filtros Digitais FIR 3C PETRA C Transferência Competências e Habilidades 13f Sistemas Operacionais de Tempo Real 5B 14c Condicionamento 5B 14d Processamento Digital de Sinais 3B Conteúdo 1 Introdução ao processamento digital de sinais 2h 2 Fundamentos de sistemas amostrados lineares 21 Sinais discretos 22 Transformada de Laplace de funções discreta 23 Amostragem e reconstrução 24 Teorema de Shannon 8h 3 Transformada Z revisão 4h 4 Implementação de sistemas discretos 8h 5 Filtros digitais 51 Filtros FIR 52 Filtros IIR 53 Filtros Moving Average 54 Filtros WindowSync 10h 6 Transformada discreta de Fourier 8h 7 Transformada rápida de FourierFFT 71Algoritmo de CooleyTukey 72Aplicações usando microprocessadores DSP 12h 8 Projeto prático e avaliação 12h Metodologia Atividades laboratoriais simulação prototipagem Procedimentos de Avaliação Apresentações Trabalhos Exercícios Bibliografia Básica 7 1 OPPENHEIM ALAN V DiscreteTime Signal Processing Editora Pearson Prentice Hall 2a Edition 1998 2 DINIZ PAULO S R DA SILVA EDUARDO A B Processamento Digital de Sinais Projeto e Análise de Sistemas Editora Bookman 1a Edição 2004 3 Introdução ao Processamento Digital de Sinais Nalon José Alexandre LTC ISBN 8521616465 2009 4 Processamento Digital de Sinais Monson H Hayes Bookman ISBN 8560031065 2006 Bibliografia Complementar 1 LUDEMAN LONNIE C Fundamentals of Digital Signal Processing Editora John Wiley 1st Edition 1986 2 DiscreteTime Signal Processing 3E Alan V Oppenheim Ronald W Schafer Prentice Hall 3ª ed ISBN 0131988425 2009 3 Sinais e Sistemas Oppenheim Alan V Willsky Alan S Nawab Syed Hamid Pearson 2ª ed ISBN 9788576055044 2010 4 Digital Signal Processing A Practical Guide for Engineers and Scientists Steven W Smith Newnes 1ª ed ISBN 075067444X 2002 5 Digital Signal Processing Using MATLAB Vinay K Ingle John G Proakis CL Engineering 3ª ed ISBN 1111427372 2011 6 Entendering Digital Signal processing Richard G Lyons Prentice Hall 3ª ed ISBN 0137027419 2010 Unidades 1 Sinais e Sistemas Discretos 12ha Sinais importantes Série de Fourier Transformada de Fourier Amostragem Transformada z Sinais discretos Sistemas discretos Plano z Equação de diferenças e Algoritmo Resposta ao Impulso e Convolução Resposta em frequência 2 Transformada Discreta de Fourier 8ha Correlação DFT FFT Aplicações da FFT 3 Introdução aos Filtros Digitais 12ha Filtros de sinais Parâmetros da resposta em frequência de filtros Modelagem de filtros de tempo contínuo Transformações aproximadas Estruturas de filtros Projeto de filtros digitais 4 Filtros de Resposta ao Impulso Infinita IIR 12ha Modelos de filtros IIR Filtro Butterworth Uso bibliotecas Python para filtros 5 Filtros de Resposta ao Impulso Finita FIR 12ha Algoritmos de Convolução Filtro Moving Average Filtro Windowedsinc 8 1 Sinais e Sistemas Discretos 11 Sinais O Processamento Digital de Sinais pode ser considerado uma disciplina da Ciência da Computação Mas o tipo de informação com que ele trabalha é bem específico os sinais Eles podem se originar de medidas no mundo real medidas naturais ou de processos artificiais especialmente aqueles relacionados com a Engenharia Daí o Processamento Digital de Sinais ter um uso intensivo em diversas outras áreas além da Ciência da Computação como Telecomunicações Espacial Médica Militar entre outras Suas raízes estão nas décadas de 1960 e de 1970 quando os computadores digitais começaram a ficar disponíveis Inicialmente devido ao alto custo destes equipamentos as técnicas de Processamento Digital de Sinais estavam limitadas a algumas áreas críticas como RadarSonar exploração de Petróleo exploração Espacial e Imagens Médicas Devido à popularização do computador digital hoje aquelas técnicas estão presentes em quase tudo onde há um processador desde smartphones e eletrodomésticos até linhas de produção industriais Para iniciar o estudo de técnicas de Processamento Digital de Sinais é preciso compreender bem sua principal matéria prima o sinal Um sinal pode ser visto como uma descrição de como um parâmetro varia ou está relacionado a outro parâmetro 1 Um destes parâmetros é arbitrário independente e o outro dependente Esta definição de um sinal corresponde à definição de uma função matemática e podese concluir que o conceito de função descreve bem o que é um sinal A variável independente domínio mais comum para sinais é o tempo Quando o tempo assume valores em uma faixa contínua dizse que o sinal é de tempo contínuo O Processamento Digital de Sinais se preocupa mais com o caráter contínuo ou discreto da variável independente pois isso tem uma influência mais significativa nos processos do que o caráter discreto ou contínuo da variável 9 dependente A maioria dos sinais encontrados na Engenharia tem um caráter contínuo tanto na variável independente quanto na dependente Porém ao usar computadores digitais para interagir com estes sinais é preciso transformálos em sinais discretos nos dois tipos de variáveis O conversor AnalógicoDigital ADC é o dispositivo eletrônico que transforma os sinais contínuos nesses dois importantes aspectos a amostragem que é a discretização da variável independente e a quantização que é a discretização da variável dependente Para iniciar o estudo do Processamento Digital de Sinais é necessário compreender esses dois processos de maneira mais enfática a amostragem mas sem desprezar a quantização Alguns temas básicos precisam ser desenvolvidos inicialmente para que a compreensão seja efetiva São eles a Série de Fourier e a Transformada de Fourier 12 Série de Fourier 121 Expansão de Funções Sabese que funções ou sinais podem ser descritos por uma regra ou correspondência que associa um único valor da variável independente para cada valor da variável dependente A expressão usual para isso é yf x 11 onde y é a variável dependente e x a independente A forma como y depende de x ou seja a descrição do sinalfunção é dada pela expressão da função Por exemplo tem se o sinalfunção cosseno y cosx o sinalfunção seno y senx o sinalfunção exponencial y ex No entanto mesmo um sinalfunção descrito por uma expressão bem definida ainda pode ter sua descrição feita de forma alternativa Usandose o conceito de Séries de Funções é possível expressar funções diversas como uma combinação linear de outras funções Por exemplo a função exponencial pode ser expressa por uma Série de Potência 10 e x1x x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 k0 x k k 12 De forma semelhante a função seno senxx x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 k0 1 k 2k1 x 2k1 13 e a função cosseno cosx1 x 2 2 x 4 4 x 6 6 x 8 8 k0 1 k 2k x 2k 14 É possível verificar isso na linha de comando do Python após carregar a biblioteca math podese comparar os resultados do cálculo de e05 mathexp05 06065306597126334 inicialmente com três parcelas 105052mathfactorial2 0625 agora com quatro parcelas 105052mathfactorial2053 mathfactorial3 06041666666666666 e com cinco parcelas 105052mathfactorial2053 mathfactorial3054mathfactorial4 06067708333333333 11 Podese notar que quanto maior o número de parcelas usadas no somatório maior a exatidão do resultado Esta forma de reescrever matematicamente uma função é conhecida como expansão de funções Podese automatizar o cálculo desta série construindo uma função Python def exponencxN y1 for k in range1N y y xkmathfactorialk return y Usando dez parcelas para o cálculo exponenc0510 06065306594552606 Exercício 11 Desenvolva funções Python para as Séries de Potência do seno e do cosseno e compare os resultados com as funções nativas Algumas dessas expansões além de serem uma descrição alternativa de sinaisfunções podem também revelar informações que não estão evidentes quando se faz uma simples inspeção visual É o caso da expansão por Série de Fourier 122 Série Trigonométrica de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier foi um matemático e físico com interesses na área de propagação de calor Apresentou um artigo no ano de 1807 mas publicado somente 15 anos depois ao Institut de France onde propunha o uso de senoides para representar distribuições de calor Um dos frutos do seu trabalho foi a Análise de 12 Fourier que permite decompor um sinal nas suas componentes de frequência harmônicas A Série de Fourier pode ser usada para expandir sinaisfunções periódicos Sinais periódicos possuem a seguinte propriedade xtxtT 0 para todo t 15 onde T0 é o período fundamental ou seja o menor valor de tempo variável independente em que o sinal se repete conforme ilustrado na fig 11 Figura 11 Sinal periódico fonte 2 A Série Trigonométrica de Fourier expande um sinal xt x é a variável dependente e t o tempo a variável independente da seguinte forma xta0 k1 akcosk ω0tbk sink ω0t 16 onde ω0 é a frequência fundamental T 0 1 f 0 2π ω0 17 Os coeficientes da Série Trigonométrica de Fourier são calculados pelas seguintes expressões a0 1 T 0 T 0 xtdt 18 ak 2 T 0 T 0 xtcosk ω0tdt 19 bk 2 T 0 T 0 xtsink ω0tdt 110 Quando o sinal xt é real os coefientes ak e bk são reais para todo k e a Série 13 Trigonométrica de Fourier pode ser reescrita numa forma compacta xta0 k1 Ck cosk ω0tθk 111 onde Ckak 2bk 2 112 θktan 1 bk ak 113 123 Espectro de Fourier A principal interpretação desta forma de expansão de sinais é que sendo o sinal xt expandido por uma Série de Fourier ele passa a ser representado por uma soma de senoides de diferentes frequências Ou seja é possível obter o mesmo sinal xt combinando infinitas senoides com amplitudes frequências e fases variadas Na prática não é necessário um número infinito de senoides desde que seja admitido um erro mínimo na expansão conforme visto anteriormente na expansão de uma função exponencial eq 12 num ponto específico Ao expandir um sinal periódico xt numa Série de Fourier os coefientes Ck e θk podem ser organizados num formato conhecido como espectro de Fourier ou espectro de frequência de xt Os coeficientes Ck são chamados de amplitudes e os coeficientes θk de fases A variável ou índice k indica a frequência ou harmônica pois é um múltiplo da fundamental Traçando a amplitude Ck em função de ω nos múltiplos de ω0 determinados por k temse o espectro de amplitude fig 12 Figura 12 Espectro de Amplitude do sinalfunção et2 limitada entre 0 e π fonte 2 14 Traçandose a fase θk temse o espectro de fase fig 13 Figura 13 Espectro de Fase do sinalfunção et2 limitada entre 0 e π fonte 2 Exemplo 11 Seja a função exponencial ilustrada na fig 14 abaixo Figura 14 Função periódica com valores no período definidos por et2fonte 2 Será determinada a Série Trigonométrica de Fourier na sua versão compacta Podese ver que o período é T0 π A frequência fundamental é ω02π π 2rads ou f 0 1 π Hz Os coeficientes são obtidos usando o intervalo de integração de 0 a π a0 1 π 0 π e t 2dt Usando o Python para efetuar o cálculo devese carregar a biblioteca SymPy tsymSymbolt symintegrate1sympisymexpt2 t0sympievalf 0504279523791290 Assim 15 a0 1 π 0 π e t 2dt0504 Para os demais coeficientes ak 2 π 0 π e t 2cosk 2tdt bk 2 π 0 π e t 2senk 2tdt Usando o Python ksymSymbolk aksymintegrate2sympisymexpt 2symcos2ktt0sympievalfsubsk1 bksymintegrate2sympisymexpt 2symsin2ktt0sympievalfsubsk1 Ckmathsqrtak2bk2 tetakmathatanbkak Ck 024461149899148976 tetak180mathpi 7596375653207353 Repetindo o processo para k de 2 a 5 e usando as eqs 112 e 113 podese montar a tabela 11 abaixo k ak bk Ck Θk o 0 0504 0 0504 0 1 0059 0237 0244 7596 2 0016 0124 0125 8287 3 0007 0083 0084 8524 4 0004 0063 0063 8642 5 0003 0050 0050 8714 Tabela 11 Alguns coeficientes da Série de Fourier do Exemplo 11 16 Traçando os coeficientes Ck por kω0 bem como θk por kω0 temse o espectro de amplitudes e o de fases na fig 15 para os onze primeiros coeficientes Figura 15 Espectro da função exponencial do exemplo 11 Concluise que o espectro de Fourier é outra maneira de descrever um sinalfunção Conforme 2 Um sinal portanto possui uma identidade dual a identidade no domínio do tempo xt e a identidade no domínio da frequência espectro de Fourier As duas identidades são complementares uma da outra e quando juntas possibilitam um melhor entendimento do sinal Exercício 12 Um sinal xt é representado pela série trigonométrica de Fourier como xt23cos2t4 sen2t2sen3t30 ocos7t150 o Expresse essa série como uma série trigonométrica compacta de Fourier e trace o espectro de xt Dica as senoidescossenoides com fases diferentes de zero já estão compactadas 17 Exercício 13 Determine a série trigonométrica compacta de Fourier para o sinal de pulso quadrado mostrado na fig 16 e trace seu espectro Figura 16 Sinal de pulso quadrado do exercício 13 fonte 2 124 Série Exponencial de Fourier Usando a igualdade de Euler é possível reescrever a série trigonométrica de Fourier na forma exponencial Assim xt k Dk e jk ω0t 114 onde Dk 1 T 0 T 0 xte jk ω0tdt 115 A relação dos coeficientes da série trigonométrica de Fourier com a série exponencial é a seguinte D0a0 116 Dk1 2 ak jbk 117 Dk1 2 ak jbk 118 Se xt for real DkDk 119 Em relação à série trigonométrica compacta de Fourier D0C0 120 Dk1 2 Ck e jθk 121 18 Dk1 2 Cke jθk 122 ou seja DkDk1 2 Ck k0 123 Dkθk e Dkθk 124 É mais conveniente trabalhar com a série exponencial de Fourier por ser mais compacta É o usual na maioria dos textos sobre série e transformada de Fourier Devese notar a presença de um espectro negativo valores de frequência negativo Dk que para sinaisfunções reais é simétrico no eixo da variável independente Exemplo 12 Seja a função exponencial ilustrada na fig 17 abaixo Figura 17 Função periódica com valores no período definidos por et2fonte 2 Será determinada a série exponencial de Fourier Podese ver que o período é T0 π A frequência fundamental é ω02π π 2rads Então xt k Dk e jk 2t e os coeficientes Dk 1 π 0 π e t2e jk 2t dt 1 π 0 π e 12 j k 2tdt 1 π 1 1 2 jk 2 e 12 j k 2t 0 π Dk 0504 1 j k 4 Assim 19 D00504 D1 0504 1 j 4 D1 0504 1 j4 D2 0504 1 j8 D2 0504 1 j8 D3 0504 1 j12 D3 0504 1 j12 e assim por diante Observe que os coeficientes são complexos e que Dk é conjugado de Dk devido a xt ser real 125 Espectro Exponencial de Fourier No espectro exponencial traçase Dk em função de kω0 ou ω Porém Dk é complexo Para que se tenha uma correspondência aproximada com o espectro da série trigonométrica compacta de Fourier separase Dk em magnitude relacionada a amplitude e fase Isto é feito tomandose o complexo Dk na forma polar Assim o espectro de magnitude é Dk por ω e o espectro de fase é Dk por ω Usando os resultados do exemplo 12 vem D00504 D1 0504 1 j 40122e j132601227596 o D1 0504 1 j4 0122e j132601227596 o D2 0504 1 j800625e j1446006258287 o D2 0504 1 j800625e j1446006258287 o Usando o Python para traçar os espectros de magnitude e de fase para os valores de de k entre 10 e 10 20 knparange1011 w02 D05041k4j fig1ax1pltsubplots2 ax10stemkw0npabsD StemContainer object of 3 artists ax10gridwhichboth ax10setylabelMagnitude Text0 05 Magnitude ax11stemkw0npangleD180nppi StemContainer object of 3 artists ax11gridwhichboth ax11setylabelFase graus Text0 05 Fase graus ax11setxlabelFreq rads Text05 0 Freq rads pltshow O espectro pode ser visto na fig 18 Figura 18 Espectro exponencial do sinalfunção do exemplo 12 21 126 Frequências Negativas O espectro exponencial apresenta valores negativos de frequência Isso não implica em algum efeito fisicamente observável Tratase apenas de um resultado matemático devido à escolha da função exponencial complexa para expandir o sinal Ou seja as frequências negativas aparecem para indicarem que a componente ejωt existe na série A frequência é uma grandeza positiva pois consiste em número de repetições por unidade de tempo Mesmo a exponencial complexa quando observada na igualdade de Euler revela isso e jωtcosωt j senωt afinal a frequência no cosseno e no seno permanece positiva 13 Transformada de Fourier A transformada de Fourier é uma evolução da série de Fourier necessária para aplicar o conceito de expandir sinaisfunções por meio de componentes harmônicas porém para sinais nãoperiódicos A representação de um sinal não periódico xt fig 19 de duração T0 usando exponenciais de duração infinita é feita reconstruindo o sinal de modo que ele se torne periódico obtendo o xTot conforme a fig 110 Figura 19 Sinal nãoperiódico fonte 2 22 Figura 110 Sinal nãoperiódico tornado periódico fonte 2 Por ser periódico o sinal xTot pode ser representado pela série de Fourier Através de um processo de limite sobre o sinal xTot lim T 0 xT0txt onde o período T0 se extende infinitamente de forma que os pulsos no sinal periódico irão se repetir após um intervalo infinito podese provar que o sinal xt pode ser representado por uma soma contínua integral de exponenciais ejωt de duração infinita da seguinte forma xt 1 2π Xωe j ωt d ω 125 X ω xte jωt dt 126 com Xω entrando no lugar de Dk no somatório que se transformou em integral Detalhes sobre a demonstração podem ser encontrados em 2 A integral na eq 125 é conhecida como integral de Fourier Ela é basicamente a série de Fourier no limite em que T0 levando ω00 Denominase Xω nas eqs 125 e 126 como transformada de Fourier de xt assim como xt como transformada inversa de Fourier de Xω também expresso por X ωℱ xt e xtℱ 1Xω O conceito de transformada remete a uma transformação de domínio da variável independente Dizse que Xω é a especificação no domínio da frequência de xt Na 23 prática Xω contém as informações do espectro do sinal xt de forma semelhante ao espectro na série exponencial de Fourier espectro de magnitude e espectro de fase X ωXωe jX ω 127 131 Transformada de Fourier de Alguns Sinais Úteis A seguir serão apresentadas as transformadas de Fourier de alguns sinais que terão utilidade ao longo da disciplina Sinal de Porta pulso retangular rectx Tratase de um pulso retangular de altura unitária e largura também unitária centrado na origem fig111 0 se x ½ fora do intervalo 12 a 12 rectx ½ se x ½ ponto de descontinuidade 128 1 se x ½ intervalo 12 a 12 Figura 111 Função de porta unitária fonte 2 Figura 112 Função de porta unitária expandida fonte 2 24 A figura 112 mostra a função de porta expandida por um fator τ ao longo da variável independente eixo horizontal Sua transformada de Fourier é dada por rect t τ τ sinc ω τ 2 129 Figura 113 Transformada de Fourier da função de porta fonte 2 Figura 114 Espectros de magnitude e de fase da função de porta fonte 2 A função sinc fig115 é importante no Processamento Digital de Sinais sendo também conhecida como função de filtragem ou interpolação É definida como sincxsenx x 130 Figura 115 Função sinc fonte 2 25 A fig 16 mostra a função sincw expandida na variável independente Figura 116 Função sinc expandida por 37 fonte 2 Função Impulso Unitário δt ℱ δt δte jωt dt1 131 ou δt1 132 A fig 117 mostra δt e seu espectro Figura 117 Função δt e seu espectro fonte 2 É interessante conhecer também a sua inversa quando δω descreve o espectro ℱ 1δω 1 2π δωe j ωtd ω 1 2π 133 ou 1 2π δω 134 A partir da eq 134 podese ver 26 12πδω ou seja o espectro de um sinal constante xt 1 é 2πδ ω visto na fig 118 Figura 118 O sinal constante dc e seu espectro fonte 2 Se a frequência fosse expressa em hertz o impulso na eq 118 seria unitário Função Exponencial Complexa ejωt e jω0t2πδωω0 135 e jω0t2πδωω0 136 O espectro de uma exponencial de duranção infinita na frequência ωo é um único impulso em ωωo o que é óbvio pois é necessário apenas de uma única componente exponencial ela mesma para representála Trem de Impulso Unitário É uma função formada por impulsos espaçados uniformemente fig 119 δT 0t k δtk T 0 137 Figura 119 O trem de impuso unitário fonte 2 27 δT 0tω0δω0ω 138 onde ω02π T 0 O gráfico de seu espectro pode ser visto na fig120 Figura 120 O trem de impuso unitário e seu espectro fonte 2 14 Amostragem A possibilidade de se trabalhar os sinais em computadores digitais trouxe a necessidade de digitalizálos Assim o sinal digitalizado se torna diferente de sua versão analógica em dois aspectos importantes ele passa a ser amostrado e também quantizado o que restringe a quantidade de informação carregada por ele De uma forma abrangente as aplicações de Processamento Digital de Sinais seguem o fluxo de processos apresentado na fig 121 Os filtros analógicos na entrada e na saída são condicionamentos para melhorar o resultado do processamento digital O foco principal está na parte de digitalizar o sinal que está mais bem detalhada na fig 122 O modelo apresentado nesta figura divide o bloco ADC da fig 121 em dois o amostrador SH sampling and hold tem a função de reter um valor coletado do sinal por alguns instantes dando tempo para o bloco seguinte o conversor analógicodigital ADC analogdigital converter transformar o valor medido num número digital com uma quantidade limitada de bits 28 Figura 121 Diagrama de blocos de um esquema típico de Processamento Digital de Sinais fonte 1 Figura 122 Detalhe do processo de digitalização de sinais fonte 1 Um sinal analógico possui uma característica que o torna impossível ser armazenado e processado em um computador digital a continuidade Mesmo sendo de suporte limitado duração finita a quantidade de valores ou pontos em um intervalo qualquer é infinita O computador digital só pode trabalhar com quantidades finitas de pontos ou valores tornando necessário descartar o excesso infinito de informação Este processo de selecionar quais partes do sinal serão utilizadas é conhecido como amostragem Ela é feita pelo amostrador coletandose valores do sinal amostras a intervalos normalmente regulares período de amostragem T ou 29 Ts conforme ilustrado na fig 123 Isto significa que a amostragem converte a variável independente de contínua para discreta Figura 123 Seleção de amostras de um sinal de tempo contínuo no processo de amostragem Devese levar em conta também que os valores das amostras selecionadas são medidas analógicas o que significa que podem assumir um valor com precisão infinita De maneira simplória significa dizer que estes valores possuem infinitas casas decimais o que também não pode ser armazenado ou processado em um computador digital Assim o valor medido de cada amostra terá que ser truncado ou arredondado para ser representado numa certa quantidade de bits permitida pela capacidade do computador Este processo é conhecido como quantização Assim dizse que a quantização converte a variável dependente de contínua para discreta E é isto que define um sinal digital ou seja ser discreto tanto na variável independente quanto na variável dependente Desta forma ele pode ser armazenado e manipulado em computadores digitais na forma de vetores ou matrizes como variáveis do tipo array ou indexadas fig 124 Figura 124 Sinais digitais manipuláveis em computadores digitais 30 Ambas partes da digitalização a amostragem e a quantização reduzem a quantidade de informação possível num sinal digital degradando o sinal analógico além de acarretar algumas peculiaridades na representação matemática tanto dos sinais quanto dos sistemas digitais devidas principalmente à amostragem É preciso então compreender bem como elas funcionam 141 Quantização A conversão de um número qualquer para binário requer a redução de sua exatidão ao limite de número de bits possível para sua representação Por exemplo se há 8 bits sem sinal disponíveis o ADC produzirá um inteiro entre 0 e 256 que são chamados de níveis de quantização assim se estiver sendo convertido um sinal de tensão elétrica as medidas de 21V e de 21005V serão convertidas no mesmo número digital 210 Uma delas terá um erro de arredondamento Isto ilustra o fato de que qualquer amostra no sinal digitalizado pode ter um erro máximo de ½ LSB metade do valor do bit menos significativo que é a distância entre dois níveis de quantização adjacentes fig 125 No panorama geral o processo de quantização introduz no sinal uma certa quantidade ruído de quantização com características de ruído aleatório com média zero desvio padrão de 112 029 e valores entre ½ LSB No exemplo de um conversor de 8 bits o erro seria 029256 1900 LSB Se o conversor fosse de 12 bits o erro seria de 114000 LSB e se fosse de 16 bits 1226000LSB Isto mostra que quanto maior a quantidade de bits do conversor menor o ruído de quantização ou seja melhor a precisão dos dados Esta é a degradação introduzida pelo processo de quantização o que não cria problemas significativos na representação matemática dos sinais digitalizados 31 Figura 125 Níveis de quantização e erro de arredondamento 142 Teorema da Amostragem A amostragem de um sinal de tempo contínuo visa discretizar a variável independente É feita coletando amostras a intervalos normalmente regulares No entanto este processo pode degradar o sinal de maneira que eventualmente ele se torne irreconhecível Além disso devido ao processo de retenção ou seja o ato de manter o sinal constante durante o intervalo entre amostras consecutivas e devido também ao uso de valores discretos no lugar de um sinal contínuo a descrição matemática dos sinais e sistemas envolvidos sofre modificações em relação à forma como eram tratados na contrapartida analógica A principal atitude a se tomar em relação à amostragem é fazêla de forma correta preservando a informação essencial Conceitualmente é fácil saber se um sinal foi amostrado corretamente pois deve ser possível reconstruir o sinal analógico a partir das amostras coletadas O elemento principal que determina se a amostragem está correta é o intervalo entre as amostras isto é o período de amostragem ou a sua inversa a frequência ou taxa de amostragem A fig 126 ilustra o processo feito de forma adequada fig 126a 126b e 126c em sinais com uma única componente de frequência A fig 126d mostra uma amostragem inadequada onde fica evidente a diferença entre a frequência real do sinal analógico e a frequência fictícia do sinal amostrado 32 Figura 126 O processo de amostragem com diferentes taxas fonte 1 O sinais amostrados na fig 126a e 126b estão evidentemente amostrados corretamente Mas na fig 126c isto não é evidente embora esteja adequado É óbvio que a reconstrução do sinal analógico não é feita simplesmente ligando as amostras por linhas retas ligar os pontos O conceito é mais profundo mas podese dizer que aquelas amostragens estão adequadas pois nenhuma outra senoide figs 126b e 126c ou combinação de senoides pode se encaixar nas amostras coletadas Isto nos leva a um dos marcos fundamentais do Processamento Digital de Sinais o Teorema da Amostragem Para compreender esse teorema é preciso estar ciente dos conceitos de Transformada de Fourier e Espectro de Sinais O Teorema da Amostragem ou Teorema da Amostragem de Shannon ou Teorema da Amostragem de Nyquist afirma que um sinal contínuo pode ser adequadamente amostrado somente se ele não contiver componentes de frequências superiores à metade da taxa de amostragem 1 Outra forma de afirmálo é a taxa ou frequência de amostragem deve ser igual ou maior que o dobro da maior frequência que compõe o sinal Por exemplo se um sinal for amostrado com uma frequência de amostragem de 2000Hz ou taxa de amostragem de 2000 amostras por 33 segundo este sinal não pode ter componentes de frequência superiores a 1000Hz Outra forma de dizer isto é que as componentes do sinal devem ser de frequências inferiores à 1000Hz Se um sinal é amostrado desrespeitando o Teorema da Amostragem algo semelhante à fig 126d acontece As componentes de frequências superiores à metade da frequência de amostragem ficam registradas no sinal digital com valores de frequência diferentes dos originais Dizse que são componentes falsificadas ou fantasmas Isto é conhecido como aliasing do inglês alias que pode significar nome falso Neste caso as amostras coletadas não correspondem a um único sinal analógico e uma reconstrução sem ambiguidades não é mais possível O sinal digital fica imprestável não correspondendo à sua contrapartida analógica Devese evitar o aliasing a todo custo Isto é feito utilizandose um filtro analógico na entrada do dispositivo conversor AD como na figura 121 Este é o filtro antialias e deve ser um filtro passabaixas ajustado para atenuar as frequências superiores à metade da frequência de amostragem No exemplo de uma taxa de amostragem de 2000 amostras por segundo o filtro antialias deve cortar as frequências superiores a 1000Hz Para compreender como o aliasing acontece é preciso compreender o que acontece com a informação quando um sinal é amostrado A comparação entre uma forma de onda contínua e um conjunto de amostras sinal discreto parece inviável mas matematicamente pode ser feita usando uma função vista na seção 13 o Trem de Impulso Ela é uma funçãosinal contínuo consistindo de uma série de impulsos que podem ser ajustados com intervalos correspondentes ao período de amostragem Quando multiplicado pelo sinal contínuo o resultado apresentará um sinal também contínuo mas com valores diferentes de zero apenas nos instantes amostrados fig 127c e 127d Assim ambos os sinais o contínuo e o amostrado com o Trem de Impulso são contínuos e podem ser comparados usando o domínio da frequência 34 Figura 127 O processo de amostragem no domínio da frequência fonte 1 A fig 127 mostra exemplo de um sinal contínuo e alguns amostrados com o Trem de Impulso em duas colunas uma no domínio do tempo e outra no domínio da frequência ou seja no espectro dos sinais obtidos com a Transformada de Fourier Na fig 127a e na fig127b temse o sinal original e seu espectro de magnitude Quando o sinal é amostrado adequadamente podese notar uma diferença significativa em seu espectro de magnitude figs 127c e 127d que devido às propriedades da Transformada de Fourer do sinal original multiplicado pelo Trem de Impuso apresenta replicações do espectro original em múltiplos da frequência de amostragem fs Como ele foi amostrado adequadamente estes espectros replicados estão suficientemente afastados do original o que não causa degradação da informação Porém quando é feita uma amostragem incorreta figs 127e e 127f os espectros replicados se sobrepõem ao espectro original degradando a informação 35 com o efeito conhecido como aliasing Como não há uma forma de separar os espectros sobrepostos na figura eles aparecem como linhas separadas mas na verdade eles são somados a informação do sinal original se perde Exercício 14 Um determinado sinal contínuo formado pelas componentes de frequência ilustradas na fig 128 foi discretizado a uma taxa de 100 amostras por segundo Perguntase a O sinal foi amostrado adequadamente b Alguma componente de frequência foi adulterada no sinal discreto Quais c No caso da amostragem ter sido inadequada especifique uma taxa mínima para uma discretização de tempo correta Especifique também uma frequência de corte para um filtro antialias que deveria ser acoplado na entrada desse processo Figura 128 Espectro de magnitude do sinal do exercício 14 15 Transformada z O processo de digitalização do sinal introduz peculiaridades que exigem um arcabouço matemático diferente do que se usava em sinais e sistemas de tempo contínuo Nestes a principal ferramenta matemática era a Transformada de Laplace com todas as suas consequências como o Plano s funções de transferência polos e zeros A ideia geral permanece a mesma porém usase a Transformada z e apesar de ainda se ter funções de transferência em z polos e zeros temse um novo plano o 36 Plano z que difere significativamente do Plano s Alguns detalhes serão apresentados a seguir 151 Modelagem do Processo de Amostragem Tomando o esquema da fig 122 e detalhandoa um pouco mais temse o esquema do processo de amostragem da fig 129 Figura 129 Detalhes do processo de amostragem do ponto de vista de um modelo matemático O objetivo aqui é obter um modelo matemático do processo de amostragem A primeira etapa fig 130 é o que se costuma chamar de amostrador ideal pois ele tem a função de selecionar os instantes em que haverá coleta de amostras do sinal contínuo Esta coleta é feita a intervalos regulares Ts produzindo assim um sinal de tempo discreto Ele é ideal no sentido de que a chave que ele representa é instantânea ou seja o tempo que ela leva para fechar e abrir tende a zero Matematicamente ele recebe uma função contínua ft e devolve uma função também contínua ft Figura 130 O amostrador ideal 37 Para garantir a continuidade da função ft usase o Trem de Impulso conforme discutido na seção anterior Para colocar em uma expressão matemática devese compreender que o Trem de Impulso multiplicado por uma funçãosinal resulta na amostragem deste sinal com impulsos deslocados e de amplitude intensidade correspondente a cada amostra conforme fig 131 Figura 131 A amostragem com o Trem de Impuso Ou seja f t k f kT sδtk T s 139 Devese notar que ft foi substituída por fkTs indicando que só são tomados os valores da função nos instantes de amostragem Isto significa que fkTs corresponde ao conjunto de valores amostrados A próxima etapa é modelar o bloco do retentor Este é o dispositivo usado para manter constante o valor amostrado de modo que o dispositivo conversor análogodigital tenha tempo para obter o número binário correspondente Ele é o responsável pela aparência de escadas no gráfico do sinal em processo de amostragem fig 129 Em termos matemáticos o que o retentor faz é multiplicar o valor da amostra por um pulso quadrado de duração igual a um período de 38 amostragem Ts O pulso unitário pt pode ser modelado a partir da função degrau unitário conforme a fig 132 levando à expressão 140 ptututT s 140 Figura 132 A função pulso unitário Por se tratar de uma modelagem de um sistema o retentor será usada a Transformada de Laplace para encontrar sua função de transferência considerando que a entrada seria um impulso Ghsℒ ututT sℒ utℒ utT s1 s e sT s 1 s Ghs1e sT s s 141 A função de transferência em 141 modela o retentor de ordem zero ZOH Portanto o modelo matemático do processo de amostragem pode ser resumido na fig 133 39 Figura 133 O modelo do processo de amostragem 152 A Transformada z A Transformada de Laplace seria a escolha natural para seguir modelando sinais e sistemas discretos mas por uma questão de conveniência se torna interessante definir uma variável diferente da variável s embora baseada nela Considere o sinal amostrado ft eq 139 f t k f kT sδtk T s Aplicando nele a Transformada de Laplace vem ℒ f tℒ k f kT sδtk T s Como as amostras fkTs são apenas coeficientes multiplicando os impulsos vem ℒ f t k f kT sℒ δtk T s Sabendo que ℒ δt1 e ℒ δtae sa ℒ δt então ℒ f t k f kT se sk T s 142 A presença da exponencial na eq 142 não é interessante pois a vantagem de se usar uma transformada seria trabalhar no domínio da frequência 40 usando apenas polinômios Então definese a variável z da seguinte forma ze sT s 143 Assim a Transformada z de uma função de tempo discreta fica definida como Fzℒ f t k f kT sz kZ f kT s 144 A Transformada z Inversa apesar de não ser usada diretamente nesta disciplina serão usadas tabelas é apresentada abaixo Z 1 Fzf kT s 1 2π j Fzz k1dz 145 Exemplo 13 Encontrar a Transformada z da função Impulso discreta δkTs FzZ δkT s k δkT sz k0z 20z 11z 00z 10z 2 δz1 Exemplo 14 Encontrar a Transformada z da função degrau unitário discreto ukTs Como o degrau só apresenta valores a partir do instante 0s o somatório pode iniciar em k0 FzZ ukT s k0 ukT sz k1z 01z 11z 21z 3 41 Este somatório constitui uma progressão geométrica aka0q k Ska01q k 1q soma da PA q é a razão da PA Neste caso qz1 então uz11z 1z 1 1 1z 1 z z1 Estes são exemplos simples de aplicação da Transformada z em sinais discretos Não é usual fazer esse tipo de aplicação Em vez disso usase tabelas de transformadas em conjunto com suas propriedades A tabela 12 lista as Transformadas z e de Laplace das funções mais usadas Tabela 12 Tabela de Transformadas z e Transformadas de Laplace de funções importantes 42 153 Propriedades da Transformada z As propriedades da Transformada z são similares às propriedades da Transformada de Laplace Não serão listadas todas aqui apenas aquelas que podem ter alguma utilidade nesta disciplina Considerando as seguintes variáveis As principais propriedades são a Linearidade b Atraso 43 Esta propriedade é uma das mais importantes pois permite traduzir uma função de transferência em um algoritmo computacional Uma outra maneira de interpretar esta propriedade é visualizar um sinal como um fluxo de amostras e um operador Atraso teria a função de segurar uma amostra pelo tempo de 1 um período de amostragem o que atrasa todo o fluxo de amostras c Avanço Esta é uma propriedade similar ao Atraso mas em oposição o que causa um problema de causalidade Está sendo mostrada aqui apenas para avisar que ela não deve ser usada para elaborar algoritmos d Amortecimento e Teorema do Valor Inicial f Teorema do Valor Final 16 Sinais Discretos Sinais discretos são um conjunto de amostras coletadas a partir de medições e amostragem de um sinal analógico ou obtidas usando uma função matemática discreta O que é visto na Tabela 12 são funções matemáticas que podem representar sinais As funções discretas não versões da função contínua onde 44 a variável independente na maioria dos casos o tempo t é trocada por um índice inteiro k multiplicando o período de amostragem Ts Assim ft fkTs É comum abusar um pouco da linguagem e no lugar de kTs usar apenas o índice k entre colchetes ft fkTs fk pois a presença do período de amostragem já está subentendida Com a transformada z é possível expressar esses sinaisfunções discretas no domínio da frequência complexa z Por exemplo o sinal rampa unitária t na segunda linha da Tabela 12 ao se tornar discreto passa a ser apenas kTs e no domínio da frequência complexa z é escrito como Z kT s T s z z1 2 Uma dificuldade aparece quando é preciso conhecer a versão de tempo discreto de um sinalfunção escrita no domínio da frequência complexa z que não esteja listada em alguma tabela de transformadas Neste caso é preciso lançar mão da técnica de Frações Parciais e das propriedades da transformada z Exemplo 15 Desejase obter a versão no tempo discreto do sinal escrito como Fz 05 z z05z07 ou em outras palavras desejase obter a transformada z inversa de Fz dado acima O primeiro passo será fazer a expansão em Frações Parciais Mas antes disso deve 45 se trazer a variável z do numerador de Fz para o lado esquerdo Fz z 05 z05z07 Isto é necessário porque ao executar a expansão em Frações Parciais todos os numeradores das parcelas do lado direito serão apenas constantes sem a variável z o que é um problema pois o objetivo é ter parcelas no lado direito que correspondam a alguma linha da tabela de transformadas e uma rápida olhada na tabela 12 mostra que todas as entradas na coluna de Fz possuem a variável z no numerador O próximo passo é realizar a expansão Fz z A z05 B z07 A z0505 z05z07z05 25 B z0705 z05z07z07 25 Com isto chegase a Fz z 25 z05 25 z07 Fz25 z z05 25 z z07 Por fim devese usar a tabela de transformadas e as propriedades da transformada z para obter fk Da tabela 12 z ze aT s e ak T s Notase que e aT s05 z z05 05 k Ou seja z z05 05 k z z07 07 k Pela propriedade da Linearidade 46 f kf k T s2505 k2507 k Com a descrição matemática do sinal é possível obter cada uma das amostras fazendo o índice k variar de 0 até o instante múltiplo de Ts desejado k 0 f0 f0Ts 25050 25070 0 k 1 f1 f1Ts 25051 25071 05 k 2 f2 f2Ts 25052 25072 0545 e assim por diante Sua representação na forma de conjunto de amostras seria fk 0 05 0545 Exercício 15 Obter as quatro primeiras amostras do sinal modelado em z por Fz zz1z2 z05z07z09 17 Sistemas Discretos Os sistemas discretos são aqueles modelos representando sistemas reais que precisam processar sinais digitais Já deve ter sido visto que os sistemas contínuos podem ser representados por funções de transferência no domínio da frequência complexa contínua s conforme fig 134 onde Rs representa o sinal de entrada e Cs o sinal de saída Figura 134 O modelo de um sistema contínuo 47 A função de transferência que representa o sistema contínuo é dada por GsCs Rs A dualidade que existe entre o domínio da frequência complexa contínua s e o domínio da frequência complexa discreta z permite atestar que a fig135 é válida onde Rz representa o sinal de entrada discreto e Cz o sinal de saída discreto Figura 135 O modelo de um sistema discreto Neste caso a função de transferência que representa o sistema discreto é dada por GzCz Rz Um erro comum é pensar que Gz é a simples conversão da função de transferência em s para uma função de transferência em z diretamente assim como pode ser visto em tabelas de transformadas como a da tabela 12 A conversão da função de transferência contínua em uma versão discreta deve levar em conta o processo de amostragem conforme representação na fig 133 Nesta figura podese ver que o retentor tem um papel significativo sendo representado pela função de transferência em s da eq 141 Este retentor é chamado de retentor de ordem zero ZOH zero order holder Isto significa que o processo de conversão deve incluílo conforme ilustrado na fig 136 Figura 136 Conversão de uma função de transferência contínua em discreta 48 Assim pela propriedade da linearidade GzZ1e sT s Gs s Z Gs s e sT s Gs s Z Gs s Ze sT s Gs s A propriedade do Deslocamento no Tempo da transformada de Laplace afirma que e sT s Fsℒ f tT s Esta expressão representa um atraso de um período de amostragem que pela propriedade do Atraso da transformada z é representada por uma multiplicação por z1 Na situação apresentada aqui o domínio do tempo é o discreto então f tT s f kT sT sf k1Ts f k1 e Z f k1z 1Fz Portanto GzZ Gs s Ze sT s Gs s Z Gs s z 1 Z Gs s Gz1z 1Z Gs s z1 z Z Gs s 146 A eq 146 é conhecida como o método ZOH de conversão de sistemas contínuos para sistemas discretos Na verdade é a simples modelagem matemática da situação real que ocorre quando um sinal contínuo sofre o processo de amostragem antes de ser aplicado a um sistema Devese reconhecer que a eq 146 contém um abuso da linguagem 49 matemática quando se tenta aplicar a transformada z numa função do domínio da variável s Na verdade a transformada z deve ser aplicada a uma função do domínio do tempo discreto A forma mais adequada de escrevêla seria a da eq 147 abaixo Gz1z 1Zℒ 1 Gs s tk T s z1 z Zℒ 1 Gs s tk T s 147 Exemplo 16 Converter a função de transferência contínua abaixo em uma versão discreta com período de amostragem Ts 05s Notase que logo depois da expansão em frações parciais usase a propriedade da linearidade da transformada z para separar em parcelas que podem ser encontradas nas tabelas de transformadas 18 Plano z A dualidade que existe entre os domínios de s e de z também se estende ao plano dessas variáveis Como no domínio da frequência complexa contínua s as funções de transferência em z também possuem polos e zeros que influenciam a 50 resposta do sistema modelado Porém no domínio da frequência complexa discreta z a estrutura do plano z é diferente da estrutura do plano s Considerando a questão da estabilidade de sistemas os dois planos podem ser comparados como na fig 137 Figura 137 Comparação entre os planos s e z quanto à estabilidade de sistemas Nesta figura a região representada pela letra A corresponde àquela em que os polos ali posicionados são estáveis ou seja possuem um decaimento ao longo do tempo A região C circunferência unitária corresponde aos polos que provocam instabilidade e a região B corresponde a polos que tornariam o sistema marginalmente estável com a saída apresentando oscilações estáveis A circuferência unitária pode ser demonstrada rapidamente Sabese que z esTs Então sσ jω ze σ jωT se σT se jωT s Usando a relação de Euler ze σT scosωT s j senωT s A expressão entre colchetes define uma circunferência de raio unitário Um polo estará sobre esta circunferência quando e σT s1 σ0 que corresponde exatamente aos polos do plano s sobre o eixo imaginário que define a região de estabilidade marginal Uma análise mais detalhada da comparação entre os polos s e z pode ser 51 feita com o auxílio da fig 138 Figura 138 Comparação entre os planos s e z quanto à correspondência entre os polos nos dois planos Com relação à forma da resposta transitória modos característicos dos sistemas a análise pode ser feita com o auxílio da fig 139 Figura 139 Polos no plano z e seus modos característicos 52 181 Resposta Transitória Seja um sistema de segunda ordem em s Gs ωn 2 s 22ζ ωnsωn 2 148 s12ζωnωnζ 21 149 Os polos equivalentes no plano z são z12e s12T se ζωnT se jωnT s1ζ 2 e ζωnT sangωnT s1ζ 2r angθr e jθ re ζωnT s 150 θωnT s1ζ 2 151 Os parâmetros do sistema de segunda ordem discreto são dados por ζ lnr ln 2rθ 2 152 ωnln 2rθ 2 T s 153 19 Equação de Diferenças e Algoritmo O Processamento Digital de Sinais como o próprio nome diz visa realizar alguma transformação num sinal para adequálo a algum objetivo no que diz respeito às informações que ele o sinal transporta Porém esta transformação não é feita programandose livremente sem método O Processamento Digital de Sinais realiza suas transformações usando sistemas dinâmicos como agentes Daí a necessidade de dominar os temas de modelagem de sistemas usando funções de transferência O que se faz então é usar um modelo de sistema que realiza a transformação desejada Este sistema deve ser emulado no computador ou processador Para isso é preciso escrever um programaalgoritmo a partir de um modelo do sistema neste caso de uma função de transferência em z Emular um sistema significa imitálo neste caso em um computador ou processador de forma 53 que ao ser excitado por um sinal de entrada ele responda com um sinal de saída da mesma forma que o sistema real faria Isto quer dizer que o algoritmo de processamento tomará como entrada um sinal e o processará para produzir um sinal de saída transformado O primeiro passo é traduzir a função de transferência para outra forma de modelagem conhecida como equação de diferenças uma forma equivalente à equação diferencial no tempo contínuo Seja uma função de transferência genéria em z Como se trata da razão entre o sinal de saída e o sinal de entrada é possível encontrar uma expressão para calcular o sinal de saída a partir do sinal de entrada Reescrevendo para obter o sinal de saída Aplicando a transformada z inversa através da propriedade do Atraso a0cka1ck1ancknb0rkb1rk1bmrkm 154 Esta equação é chamada de equação de diferenças e também é considerada uma forma de modelagem de sistemas discretos Se o sinal ck for isolado é possível calcular todas as amostras de saída de um sistema a partir das amostras de um sinal de entrada rk ckb0a0rkb1a0rk1bma0rkma1a0ck1ana0ckn Exemplo 17 Seja uma função de transferência dada por Gz 2z z06065 2 106065 z 1Cz Rz 54 Reorganizando a expressão Cz2Rz06065 z 1Cz Aplicando a propriedade do atraso obtémse a equação de diferenças ck2rk06065ck1 Esta equação permite calcular cada amostra de saída a partir das amostras do sinal de entrada rk A emulação do sistema é feita amostra por amostra ou seja começase pela primeira amostra de entrada que é substituída na equação de diferenças para obter a primeira amostra de saída Em seguida aplicase a segunda amostra do sinal de entrada para calcular a segunda amostra do sinal de saída e assim por diante até a última amostra Atenção especial deve ser dada à parcelas com atrasos por exemplo ck1 pois significa que deve ser usada uma amostra de saída já calculada ou em se tratando de atrasos na variável de entrada deve ser usada uma amostra anterior do sinal sinal de entrada Isso é importante no cálculo das primeiras amostras de saída onde ainda não existem amostras anteriores pois o processamento se inicia no instante 0s Esses valores desconhecidos são chamados de condições iniciais do sistema e na maioria das vezes são considerados nulos Um programa para processamento em lote o sinal de entrada está todo na memória pode ser escrito da seguinte forma Um programa para processamento em tempo real pode ser escrito da seguinte forma 55 110 Resposta ao Impulso e Convolução Até aqui os sistemas que pretendese emular em computador foram modelados por funções de transferência ou equações de diferenças Porém estas não são as únicas formas de modelagem que podem ser usadas para emularsimular sistemas Uma outra forma pode ser reconhecida explorando propriedades já conhecidas dos sistemas a linearidade e a invariância no tempo bem como uma peculiaridade fácil de visualizar a Resposta ao Impulso 1101 Resposta ao Impulso Um sistema excitado por um sinal do tipo impulso terá uma resposta muito interessante e útil É fácil verificar Seja este sistema representado por uma função de transferência Gz conforme fig 140 Figura 140 Sistema modelado por uma função de transferência e seus sinais de entrada e saída Sabese que a definição de função de transferência é a razão entre o sinal de saída 56 Gz Xz Yz Yz e o sinal de entrada Xz Gz Y z Xz Então se for aplicado um sinal Impulso Unitário δz conforme figura 141 Figura 141 Sinal de entrada Impulso unitário aplicado a um sistema Como visto no exemplo 13 a transformada z do Impulso Unitário é δz1 Então Gz H z δz H z 1 Hz No domínio do tempo Hz é representado por hn conforme fig 142 Figura 142 Sistema com sua resposta ao impulso hn Ou seja a Resposta ao Impulso pode representar o sistema como um modelo pois matematicamente o sinal de saída resposta é equivalente à função de transferência A questão a ser respondida é como a Resposta ao Impulso pode ser usada para emular um sistema num computador ou seja como calcular amostras de saída de um sistema modelado por sua Resposta ao Impulso a partir de amostras de um sinal de entrada 1102 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo A maioria dos modelos de sistemas em que se baseia o Processamento Digital de Sinais é linear Sistemas não lineares também são usados mas antes é preciso explorar bem os lineares Devese recordar que a definição de sistema linear 57 Gz δz Hz Sistema δn hn envolve dois conceitos a superposição e a homogeneidade Pela superposição entendese que um sinal formado pela soma de outros sinais componentes quando aplicado a um sistema linear provocam uma resposta que também pode ser decomposta em componentes A peculiaridade aqui é que estas componentes correspondem às respostas que aquele mesmo sistema daria quando fosse excitado pelas componentes do sinal de entrada Isso pode ser expresso da seguinte maneira seja um sistema linear que será chamado aqui apenas de transformação linear T uma vez que se conhece mais de uma forma de modelagem de sistemas e um sinal x1n que será usado como entrada fig 143 Figura 143 Sistema representado por uma transformação linear e sinais de entrada e saída no tempo discreto Acrescentase também outro sinal x2n para ser usado como entrada fig 144 Figura 144 Sistema linear com outro sinal de entrada e sua saída correspondente Isto pode ser descrito da seguinte forma y1nT x1n 155 e y2nT x2n 156 A superposição pode ser escrita como yny1n y2nT x1nx2nT x1nT x2n Ou simplesmente T x1nx2nT x1nT x2n 157 58 T x1n y1n T x2n y2n Por homogeneidade entendese que se um sinal de entrada aplicado a um sistema linear produz determinado sinal de saída ao aplicar um ganho naquele sinal de entrada e aplicálo ao sistema novamente terseá um novo sinal de saída que corresponde àquele de saída obtido inicialmente mas multiplicado pelo mesmo ganho Isto pode ser visto da seguinte forma seja um sinal x1n que produz uma saída y1n num sistema linear conforme fig142 e eq 155 Então fig 145 Figura 145 Sistema linear e a propriedade da homogeneidade Ou T ax1naT x1n 158 Juntas estas duas propriedades formam a propriedade da linearidade T ax1nbx2naT x1nbT x2n 159 A invariância no tempo diz respeito ao comportamento do sistema ser o constante independentemente do tempo Para um sistema invariante no tempo um deslocamento temporal ou atraso no sinal de entrada causa o mesmo deslocamento temporal no sinal de saída ou seja se yn Txn e se x1nxnn0 160 então y1nynn0 161 A princípio todos os sistemas usados nesta apostila serão considerados Lineares e Invariantes no Tempo LIT 59 T x1n y1n T a x1n a y1n 1103 Cálculo do Sinal de Saída por meio da Resposta ao Impulso Considere um sinal xn aplicado ao um sistema LIT representado por uma transformação linear T de forma semelhante como ilustrada pela fig 143 Então ynT xn O sinal de entrada xn pode ser reescrito como sendo a combinação linear de impulsos atrasados ou seja de impulsos atrasados e de amplitudes correspondentes às amostras de xn xn k0 xkδnk 162 Isto eq 162 também pode ser pensado como a multiplicação do sinal xn por um trem de impulsos discreto Assim o sinal de saída do sistema será ynT k0 xkδnk Sendo um sistema LIT a propriedade da superposição permite que se escreva yn k0 T xkδnk E por fim a propriedade da homogeneidade permite ver xk como constantes multiplicando o sinal impulso atrasado resultando em yn k0 xkT δnk A transformação linear que representa o sistema está atuando apenas no sinal impulso atrasado então pela invariância no tempo o resultado desta transformação linear é a resposta ao impulso hn atrasada ou seja yn k0 xkhnk 163 60 A eq 163 é conhecida como Soma de Convolução ou apenas Convolução Ela permite usar a resposta ao impulso de um sistema LIT para calcular a saída para qualquer sinal de entrada Uma forma prática de interpretação a eq 163 dada em 1 e chamada de Conceito Fundamental do Processamento Digital de Sinais pode ser resumida na fig 146 Figura 146 Interpretação da Convolução fonte 1 O sinal de entrada xn pode ser visto como a soma de impulsos discretos ou seja cada amostra de xn vem de um sinal impulso com amplitude correspondente à amostra e com o atraso correspondente ao instante da amostra Ora sendo impulsos cada um desses sinais componentes provocará uma resposta ao impulso porém devido à linearidade estas respostas serão deslocadas no tempo e multiplicadas pela amplitude da amostra correspondente Estas respostas são réplicas da resposta ao impulso devidamente amplificada e deslocada no tempo Por fim a linearidade permite somar estas respostas para resultar no sinal de saída equivalente à resposta 61 total do sistema ao sinal xn Exemplo 18 Seja um sinal xn1 2 1 e um sistema representado por sua resposta ao impulso hn2 3 1 A saída deste sistema pode ser obtida da seguinte forma Primeiro obtémse as componentes de xn na forma de impulsos xn 1 0 0 0 2 0 0 01 Em seguida aplicase cada um desses impulsos ao sistema representado por hn 1 0 0 sistema 0 2 0 sistema 0 01 sistema A aplicação destes sinais resultará em repostas a cada um desses impulsos devidamente deslocadas no tempo e amplificadas 1 0 0 sistema 2 3 1 0 2 0 sistema 0 4 6 2 0 01 sistema 0 0231 O sinal de saída será a soma das repostas aos impulsos constituintes do sinal de entrada 1 0 0 sistema 2 3 1 0 2 0 sistema 0 4 6 2 0 01 sistema 0 0231 2 7 511 Por fim é importante observar que o resultado da convolução é uma sequênciasinal com uma quantidade de amostras maior que a de cada sequênciasinal usada Mais exatamente o tamanho quantidade de amostras total N do sinal obtido pela convolução de dois outros sinais com tamanhos N1 e N2 será N N1 N2 1 164 62 Esta quantidade é importante e precisará de atenção em outras aplicações em que a convolução seja usada 111 Resposta em Frequência De modo geral a resposta de um sistema LIT a uma exponencial complexa é a mesma exponencial complexa com apenas uma mudança de fase e de amplitude conforme fig 147 Figura 147 Resposta de sistemas LIT a exponenciais complexas De forma mais prática a resposta de um sistema LIT a um sinal senoidal frequência pura sempre será um sinal senoidal de mesma frequência porém com amplitude e deslocamento de fase diferentes do sinal de entrada Cada sistema responderá com alterações de fase e de amplitude nas senoides em suas entrada de um modo único o que permite considerar a resposta em frequência de um sistema como sendo única uma assinatura deste sistema ou seja um modelo Analiticamente uma expressão para a resposta em frequência de um sistema de tempo contínuo pode ser obtida de sua função de transferência substituindo a variável s por jω G jωGss jω Exemplo 19 Seja um sistema de tempo contínuo representado por Gs 10 s10 Desejase descobrir qual é o ganho e qual é o deslocamento que este sistema deve impor a um sinal de entrada senoidal de frequência 10 rads Substituindo s por j10 63 temse G j10 10 j10101010 j10 200 05 j05 O ganho que o sistema aplicará ao sinal será o módulo deste número complexo G j102 2 0707 e o deslocamento de fase será o ângulo deste número complexo arg G j1045 o ou seja se um sinal senoidal de frequência de 10 rads amplitude unitária e fase nula for aplicado a este sistema o sinal de saída resultante também será senoidal de 10rad s porém com amplitude de aproximadamente 0707 e atrasado de 45 graus A reposta em frequência é mais costumeiramente representada por seus gráficos de magnitude e de fase Eles são obtidos calculando a magnitude e a fase de cada valor de frequência que se deseja visualizar É gerar estes gráficos usando escalas logarítimicas para a frequência gráfico semilog com o ganho dado em dB GanhodB20log10Ganho e o ângulofase dado em graus conforme fig 148 onde se vê a resposta em frequência do sistema do exemplo 19 O gráfico assim é conhecido como Diagrama de Bode Figura 148 Resposta em frequência do sistema do exemplo 19 64 Para sistemas discretos onde as funções de transferência são dadas no domínio de z a expressão analítica da resposta em frequência é obtida substituindo a variável z por sua equivalente baseada em s A variável z é definida por ze sT s Novamente devese substituir s por jω ou seja substituir z por ejωTs Exemplo 110 Desejase descobrir qual é o ganho e qual é o deslocamento que o sistema representado por Gz 009516 z09048 Ts 001s deve impor a um sinal de entrada senoidal de frequência 10 rads Substituindo z por ej10001 ej01 temse Ge j01 009516 e j0109048 04741529083528269 j05247685038489511 que corresponde a um ganho de aproximadamente 0707 e a um atraso de fase de aproximadamente 479 graus Da mesma forma que para sistemas contínuos os sistemas discretos podem ter suas respostas em frequências mostradas em Diagramas de Bode como na fig 149 Figura 149 Diagrama de bode do sistema do exemplo 110 65 112 Exercícios Propostos 1 Dado um sinal amostrado com 10kHz e com as seguintes componentes de frequência todas com fase nula Pedese a Gerar o sinal no Python e exibir seu gráfico e seu espectro b Refazer a amostragem do sinal do item a com uma taxa de 1000 amostras por segundo Exibir o espectro do sinal Quais componentes foram afetadas pelo aliasing Como elas aparecem nesse espectro fazer a correspondência das frequências originais com as fantasmas 2 Para os sistemas abaixo verificar se são estáveis e calcular o tempo de acomodação e o overshoot se aplicável a Gz 002332 z002181 z 21774 z08187 Ts 01s b Gz 1345 z06927 z 208297 z01353 Ts 05s c Gz 07761 z09141 z 23325 z1649 Ts 05s 66 3 Para os sistemas cujos modelos são dados abaixo calcule suas saídas quando se aplica uma entrada xn 0 2 5 1 3 Para o segundo sistema b escreva também pelo menos um algoritmo computacional para cálculo das amostras de saída a hn 13 13 13 b H z z 31 3z 33z 2 4 Obter um algoritmo para implementar o sistema abaixo em um computador com um período de amostragem de 01s Gz 001321 z0006767 z 207358 z01353 5 Obter algoritmos para os sistemas abaixo a Gss0111 s001 Ts 001s b Gs s5 s4296 Ts 005s c Gs s01 s Ts 001s d Gss3006 Ts 002s e Gs 46s 25642s2796 s Ts 001s 67 2 Transformada Discreta de Fourier A Transformada Discreta de Fourier DFT discrete Fourier transform é uma versão da Transformada de Fourer desenvolvida para ser usada em sinais de tempo discreto Ela pode ser executada em computadores o que constitui uma das mais importantes ferramentas de Processamento Digital de Sinais PDS Desde o início deste curso o foco apresentado do PDS estava em realizar transformações em sinais Porém a DFT será usada aqui com o objetivo de extrair informações dos sinais e não transformálos embora isso também seja possível 21 Correlação Em muitas situações é interessante fazer comparações entre sinais visando medir o quanto são semelhantes ou diferentes Uma forma matemática de se realizar essa operação de comparação é a correlação Ela também serve para os propósitos deste curso como um fundamento conceitual para definir a DFT A proposta matemática para se comparar dois sinais discretos ou seja duas sequências numéricas é bastante simples Em primeiro lugar as duas sequências precisam ser do mesmo tamanho mesma quantidade de números ou amostras É feita a multiplicação de cada amostra de uma sequência pela correspondente em posição da outra como na figura 21 Figura 21 Multiplicação ponto a ponto amostra a amostra de duas sequências O que se deseja é uma maneira de avaliar a semelhança entre as duas sequências então devese ter uma forma de nota para esta semelhança o que deve refletir também uma gradação Isto é obtido somandose o resultado da multiplicação ponto a 68 ponto das duas sequências x1nx2n45 Como interpretar este valor Para isso devese explorar algumas outras situações Considere duas sequências proporcionais como na fig 22 Figura 22 Comparação de duas sequências proporcionais O fato de serem proporcionais as faz serem muito semelhantes Neste caso a soma da multiplicação ponto a ponto das duas sequências será x1nx2n290 Um valor relativamente grande se comparado com as duas sequencias anteriores que possuíam a mesma quantidade de amostras Agora usando o mesmo método comparase duas sequências com tendências opostas fig 23 Desta vez o resultado foi um valor negativo apensar de grande em módulo x1nx2n1010 O sinal negativo indica a oposição das tendências exibidas pelas duas sequências Com estas duas situações podese observar que duas sequências são semelhantes quando suas amostras variam na mesma direção ou em direções totalmente opostas pois as sequências da fig 23 são quase as mesmas com uma tendo apenas o sinal trocado em relação à outra 69 Figura 23 Comparação de duas sequências opostas A multiplicação de dois números será positiva sempre que eles tiverem sinais iguais e negativa quando forem opostos O alto valor da soma se deve ao fato das multiplicações envolverem amostras com sinais iguais o que acontece quando elas variam de forma semelhante ou em total oposição O que faria este valor ser pequeno Considere duas sequências com valores aleatórios ou seja as amostras de uma sequência não guardam nenhuma relação aparente com as amostras da outra como na fig 24 Figura 24 Comparação de duas sequências de amostras aleatórias 70 O resultado da soma dos produtos ponto a ponto será x1nx2n2 Os produtos entre as amostras quase sempre resultam valores com sinais ora positivos ora negativos pois suas amostras possuem direções das variações independentes umas das outras o que leva a uma soma próxima de zero pois os sinais positivos e negativos tendem a se cancelar O que se pode induzir dessas observações é sequências semelhantes produzem uma soma dos produtos cujo valor é positivo e relativamente grande sequências semelhantes mas opostas produzem uma soma de produtos cujo valor é negativo e relativamente grande em módulo sequências de valores aleatórios sem conexão uma com a outra e portanto diferentes produzem uma soma de produtos cujo valor é próximo de zero Portanto a expressão formada pela multiplicação amostra por amostra de duas sequências x1n e x2n e a soma destes produtos mede a semelhança entre elas sendo chamada de Correlação conforme eq 21 r12 n0 N1 x1nx2n 21 onde N é a quantidade de amostras em cada sequência 211 Coeficiente de Correlação Há uma dificuldade na interpretação do resultado da correlação no que diz respeito ao grau de semelhança Aquele resultado pode sofrer algumas influências importantes a amplitude das amostras valor médio do sinal offset ou valor DC quantidade de amostras 71 Para resolver isso e criar uma padronização do resultado da correlação foi criado o Coeficiente de Correlação Isto é feito buscando normalizar a soma dos produtos das amostras de tal forma que este coeficiente tenha as seguintes características um resultado igual a zero significa que as sequênciassinais não têm semelhança não são correlacionados um resultado igual a 1 significa que as sequênciassinais são totalmente correlacionados um resultado igual a 1 significa que as sequênciassinais são plenamente correlacionados mas em oposição Para chegar a um coeficiente assim é preciso normalizar a soma dos produtos de modo que para que o valor 1 corresponda à total correlação a referência a ser usada é a própria sequênciasinal ou seja o coeficiente de correlação entre um sinal e ele mesmo deve ser 1 c11 n0 N1 x1nx1n n0 N1 x1n 2 22 Devese obter uma constante C que multiplicando cada amostra da sequência x1n tal que c12 seja igual a 1 na eq 22 c11 n0 N1 x1n C 2 1 1 n0 N1 x1 2n C 2 1 1 C 2 n0 N1 x1 2n C n0 N1 x1 2n Substituindo esta constante vem c11 n0 N1 x1n C 2 n0 N1 x1n C x1n C 72 Para duas sequênciassinais c12 n0 N1 x1n C1 x2n C2 1 C1C2 n0 N1 x1nx2n c12 n0 N1 x1nx2n n0 N1 x1 2n n0 N1 x2 2n Por fim para evitar a influência da média valor DC de cada sequência basta subtraíla das sequências c12 n0 N1 x1nx1x2nx2 n0 N1 x1nx1 2 n0 N1 x2nx2 2 23 A expressão 23 resulta no Coeficiente de Correlação entre duas sequências x1 e x2 Exemplo 21 Exemplo de aplicação da expressão 23 Sejam duas sequências x1 2 1 2 9 10 9 6 8 7 2 x2 0 3 8 6 2 0 1 6 8 6 x136 x202 C1 n0 9 x1nx1 217158 C2 n0 9 x2nx2 215799 c12 n0 9 x1nx1x2nx2418 c12 418 171581579901542 A interpretação do resultado do coeficiente de correlação deve levar em conta a escala de 1 a 1 Esta escala não corresponde a um percentual de semelhança ou seja no exemplo 21 acima o resultado 01542 não significa que há 1542 de semelhança em oposição Tratase de um valor próximo de zero mas não zero ou 73 seja há pouca correlação e em oposição A correlação pode ser pensada em termos de informação compartilhada entre os sinais Assim um coeficiente de correlação zero indica nenhuma informação compartilhada 1 indica que os sinais carregam a mesma informação e 1 as informações são praticamente as mesmas mas com tendências opostas Para concluir apresentase uma expressão alternativa para o cálculo do coeficiente de correlação obtida da manipulação da expressão 23 e que visa agilizar o cálculo computacional ou mesmo o manual c12 N n0 N1 x1nx2n n0 N1 x1n n0 N1 x2n N n0 N1 x1 2n n0 N1 x1n 2 N n0 N1 x2 2n n0 N1 x2n 2 24 22 Transformada Discreta de Fourier A Transformada de Fourier já foi estudada no capítulo 1 desta apostila Ela evoluiu de série de Fourier para que pudesse ser aplicada a sinais periódicos conforme eq 126 Porém ainda é restrita a sinais de tempo contínuo A Transformada Discreta de Fourier DFT Discrete Fourier Transform é uma adaptação para aplicação em sinais de tempo discreto periódicos ou não sendo definida por X k n0 N1 xne j2π k N n 25 onde xn é o sinal do qual seu deseja obter o espectro Xk o índice k define a frequência indiretamente o índice n define o instante de tempo indiretamente e N é a quantidade de amostras do sinal a ser decomposto Sua inversa é definida por xn 1 N k0 N1 X ke j2 π k N n 26 A compreensão de cada elemento destas duas expressões é o que permite sua correta utilização para a obtenção do espectro do sinal xn ou a partir do seu 74 espectro Xk a reconstrução do sinal 221 A Transformada A transformada definida na eq 25 visa encontrar as componentes de frequência suas amplitudes e fases que compõem o espectro Xk do sinal xn Uma observação atenta da expressão permite identificar uma operação de correlação entre o sinal xn e uma exponencial complexa Conforme visto nas seções 12 e 13 desta apostila esta exponencial complexa pode ser entendida como uma combinação de senos e cossenos pela relação de Euler Do conceito de correlação depreendese que a eq 25 se trata do cálculo de valores de correlação entre o sinal e senoides de diferentes frequências Isto significa que a DFT pode ser pensada como uma varredura para encontrar correlações entre o sinal e diferentes frequências onde aquelas que forem parte do sinal terão seus valores de correlação altos e aquelas que não fazem parte terão valores de correlação praticamente nulos Uma observação deve ser feita na questão do número imaginário que torna a exponencial complexa e por consequência o espectro também complexo Este detalhe permite que a varredura em busca de correlações também leva em conta a não apenas a amplitude mas também a fase das componentes de frequência Para compreender seu funcionamento e portanto aprender a usar a DFT devese analisar a exponencial complexa e j2π k N n Ela evolui da sua contrapartida contínua ejωt da seguinte maneira O tempo não é contínuo mas um conjunto de instantes definidos como múltiplos do período de amostragem tnT s ou seja o índice n passa a determinar o instante de tempo e jωte j ωnT s A frequência pode ser dada em Hz 75 e jωnT se j2π f nT s O período de amostragem pode ser escrito em termos da frequência de amostragem fs e j2π f nT se j2π f n 1 f s A frequência f não é contínua e deve ser dada em múltiplos de uma frequência discreta Δf e j2 π f n 1 f se j2πk Δ f n 1 f s ou seja o índice k passa a determinar o valor de frequência que está sendo comparado O valor do intervalo de frequência Δf é definido por Δ f f s N Substituindo na exponencial e j2πk Δ f n 1 f se j2 πk f s N n 1 f s O cancelamento de fs leva a e j2π k N n Portanto a DFT consistem em calcular valores de correlação entre o sinal e a exponencial acima Estes valores constituem o espectro mas precisam ser decodificados para que seja traduzidos em amplitudes e fases das componentes 222 O Espectro de Fourier A obtenção do espectro de Fourier de um sinal pela DFT se inicia determinando quais são as componentes que podem existir no sinal pois por não ser um espectro contínuo apenas valores determinados por Δf são válidos Da mesma forma que um vetor de tempo de um sinal discreto é definido por valores que se iniciam no instante zero e se desenvolve em instantes múltiplos de Ts até sua duração total um vetor de frequências deve ser definido iniciandose na frequência zero DC e se desenvolvendo em valores múltiplos de Δf até fs2 teorema da amostragem 76 Exemplo 22 Considere um sinal xn amostrado a uma taxa de 100Hz e com 200 amostras Ao se obter seu espectro via DFT quais são os valores possíveis válidos de frequência Neste caso N 200 e fs 100Hz Então Δ f f s N 100 20005 Hz e o vetor de frequências válidas será f 0 05Hz 10Hz 15Hz 20Hz 490Hz 495Hz 500Hz O cálculo do espectro deve ser feito para cada valor de frequência possível Iniciandose em 0Hz DC temse k0 pois o índice k aponta qual frequência será usada na DFT No exemplo acima quando o espectro para a frequência 15Hz tiver que ser calculado o índice k deverá assumir o valor de 3 Portanto k é o índice do vetor de frequências f Exemplo 23 Para o sinal do exemplo 22 calcule o espectro na frequência 25Hz Neste caso k5 X 5 n0 199 xne j2π 5 200 n ou seja este valor do espectro será obtido de um somatório sobre os produtos das 200 amostras do sinal xn e dos 200 valores da exponencial complexa variandose n O espectro será formado por todos os valores de Xk e apesar do vetor de frequências válidas finalizar em fs2 o cálculo é feito até fs Antes de explicar este último detalhe é preciso compreender a natureza de cada valor Xk Em primeiro lugar são número complexos Logo eles registram duas informações do espectro a amplitude ou magnitude da componente senoidal e sua fase Estas informações 77 devem ser encaradas como estimativas de amplitude e de fase pois se o sinal contiver componentes nãoestacionárias ou uma quantidade não inteira de períodos de alguma componente então os resultados não refletirão a amplitude e fase exatas dessas componentes A estimativa da amplitude Ak é obtida de Xk com a eq 27 abaixo Ak2X k N 27 Esta eq 27 não é válida para estimar a amplitude da frequência 0Hz o nível DC Para esta frequência não se deve multiplicar o módulo de Xk por 2 conforme a eq 28 ADCA0X 0 N 28 A estimativa da fase θk é obtida de Xk com a eq 29 abaixo θkargX k 29 Com isto os gráficos de espectro de amplitudemagnitude e fase podem ser gerados conforme fig 25 Figura 25 Exemplo de gráficos do espectro de um sinal As componentes presentes no sinal devem ser destacadas no espectro de amplitude 78 como raias1 com valores muito maiores que zero como se pode ver fig 25 O espectro de fase apresenta rais com valores diferentes de zero em praticamente toda sua extensão embora não haja componentes correspondentes no sinal Devese assumir como valores válidos de fase apenas aqueles que tiverem componentes destacadas no espectro de amplitude 223 Leakage Quando uma componente do sinal não apresenta um número inteiro de períodos devido à sua duração tamanho ou quantidade de amostras há um vazamento de energia no entorno de sua frequência ampliando as raias adjacentes Isto é ilustrado na figura 26 Figura 26 Ilustração do efeito de Leakage O efeito do leakage evidencia o caráter discreto das frequências do espectro Devido à duração do sinal refletida no valor de N número de amostras alguma componente de frequência do sinal pode não ter uma raia causando essa distribuição de energia nas raias adjacentes Uma forma de reduzir este efeito seria reamostrar o sinal de forma a atingir um valor de N que seja compatível com as componentes previstas no sinal Porém este método quase sempre é inviável quando se trata de sinais medidos oriundos de sensores pois pode não ser possível refazer a medida Além disso nem sempre será possível prever todas as componentes existentes no sinal e eventualmente algumas delas podem não ser contempladas com uma raia de frequência 1 Usase nesta apostila o termo raia para ilustrar o caráter discreto das frequências do sinal pois só estes valores raias podem ser avaliados como componentes 79 Outra forma de reduzir o efeito de leakage é o uso de janelas Uma janela multiplica todo o sinal de modo a reduzir gradualmente a amplitude das extremidades do sinal Esta operação busca reduzir os truncamentos que ocorrem em componentes do sinal o que tende a diminuir a interrupção brusca no período das componentes Há diversas maneiras de se fazer isto cada uma delas realçando características espectrais levando à existência de diversos tipos de janela A fig 27 mostra a janela de Hamming Figura 27 Janela de Hamming O sinal cujo espectro foi apresentado na fig 26 agora com a janela de Hamming da fig 27 aplicada passa a apresentar o espectro de amplitude da fig 28 Fica evidente também que o valor da amplitude passa a ser apenas uma estimativa Figura 28 Espectro da figura 26 com redução do leakage pela aplicação da janela de Hamming 223 O Espectro Duplicado Apesar do interesse no espectro se limitar às frequências inferiores a fs2 os algoritmos costuma calcular a DFT para as frequências até fs Na segunda metade 80 frequências superiores a fs2 o espectro aparece duplicado de forma espelhada conforme fig 29 Figura 29 Espectro Espelhado O mesmo acontece no espectro de fase Como as aplicações desta apostila serão com sinais com amostras de número reais esta segunda metade espelhada será simplesmente ignorada 224 Transformada Rápida de Fourier A DFT definida pela eq 25 pode ser bastante lenta em sua execução mesmo usando computadores potentes O motivo é a quantidade de operações de multiplicação necessárias para sua execução Observando a eq 25 isso fica evidente X k n0 N1 xne j2π k N n Para o cálculo de um único valor do espectro são necessárias N1 adições complexas e N multiplicações complexas Operações de multiplicação são críticas pois grande parte dos microprocessadores não possui hardware para isso O problema se agrava quando se calcula a DFT completa N1N adições complexas e N2 multiplicações complexas 81 Durante muito tempo a DFT foi pouco utilizada devido a essa dificuldade mas com o advento dos computadores uma antigo algoritmo desenvolvido pelo alemão C F Gauss no século XIX pode ser implementado e o ganho de velocidade na execução da DFT foi exponencial Atualmente o algoritmo é conhecido como FFT Fast Fourier Transform e seu ganho de velocidade também pode ser medido em número de multiplicações complexas que passam a ser N log2N Para se ter uma ideia do ganho de velocidade se for usada expressão original da DFT para se obter o espectro de um sinal de 128 amostras serão necessárias 16384 multiplicações complexas Com o algoritmo FFT serão necessárias 896 multiplicações complexas E o resultado é numericamente o mesmo Não está entre os objetivos deste curso descrever o algoritmo da FFT mas é possível encontrálo em 2 Uma restrição do algoritmo original da FFT é a exigência de que N a quantidade de amostras do sinal seja uma potência de 2 como 128 512 e assim por diante Porém hoje em dia essa restrição já foi superada e há softwares de distribuição livre que a implementam como o FFTW wwwfftworg A alta velocidade de execução da FFT habilitou uma série de aplicações que eram viáveis apenas teoricamente Algumas delas são descritas a seguir 225 Aplicações da Transformada Rápida de Fourier Transformada Inversa de Fourier É possível calcular a DFT inversa usando o algoritmo da FFT ou seja não é preciso elaborar um algoritmo específico a inversa Observando a equação 26 percebese que ela tem a mesma estrutura da eq 25 mudando apenas as variáveis um sinal e uma constante conforme fig 210 82 Figura 210 Semelhanças entre as expressões da DFT e sua Inversa Desta forma o algoritmo para a DFT inversa é obtido aplicandose a FFT ao espectro Xk tomando o conjugado do resultado e multiplicandose pela constante 1N A operação de conjugado corresponde a trocar o sinal de para da exponencial complexa Convolução Rápida A soma de convolução é outra operação que se pode fazer de modo mais eficiente usando a FFT o Algoritmo Rápido para a Convolução Na verdade há condições em que usar a FFT não a torna mais rápida A análise do custo computacional da soma de convolução é semelhante ao da DFT Tomando a eq 163 yn k0 xkhnk podese observar que para sinais práticos a soma não será infinita Então fazendo esse pequeno ajuste temse a eq 210 yn k0 N1 xkhnk 210 onde N é a quantidade de amostras do sinal xn Esta expressão mostra que para o cálculo de uma única amostra de saída são necessárias N multiplicações reais e para todas as amostras N2 multiplicações reais Utilizando a FFT o número de 83 multiplicações reais se torna 12Nlog22N8N Esta quantidade levanta um problema que pode ser visualizado na tabela 21 N Método Direto Algoritmo Rápido Razão entre o Algoritmo Rápido e o Método Direto 8 4 448 7 16 256 1088 425 32 1024 2560 25 64 4096 5888 14375 128 16384 13312 08125 256 65536 29696 04531 Tabela 21 Comparação entre o Algoritmo Rápido para a Convolução e o Método Direto em quantidade de multiplicações reais Para certas quantidades de amostra não compensa usar o algoritmo rápido com a FFT Porém a partir de determinada quantidade seu uso compensa significativamente O Algoritmo Rápido para a Convolução se fundamenta no Teorema da Convolução ou Propriedade da Convolução 2 Esta propriedade afirma que a convolução de dois sinais no tempo equivale à multiplicação deles no domínio da frequência Então dados dois sinais discretos x1p e x2q podese demonstrar que x1 px2qℱ 1 X 1kX2k 211 onde ℱ 1 representa a DFT inversa X1k e X2k são o DFT espectro de x1p e x2q com amostras nulas adicionais para adequação de tamanhos Para que a multiplicação ponto a ponto das DFT X1k e X2k dos sinais seja possível é preciso que eles sejam do mesmo tamanho quantidade de amostras e esse tamanho é definido pela eq 164 ou seja se N1 é o tamanho de x1p e N2 é o tamanho de x2p então N N1 N2 1 Para isso devese preencher os sinais com zeros até que tenham uma quantidade de amostras igual a N A quantidade de zeros de 84 preenchimento é obtida da seguinte maneira se N é a quantidade total de amostras do sinal que é resultado da convolução então a quantidade de zeros de preenchimento para x1p será N N1 N1 N2 1 N1 N2 1 Da mesma forma a quantidade de zeros de preenchimento para x2p será N1 1 Exemplo 24 Considere os sinais x1 2 5 4 N13 e x2 7 3 1 9 N24 A quantidade de zeros para preencher x1 será N2 1 4 1 3 e para preencher x2 será N1 1 3 1 2 Desta forma ambos terão N1 N2 1 3 4 1 6 amostras E assim antes de aplicar a eq 211 os sinais com seus tamanhos adequados serão x1 2 5 4 0 0 0 x2 7 3 1 9 0 0 Transformada de Fourier de Tempo Curto A aplicação da Transformada de Fourier em um sinal implica assumir que este sinal é estacionário ou seja suas componentes de frequências suas amplitudes e fases não mudam com o tempo como na fig 211 Figura 211 Sinais estacionários 85 Na prática em muitas situações as propriedades de um sinal mudam com o tempo amplitude fase frequência Estes sinais são classificados como não estacionários fig 212 Figura 212 Sinais não estacionários Outros exemplos de sinais não estacionários são sinais de voz sonar radar comunicação de dados etc fig 213 Figura 213 Exemplos de sinais não estacionários 86 A Transformada de Fourier tem a limitação de não registrar modificações ao longo do tempo pelo menos não explicitamente Por exemplo se uma componente de um sinal surgir apenas depois de algum tempono sinal o espectro de Fourier a registrará sem esta informação momento em que surgiu além de não refletir corretamente sua amplitude Em sinais não estacionários a forma mais apropriada de análise de Fourier é a Transformada de Fourier de Tempo Curto STFT Short Time Fourier Transform Esta apostila não tem objetivo de aprofundar seu estudo então apenas uma descrição qualitativa será dada embora seja suficiente para implementála usando a FFT A STFT é obtida dividindose o sinal em segmentos de tempo Em cada segmento é aplicada a FFT conforme fig 214 Figura 214 Segmentos de um sinal para aplicação da STFT Também podese pensar em uma janela de tempo que desliza pelo sinal e a medida que o percorre a FFT é calculada apenas sobre as amostras na janela de acordo com a fig 215 Figura 215 Janela da STFT deslizante 87 O processo todo resulta em um espectro de domínio bidimensional formado pelos espectros obtidos de cada segmento Este resultado é conhecido como espectrograma do sinal Nele não apenas a informação do domínio da frequência é revelada mas também a informação do domínio do tempo fig 216 Figura 216 Formação do espectrograma O espectrograma é um gráfico de três dimensões onde o domínio é formado pelo eixo de frequências e pelo eixo de tempo O terceiro eixo seria a magnitude espectrograma de magnitude e em outro gráfico a fase espectrograma de fase A fig 217 exemplifica um espectrograma de magnitude no formato 3D Figura 217 Exemplo de espectrograma num gráfico 3D Também é possível expressar o espectrograma onde a amplitude ou fase é dada pela variação de cores conforme fig 218 onde um sinal de voz é decomposto com a STFT 88 Figura 218 Espectrograma de um sinal de voz A obtenção do espectrograma é então feita definindose o tamanho dos segmentos dividindo o sinal nestes segmentos e aplicandose a FFT em cada um O resultado pode ser organizado numa matriz onde cada linha é uma das FFT de segmentos As FFTs também podem ser alocadas em colunas A escolha é de acordo com a conveniência para se usar a informação como por exemplo gerar gráficos 3D 23 Exercícios Propostos 1 O vetor abaixo contém as amostras de um sinal composto de senoides de diferentes frequências amostrado com uma taxa de 10Hz s 2500000 0071020 1066435 0139384 2498071 0500000 1547014 0448401 0478650 0880037 Pedese resolva usando apenas calculadora científica e use o Python apenas para conferir os resultados a Dado o sinal s1 abaixo há alguma correlação com o sinal s acima s1 100000 080902 030902 030902 080902 100000 080902 89 030902 030902 080902 b Quais são as raias espectrais possíveis para o sinal s c Qual a estimativa da amplitude da componente de 1Hz do sinal s d Qual a estimativa da fase da componente de 2Hz do sinal s 2 O vetor abaixo contém as amostras de um sinal composto de senoides de diferentes frequências amostrado com uma taxa de 10Hz s 45 207102 3066435 1860616 0498071 25 0452986 2448401 247865 1119963 Pedese resolva usando apenas calculadora científica e use o Python apenas para conferir os resultados a Dado o sinal s1 abaixo há alguma correlação com o sinal s acima s1 100000 080902 030902 030902 080902 100000 080902 030902 030902 080902 b Quais são as raias espectrais possíveis para o sinal s c Quais as estimativas da amplitude e da fase da componente de 4Hz do sinal s d Quais as estimativas da amplitude e da fase da componente de 2Hz do sinal s e Qual a estimativa da amplitude da componente DC do sinal s 3 Dado o sinal abaixo fs10Hz s 30000 05710 15664 03606 19981 10000 10470 09484 09787 03800 Pedese a Calcule os valores de frequência possíveis no espectro desse sinal b Usando a Transformada de Fourier estime a amplitude da componente correspondente à frequência de 1Hz 90 c Usando a Transformada de Fourier estime a fase da componente correspondente à frequência de 2Hz d Usando a Transformada de Fourier estime a amplitude da componente DC 4 Considere um sinal amostrado a uma taxa de 16 amostras por segundo cuja Transformada Discreta de Fourier é dada abaixo Sk 20 1618011756i 3600062354i 56000 0 56000 3600062354i 1618011756i a Quais são as frequências possíveis desse espectro b Qual a estimativa da fase da componente de 2Hz c Qual a estimativa de amplitude da componente de 4Hz 5 O que é o Espectro de um sinal e do que ele é composto 6 Dada a transformada de Fourier Discreta de um sinal abaixo recupere a terceira amostra deste sinal resolva usando apenas calculadora científica e use o Python apenas para conferir os resultados X 0 500000002515600 377340003687721108j250000062347370 251559999497886108 750000003773400j104851795179606106 0 750000003773400j104851795179606106 251559999497886108 377340003687721108j250000062347370 500000002515600 7 Considere um sinal amostrado a uma taxa de 20 amostras por segundo cuja Transformada Discreta de Fourier é dada abaixo S 0 0635i 0200i 0 0 0 0 0 0200i 0635i a Quais são as frequências possíveis desse espectro b Qual a estimativa da fase da componente de 4Hz c Qual a estimativa de amplitude da componente de 2Hz 91 8 Dada a transformada de Fourier Discreta de um sinal abaixo recupere a quarta amostra deste sinal resolva usando apenas calculadora científica e use o Python apenas para conferir os resultados X 666133815e16000000000e00j 169309011e15388578059e16j 454100085e16775813938e16j 500000000e00870773379e16j 787166992e16252235513e15j 100000000e01774782965e17j 787166992e16252235513e15j 500000000e00814139575e16j 454100085e16775813938e16j 177635684e15254465958e16j 9 Considerando o sinal x e a resposta ao impulso de um sistema dados abaixo demonstre a obtenção do sinal de saída usando a convolução x 1 3 5 h 2 4 6 10 Dados os dois vetores abaixo perguntase v1 11594 6244 6397 1492 1522 v2 1547 1114 1301 2686 1804 a Qual o índice de correlação entre eles calcular manualmente b Eles podem ser considerados independentes O que se pode interpretar sobre esse valor do índice de correlação 11 Os gráficos abaixo são espectrogramas de um mesmo sinal Quantas e quais são as componentes de frequência seus instantes de início no sinal e suas durações 92 Frequency Time 4000 3000 2000 1000 0 05 1 15 10 50 0 Amplitude Frequência Hz Tempo s 5000 4000 3000 2000 1000 0 05 1 15 2 07 06 05 04 03 02 01 0 3 Introdução aos Filtros Digitais Filtros são sistemas dinâmicos seletivos em frequência que modificam componentes selecionadas em um sinal Podem ser usados para finalidades como separação eliminação de componentes indesejadas e restauração de sinais correção de distorções Os filtros de sinais podem ser implementados por circuitos eletrônicos filtros analógicos ou por software filtros digitais Os filtros digitais são emulações de sistemas dinâmicos discretos obtidos de modelos analógicos ou modelados via métodos especificamente digitais Também há diferenciação na forma do modelo de filtro digital podendo ser um modelo por função de transferência ou equação de diferenças que é conhecido como filtro IIR Infinity Impulse Response ou um modelo na forma de resposta ao impulso conhecido como FIR Finite Impulse Response Estas formas duas serão vistas neste curso mas antes é preciso estabelecer alguns fundamentos 31 Transformações Aproximadas As Transformações Aproximadas são métodos alternativos para a conversão de sistemas contínuos ou modelos de sistemas em tempo contínuo para modelos em tempo discreto discretização A modelagem do processo de amostragem descrita na seção 15 leva a um procedimento de discretização de sistemas conhecido como ZOH seção 17 que leva em conta as nuances do processo eletrônico incluindo o retentor Porém para filtros digitais ou digitalizados outros procedimentos costumam ser usados devido à maior simplicidade ou a características específicas de cada método Eles exploram outros aspectos matemáticos dos sistemas discretos levando a visões alternativas do processo de discretização Como uma boa parte dos filtros digitais são cópias de filtros analógicos seja por uma conveniência de métodos ou porque o filtro analógico deve ser substituído por um digital para executar a mesma função é importante conhecer 94 algumas formas de conversão de modelos contínuos para modelos discretos Serão apresentados dois métodos alternativos a Transformação Bilinear e a Transformação por Polos e Zeros Casados 311 Transformação Bilinear A Transformação Bilinear ou de Tustin se basea em obter uma função de transferência discreta na variável z a partir de uma função de transferência contínua substituindo a variável s pela expressão s 2z1 T sz1 31 onde Ts é o período de amostragem Esta transformação é proveniente da implementação de um integrador 1s usando o método numérico de integração trapezoidal Exemplo 31 Seja a função de transferência de um sistema contínuo H s 2s s 22s100 A função de transferência discreta considerando a frequência de amostragem de 10Hz é T s 1 1001seg H z 2 2z1 01z1 2z1 01z1 2 2 2z1 01z1100 40z1z1 540z 2600z460 H z 007407z 21 z 21111 z08519 coeficientes arredondados Uma forma de verificar a conversão é visualizar a resposta em frequência dos sistemas contínuos e discretos conforme fig 31 95 Figura 31 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto obtido com a transformação bilinear com Ts01s Podese observar na fig 31 que há alguma distorção no modelo discreto Isto pode ser melhorado escolhendose um período de amostragem menor Para Ts005s temse H z 004494z 21 z 21685 z09101 Ts 005s coeficientes arredondados com a resposta em frequência apresentada na figura 32 Figura 32 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto obtido com a transformação bilinear com Ts005s 312 Transformação por Polos e Zeros Casados Esta transformação de modelos de contínuo para discreto se baseia no mapeamento dos polos e zeros da função de transferência contínua plano s para 96 polos e zeros no plano z usando a definição desta variável dada pela eq 143 ze sT s Ainda assim são necessários alguns ajustes para que o resultado seja satisfatório Então o método pode ser resumido nos seguintes procedimentos 1 Mapear polos e zeros do plano s para o plano z usando a expressão ze sT s 2 Construir uma função de transferência discreta provisória a partir dos termos de primeira ordem formados pelos zeros numerador e pelos polos denominador 3 É desejável que a quantidade de zeros na nova função de transferência discreta seja uma unidade inferior à quantidade de polos Caso seja menor do que isso devese acrescentar zeros na posição 1 do plano z Caso a quantidade de zeros seja igual à quantidade de polos não é necessário fazer nada 4 Por fim é preciso fazer um ajuste de ganho de modo que a resposta em frequência de magnitude coincida para os dois modelos contínuo e discreto Para isso devese selecionar uma frequência de interesse ωi e fazer o ajuste do ganho da função de transferência discreta Kz de modo a igualar o ganho da função contínua nesta mesma frequência H ss j ωiK zH zze jωiTs 32 Assim K z H ss j ωi H zze jωiTs Esta frequência de interesse para ajuste de ganho pode ser um dos polos reais ou um dos zeros reais da função de transferência contínua uma vez que correspondem a frequências de corte da resposta em frequência deste sistema Exemplo 32 Considerando a mesma função de transferência de um sistema do exemplo 31 H s 2s s 22s100 97 A aplicação da transformação por Polos e Zeros Casados com a frequência de amostragem de 10Hz é 1 polos de Hs 1j995 e 1j995 valores arredondados zero de Hs 0 polos em z polosze 1 j9 950104927 j07589 valores arredondados zero em z zeroze 0011 2 H zprov z1 z04927 j07589z04927 j07589 valores arredondados H zprov z1 z 209854 z08187 valores arredondados 3 A quantidade de zeros já é satisfatória 4 Antes de executar o ajuste de ganho podese verificar sua necessidade comparando as respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto provisório conforme fig 33 Observando a resposta de magnitude podese ver claramente que as curvas são semelhantes mas não coincidem por uma diferença de ganho Figura 33 Comparação das respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto provisório na transformação por Polos e Zeros Casados 98 Podese escolher qualquer frequência para se ajustar o ganho mas é interessante escolher alguma mais significativa Neste caso será escolhida a frequência de 10rad s pois nela ocorre o pico da curva de magnitude K z H ss j10 H zze j1001 1 6285201591 valores arredondados Por fim a função de transferência discreta obtida é H zprov 01591z1 z 209854 z08187 e sua resposta em frequência comparada com a função contínua é dada na fig 34 Figura 34 Comparação das respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto obtido pela transformação por Polos e Zeros Casados Da mesma forma que na transformação Bilinear reduzir o período de amostragem leva a um modelo discreto mais bem ajustado quando comparad com o modelo contínuo na resposta em frequência conforme fig 35 onde Ts 005s 99 Figura 35 Comparação das respostas em frequência do modelo contínuo e do modelo discreto obtido pela transformação por Polos e Zeros Casados com Ts melhorado 32 Resposta em Frequência de Filtros Conforme a definição dada no início deste capítulo um filtro visa selecionar ou modificar o sinal a partir do ponto de vista de suas componentes de frequência Desta forma a resposta em frequência de filtros expressa a própria função do filtro a forma específica como ele atua na seleçãomodificação de componentes de do sinal 321 Tipos de Resposta em Frequência de Filtros A maioria dos filtros de sinal se enquadra em um de quatro tipos de resposta em frequência padronizados Estes padrões existem não apenas por serem as formas mais usadas para seleçãomodificação de componentes mas também por conveniência na sua modelagem Eles se referem à resposta em frequência de magnitudeamplitude Os quatro tipos são nomeados de acordo com as faixas ou bandas de frequências que o filtro afetará no sentido de permitir sua permanência no sinal passagem ou sua atenuação no sinal rejeição São eles passabaixas passa altas passafaixa e rejeitafaixa Os termos rejeitar e passar são relativos Rejeitar uma frequência 100 não significa necessariamente eliminála completamente do sinal mas sim atenuála E esta atenuação é uma das especificações do filtro De forma semelhante passar uma frequência pode significar não apenas deixar sua amplitude intocada mas também pode significar algum realce amplificação embora deixála intocada seja o mais comum Todas as características de ganho passagem e rejeição podem ser especificadas dentro dos quatro padrões ou tipos de resposta em frequência Passabaixas O filtro com uma resposta em frequência do tipo passabaixas permite que as frequências mais baixas a partir de 0Hz ou DC até um determinado valor de frequência às vezes chamado de frequência de corte permaneçam no sinal e as frequências acima daquele valor seja atenuadas A fig 36 ilustra o tipo passabaixas Figura 36 Tipo de resposta em frequência Passabaixas Fonte 1 Nesta figura 36 a faixa de frequências que passa ou permanece no sinal é chamada de banda passante passband a faixa que é atenuada é chamada de banda de rejeição ou de atenuação stopband Há também uma região ou faixa de frequências de transição entre a banda passante e a banda de atenuação conhecida como banda de transição Estas bandas de frequência aparecem nos outros tipos de resposta em posições diferentes Passaaltas Este tipo de resposta permite a passagem das componentes de 101 frequências mais altas a partir de um determinado valor de frequência atenuando as inferiores A fig 37 ilustra o passaaltas Figura 37 Tipo de resposta em frequência Passaaltas Fonte 1 Passafaixa O passafaixa permite a passagem de uma banda de frequências intermediária entre dois valores específicos Ele possui duas bandas de rejeição uma inferior e outra superior A fig 38 ilustra isto Figura 38 Tipo de resposta em frequência Passafaixa Fonte 1 Rejeitafaixa Este tipo de resposta indica a atenuação de uma banda de frequências intermediária deixando duas bandas de passagem uma inferior e outra superior conforme fig 39 102 Figura 39 Tipo e resposta em frequência Rejeitafaixa Fonte 1 322 Resposta de Fase Na maioria das aplicações as modificações de fase que os filtro provocam não são uma prioridade de projeto Em geral elas significam apenas um deslocamento de tempo no sinal a partir de determina frequência conforme fig 310 Projetos de filtros específicos para seleçãomodificação de fases são menos usados e não estão entre os objetivos deste curso Figura 310 Modificação de fase nas componentes causada por um filtro Filtros de fase linear produzem um deslocamento de tempo constante em quase todas as componentes de frequência Uma forma de verificar a linearidade de fase de um filtro é usar a medida conhecida como atraso de grupo Tratase da derivada da resposta de fase em relação à frequência grd H e j ωT s d d ω H e jωT s 33 Um gráfico de atraso de grupo pode ser visto na figura 311 onde o eixo horizontal representa as frequências e o vertical o atraso em quantidade de amostras 103 Figura 311 Gráfico de Atraso de Grupo 33 Projeto de Filtros Digitais O desenvolvimento de filtros digitais pode ser estruturado através de um procedimento de três etapas 1a etapa Especificação tratase da definição da resposta em frequência desejada para o filtro a partir dos requisitos dados 2a etapa Aproximação nesta etapa buscase um modelo matemático que melhor se adeque à resposta em frequência especificada na 1a etapa 3a etapa RealizaçãoImplementação tratase da definição das operações básicas para execução do filtro eou sua efetiva construção em software ou hardware 331 Especificação do Filtro Digital A etapa de especificação visa determinar a resposta em frequência que o filtro deve ter com base nos requisitos fornecidos Tratase de desenhar o diagrama desejado Na maioria das vezes esta especificação visa determinar a resposta de magnitude do filtro e raras vezes a resposta de fase Então iniciase pela determinação de qual dos tipos de resposta de magnitude vistos na seção 321 atende os requisitos Em seguida determinase os limites das bandas de passagem de atenuação e de transição O diagrama a ser desenhado com as especificações 104 requeridas é conhecido como diagrama de tolerâncias pois seus parâmetros devem ser determinados com alguma flexibilidade para a execução da segunda etapa Sugerese seguir o padrão mostrado na figura 312 para o filtro passabaixas que é facilmente adaptado aos outros tipos de resposta em frequência Este padrão define quatro parâmetros que determinam as bandas passante de transição e de rejeição Figura 312 Padrão de diagrama de tolerâncias com seus parâmetros A banda passante é determinada pelo par de parâmetros Wp e Rp Wp é a frequência que define o limite da banda passante Nesta frequência o ganho mínimo tolerado é Rp A tolerância significa que não há um valor fixo de ganho para ser considerada banda passante Por exemplo costumase definir 0dB como o ganho da banda passante mas para as frequências próximas da banda de transição este ganho pode começar a cair e o parâmetro Rp determinará o quanto se tolera de queda neste ganho para que a frequência ainda seja considera dentro da banda passante A banda de rejeição é determinada pelo par de parâmetros Ws e RsWs determina o início da banda de rejeição onde o ganho Rs é o valor mínimo de atenuação aceita para esta banda Ou seja a atenuação pode ser maior menor valor de Rs ou igual a Rs Definindose as bandas de passagem e de atenuação fica automaticamente definida a banda de transição É importante destacar que a complexidade matemática do filtro digital será influenciada por esta banda Quanto 105 mais estreita maior a complexidade Devese portanto explorar bem as tolerâncias permitidas buscando minimizála pois ela influencia diretamente o custo do filtro Exemplo 33 Seja um sinal cujo espectro de magnitude é dado abaixo fig 313 Figura 313 Espectro do sinal do exemplo 33 Desejase especificar um filtro para atenuar a componente de 450Hz mínimo de 30dB sem afetar as demais componentes tolerância de 1 O filtro terá que ser do tipo passabaixas eliminando a componente de 450Hz e deixando passar as componentes inferiores 150Hz 250Hz e 300Hz Um filtro rejeitafaixa também resolveria mas seria mais dispendioso O passabaixas é mais eficiente neste caso Como a componente imediatamente inferior a 450Hz é a de 300Hz podese definila como sendo o limite da banda passante associando a ela o valor de ganho de 099 tolerância de 1 Então Wp 300Hz e Rp0087dB 099 A banda de rejeição pode começar em 450Hz com o ganho de 30dB 0032 Então Ws 450Hz e Rs 30dB O diagrama de tolerâncias é mostrado na fig 314 Como o sinal a ser filtrado é conhecido a especificação se torna mais eficiente Devese notar que se o parâmetro Wp for aumentado para qualquer valor acima de 300Hz o modelo matemático do filtro se tornará mais complexo pois a banda de transição terá que ser menor O mesmo acontecerá se os parâmetros Ws Rp e Rs 106 forem diminuídos Assim é interessante usar o máximo da tolerância permitida pelos requisitos de modo que o filtro tenha a menor complexidade matemática o que se traduz numa maior eficiência Figura 314 Diagrama de tolerâncias do exemplo 33 Exemplo 34 Para o sinal do exemplo 33 desejase especificar um filtro para atenuar as componentes de 150Hz e de 450Hz A atenuação mínima para elas deve ser de 40dB e a tolerância para perdas nas componentes que devem permanecer no sinal deve ser de 5 Neste exemplo o tipo de resposta em frequência adequada é o passafaixa pois deve haver uma banda passante entre 250Hz e 300Hz Assim pode se definir Wp1 250Hz e Wp2 300Hz O ganho nestas frequências limites será Rp095 045dB Para a banda de rejeição Ws1 150Hz e Ws2 450Hz com ganho Rs40dB 001 O diagrama de tolerâncias é mostrado na figura 315 107 Figura 315 Diagrama de tolerâncias do exemplo 34 332 Aproximação de um Filtro Digital Na etapa de aproximação buscase por um modelo matemático para o filtro Este modelo pode ser na forma de uma função de transferência ou de uma resposta ao impulso Na literatura especializada é possível encontrar uma grande quantidade de métodos de modelagem de filtros já elaborados Assim o processo da segunda etapa se torna a adaptação de um modelo matemático às especificações registradas no diagrama de tolerâncias preparado na primeira etapa O produto da etapa de aproximação é então um modelo de filtro digital cuja resposta em frequência atende os requisitos dados Para ilustrar o processo de aproximação como um todo será desenvolvido um modelo bastante simples de filtro passabaixas de primeira ordem Considere como requisito uma banda passante até a frequência de 100Hz onde pode se tolerar um ganho de 3dB e uma banda de rejeição iniciandose em 1kHz com uma atenuação mínima de 20dB para sinais amostrados a 5kHz Note que estas especificações se encaixam perfeitamente em um filtro de primeira ordem que possui frequência de corte em 100Hz e tem uma banda de transição com uma taxa de redução no ganho de 20dBdécada Um filtro analógico capaz de atender estas especificações seria um circuito RC com o da fig 316 Neste circuito o sinal de entrada é Vit e o sinal de saída é Vct 108 Figura 316 Circuito RC como filtro passabaixas Sabese que ItC d dt Vct Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas VitRC d dt VctVct0 Aplicando a Transformada de Laplace VisRC sVcsVcs0VisVcssRC1 A função de transferência será Vcs Vis 1 sRC1 1RC s1RC Analisando a resposta em frequência deste modelo fig 317 Figura 317 Resposta em frequência do filtro passabaixas RC A chamada frequência de corte cuttoff frequency ωC é aquela na qual o ganho está em 301dB ωC 1 RC rads 109 Para ajustar o filtro às especificações dadas do exemplo basta fazer ωC2π100 E o modelo analógico seria H sVcs Vis 2π100 s2π100 No entanto desejase um filtro digital e não um analógico Então é necessário um processo de conversão da função de transferência contínua para discreta Seguindo com o exemplo do filtro passabaixas RC podese usar o ZOH para converter a função de transferência H z z1 z Z ωc ssωc z1 z Z 1 s 1 sωc H z z1 z z z1 z ze ωcT s H z1e ωcT s ze ωcT s Assim o filtro passabaixas digital fs5kHz com frequência de corte em 100Hz e atenuação de 20dB em 1kHz será com os coeficientes arredondados H z 01181 z08819 Ts00002s Sua resposta em frequência pode ser vista na figura 318 abaixo Figura 318 Resposta em frequência de um filtro passabaixas RC com fc100Hz 110 Há diversos métodos disponíveis em livros sobre filtros tanto analógicos como digitais O trabalho do projetista é selecionar e ajustar o modelo às especificações determinadas na primeira etapa 333 Realização eou Implementação de um Filtro Digital Nesta etapa procurase definir como o filtro será executado realização e desenvolvese o software ou hardware necessário implementação O processo de realização é feito decidindose a melhor estrutura de filtro digital a ser usada seção 34 a seguir A implementação depende do resultado da realização mas o desenvolvimento de algoritmos e programas para filtros modelados por função de transferência ou equação de diferenças já foi estudado na seção 19 Mais adiante neste curso também serão estudados algoritmos para a implementação da convolução completando os conhecimentos para a execução da terceira etapa Por enquanto as implementações são feitas programandose a equação de diferenças do filtro digital Uma recomendação importante é o cuidado de não arredondar os coeficientes das equações de diferenças quando forem implementadas Esses arredondamentos podem causar erros numéricos nos resultados e às vezes impedir o programa de ser executado devido a overflows ou underflows 34 Estruturas de Filtros Digitais Estruturas de Filtros Digitais são diagramas que indicam as operações básicas necessárias para execução do filtro Embora pareça redundante uma vez que já se tem a equação de diferenças ou a convolução e a resposta em frequência ainda assim é possível escolher entre alternativas de execução das operações do filtro Para esclarecer isto definemse dois conceitos Realização do filtro é a diagramação do filtro indicando as operações básicas necessárias para ser executado corretamente 111 Implementação do filtro é a construção propriamente dita do filtro podendo ser feita através de software ou de hardware As operações acima fazem parte da terceira etapa do projeto de filtros digitais Nem sempre a realização do filtro é feita explicitamente mas para implementações diretamente em hardware FPGA por exemplo é necessário definir qual estrutura usar pois um mesmo filtro pode ser implementado através de diferente diagramas Os diagramas de estruturas de filtros são construídos utilizandose os blocos básicos mostrados na figura 319 Figura 319 Blocos básicos para diagramas de filtros digitais A realização de filtros digitais através de diagramas é feita explorando operações com os coeficientes da função de transferência dos modelos de filtros Mesmo aqueles modelos baseados na resposta ao impulso podem ser manipulados desta maneira As diferentes possibilidades de manipulação levam a uma diversidade de estruturas padronizadas que exploram diferentes recursos de hardware e software Partindo então de uma função de transferência genérica eq 3aa H z Y z Xz Bz Az k0 M bkz k 1 k1 N akz k 34 A eq 34 é claramente um modelo em função de transferência Mas um modelo 112 baseado em resposta ao impulso pode ser escrito neste mesmo formato Para a convolução basta fazer N0 na eq 34 Y z Xz Bz 1 k0 M bkz k Y z Bz 1 k0 M bkz k Xz Y zb0Xzb1z 1 Xzb2z 2 X z Aplicando a propriedade do atraso da transformada z ynb0xnb1xn1b2xn2 que resulta em yn k0 M bkxnk que corresponde à expressão da soma de convolução eq 163 Há diversas estruturas diagramas padronizados conhecidas para filtros digitais mas neste curso serão estudados apenas duas a Forma Direta I e a Forma Direta II 341 Forma Direta I Um simples rearranjo da eq 34 permite definir uma estrutura H z Y z Xz Bz Az Y z Bz AzXz Agrupando o numerador Bz da função de transferência com o sinal de entrada Xz vem Y z 1 AzBzXz U z Então 113 U zBzX z k0 M bkz k Xz Aplicando a propriedade do atraso un k0 M bkxnk 35 Retomando a expressão de Yz Y z 1 AzBzXzU z Az U z 1 k1 N akz k Y z1 k1 N akz kU zY z k1 N akz kY zU z Y zU z k1 N akz kY z Aplicando a propriedade do atraso ynun k1 N ak ynk 36 Assim a estrutura da Forma Direta I é definida pelas expressões 34 e 36 ynun k1 N ak ynk un k0 M bkxnk O diagrama é construído implementandose as expressões acima com os blocos básicos da fig 319 Iniciandose pela entrada sinal de entrada xn e eq 35 obtémse o diagrama da figura 35 114 Figura 319 Construção da Forma Direta I lado da entrada Do mesmo modo usando a eq 36 constróise o lado da saída sinal yn na fig 320 Figura 320 Construção da Forma Direta I lado da saída Finalmente basta unir estes dois diagramas pelo sinal un resultando no diagrama da Forma Direta I da figura 321 115 Figura 321 Diagrama da Forma Direta I Exemplo 35 Dado um sistema modelado pela função de transferência abaixo realizá lo na Forma Direta I H z z 22z z 215 z09 Em primeiro lugar colocase a função de transferência em termos mais convenientes com potências de z negativas como na eq 34 H z 12z 1 115 z 109 z 2 Comparando com a eq 34 podese encontrar os coeficientes ak e bk M 1 b0 1 b1 2 N 2 a1 15 a2 09 Substituindo estes coeficientes no diagrama da Forma Direta I vem fig 322 116 Figura 322 Diagrama do exemplo 35 342 Forma Direta II Rearranjando a eq 34 agrupando o sinal de entrada Xz desta vez com os coefientes Az resulta em Y z Bz AzXzY zBzXz Az U z Então U z Xz Az Xz 1 k1 N akz k U z k1 N akz kU zXz U zXz k1 N akz kU z Aplicando a propriedade do atraso unxn k1 N akunk 37 Para o sinal de saída Y zBzU z k0 M bkz kU z Aplicando a propriedade do atraso yn k0 M bkunk 38 117 Assim a estrutura da Forma Direta II fica definida pelas expressões 37 e 38 unxn k1 N akunk yn k0 M bkunk Como anteriormente começase a construção do diagrama da Forma Direta II pelo lado da entrada implementando com os blocos básicos a eq 37 Figura 323 Construção da Forma Direta II lado da entrada Para o lado da saída implementase a eq 38 Figura 324 Construção da Forma Direta II lado da saída 118 Unindo os diagramas das figuras 323 e 324 obtémse o diagrama da Forma Direta II fig 325 Figura 325 Diagrama da Forma Direta II Exemplo 36 Usando o mesmo modelo do exemplo 35 realizálo na Forma Direta II H z 12z 1 115 z 109 z 2 M 1 b0 1 b1 2 N 2 a1 15 a2 09 Substituindo estes coeficientes no diagrama da Forma Direta II vem fig 326 Figura 326 Diagrama do exemplo 36 119 Comparando os exemplo 35 e 36 evidenciase a uma vantagem no uso da Forma Direta II pois ela consegue realizar os mesmos cálculos da Forma Direta I mas com um bloco de atraso a menos Em um modelo de ordem superior isto pode ser uma vantagem na implementação em hardware pois menos blocos de atraso serão usados 35 Exercícios Propostos 1 Seja um sinal cujo espectro é dado abaixo Pedese a Especifique 1a etapa do projeto um filtro para atenuar mínimo de 30dB as componentes de 150Hz e de 450Hz sem afetar as demais componentes de frequência tolerância de 1 Qual o tipo de resposta em frequência deste filtro b Especifique 1a etapa do projeto um filtro para atenuar mínimo de 30dB a componente de 450Hz sem afetar as demais componentes de frequência tolerância de 1 c Especifique um filtro para atenuar as componentes de 150Hz e 250Hz mínimo de 20dB O filtro não deve afetar as demais componentes tolerância de 5 d Especifique um filtro para atenuar 40dB todas as componentes exceto a de 150Hz tolerância de 2 120 2 O modelo de um filtro digital com frequência de amostragem de 5kHz é dado abaixo H z09177z 21484 z09197 z 214239 z07744 Elabore um algoritmo para implementar este filtro em um computador 121 4 Filtros de Resposta ao Impulso Infinita IIR A nomenclatura dos tipos de filtros digitais envolve o conceito de resposta ao impulso vista na seção 110 Os filtros como sistemas podem ser modelados por sua resposta ao impulso e a partir dela é possível calcular o sinal de saída dado qualquer sinal de entrada usando a operação de convolução Porém um sistema pode ter sua resposta ao impulso modelada pela composição de exponenciais decrescentes que tendem ao infinito Esta forma de modelagem resulta na função de transferência como modelo de filtros Este é um ponto de vista diferente e que determina a nomenclatura dos filtros já estudados no capítulo 3 são os filtros de resposta ao impulso infinita IIR infinity impulse response Ao se trabalhar a função de transferência discreta obtémse a equação de diferenças que permite a implementação digital do filtro Pelo ponto de vista desta equação o filtro IIR também é chamado de filtro recursivo devido à natureza da equação de recorrer a amostras anteriores dos sinais de entrada e de saída Neste capítulo serão estudados alguns métodos para obtenção de modelos 2a etapa do projeto de filtros digitais de filtros IIR Como são filtros modelados por função de transferência os métodos apresentados aqui se originam de técnicas de elaboração de filtros analógicos 41 Modelagem do Filtro Butterworth O filtro Butterworth tem como principal característica uma banda de passagem maximamente plana ou seja sem ripple Ele foi descrito pela primeira vez em 1930 pelo físico e engenheiro Stephen Butterworth em seu artigo On the theory of filter amplifiers À época de seu desenvolvimento o projeto de filtros dependia muito da experiência a intuição do engenheiro devido à limitação da teoria Os filtros resultantes costumavam apresentar muito ripple Para eliminar esse problema Butterworth percebeu que os polos da função de transferência de um filtro passa baixas deveriam ter uma disposição circular em torno da origem do plano s fig 41 Assim ele chegou na função de transferência quadrática 122 H csH cs 1 1 s jΩc 2N 41 onde N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte 3dB Os polos desta função de transferência são dados por skΩce j π 2N2kN1 42 onde k varia de 0 a 2N1 Figura 41 Disposição circular dos polos do filtro Butterworth O modelo brevemente descrito acima se refere a um filtro passabaixas de ordem N e frequência Ωc Ele é a base para a construção dos filtros com outros tipos de resposta em frequência De acordo com a metodologia apresentada em 3 uma vez obtido o modelo do filtro passabaixas deve aplicar um processo de inversão espectral para obter um passaaltas o que gira a resposta em frequência do filtro em torno da frequência de corte Para obter os demais tipos de resposta passa faixa e rejeitafaixa devese combinar adequadamente os filtros passabaixas e passaaltas Neste curso uma metodologia diferente será aplicada na obtenção do modelo do passaaltas sem a necessidade da inversão espectral 411 Modelagem do Filtro Passabaixas O obtenção do modelo de tempofrequência contínua do filtro Butterworth passabaixas de acordo com requisitos estabelecidos na fase de especificação tem os seguintes passos 1 determinação da ordem do filtro e de sua 123 frequência de corte 3dB 2 cálculo dos pólos 3 montagem da função de transferência contínua e 4 conversão da função de transferência de contínua para discreta Determinação da ordem e da frequência de corte A partir da função de transferência quadrática eq 41 e dos requisitos parâmetros de um filtro passabaixas Wp Rp Ws Rs como apresentado na seção 331 num processo descrito em 3 obtémse a ordem do filtro com a eq 43 abaixo N log10 1 Rp 2 1 1 Rs 21 2log10 W p W s 43 onde Rp e Rs são os ganhos dados em valores sem unidades e Wp e Ws são as frequências dadas em rads O valor de N resultante quase sempre será irracional mas sendo a ordem de um sistema deveria ser inteiro Então devese arredondálo para o número inteiro consecutivo de modo que todos os requisitos sejam atendidos Por exemplo se Rp 09 Rs 01 Wp 200π rads e Ws 400π rads N seria N log10 1 09 21 1 01 21 2log10 200π 400π 4360639554760325 Assim para atender os requisitos a ordem do filtro terá que ser N5 Seguindo o mesmo procedimento descrito em 3 chegase à eq 44 abaixo 124 W cW p 1 1 R p 2 1 1 2N 44 Usando os valores do exemplo Rp 09 Rs 01 Wp 200π rads e Ws 400π rads e N5 vem W c200π 1 1 09 21 1 1023120814931947567πrads que é um valor coerente com um ganho de aproximadamente 0707 3dB pois vem logo depois da frequência Wp que possui um ganho de 09 Cálculo dos polos Com os novos parâmetros N e Wc usase a eq 42 para calcular os polos Neste ponto devese recordar que a função de transferência é quadrática e possui o dobro de polos que se deseja para o filtro Além disso metade destes polos é instável e não devem ser usados Mas todos devem ser calculados pois a sequência de cálculo não obedece o critério de estabilidade Observando a eq 42 skΩce j π 2N2kN1 percebese que é preciso que a variável k assuma valores entre 0 e 2N1 Usando os parâmetros do exemplo N 5 e Wc 23120814931947567π rads vem sk23120814931947567π e j π 102k51 com k variando de 0 a 9 resulta na seguinte sequência de polos 22445814748690811145102j 22445814748690811145102j 58763905916426944768102j 726361823358895366821014j 58763905916426944768102j 22445814748690811145102j 22445814748690811145102j 58763905916426944768102j 726361823351779073361013j 58763905916426944768102j Devese em seguida selecionar os polos estáveis parte real negativa 125 para a montagem da função de transferência contínua 224458147480989886908111452870979j 5876390591570682429447675946683j 726361823352156688953668199105391014j 58763905915706834269447675946681j 224458147480990056908111452870978j Montagem da função de transferência contínua Considerando um conjunto de polos estáveis p1 p2 p3 a função de transferência contínua do filtro Butterworth passabaixas será H pbs W c N sp1sp2sp3 45 Com os dados do exemplo obtidos até aqui obtémse a seguinte função de transferência H pbs 202210 14 s 52351s 4276310 6s 3200710 9s 2900810 9s202210 14 A fig 42 mostra a resposta em frequência deste exemplo e pode ser usada para verificar se os requisitos foram cumpridos Figura 42 Resposta em frequência de um exemplo de filtro Butterworth passabaixas contínuo Ampliando fig 43 na região da frequência Wp 200π rads 100Hz podese 126 confirmar que o valor do ganho corresponde ao Rp planejado 09 ou 0915dB Figura 43 Ampliação do diagrama de resposta em frequência para verificar o requisito Rp Outra forma de verificação é calcular analiticamente a resposta em frequência usando a função de transferência H pb j ω 202210 14 jω 52351 j ω 4276310 6 jω 3200710 9 jω 2900810 9 jω202210 14 Para ω 200π H pb j200 π08959321964790691008547221368488227 j H pb j200π09 Este resultado confirma que o filtro cumpre o requisito de Rp O mesmo pode ser feito para outros pontos críticos do filtro Conversão da função de transferência de contínua para discreta A obtenção do modelo final ou seja da função de transferência discreta do filtro Butterworth passabaixa é feita aplicando um dos métodos de conversão ZOH Transformação Bilinear ou Transformação por Polos e Zeros Casados Como não há um melhor método devese comparar as respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto para selecionar o mais adequado Aplicando a Transformação Bilinear no exemplo anterior com frequência de amostragem de 2000Hz obtémse coeficientes arredondados 127 H pbz000011 z 500005499 z 400011 z 300011 z 200005499 z000011 z 53839 z 46002 z 34761z 21911 z03102 A figura 44 mostra uma comparação das respostas em frequência dos modelos contínuo e discreto Figura 44 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto Bilinear Aplicando a Transformação por Polos e Zeros Casados fs 2kHz obtémse coeficientes arredondados H pbz00002259 z 400009035 z 30001355 z 200009035 z00002259 z 53835 z 45988 z 34745 z 21903 z03087 A figura 45 mostra a comparação entre as respostas dos modelos contínuo e discreto Polos e Zeros Casados Figura 45 Comparação das respostas em frequências dos modelos contínuo e discreto Polos e Zeros Casados 128 412 Modelagem do Filtro Passaaltas A modelagem do filtro Butterworth passaaltas será feita aqui usando um procedimento muito parecido com o do passabaixas Há apenas uma peculiaridade no cálculo da ordem do filtro e da frequência de corte que precisa de atenção Determinação da ordem e da frequência de corte Uma vez especificados os parâmetros Wp Rp Ws Rs usase a eq 43 para a determinação da ordem do filtro necessária para cumprir aqueles requisitos Porém a eq 43 se refere a um filtro passabaixas e o resultado para parâmetros de um passaaltas será negativo não existe ordem negativa de sistemas dinâmicos Mesmo assim este valor devidamente ajustado para o inteiro superior será usado com o sinal negativo no cálculo da frequência de corte Por exemplo se for espeficado um filtro como o da figura 46 Figura 46 Exemplo de especificação de um filtro passaaltas Ou seja Rp 09 Rs 01 Wp 2π800 rads e Ws 2π100 rads então N seria N log10 1 09 21 1 01 21 2log10 1600π 200π 14535465182534415 129 Para que os requisitos sejam cumpridos a ordem que deve ser um número inteiro precisa ser superior ao valor irracional obtido Ignorando o sinal negativo a ordem terá que ser 2 Mas por enquanto mantémse o sinal negativo N2 para o cálculo da frequência de corte com a eq 44 W c1600π 1 1 09 21 1 411134920692959167 πrads5567 Hz Agora que a frequência de corte já foi obtida os cálculos seguintes usarão a ordem do sistema SEM o sinal negativo Cálculo dos polos Os polos são calculados com a mesma equação usada no passabaixas a eq 42 A ordem do filtro que foi usada com sinal negativo passa a ser usada na condição correta com sinal positivo no exemplo N2 Fazendo o k variar de 0 a 2N1 vem sk11134920692959167πe jπ 4 2k21 Os polos obtidos para o exemplo foram 247355745822247355745822j 247355745822247355745822j 247355745822247355745822j 247355745822247355745822j Destes os polos estáveis são 247355745822247355745822j 247355745822247355745822j Montagem da função de transferência contínua Considerando um conjunto de polos estáveis p1 p2 p3 a função de transferência contínua do filtro Butterworth passaaltas será H pas s N sp1sp2sp3 45 onde a principal mudança em relação ao passabaixas é a presentaça do termo sN no numerador do passaaltas Com os dados do exemplo obtémse a seguinte função de 130 transferência H pas s 2 s 24947s122410 7 A figura 47 mostra a resposta em frequência do filtro modelado por Hpas Figura 47 Resposta em frequência do exemplo de filtro passaaltas Conversão da função de transferência de contínua para discreta Da mesma forma que no procedimento para obtenção do modelo discreto do filtro passabaixas devese aplicar um dos métodos de conversão de funções de transferências contínuas para discretas É interessante comparar as respostas contínua e discreta para saber se o método de conversão usado produz um resultado satisfatório Por exemplo aplicando o método de Polos e Zeros Casados com fs2kHz na função Hpas obtida resulta em coeficientes arredondados H paz02923 z 205845 z02923 z 201904 z008428 A figura 48 exibe a comparação das respostas em frequência contínua e discreta Nela podese ver que a resposta de magnitude está boa mas a de fase não muito Podese verificar outro método tentando obter uma resposta de fase melhor 131 Figura 48 Comparação das respostas em frequência do filtro passaaltas nas versões contínua e discreta Polos e Zeros Casados fs 2kHz 413 Modelagem do filtros Passafaixa e Rejeitafaixa Os tipos de respostas em frequência passafaixa e rejeitafaixa podem ser desenvolvidos usando os dois tipos mais básicos o passabaixas e o passaaltas devidamente ajustados de forma que sua combinação podese pensar numa sobreposição deles resulte num passafaixa ou num rejeitafaixa Por exemplo considere desenvolver um filtro com resposta de passafaixa com as especificações mostradas na figura 49 Figura 49 Especificação de um filtro passafaixa de exemplo Será preciso desenvolver dois filtros um filtro passabaixas com as especificações Wp22π1500rads Rp09 Ws2 2π3000 rads e Rs 01 e um filtro passaaltas com as especificações Wp12π600rads Rp09 Ws1 2π200 rads e Rs 01 Na 132 figura 410 suas respostas de magnitude podem ser vistas sobrepostas Figura 410 Sobreposição de filtros passabaixas e passaaltas para obter um filtro passafaixa A função de transferência do filtro passafaixa é obtida combinandose os filtros passabaixas e passaaltas na forma de cascata pois o sinal pode ser filtrado primeiro por um dos filtros e o resultado é filtrado pelo outro não importa a sequência levando a uma resposta passafaixa fig 411 Figura 411 Combinação em cascata de filtros passabaixas e passaaltas para obter um passafaixa A combinação em cascata resulta numa função de transferência que é a multiplicação das duas mais básicas eq 46 H pf sH pbsH pas 46 No exemplo sendo as funções de transferência do passabaixas e do passaaltas H pbs 153510 20 s 5352610 4s 4621610 8s 3677210 12s 245610 16s153510 20 H pas s 3 s 35921s 2175310 7s259510 10 a função de transferência do passafaixa será H pf s 153510 20s 3 s 8411810 4s 7847910 8s 611110 13s 5975110 16s 4558410 20s 3188410 24 s 2387510 27s398410 30 A resposta em frequência deste filtro passafaixa pode ser vista na figura 133 Hpbs Hpas 412 Neste ponto do procedimento já é interessante verificar se a resposta em frequência atende os requisitos Figura 412 Resposta em frequência do filtro passafaixa do exemplo A conversão para função de transferência discreta é feita da mesma forma que nos filtros passabaixas e passaaltas Para o filtro rejeitafaixa o processo é muito parecido porém a combinação das funções de transferência do passabaixas e do passaaltas deve ser feita de uma outra forma Se eles forem colocados em cascata o sinal resultante terá todas as frequências eliminadas ou atenuadas e não apenas uma faixa pois ao passar pelo primeiro filtro as componentes que restam serão eliminadas pelo segundo devido ao modo que as respostas do passabaixas e do passaaltas estão posicionadas na frequência A forma correta é combinálos em paralelo fig 413 para que as bandas de frequência de interesse sejam preservadas Figura 413 Combinação em paralelo de filtros passabaixas e passaaltas para obter um filtro rejeitafaixa 134 Hpbs Hpbs Então a função de transferência do filtro rejeitafaixa a partir dos filtros passabaixas e passaaltas será eq 47 H rf sH pbsH pas 47 A conversão da função de transferência de contínua para discreta é feita da mesma forma que nos outros filtros aplicandose uma das transformações conhecidas 42 Exercícios Propostos 1 Dados os polos abaixo gere a função de transferência em s do filtro Butterworth s1 6384163841i s2 63841 63841i 2 A partir da função de transferência contínua abaixo obtenha a função de transferência discreta do filtro Butterworth H s 815110 5 s 21277s815110 5 3 Escreva um algoritmo para o filtro Butterworth cuja função de transferência discreta é dada abaixo H z001464 z 2002929 z001464 z 32112z 21576z04054 4 Obter o Diagrama de Tolerâncias e o modelo analógico de um filtro Butterworth com banda de passagem de 0 até 350Hz admitindo 2dB de perda nesta frequência e ganho de 20dB a partir de 1000Hz para ser usado em sinais amostrados a uma taxa de 10KSampless 135 136 5 Filtros de Resposta ao Impulso Finita FIR O filtros de Resposta ao Impulso Finita FIR finite impulse response são aqueles cujo modelo matemático do filtro usado para calcular as saídas a partir das entradas é uma resposta ao impulso O termo finite finito indica que são usadas amostras da resposta ao impulso ao contrário do IIR onde uma equação ou função de transferência a descreve Então para operar este filtro é necessário usar a operação de convolução conforme estudado na seção 110 51 Algoritmos de Convolução Como a convolução é a operação necessária para se obter a saída de um filtro FIR tornase imprescindível programála da forma mais eficiente Na seção 225 uma versão de algoritmo rápido foi apresentada mas só é viável a partir de uma certa quantidade de amostras do sinais envolvidos além de não ser apropriada para uso em tempo real Aqui serão desenvolvidos três versões do algoritmo sendo uma delas a de tempo real 512 Ponto de vista da entrada Se a composição do sinal de saída da operação de convolução for pensada a partir da contribuição de cada amostra do sinal de entrada temos uma forma de algoritmo Esta forma de ver o algoritmo corresponde ao Conceito Fundamental do Processamento Digital de Sinais visto na seção 1103 Para extrair um algoritmo deste conceito será usado um exemplo numérico Um sinal xn1 2 1 3 será aplicado a um sistema representado pela resposta ao impulso hn2 3 1 1 0 0 0 sistema 2 3 1 0 2 0 0 sistema 0 4 6 2 0 01 0 sistema 0 0231 0 0 0 3 sistema 0 0 0 6 9 3 2 7 5 5 8 3 137 Analisando a contribuição da primeira amostra x0 do sinal de entrada y0 x0h0 y1 outrascontrib x0h1 y2 outrascontrib x0h2 percebese que ele contribui nas três primeiras amostras de saída As outras contribuições correspondem à soma das contribuições de outras amostras de entrada que poderia ser escrita como sendo a prória amostra de saída ou seja em vez de escrever y1outrascontribx0h1 escrevese y1y1x0h1 Analisando a contribuição da segunda amostra x1 do sinal de entrada y1 y1 x1h0 y2 y2 x1h1 y3 y3 x1h2 Analisando a contribuição da terceira amostra x2 do sinal de entrada y2 y2 x2h0 y3 y3 x2h1 y4 y4 x2h2 Com estes exemplos de contribuições já se pode formular uma expressão para ser usada dentro de alguma iteração Associando a variável p para o índice do sinal de entrada e a variável q para o índice das amostras da resposta ao impulso obtémse a eq 51 ypq ypq xphq 51 As iterações ou loops podem ser escritos como no trecho de algoritmo abaixo considerando a variável N para a quantidade de amostras do sinal de entrada e M para a quantidade de amostras da resposta ao impulso 138 para p 0 até N1 faça para q 0 até M1 faça ypq ypq xphq fimpara fimpara 513 Ponto de vista da saída A Máquina de Convolução Quando se observa a operação de convolução pelo ponto de vista da formação de cada amostra do sinal de saída podese imaginar um dispositivo fig 51 formado pelas amostras da resposta ao impulso que desliza pelo sinal de entrada tomando seus valores e combinando para produzir uma amostra de saída Devido ao termo hnk na expressão da convolução eq 163 yn k0 xkhnk as amostras são dispostas na ordem inversa flipped no dispositivo Figura 51 A máquina de convolução Fonte 1 139 Seja o mesmo exemplo dado anteriormente onde xn1 2 1 3 será aplicado a um sistema representado pela resposta ao impulso hn2 3 1 Usando o conceito da máquina de convolução o procedimento será 1 21 3 1 3 2 y0 2 1 2 1 21 3 1 3 2 y1 2 2 3 1 7 1 21 3 1 3 2 y2 2 1 3 2 1 1 5 1 21 3 1 3 2 y3 2 3 3 1 1 2 5 1 21 3 1 3 2 y4 3 3 1 1 8 1 21 3 1 3 2 y5 1 3 3 yn 2 7 5 5 8 3 Analisando a formação da terceira amostra y2 do sinal de saída y2 x2 h0 x1 h1 x0 h2 Da mesma forma analisando a formação da quarta amostra y3 do sinal de saída 140 vem y3 x3 h0 x2 h1 x1 h2 Destas duas observações e associando a variável q aos índices das amostras da resposta ao impulso e a variável p aos índices das amostras do sinal de saída obtém se a eq 52 yp yp xpq hq 52 Neste algoritmo existe um problema ligado às extremidades da máquina de convolução quando não estão conectadas ao sinal de entrada como na figura 52 Isto gera uma pequena distorção no sinal um tipo de transitório conhecido como efeito de borda endeffects bem ilustrado na figura 53 Figura 52 Máquina de convolução e problemas de efeito de borda 141 Figura 53 Efeito de borda do convolução Assim as iterações ou loops podem ser escritos como no trecho de algoritmo abaixo considerando a variável N para a quantidade de amostras do sinal de entrada M para a quantidade de amostras da resposta ao impulso e recordando que o sinal de saída terá NM1 amostras para p 0 até NM11 faça para q 0 até M1 faça se pq0 E pqN então yp yp xpq hq fimse fimpara fimpara O bloco condicional SE adicionado ao trecho de algoritmo é necessário para que o índice pq das amostras do sinal de entrada não assuma valores inadequados menores que zero ou maiores que a quantidade de amostras Comparandose o desempenho deste algoritmo com o do ponto de vista da entrada a máquina de convolução perde devido à verificação feita naquele bloco condicional e à maior quantidade de iterações no loop mais externo 142 513 Algoritmo de tempo real para a convolução Para execução da convolução em tempo real será tomada a expressão 163 com um tamanho finito de amostras ynxnhn k0 N1 xkhnk onde N é a quantidade de amostras do sinal de entrada xn Note que o somatório ocorrerá sobre as N amostras do sinal de entrada Mas a convolução possui a propriedade da comutatividade ynxnhnhnxn k0 M1 hkxnk o que faz o somatório operar sobre as M amostras da resposta ao impulso hn que normalmente possui uma quantidade menor de amostras No caso de tempo real N não estará definido apenas M Usando um exemplo numérico com N indefinido tempo real e M4 examinando a formação da amostra y6 temse y6 h0 x6 h1 x5 h2 x4 h3 x3 Agora examinando a formação da amostra y7 y7 h0 x7 h1 x6 h2 x5 h3 x4 De forma geral yn h0 xn h1 xn1 h2 xn2 h3 xn3 143 Assim o algoritmo de tempo real deverá usar variáveis auxiliares para armazenar apenas as últimas amostras do sinal de entrada além da própria resposta ao impulso A diferença para um dos algoritmos anteriores é que o sinal de entrada não fica armazenado na memória apenas algumas amostras especificamente uma quantidade igual à da resposta ao impulso Um exemplo desse algoritmo é dado abaixo ALGORITMO CONVOLUÇÃOTEMPOREAL inteiro M k real x y xauxM1 Início lerh carregar a resposta ao impulso M tamanhoh inicializar as auxiliares de entrada para k 0 até M2 faça xauxk 0 fimpara lerx entrada de amostra enquanto x NULL faça y 00 y y h0 x para k 1 até M1 faça y y hk xauxMk1 fimpara escrevery saída de amostra atualizando as variáveis auxiliares para k 0 até M3 faça 144 xauxk xauxk1 fimpara xauxM2 x lerx entrada de amostra fimenquanto Fim Note que este algoritmo será interrompido assim que as amostras de entrada acabarem deixando de calcular M1 amostras de saída 52 Filtros FIR Smith em 1 considera que a maneira mais direta de se implementar um filtro digital é através da convolução do sinal a ser filtrado com amostras da resposta ao impulso do filtro ou seja um filtro FIR Todos os filtros lineares podem ser implementadas desta maneira uma vez que a linearidade é parte essencial da dinâmica deste filtro como visto na seção 110 Quando a resposta ao impulso de um filtro é usada desta forma ela pode ser chamada de kernel Assim o desenvolvimento de filtros FIR passa a ser o processo de obter o kernel do filtro 521 Filtro Moving Average O filtro Moving Average ou filtro de média móvel é provavelmente o filtro mais simples e direto de se implementar quando usado na forma FIR Em Processamento Digital de Sinais este filtro é usado para reduzir a intensidade do ruído aleatório em um sinal Seu resultado é tão contundente que desperta a tentação de se abusar de sua capacidade tentando eliminar por completo o ruído mas isto levaria a uma distorção significativa do sinal Este filtro não deriva de um filtro de tempo contínuo ou seja não há um equivalente analógico Sua utilidade está no domínio do tempo sendo inadequado para aplicações no domínio da frequência Apesar de ser introduzido aqui na forma de um filtro FIR ele também pode ser 145 implementado como um filtro IIR O filtro Moving Average opera calculando a média de uma certa quantidade M de amostras do sinal de entrada para produzir uma amostra do sinal de saída Por exemplo y80 x80x79x78x77x76 5 para uma janela de 5 amostras Isto pode ser reescrito da seguinte forma y801 5x80x79x78x77x76 ou ainda yn 1 M k0 M1 xnk com M5 e n80 Mas observando a semelhança desta expressão com a convolução podese reescrevêla novamente yn k0 M1 1 M xnk 53 Se hn 1 M então a eq 53 é uma operação de convolução e hn seria o kernel de um filtro o Moving Average Para M5 temse hn 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 Isto é o mesmo que convoluir o sinal xn com um pulso retangular de área unitária fig 54 Figura 54 Kernel de um filtro Moving Average de tamanho 5 146 A redução da amplitude do ruído aleatório nos sinais filtrados com o Moving Average é dada por reduçãoRuídoM Este é um bom ponto de partida para se escolher o tamanho do kernel e definir o próprio kernel de um filtro Moving Average Mas em geral é preciso vigiar para não causar distorção no sinal com mostrado na fig 55 Figura 55 Distorção causada por um filtro Moving Average 522 Filtro Windowedsinc O filtro FIR Windowedsinc pode ser considerado como um adversário dos filtros IIR mais avançados como o Butterworth Ele apresenta excelente desempenho no domínio da frequência além de ser relativamente fácil de ser programado Podese exigir dele um desempenho altíssimo inatingível para os filtros IIR mas sua execução custo computacional pode se tornar um problema É um filtro que não possui uma versão analógica associada como os filtros IIR Estratégia O filtro Windowedsinc explora o Teorema da Convolução que afirma 147 que a convolução entre sinais no domínio do tempo pode ser realizada apenas multiplicando estes sinais nas suas versões no domínio da frequência conforme visto na seção 225 Assim do ponto de vista da convolução no domínio da frequência um processo de filtragem seria a multiplicação do sinal a ser filtrado pelas amostras da resposta em frequência do filtro conforme fig 56 x sinal filtro saída Figura 56 Filtragem no domínio da frequência Se for aplicada a Transforma de Fourier Inversa em um filtro passa baixas ideal no domínio da frequêcia fig 57 o resultado será uma função conhecida como sinc fig 58 definida pela eq 130 na seção 131 sincxsenx x Figura 57 Resposta em frequência de um filtro passabaixas ideal Fonte 1 148 Figure 58 Função sinc Fonte 1 Portanto a filtragem com um filtro Windowedsinc se baseia na convolução do sinal com uma função sinc correspondente ao filtro isto é o kernel de um filtro Windowedsinc passabaixas corresponde às amostras de uma função sinc Porém há problemas associados ao truncamento da função sinc pois não se pode trabalhar com uma quantidade infinita de amostras Ao tomar uma quantidade limitada de amostras da função sinc sua resposta em frequência passa a sofrer do efeito de Gibbs que se manifesta como uma ondulação ripple na banda de passagem e na banda de atenuação fig 59 Outra consequência do truncamento é um aumento na banda de transição que no caso ideal com infinitas amostras sinc era nula Figura 59 Efeito da limitação da quantidade de amostras da função sinc fonte1 A correção do efeito do truncamento é feita buscando suavizar os efeitos da interrupção abrupta descontinuidade da função sinc ao limitar a quantidade de 149 amostras Para isso são usadas janelas Janelas são formas de onda fig 510 que tendem a zero suavemente nas suas extremidades e que são aplicadas ao kernel multiplicandose amostra por amostra buscando suavizar as descontinuidades criadas no truncamento Figura 510 Exemplo de janela fonte 1 Assim aplicandose uma janela ao kernel da fig 59 obtémse o resultado mostrado na fig 511 Podese observar em sua resposta em frequência que o ripple foi eliminado mas com um cursto no aumento da banda de transição Figura 511 Função sinc multiplicada por uma janela fonte 1 Existem diferentes janelas já desenvolvidas e disponíveis na maioria dos softwares de simulação e linguagens como o Python A escolha da janela é feita analisando sua resposta em frequência de acordo com seu efeito na banda de atenuação e na banda de transição Duas delas Blackman e Hamming são 150 apresentadas na figura 512 Figura 512 Exemplos de janelas e suas respostas em frequência fonte 1 A janela de Blackman possui a seguinte fórmula eq 54 wn054046cos2π n M 54 e a janela de Hamming a seguinte fórmula eq 55 wn04205cos2π n M 008cos4π n M 55 Construção do Passabaixas Os filtros Windowedsinc têm como bloco básico de construção o filtro passabaixas A partir dele os demais tipos de resposta em frequência são construídos Procedimento para o passabaixas 1 Definir a frequência de corte e a largura da banda de transição A frequência de corte do filtro Windowedsinc diferentemente dos filtros IIR não ocorre na magnitude de 301dB mas sim na magnitude de 602dB Em termos de ganho puro sem unidade tratase de um ganho de ½ ou 05 Além disso com a escala em ganho puro a frequência de corte acontece no meio da banda de transição ou seja a meio caminho entre as frequências que a delimitam conforme figura 513 151 Figura 513 Frequência de corte no ganho de 05 e largura da banda de transição dependente do tamanho do kernel fonte 1 Tanto a frequência de corte fC como a largura da banda de transição BWt devem ser normalizadas pela frequência de amostragem 2 Calcular o tamanho do kernel O tamanho do kernel do filtro Windowedsinc é dado pela eq 56 M 4 BW t 56 onde BWt é a largura da banda de transição normalizada pela frequência de amostragem 3 Cálculo preliminar do kernel O kernel é calculado usandose a expressão 57 para obter cada amostra hn sen2π f Cn M 2 n M 2 57 A janela pode ser multiplicada após o uso da eq 57 ou pode ser incluída no mesmo 152 fC BWt para M20 loop hn sen2π f Cn M 2 n M 2 wn Devese notar que a constante M2 na eq 57 cria um deslocamento da função sinc fazendo seu ponto central ser deslocado do instante zero para o instante de índice M2 4 Correção do valor central do kernel Quando o tamanho M do kernel for um número par a eq 57 resultará numa divisão por zero no índice nM2 Para contornar este problema quando o índice for nM2 atribua o valor dado na expressão 58 hM 22π f C 58 5 Normalização do kernel Neste ponto o kernel apresenta um ganho na banda de passagem diferente de 0dB Para ajustar este ganho para 0dB é preciso normalizar o kernel dividindo todas as suas amostras pela soma delas eq 59 hn hn k0 M1 hk 59 Após a normalização o kernel do passabaixas está pronto para uso Construção do Passaaltas O tipo de resposta passaaltas é construído a partir do passabaixas Como a especificação do passaaltas a partir do diagrama de tolerâncias é igual à do passabaixas fC e BWt usase o procedimento de construção do kernel do passa baixas e no final acrescentase uma inversão espectral 153 A inversão espectral para obter o passaaltas a partir do passabaixas pode ser bem compreendida através da figura 514 Nela dois filtros são acoplados em paralelo um passabaixas e um passatudo2 O kernel de um passatudo é formado pela função impulso δn Assim se um passabaixas é subtraído de um passatudo o que resta é um passaaltas Figura 514 Inversão espectral para obter o Windowedsinc passaaltas fonte 1 Na prática devese observar que a função impulso possui apenas uma amostra igual a 1 um no instante zero ou seja no mesmo instante correspondente ao ponto central da função sinc No entanto a construção do kernel mudou este ponto para o instante de índice M2 Então a subtração δnhn é feita simplesmente trocandose o sinal do kernel do passabaixas hn e em seguida somandose 1 um ao ponto central índice M2 o procedimento para o passaaltas a partir do kernel de passabaixas será 1 Trocar o sinal de todas as amostras do kernel do passabaixas hn hn 2 Somar um na amostra central hM2 hM2 1 2 Um filtro passatudo possui uma resposta em frequência cuja banda de passagem é constituída de todo o espectro 154 Construção do Passafaixa O tipo de resposta passafaixa é uma combinação de um filtro passa baixas com um filtro passaaltas em cascata da mesma forma como estudado na seção 413 A figura 515 ilustra a obtenção do passafaixa Figura 515 Combinando um passabaixas com um passaaltas para obter um passafaixa fonte 1 Como a multiplicação de dois sistemas no domínio da frequência se torna a operação de convolução no domínio do tempo o kernel de um passafaixa é obtido pela convolução entre os kernels do passabaixa e do passaaltas eq 510 hPFnhPBhPA 510 Construção do Rejeitafaixa O kernel de um rejeitafaixa também é obtido combinandose um passa baixas com um passaaltas mas a conexão deve ser em paralelo conforme figura 516 155 Figura 516 Combinando um passabaixas com um passaaltas para obter um rejeitafaixa fonte 1 Assim o kernel de um rejeitafaixa é o resultado da soma dos kernels de um passabaixas e de um passaaltas eq 511 hRFnhPBhPA 511 Na prática pode acontecer de os kernels do passabaixas e do passaaltas serem de tamanhos diferentes Neste caso para realizar a soma na maioria das linguagens computacionais será necessário preencher o kernel de menor tamanho com zeros até igualar o tamanho do kernel maior 53 Exercícios Propostos 1 Dado o sinal abaixo s 50206 50876 52731 48093 53437 47111 52555 47893 52019 53381 Obter um filtro Moving Average na forma FIR e executar sua filtragem obter as 3 156 primeiras amostras de saída para reduzir seu ruído em 2 vezes 2 Calcular as 5 primeiras amostras do kernel de um filtro FIR não normalizado projetado para eliminar frequências superiores a 2kHz em um sinal amostrado a 5kHz A raia de frequência superior mais próxima de 2kHz é 2800Hz 3 Desejase projetar um filtro digital fs10kHz para eliminar atenuação mínima de 20dB as frequências no intervalo 500Hz a 1000Hz sem afetar significativamente tolerância de 5 a amplitude das frequências fora desse intervalo 0 até 300Hz e acima de 1200Hz Pedese a Faça a especificação das propriedadesparâmetros desejados para este filtro 1a etapa b Para a aproximação 2a etapa na forma de um filtro FIR Windowedsinc forneça o tamanho dos kernels pb pa e rf suas frequências de corte e as três primeiras amostras do kernel do passabaixas não normalizado 157 Referências Bibliográficas 1 SMITH Steven W Digital Signal Processing A Practical Guide for Engineers and Scientists Newnes 1ª ed ISBN 075067444X 2002 2 LATHI B P Sinais e Sistemas Lineares 2a ed Bookman Porto Alegre 2007 3 OPPENHEIM Alan V SCHAFER Ronald W Processamento em tempo discreto de sinais 3a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 665 ISBN 9788581431024 158