Amostragem, Reconstrução e Função de Transferência Pulsada

ECAC01A Modelagem e Analise de Sistemas Dinˆamicos Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 10 Amostragem Reconstrucao e Funcao de Transferˆencia Pulsada Prof Caio Fernandes de Paula 2 Semestre de 2023 1 47 Sumario 1 Introducao 2 O Amostrador Ideal 3 Avaliando a Transformada Estrela 4 Reconstrucao de Dados 5 A Funcao de Transferˆencia Pulsada 2 47 Introducao Nas aulas anteriores vimos a analise de sistemas dinˆamicos LIT discre tos Sistemas dinˆamicos em tempo discreto trabalham com sinais em tempo discreto que por sua vez sao na realidade sequˆencias numericas Al gumas dessas sequˆencias sao geradas amostrandose um sinal contınuo com um intervalo de tempo T Veremos agora a transicao do contınuo para o discreto no processo que e conhecido como amostragem Fisicamente o dispositivo responsavel por esta tarefa e o circuito samplehold SH 3 47 Introducao Considere um sinal contınuo xt que alimenta um circuito samplehold amostra e retem que produz o sinal tambem contınuo xt Assumindose que o sinal e amostrado com um perıodo fixo e constante igual a T temos o seguinte grafico Tomando como exemplo o intervalo 0 t T vemos que o sinal de saıda xt e um retˆangulo que pode ser expresso como um somatorio de dois degraus sendo um de amplitude x0 em t 0 e o outro de amplitude x0 em t T ou seja xt x0ut x0ut T 0 t T 4 47 Introdução Introdução Introducao Na figura anterior a operacao denotada pela chave e chamada de amostrador ideal e a operacao denotada pela funcao de transferˆencia e chamada de retentor de ordem zero A combinacao dos dois todos modela o circuito SH A operacao simbolizada pelo amostrador na figura anterior nao pode ser representada atraves de uma funcao de transferˆencia uma vez que a saıda do amostrador e funcao de xt somente para t kT onde k 0 1 2 Desta forma muitos sinais fısicos diferentes podem ter a mesma transformada estrela pois basta que nos instantes 0 T 2T os sinais possuam o mesmo valor 7 47 O Amostrador Ideal O Amostrador Ideal O amostrador que aparece nos circuitos SH e chamado de amostrador ideal uma vez que sinais nao fisicamente realizaveis impulsos apare cem em sua saıda A amostragem tambem pode ser compreendida como um processo de modulacao na qual o trem de impulsos δTt e o sinal da portadora carrier signal e a entrada xt e o sinal da moduladora modulating signal Neste caso o amostrador e um modulador de impulsos Observe novamente que xt nao e um sinal fisicamente realizavel 9 47 O Amostrador Ideal O Amostrador Ideal Exemplo 101 Determine X s para xt ut o degrau unitario 11 47 O Amostrador Ideal A Evaluando a Transformada Estrela Avaliando a Transformada Estrela Exemplo 102 Atraves do metodo dos resıduos encontre X s para xt ut 14 47 Avaliando a Transformada Estrela Resolucao Exemplo 102 Sendo xt ut entao a Transformada de Laplace de xt e Xs 1 s Fazendose a substituicao de variavel s λ temos Xλ 1 λ e portanto Xλ possui somente um unico polo em λ 0 e havera somente um unico resıduo que esta associado a este polo c1 Calculandoo c1 lim λ0 λXλ 1 1 eTsλ c1 lim λ0 λ 1 λ 1 1 eTsλ c1 lim λ0 1 1 eTsλ 1 1 eTs Logo X s c1 1 1 eTs 15 47 Avaliando a Transformada Estrela Exemplo 103 Atraves do metodo dos resıduos encontre X s para xt sinbt 16 47 Avaliando a Transformada Estrela Resolucao Exemplo 103 Sendo xt sinbt entao a Transformada de Laplace de xt e Xs b s2 b2 Fazendose a substituicao de variavel s λ temos Xλ b λ2 b2 b λ jbλ jb e portanto Xλ possui dois polos um em λ jb e outro em λ jb e havera dois resıduos que estao associados a estes polos c1 e c2 respectivamente Calculandose o resıduo associado a λ jb c1 lim λjbλ jbXλ 1 1 eTsλ c1 lim λjbλ jb b λ jbλ jb 1 1 eTsλ c1 lim λjb b λ jb 1 1 eTsλ 1 j2 1 1 eTsejbT 17 47 Resolução Exemplo 103 Calculando o resíduo associado a λ jb c2 limλjbλ jbXλ limλjb bλ jb 1 e Ts λ 1j2 1 e Ts e jbT Xs 1j2 1 e Ts e jbT 1j2 1 e Ts e jbT A função Xs é periódica em s com período jωs Isso pode ser visto da seguinte maneira Xs jµωs n0 xnTe nTsjµωs Avaliando a Transformada Estrela 22 47 Teorema da Amostragem de Shannon Uma função do tempo xt que não contém componentes espectrais de frequência maiores que B Hz é unicamente determinada pelos valores de xt em qualquer conjunto de pontos de amostragem espaçados de 12B segundos entre si O Teorema da Amostragem de Shannon esclarece qual deve ser a frequência mínima ou equivalentemente o tempo máximo para se amostrar um sinal de modo que ele possa ser recuperado ou seja que nenhuma informação seja perdida no processo de amostragem Vimos que no processo de amostragem ideal o sinal amostrado xt pode ser entendido como o resultado entre o produto de xt com a função trem de impulsos xt xtδτt xtn to δt nT Vamos caracterizar xt na frequência Aplicando a Transformada de Fourier em xt temos Xω Fxt Xω Fxtn to δt nT Teorema da Amostragem Das propriedades da Transformada de Fourier a multiplicação no tempo é igual a convolução na frequência Logo Xω 12π Xω n to δt nT Da Tabela de Transformadas de Fourier temos o seguinte par de transformada n to δt nT ωs n to δω nωs onde ωs 2πT Então Xω 12π Xω ωs n to δω nωs Xω 2π2πT Xω n to δω nωs Da propriedade do elemento neutro e do deslocamento no tempo Xω δω ω0 Xω ω0 Avaliando a Transformada Estrela Se Xs possui um pólo em s s1 então Xs deverá ter pólos em s s1 jωs onde m 0 1 2 Consideramos xt sendo contínua em todos os instantes de amostragem e partimos de Xs 1T n to Xs Xs jωs Xs jωs x02 Desenvolvendo a expressão acima Xs 1T Xs Xs jωs Xs 2jωs Xs jωs Xs 2jωs Desta forma vemos que se Xs possui um pólo em s s1 cada termo adicional na equação acima vai contribuir com um pólo adicional em s s1 jωs onde m é inteiro É importante notar que nada pode ser dito em relação aos zeros de Xs isto é a localização dos zeros de Xs não determina unicamente a localização dos zeros de Xs Entretanto conforme a primeira propriedade mostrou os zeros de Xs são periódicos com período jωs Logo Xω 1T n to Xω nωs A equação acima mostra que ao se mostrar um sinal xt surgem cópias de seu espectro Xω espaçadas de ωs na frequência ou seja Xω ωs Xω ωs Xω 2ωs Xω 2ωs e assim por diante Suponha um sinal xt e seu espectro Xω ilustrado abaixo Teorema da Amostragem Suponha agora que esse sinal xt e amostrado com uma frequˆencia de amostragem ωs de tal forma que a sua maior componente espectral de Xω seja menor que ωs2 conforme ilustrado abaixo Se fosse desejado recuperar xt poderıamos passar xt por um filtro passabaixa ideal de frequˆencia de corte igual a ωs2 26 47 Teorema da Amostragem No entanto suponha agora que a frequˆencia de amostragem ωs e diminuıda a tal ponto de xt possuir componentes espectrais maiores que ωs2 Desta forma o espectro de X ω sera dado pela figura abaixo Perceba que ha uma sobreposicao de componentes espectrais proximos a ωs2 e o espectro do sinal amostrado entre ωs2 e ωs2 e diferente do espectro de Xω Isto e conhecido como frequency foldover sobreposicao de frequˆencias Logo ao se passar o filtro passabaixa ideal de frequˆencia de corte igual a ωs2 o sinal resultante da saıda do filtro sera diferente de xt pois seu espectro nao sera igual a Xω contendo componentes espectrais que antes nao existiam no sinal original Este fenˆomeno e conhecido como aliasing falseamento 27 47 Teorema da Amostragem Desta forma o Teorema da Amostragem diz que um sinal xt limitado em banda em B Hz ou seja a componente espectral de maior frequˆencia e 2πB rads deve ser amostrado a uma frequˆencia fs 2B ou seja no mınimo o dobro de sua componente espectral de maior frequˆencia Como o perıodo e o inverso da frequˆencia entao 1 T 2B T 1 2B s como havıamos enunciado no Teorema da Amostragem Sendo assim temos duas formas de evitar o fenˆomeno do aliasing 1 Aumentar a frequˆencia de amostragem a solucao mais obvia mas nem sempre possıvel pois o hardware pode ser um fator limitante 2 Eliminar componentes espectrais de frequˆencias maiores que ωs2 antes do sinal ser amostrado perdese informacao mas em geral a parte mais impor tante que e em baixa frequˆencia se mantem intacta Esta tecnica e conhecida como filtro antialiasing 28 47 Teorema da Amostragem Exemplo 104 Dado o sinal xt 3 sin4t 2 sin7t a Liste todas as frequˆencias menores que ω 50 rads que estao presentes em xt b Supondo que xt seja amostrado com ωs 22 rads liste todas as frequˆencias presentes em xt que sao menores que ω 50 rads c Qual deveria ser a frequˆencia de amostragem mınima em Hz a qual este sinal deveria ser amostrado de forma a nao ocorrer o fenˆomeno aliasing Lembrete Transformada de Fourier de um seno F sinat jπ δω a δω a 29 47 Avaliando a Transformada Estrela Resolucao Exemplo 104a Aplicando a Transformada de Fourier em xt Xω F xt F 3 sin4t 2 sin7t Xω jπ δω 4 δω 4 δω 7 δω 7 Sendo assim xt contem componentes espectrais em 4 rads e 7 rads 30 47 Resolução Exemplo 104b Por efeito da amostragem Xω 1T n to Xω nωs Logo Xω 1T n to jπ δω nωs 4 δω nωs 4 δω nωs 7 δω nωs 7 δω nωs 1 Sendo assim xt terá componentes espectrais nas frequências n 0 4 rads 4 rads 7 rads n 1 26 rads 18 rads 29 rads n 2 48 rads 40 rads 51 rads 37 rads n 3 70 rads 62 rads 59 rads e então para n 2 todos estarão acima de 50 rads Avaliando a Transformada Estrela Resolucao Exemplo 104b Para valores negativos de n n 1 18 rads 26 rads 15 rads 29 rads n 2 40 rads 48 rads 37 rads 51 rads e entao para n 0 todas as componentes espectrais tem frequˆencias negativas menores que 0 rads Observe aqui a importˆancia da frequˆencia negativa embora em xt so conse guimos detectar senoides de frequˆencia 4 e 7 rads as componentes em 4 e 7 rads fazem surgir a partir da amostragem com ωs 22 rads componentes de frequˆencia positiva Logo as componentes menores que 50 rads presentes em xt sao 4 rads 7 rads 15 rads 18 rads 26 rads 29 rads 37 rads 40 rads e 48 rads 32 47 Avaliando a Transformada Estrela Resolucao Exemplo 104c A componente de maior frequˆencia em xt e 7 rads Logo B 7 2π 1 114 Hz Logo pelo Teorema da Amostragem fs 2B fs 2 228 Hz A frequˆencia de amostragem mınima e 2 228 Hz 14 rads O espacamento entre as amosras deve ser no mınimo de 0 449 s 33 47 Na maioria das aplicações do estudo de sistemas que empregam dados amostrados um sinal contínuo é reconstruído através de um sinal amostrado como na figura abaixo que ilustra um sistema de controle digital Se um sinal contínuo é amostrado e depois novamente reconstruído qual a utilizada de todo o processo Veremos em outros cursos que existirá um bloco entre o amostrador e o retentor sendo este bloco efetivamente o compensador ou filtro discreto que será utilizado para melhorar o desempenho eou estabilizar o sistema no primeiro caso controle digital e filtrar eou extrair componentes de um sinal no segundo caso processamento digital de sinais Um método costumeiramente utilizado para a reconstrução de dados é a extrapolação polinomial em série de Taylor em t nT da seguinte forma xt xnT 11 ddtxt tnTt nT 12 d2dt2xt tnTt nT2 Neste curso atentaremos apenas ao retentor de ordemzero ou seja ent enT Desta forma xnt xnT para nT t n 1T Recontrução de Dados Na nossa análise o sinal de entrada xit do retentor de ordem zero é sempre uma função impulso de amplitude A O sinal de saída xot então é um pulso de amplitude A e duração T segundos como pode ser visto na figura abaixo Modelando o ADC e o DAC Modelando o Conversor AD Iremos assumir que As saıdas do ADC sao iguais as entradas em magnitude ou seja o erro de quantizacao e desprezıvel O ADC fornece uma saıda digital instantaneamente A amostragem e sıncrona ou seja T e constante Desta forma o ADC pode ser considerado como um amostrador ideal Modelando o Conversor DA Iremos assumir que As saıdas do DAC sao iguais as entradas em magnitude ou seja o erro de quantizacao e desprezıvel O DAC fornece uma saıda analogica instantaneamente A saıda analogica do DAC e constante durante o perıodo de amostragem Desta forma o DAC pode ser considerado como um retentor de ordem zero ideal 36 47 A Relação entre Xz e Xs Relembrandose a definição de Transformadaz de uma sequência numérica xk temos Xz Zxk x0 x1z1 x2z2 x3z3 A Relação entre Xz e Xs Note que Xs possui uma infinidade de pólos e zeros no planos Entretanto utilizando como exemplo o Exemplo 103 temos Xs fraceTs sinbT1 2eTs cosbT eTs2 e por meio da relação entre a Transformada Estrela e a Transformadaz temos Xz fracz1 sinbT1 2z1 cosbT z12 A Função de Transferência Pulsada Voltando ao diagrama de blocos do sistema precedido de um circuito samplehold Desta forma o sinal de saída Ys é dado por Ys 1 eTss HsXs É possível provar que ao se tomar a Transformada Estrela do sinal de saída Ys teremos Ys 1 eTss Hs Xs e pela relação entre Transformada Estrela e Transformadaz temos Yz Z 1 z1 Hss Xz A Função de Transferência Pulsada Ainda é possível provar que Z 1 z1 Hss 1 z1 Z Hs Logo denotando Hz 1 z1 Z Hss z 1z Z Hss temos finalmente que Yz HzXz A função Hz é conhecida como função de transferência pulsada pois indica a função de transferência entre a saída e entrada amostrada no exato instante de amostragem A Funcao de Transferˆencia Pulsada Observe que Hz nao fornece informacoes sobre o sinal de saıda yt entre os instantes de amostragem Entretanto a frequˆencia de amostragem e escolhida de forma que a resposta nos exatos instantes amostrados dˆe uma boa indicacao da resposta entre os instantes de amostragem 41 47 A Funcao de Transferˆencia Pulsada Em geral o grafico de yk na verdade ykT obtido por meio da Transformadaz inversa de Y z e feito na forma de escada justa mente pelo fato de nao se conhecer o valor de yt entre os instantes de amostragem e que o tempo de amostragem e suficientemente pe queno de modo que o valor da saıda e presumidamente constante entre dois instantes de amostragem Tambem ha o fato de que se manter o valor constante entre dois instantes de amostragem remete ao circuito samplehold 42 47 A Funcao de Transferˆencia Pulsada Exemplo 105 Um sistema dinˆamico LIT contınuo e representado atraves da seguinte funcao de trans ferˆencia Hs Y s Xs s 2 ss 1 a Encontre a funcao de transferˆencia pulsada Hz para T 0 1 s b Determine a equacao a diferencas que representa o sistema 43 47 A Função de Transferência Pulsada Resolução Exemplo 105a A função de transferência pulgada Hz é dada por Hz Z 1 eTs Hs z 1z Z Hss Logo Hz z 1z Z s 2s2s 1 No entanto esta função Hss não é tabelada Desta forma a maneira mais intuitiva é expandir Hss em frações parciais de modo a conter termos menores que contenham funções tabeladas Sendo assim Hss s 2s2s 1 c1s c2s2 c3s 1 Calculandose os resíduos temos c1 3 c2 2 e c3 3 Portanto Hz z 1z Z 3s 2s2 3s 1 A Função de Transferência Pulsada Resolução Exemplo 105a Logo consultandose a Tabela de Transformadasz de sequências provenientes da amostragem de funções contínuas temos Hz z 1 z 3z z 1 2Tz z 1² 3z z eʳ Sabemos que T 0 1 s e simplificando Hz 3 20 1 z 1 3z 1 z e⁰¹ Hz 3 0 2 z 1 3z 1 z 0 9048 Hz 3z 1z 0 9048 0 2z 0 9048 3z 1² z 1z 0 9048 Hz 0 0856z 0 1046 0 0856z 1 222 z 1z 0 9048 A Funcao de Transferˆencia Pulsada Resolucao Exemplo 105a Observe que neste exemplo especıfico poderıamos ter separado a funcao Hss da seguinte forma Hs s s 2 s2s 1 Hs s s s2s 1 2 s2s 1 Hs s 1 ss 1 2 1 s2s 1 e agora ambas as funcoes sao tabeladas Mas observe que esta alternativa nem sempre e possıvel de ser empregada sendo uma particularidade do sistema em si A abordagem por fracoes parciais em geral e um metodo mais abrangente 46 47 A Funcao de Transferˆencia Pulsada Resolucao Exemplo 105b Uma vez que foi calculado Hz entao Hz Y z Xz 0 0856z 0 1046 z2 1 9048z 0 9048 Logo z2Y z 1 9048zY z 0 9048Y z 0 0856zXz 0 1046Xz Pela propriedade da Translacao Real deslocamento no tempo da Transformadaz aplicandose a Transformadaz inversa temos yk 2 1 9048yk 1 0 9048yk 0 0856xk 1 0 1046xk ou na forma atraso yk 1 9048yk 1 0 9048yk 2 0 0856xk 1 0 1046xk 2 A forma atraso e a maneira correta de se implementar fisicamente um controlador digital ou filtro digital Portanto poderıamos tˆela obtido diretamente se multi plicassemos Hz por z2 e aplicassemos entao a Transformadaz inversa 47 47