Aula 12: Análise de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos

ECAC01A Modelagem e Analise de Sistemas Dinˆamicos Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 12 Analise de Estabilidade de Sistemas Dinˆamicos LIT em Tempo Discreto Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 29 Introducao Em aulas anteriores vimos que a faixa primaria no planos e mapeada no planoz atraves de um cırculo de raio unitario com centro na origem Se os polos do sistema discreto no planos devem estar todos dentro da faixa primaria para que o sistema seja estavel isto significa que no planoz os polos devem estar todos dentro do cırculo unitario Isto tambem pode ser verificado ao se tomar a resposta natural do sistema Y z c1z z p1 c2z z p2 cnz z pn YRz yk c1p1k c2p2k cnpnk yRk Logo o valor absoluto do polo deve ser menor que a unidade de forma que a saıda nao cresca para o infinito conforme k tende ao infinito Se um polo e seu conjugado se for complexo esta sobre o cırculo unitario entao havera um termo que e limitado em magnitude mas nao diminui com o tempo Dizse entao que o sistema e marginalmente estavel se todos os outros estiverem dentro do cırculo unitario Entretanto ha uma entrada especıfica que faz a saıda ir para o infinito Entao do ponto de vista do conceito de estabilidade BIBO o sistema e instavel Em geral as tecnicas de analise de estabilidade para sistemas contınuos podem ser aplicadas para sistemas discretos fazendose uma modificacao a transformacao bilinear Existem tecnicas para a analise de estabilidade de sistemas a tempo discreto direto no planoz 2 29 Criterio de Jury Para sistemas contınuos de ordem pequena o criterio de RouthHurwitz oferece uma maneira rapida e simples de se analisar a estabilidade No entanto para sistemas discretos o criterio de RouthHurwitz nao pode ser diretamente aplicado uma vez que no planoz a regiao estavel e diferente do planos Um criterio semelhante em termos de procedimento e motivacao ao de RouthHurwitz e que pode ser aplicado a sistemas discretos direta mente no domınioz e o criterio de Jury Considere entao a equacao caracterıstica de um sistema em tempo discreto no planoz Qz anzn an1zn1 a1z a0 onde an 0 3 29 Criterio de Jury Construımos uma tabela da seguinte forma z0 z1 z2 znk zn1 zn a0 a1 a2 ank an1 an an an1 an2 ak a1 a0 b0 b1 b2 bnk bn1 bn1 bn2 bn3 bk1 b0 c0 c1 c2 cnk cn2 cn3 cn4 ck2 l0 l1 l2 l3 l3 l2 l1 l0 m0 m1 m2 Note que os elementos das linhas pares sao os elementos da linha anterior em ordem reversa 4 29 Criterio de Jury As condicoes suficientes e necessarias para que o polinˆomio Qz nao possua raızes fora ou sobre o cırculo unitario sao Q1 0 1nQ1 0 a0 an b0 bn1 c0 cn2 d0 dn3 m0 m2 Para um sistema de segunda ordem a tabela contera apenas uma unica linha ou seja nao e necessario montala Para cada ordem adicional mais duas linhas deverao ser inseridas Note tambem que para um sistema de nesima ordem n1 restricoes deverao ser checadas Se as trˆes primeiras condicoes nao forem atendidas o algoritmo ja pode ser parado Para cada linha construıda teste a restricao equivalente e caso nao seja satisfeita parar o algoritmo 6 29 Criterio de Jury Exemplo 121 Suponha que a equacao caracterıstica de um determinado sistema dinˆamico LIT discreto seja Qz z4 1 05z3 2 2z2 0 05z 0 75 Atraves do criterio de Jury analise a estabilidade deste sistema 7 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 121 Analisandose a primeira restricao Q1 0 Q1 14 1 0513 2 212 0 051 0 75 2 85 0 OK Analisandose a segunda restricao 1nQ1 0 14Q1 0 Q1 0 Q1 14 1 0513 2 212 0 051 0 75 5 05 0 OK Analisandose a terceira restricao a0 an a0 a3 0 75 1 0 75 1 OK Podemos entao comecar a aplicar o algoritmo 8 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 121 Analisandose a quarta restricao b0 b3 0 4375 0 7375 0 4375 0 7375 NAO OK Como a quarta restricao nao e atendida concluise que ha pelo menos uma raiz de Qz fora do cırculo unitario com modulo maior que 1 e consequentemente o sistema e instavel Perceba que nao ha a necessidade de se calcular o restante da tabela pois ja se sabe a conclusao De fato as raızes de Qz sao z12 0 6209 j1 3006 z12 1 4412 1 z34 0 0959 j0 5932 e entao ha duas raızes fora do cırculo unitario 10 29 Criterio de Jury Exemplo 122 Suponha que a equacao caracterıstica de um determinado sistema dinˆamico LIT discreto seja Qz z4 2 4z3 2 59z2 1 326z 0 289 Atraves do criterio de Jury analise a estabilidade deste sistema 11 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 122 Analisandose a primeira restricao Q1 0 Q1 14 2 413 2 5912 1 3261 0 289 1 153 0 OK Analisandose a segunda restricao 1nQ1 0 14Q1 0 Q1 0 Q1 14 2 413 2 5912 1 3261 0 75 7 605 0 OK Analisandose a terceira restricao a0 an a0 a3 0 289 1 0 289 1 OK Podemos entao comecar a aplicar o algoritmo 12 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 122 Analisandose a quinta restricao c0 c2 0 44 0 4123 0 44 0 4123 OK Como todas as restricoes sao satisfeitas entao concluise que todas as raızes de Qz estao no interior do cırculo unitario ou seja possuem modulo menor que 1 Portantom concluise que este sistema e estavel 15 29 Criterio de Jury Exemplo 123 Suponha que a equacao caracterıstica de um determinado sistema dinˆamico LIT discreto seja Qz z2 0 3679K 1 3679z 0 2642K 0 3679 no qual o parˆametro K e real e positivo K R Atraves do criterio de Jury determine a faixa de valores de K para os quais o sistema e estavel 16 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 123 Para que o sistema seja estavel todas as restricoes devem ser testadas e atendidas Sendo assim como a equacao caracterıstica do sistema e Qz z2 0 3679K 1 3679z 0 2642K 0 3679 e como e de ordem 2 nao e necessario montar a tabela pois seria composta de apenas uma linha As trˆes restricoes que devem ser cumpridas sao Q1 0 12Q1 0 Q1 0 a0 a2 Da primeira restricao temse que Q1 12 0 3679K 1 36791 0 2642K 0 3679 0 Q1 1 0 3679K 1 3679 0 2642K 0 3679 0 0 6321K 0 Logo a primeira inequacao obtida e K 0 17 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 123 Da segunda restricao temse que Q1 12 0 3679K 1 36791 0 2642K 0 3679 0 Q1 0 1037K 2 7358 0 0 1037K 2 7358 Logo a segunda inequacao obtida e K 26 3819 Da terceira restricao temse que 0 2642K 0 3679 1 1 0 2642K 0 3679 1 Resolvendose a primeira inequacao resultante da modular temse 0 2642K 0 3679 1 0 2642K 0 6321 K 2 3925 18 29 Criterio de Jury Resolucao Exemplo 123 Resolvendose a segunda inequacao resultante da modular temse 0 2642K 0 3679 1 0 2642K 1 3679 K 5 1775 Combinandose todas as quatro inequacoes finalmente chegase a 0 K 2 3925 19 29 Criterio de RouthHurwitz Uma vez que a transformacao bilinear converte a regiao de estabilidade no planoz que e o cırculo unitario de volta ao SPE no planow podemos utilizar as tecnicas de analise de estabilidade de sistemas contınuos normalmente para o sistema no domınio w incluindo o criterio de RouthHurwitz O criterio de RouthHurwitz e um algoritmo utilizado para determinar se as raızes de um polinˆomio possuem parte real positiva e caso afirmativo quantas sao Considere entao um polinˆomio Qw da seguinte forma Qw anwn an1wn1 a1w a0 onde an 0 e a0 0 Construımos a tabela da seguinte forma wn an an2 an4 an6 wn1 an1 an3 an5 an7 wn2 b1 b2 b3 b4 wn3 c1 c2 c3 c4 w2 k1 k2 w1 l1 w0 m1 22 29 Criterio de RouthHurwitz Na analise via criterio de RouthHurwitz podem ocorrer trˆes situacoes Caso 1 Todos os elementos da primeira coluna existem Este e o caso padrao Nenhum problema ocorre na aplicacao do algoritmo Caso 2 Um elemento da primeira coluna e nulo sendo que ao menos um elemento da mesma linha nao e nulo Neste caso substituımos o valor zero da primeira coluna por uma valor muito pequeno infinitesimal ε e continuamos o algoritmo sabendo que alguns elementos estarao em funcao de ε e analisamos normalmente se ha troca de sinal Outra alternativa e no polinˆomio a ser analisado fazer a substituicao w 1x e analisar o polinˆomio xnQ1x Isto equivale a trocar de posicao os coeficientes do polinˆomio Qw isto e an passa a ser a0 an1 passa a ser a1 e assim por diante ate a0 passar a ser an Importante observar que se o algoritmo recair sobre este caso certamente havera troca de sinal na primeira coluna Continuase o algoritmo apenas para saber quantas trocas de sinal ocorrerao 24 29 Criterio de RouthHurwitz Caso 3 Todos os elementos de uma determinada linha sao nulos fila nula Este e o caso mais complexo Neste caso o polinˆomio Qw contem um polinˆomio par como fator Um polinˆomio par e aquele que so contem termos cujos expoentes de w sao numeros inteiros pares ou zero Os coeficientes deste polinˆomio par sao dados pelos coeficientes da linha imediatamente anterior a fila nula Uma opcao quando este polinˆomio surge e separalo de Qw fazendo Qw QawQpw onde Qpw e o polinˆomio par e analisase separadamente Qaw e Qpw A dificuldade desta abordagem e fatorar os polinˆomios caso eles sejam de alta ordem Um metodo mais eficaz e universal de ser aplicado e substituir a fila nula pelos coeficientes da derivada do polinˆomio par ou seja dQpwdw e continuar o algoritmo Uma observacao importante e que o fato de existir o polinˆomio par implica que as raızes deste polinˆomio serao simetricas em relacao a origem ou seja estao equidistantes da origem Isto tambem significa que o sistema sera no maximo marginalmente estavel no caso de todas as raızes do polinˆomio par estarem no eixo imaginario e nao serem repetidas e todas as outras no SPE 25 29 Criterio de RouthHurwitz Exemplo 124 Resolva o Exemplo 123 por meio da Transformacao Bilinear e Criterio de RouthHurwitz sabendose que o tempo de amostragem e T 1 s 26 29 Criterio de RouthHurwitz Resolucao Exemplo 124 Primeira inequacao 0 0259K 0 684 0 0 0259K 0 684 K 26 4093 Segunda inequacao 0 2642K 0 6321 0 0 2642K 0 6321 K 2 3925 Terceira inequacao 0 6321K 0 K 0 Combinandose todas finalmente chegamos a 0 K 2 3925 que e o mesmo resultado do Exemplo 123 29 29