Funções Singulares e suas Aplicações em Circuitos Elétricos

Transitórios Professor João Guilherme 1 Introdução 1 1 Funções Singulares Nesta seção são estudadas funções singulares como degrau e rampa que serão úteis na representação de sinais de entrada em circuitos elétricos entrada xltt saída ylt rede linear s ãffh of fa como a EDO 111 Degrau Unitário A função degrau unitário U ilt é definida por u iltt q É U Graficamente Observação existe uma descontinuidade 1 em t O t Tem como utilidade representar aberturas e fechamentos de chaves em circuitos Por exemplo se a chave se fecha em t O no circuito J t O VAIA para te O vlt O 1 Vlt v It para t O vlt 1 1H R B Ue t Pode se multiplicar o degrau unitário por uma constante À não nula de modo AU lt lo tio A tio A v IHA Au As O ACO s t t Pode se também incluir um àtrasó na função isto é Ultra p O t a e O 1 t as O U lt a a A descontinuidade é 1 deslocada de t O para t a s t a Em um caso mais geral tem se Antt a pf tia tia Determine uma expressão para i It no circuito tds Mt iiltl Ir tiittlidtl 1W 2ns Sair para ter para t 2 htt 0 pois ocktestádesenergizado IIITFHILAI ilha 4 iiltt 4Ult 2 CAI st 2 A chave A setechaemt3seachaveBemt7sDEerminea expressão de vltleviltt A Mole M cor B ZOV 4dB Http tcs 34117 t 7 vltt OLVJ vltt 8h vlttolv olha vltt8vlt 3 8Ult 7 8 z a st tio 3 etc 7 t o 7 últt OLVI VYH 12N viltt 20H ÚIHA 2012 OYTI 1201T 3 8Ult 7 t 3 7 112 Função Rampa Unitária Por definição a rampa unitária volt é a integral do degrau unitário U alt iludi Udtta Graficamente Isto é Udtt foi tio t O E f 45 S E t Pode se multiplicar a função rampa por uma constante não nula para obter inclinações diferentes de 45 A vez t O tio At tio Para colocar um atraso na função rampa faz se o seguinte U zlt a p O t a l O t a t a do U zlt a n 145 a t Caso geral A Udt a p O tia Att a tia 113 Função Parábola Unitária t A parábola unitária vsltt é definida como a integral da rampa unitária Us Us d dd Graficamente tt A Isto é U slt p O tio tb tio t No caso geral AU zlt a O tia Alt a42 tsa 114 Função Impulso Unitário Esta função designada por volt é a derivada do degrau unitário volt do iltt dt Graficamente Uolttn A Istoé Volt Oitcoetso Área51 a t O t Podese interpretar o impulso da seguinte forma Patti 11 at palttfvntta1UltaUolttlimPaltt1ai1a aoso st a a a Podesedeslocaroimpulsoe multiplicá lo por uma constante não nula obtendo A Volta ftpqq AVoltada ao Área A st a 115 Doublet Unitário Trata seda derivada do impulso Ult dvoltt de Graficamente Vilela st N Uklttn a j j f s K v deriva integra 116 Derivação de Funções com Descontinuidades Finitas Considere as funções flttn filha 2 a a ft Uilt 1 U t 2 e descontinuidades jltt Volt 1 t Volt 2 finitas i t p ts gltt a giltta glt 2 Ult 2 3h I t 3 2 p p se g t Volt 2 3 Volt 3 descontinuidades 1 e st finitas z N Observe que ao derivar um sinal com descontinuidades finitas em alguns pontos nestes surgem impulsos com área numericamente igual à descontinuidade 1 1 7 Decomposição de Sinais Consiste em escrever um sinal como uma soma de funções singulares AHH 2 fltt U iltttu alt 1 ZU alt 2 U alt 3 htt 4 1 1 é b de st Decomponha o sinal gttln 3 gltt3Ult 1 ZU alt 1 ZU alt 2 U ilt 3 ZU zlt 3 ZU alt 4 2 1 i éj j se Além do processo gráfico pode se obter a expressão do sinal pelo procedimento abaixo a Derivar de forma gráfica o sinal fltt até que sua derivada de ordem n possua apenas componentes impulsivas vo vi Ue b Integrar o resultado obtido n vezes para ter a expressão do sinal Observação se Ht apresentar um valor K O para tio basta somar K à expressão obtida fltt f a filh 2 1 a r 1 é j iust i j s t i E j iust a v n f l t U t Volt 1 2 Volt 2 volt 3 Udt 4 Integrando duas vezes fltl UiltiUlt 1 ZU alt 2 U alt 3 U ilt 4 1 2 Equações Diferenciais 1 2 1 Introdução Todo circuito linear e invariante no tempo pode ser modelado por uma EDO do tipo d yltt aned tylttx aidyltt ao yltl bmdmxlttt bi dxltttboxtt de dt dt dtm de Onde yltt é a saída de interesse µ syltl xltt é a entrada Rede Linear ai e b são constantes n é a ordem da EDO Como a entrada xttt é conhecida o lado direito da EDO é uma função conhecida denominada função forçante Htt Como serão estudados circuitos de 19 e 29 ordem a EDO obtida será do tipo 19 Ordem dyltlaoylttflt 29 Ordem d yltl a dyltltaoylt flt dt dt dt Se flt O tem se uma EDO homogênea Caso contrário a EDO é dita não homogênea 1 2 2 Propriedades 1 Uma EDO homogênea de ordem n possui n soluções linearmente independentes ylt yzltt ynltl A solução geral é uma combinação linear dada por y µ l t keydtttkzyzltiat Knynlt Onde KI kz Kn são constantes arbitrárias 19 Ordem ytiltt Ksydt 29 Ordem yiltt K ydtt Kzydtt 2 A solução de uma EDO não homogênea é dada por yltt ytiltltyplt solução particular solução homogênea Para obter ytilt deve se fazer fltt O A solução particular yplt não contém constantes arbitrárias 123 Solução da EDO Homogênea Procedimento d yltlt 3 dyltt Zylt O dt dt Passo 1 operador D dldt D 3D 2 ylt O s D t 3D 20 Passo 2 determinar as raízes da equação característica D 3 V 42 De 1 Dz 2 Passo 3 Montar a solução homogênea YHtttkeettKze2t Em resumo Raízes da EC Solução ytilt D Ke De De Da K edetxkzedat De D K Kzt e Dt Da é a B cdtlkscossttkzsenbt 124 Solução da EDO Não Homogênea Para determinar uma solução particular para a EDO não homogênea pode se utilizar o método dos coeficientes a determinar que consiste em propor uma solução de mesma forma da função forçante e obter seus coeficientes Forma de flt Forma de yplt a A attb Att B a ebt Aebt asenlwtto Acoslwt a Bsenlwtto Determine a solução geral de d ylt Zdyltt Syltt t dt dt Solução da homogênea D ZD 5 yltt O SD 21350 De 152 Da 1 j 2 ytilt e tlkecoszttkzsenet Solução particular flt t s yplt Att B d At B 2dL Att B 5 At B E A 115 DE dt B 225 yplt t 2 5 25 2 Estudo de Transitórios em Circuitos Lineares pelo Método Clássico 2 1 Introdução Neste capítulo é estudada a resposta transitória de circuitos que contém 1 ou 2 elementos armazenadores de energia O objetivo é formular e resolver uma equação diferencial que permite modelar uma tensão ou corrente em um circuito elétrica EDO os solução no domínio do tempo 211 Elementos de Circuitos Resistência NA iltl eltt Rede Htt ele R Clt Indutãncia ftpdtl eltl Ldiltl iltt 1 elttdt de L Clt Capacitância Filh eltt 1 ilttdt ittl C de IH c de CIH 2 2 Teoremas 221 Teorema I Se todas as tensões e correntes permanecerem finitas a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem variar bruscamente L dtt NA Se iltt U sltt s clt Ldu lt L Volt ao CIH de Logo para ter uma descontinuidade na corrente de um indutor é necessária uma tensão infinita 222 Teorema E Um impulso unitário de corrente em um capacitor altera sua tensão Instantaneamente de 11C LVJ Um impulso unitário de tensão em um indutor altera sua corrente instantaneamente de 11h CAI ÍÜH del fitttdt fvdttdt U H gitti neltt Volt 1k carga qse st Um impulso unitário de corrente carrega o capacitor instantaneamente com a carga de 1 Coulomb 22 3 Teorema II Em qualquer situação a corrente em um indutor e a tensão em um capacitor permanecem finitas 2 3 Circuitos de 19 Ordem Circuitos com fontes resistências e um Único elemento armazenador de energia indutor ou capacitor podem ser modelados por uma EDO de primeira ordem 231 Circuito RL série Considere o circuito onde a chave se fecha em t 0 e o indutor está inicialmente descarregado I um f Os R i E E L Deseja se obter a expressão da corrente iltl Para t LO iltt O pois o circuito está des energizado Ao fechar a chave E erlt alt Rilt Ldiltt E ddt Riltt Permite determinar itt dt L de L D dldt d solução da Homogênea dilttt Riltt O D RIL iltt O dt L Rht Dt RIL O i D RIL IH ltt KC para tio Observação li Na determinação da solução homogênea a função forçante é feita igual a Zero Assim a forma de IHIH é independente da fonte que alimenta o circuito e por isso é chamada de resposta livre a A forma da resposta livre depende exclusivamente das raizes da eq característica que em circuitos estáveis tem sempre a parte real negativa Assim a resposta livre tende a desaparecer com o tempo iii Se não houver fonte externa para tso então haverá apenas a resposta livre ii Solução Particular como tlt é constante ipltt A ate da R A E i A E ipltt E para tso dt L L R R Observação A forma da solução particular é determinada pela forma da função constante e por isso essa componente é chamada de resposta forçada 6 A amplitude da resposta forçada depende da fonte e dos valores dos elementos do circuito iii solução Completa iltt IHLH iplt s iltt K é ht E tso R iv Determinação de K Precisa se do valor numérico da corrente em t O isto é ila Pelo Teorema I tem se que a corrente no indutor não pode sofrer variação brusca Assim Ita dal da k1 É O K É µ solução Final ÉÉII e Er tio Ou ainda iltt f fjérkt ER U il t Observação O indutor descarregado se comporta como um circuito aberto em t A itttt A ipltt A ilha ni Graficamente µse EIR EIR manente EIR st se t O indutor aberto t tao indutor fechado Regime transitório indutor exibe seu comportamento dinâmico vir constante de Tempo Considere G L R Parat 3 i It EÉRKLIR E E é E R R R R Para t L LIR a resposta livre se reduz a 361 de seu valor inicial máximo Para t 58 admite se em termos práticos que o circuito atingiu o regime permanente pois a resposta livre já se reduziu a menos de 1 de seu valor Inicial 24 Equivalentes Para Circuitos Inicialmente Energizados Os modelos apresentados a seguir permitem representar a energia inicialmente armazenada em campos elétricos e magnéticos como fonte de tensão e corrente Deste modo um capacitor inicialmente carregado pode ser modelado como um capacitor inicialmente descarregado em série com uma fonte de tensão Analogamente um indutor com carga inicial pode ser representado por um indutor inicialmente descarregado em paralelo com uma fonte de corrente 2 41 Capacitor Considere o capacitor abaixo que possui uma tensão inicial ⑧ eh c edot O t Da equação de definição Clt 1 il z da Pode se reescrever e t 1 III 6 do 1 til 6 D8 ao C Ot qla eltt edat 1 ftilzld O Ot Esta equação pode ser representada como um circuito equivalente Moddothévenindo Capacitor ele c É tilttdt Íeclolt Representa a energia inicial O circuito abaixo operou por muito tempo coma chave B fechada ea chave A aberta quando entoa chave B se abre e a chave A se fecha Determine eoltt UM to Mto ZR B A r ou É ÁS ler GV Colt Regime permanente antes de t O OCKT se comportava como I V 262 g Sua Ir v 42 GV tensão inicial do capacitor goedat2Hedhzvfno Para tso tem seockíg Mr I ftpyzujeowgziltl4dttdt2O2dittl4ittl O dt Logo iiltltoilt 0 EDO Assim ilttkelt Ftso D 2 ilt O s D 2 M ila ke lot Para toti Zr GV K 62 Íedo f ZV 2 K 2 ilt ze rt ftso Assim 6 Zilt Colt O Colt 6 2 ZÉZT Colt 6 4C 2T ftso cale 6 Ué ivt O 2 tio Graficamente a Co 6 A constante de tempo é G 125 O tempo de acomodação é então 255 2 st 58 242 Indutor itt elttflESidoto t No indutor iltl 1 elidi Lilttffjelhdrffteklddilttiroi1telNdd L µ energia armazenada feltldt Equivalente de Norton eµ EE tido No circuito abaixo a chave se abre depois de ter operado fechada por muito tempo Determine iolt mi m Zr tio 1H idtt 1N vdzgzr fzr Regime permanente antes de tio Ny OCKT se comportava como s z s I 12 4pA ir I 21 12 32 ia L 21A µ corrente Inicial no indutor Logo ida 21A ftca Para tso iott iltt ido O Cult era era O ido idtt 1 fefttdt 2 ele 4 iolt m 1 si 2 io E 2 iolt 14 idt 2 s didtt 4 idt O dt Resolvendo a EDO D 4 iolt O s D 4 Assim iolt Kent ftso Para t Oxi ida ida ido 2H ia a ido Ke hot 2 Io NA K 2 ioltt 2 é t Ftso 4 Assim iolt 2 FECO e 4T ft O Graficamente idttn A constante de tempo é G 0255 56 O tempo de acomodação é então 1255 z 2 5 Procedimento Alternativo para circuitos DC de 19 Ordem Como estudado um circuito de 19 ordem é aquele formado por fontes resistências e um Único elemento armazenador de energia Neste tipo de circuito qualquer tensão ou corrente pode ser determinada pela solução de uma EDO de 19 ordem No caso específico de circuitos alimentados por pontes de corrente eou tensão continua a solução da EDO terá Sempre a seguinte forma ylt Ke Kz e teto Onde Ka Kz e O são constantes Este procedimento consiste em determinar os valores dessas constantes em vez de modelar e resolver a EDO Determinação das constantes Constante Kd Fazendo t tem se y a K Kç é to K O Assim Ka y a Logo Ke corresponde à solução tensão ou corrente em regime permanente De em que o capacitor se comporta como um circuito aberto e o indutor como um curto Constante Kz Fazendo t Q y la KI Kz é08 Ke Kz 1 Assim Kz y la ke Logo para conhecer Kz deve se analisar o circuito no instante t Ot em que o capacitor se comporta como uma fonte de tensão l se estiver inicialmente energizado ou como um curtocircuito se não possuir energia inicial Se o circuito tiver um indutor este será representado por uma fonte de corrente ou por um circuito aberto Constante de tempo G Para circuitos elementares G RC art RC série 6 LIR CKT RL série Rth Ego A NA A TIA TB C Eth C B o B Assim se o circuito tiver um capacitor a constante de tempo será O i Rth C Se tiver um indutor O L Rth Onde Rth é a resistência equivalente vista entre os pontos do elemento armazenador de energia O circuito abaixo operou por muito tempo com a chave fechada quando em t O esta se abre Determinar ele para tso A ele NA F o Ir E fur 24 V 34 r Regime permanente com a chave fechada A E NA F o Ir Req 4141 3 R It It 243 8 A 24 V Iv hr E 8 V fur I 4 A Assim into 4A e ele 8V ftco Ao abrir a chave eltlkekzetk Delta Determinação dela MM Ir eles 12448 V 24N 34A 14 34A Ke 48 Mela NA Determinação de kz a Ir 4A 4A ela 144 V 2W 34A Kz 4 48 08 34A Kz 08 Nela NA Determinação dez Ir Rlh Rlh Sr A fur Fonte em 341 repouso 8255 Assim ele 8W FACO 4808 éskt Ftso e Graficamente 8 484 st 58 2 6 Exemplo de circuito de 19 Ordem com fonte senoidal Considere o circuito RL a seguir em que a indutãncia não possui energia inicial NA tios R zç L elt N itt Pretende se determinar a expressão de ilt sabendo que eltlEScnwt a Equacionamento LKT plt o Clt Rilt Ldiltl O sditt Rilt Clt sdilt Riltl Esenlwt a dt dt L L de L L Solução Homogênea diltlt Riltt O s D E IHIH O D R O D R dt L L L IH It kérhit plt O Idêntica à obtida no circuito RL DC pois a sol homogênea independe do tipo de fonte Solução Particular Como a função forçante é do tipo senoidal deve se propor ipltl A cos wtta Bsen wt a Tomando iplt e substituindo na EDO não homogênea d tacos wt a Bsenlwtta tacos wt a Bsenlwt a ELsenlwt a de WA RB E a L L R A WB O b L Resolvendo o sistema A WLE e B RE Rh WLY RZTIWL Solução Geral ilt K é RKT WLE coslwt a RL ser lwtt d o Componente de regime Componente RZ IWLY Rh LWLY permanente transitória Determinação de K Pelo Teorema 1 Ita Ita pois o indutor está inicialmente descarregado da Keo WLE casa RL ser a O i K E WL casa Rsenx Rh WLY Rzt WLY Rh WLY Observação Note que a constante K que determina a magnitude da componente transitória depende de a isto é do ângulo de fase da tensão no momento de fechamento da chave 2 7 Circuitos de 29 Ordem De uma forma geral a ordem da EDO que modela um circuito corresponde ao número total de elementos armazenadores de energia Nesta seção são estudados circuitos de 29 ordem cuja solução exigirá o conhecimento de duas condições iniciais ylo e y lol Tais condições podem ser determinadas com base nas leis de Kirchott equações de definição dos elementos L e C e dos teoremas já estudados Considere como exemplo o circuito RLC série em que se pretende modelar a corrente mmn f O R ilt L 1 eh C Pela LKT ele erlt Cult e clt O Em função da corrente ettt Rilt Ldilt 1 iltldt O dt C Derivando de It Rdilt Ld itt 1 ilt O sd ilt Rdilt 1 ilt 1 de It dt dt dt C de L dt LC L Note que para determinar a solução homogênea que define a resposta livre deve se determinar as raízes da equação característica EDO específica para D RD 1 O CKT RLC série L LC A depender dos valores de R L e C pode se ter Ci 2 raízes reais distintas Iii 2 raízes reais iguais iii 2 raízes complexas Para um circuito de 29 ordem tem se que a equação característica apresenta sempre a forma geral D 2 PWOD wo O Onde N coeficiente de amortecimento Wo frequência natural não amortecida Determinando as raízes da eq característica tem se D 2 PWO V 482 wo 4 wo s D Twa wo Ta 1 2 Existem três situações possíveis Coeficiente de amortecimento 1 A Ambas são LO Nesse caso haverá duas raízes reais diferentes Dep TWOI wo Vp I a torna YH t K e Det Kzedzt A solução homogênea terá G sistema Super amortecido Coeficiente de amortecimento 1 Nesse caso existem duas raízes reais iguais De Da wo A solução homogênea terá a forma YH l t ke kzt edt Sistema Criticamente Amortecido Coeficiente de amortecimento 1 Nesse caso De z Twa j wo V 1 P A solução homogênea terá a forma YH l t é rwot ke aos wov 1 N t Kzsenlwo 1 Mt E sistema Sub amortecido No circuito abaixo a chave se fecha em t 0 quando a corrente no indutor é 2A e a tensão do capacitor ZV Determine ir l t NA E O 1 ridtt v 10 V 2H LF Representando para tso NM Ir ZV LOV 2H L 2A IF 10 ir iz 2 d ir 2 O s 10 ir iz 2 diz O 1 dt dt Zdliz 2 f irltldt 2 O s Zd iz ir O 2 de de De 2 em 1 d ir diz ir 5 de dt 2 Solução Homogênea D D O 5 iz O Der 05 IJ 05 ir µ t é ast ke aos last Kzsen Oit Solução Particular flt 5 izpltl A 05 A 5 s A 10 izp t 10 Solução Geral izlt e ast ke cos Oit kzsen QSE 10 Representando para t Ot NA 1h ZV LOV L 2A o O izlot 2A Cult L diz t s diza ella s Ii a 2 1 A dt dt L 2 iz O Ke 10 3 Ir 101 05 Kz 05 Ka 4 Logo Kei 8 e Kz 6 Assim Izltt e ast f 8 cos last Gsen last 10 A para t o 2A para tao 2 8 Respostas às Entradas De grau e Impulso A determinação das respostas de um circuito linear sem energia inicialmente armazenada às entradas U ele e Volt é muito importante pois como será estudado nas próximas seções O conhecimento dessas respostas permite determinar a resposta a qualquer entrada XIH ylt circuito linear sem os entrada energia inicial saída U alt Volt rlt htt tensão ou corrente tensão ou corrente Em que rlt resposta ao degrau unitário htt resposta ao impulso unitário Objetivo Determinar como um circuito linear se comporta com as entradas U ele e Volt e observar a relação entre as duas respostas Considere o exemplo em que se deseja determinar a corrente irlt em duas situações a ilt UIIE entrada Htt ilt b ilt volt ilt L irlt R saída y ll irlt Equacionamento LKC illt irlt ele 1 LKT elle erlt O s Ldillt Rirlt O 2 de Substituindo 1 em 2 Ldliltt irlt Rirlt O dirlt Rirlt dilt para tso de de L de Caso a tao tso A L irlt R 1A L irlt 3g R µ Nesse caso dir I t Rirlt O de L 2 Outra forma dirlt Rirlt du alt sdirlt Rirlt Volt dt L dt dt L Como a EDO modela o circuito em instantes de tso e volt O para tso então dir I t Rirlt O de L Solução Homogênea Dt irlt O ir µ l t Ke Rkt Determinação de K t Ot Do Teorema 1 ILLO i ir a O 1A L irlatBR Logo irlot 1 Assim IR a K 1 sk 1 IRIA a Finalmente ir let te rht para tso 1 O para tc O IR I E c Rkt U ele A Resposta ao Degrau rlt se caso b dirlt Rirlt d volte os dirlt Rirlt Udt dt L dt dt L Como vele O para tso tem se também uma EDO homogênea Solução Homogênea IRHLT K e Rkt Determinação de K Nesse caso o Teorema 1 não é aplicável diretamente pois em t O tem se uma corrente infinita no circuito Para resolver este problema deve se analisar o circuito no exato instante do impulso de corrente t O LKC ILCO IRIO Valo vdd L irlolBR Do Teorema 3 tem se que a corrente em uma indutãncia deve permanecer sempre finita Assim conclui se que o impulso de corrente circulará pela resistência RIO ilo Voto A Impulso de corrente com área 1 Com isso tem se um impulso de tensão na resistência CRIO RUOCO impulso de tensão com área R Finalmente Observe que o indutor está em paralelo com o resistor Assim ello Rudo Pelo Teorema 2 quando um indutor é submetido a um impulso unitário de tensão sua corrente varia instantaneamente de 11L A Nesse caso como o impulso tem área R ILCO R L t O Do Teorema 1 IL a ILIO R L iria r L IRLO R L Assim ir A K R s K R L L irlttç Portanto irlt RIL e Mt para tso la Valo g se ir It Volt Re Rkt U ele Resposta ao Impulso htt L Pode se observar que a resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau hltt drlt Htt thldldd dt Para determinar a resposta ao degrau i se a entrada por uma ponte de corrente faça ilt 1A e admita o circuito inicialmente des energizado a Se a entrada for uma fonte de tensão faça vlt IV e admita o circuito inicialmente des energizado Para determinar a resposta ao impulso Determine a resposta ao degrau rlt esboço graficamente e derive Determine a corrente irlt no circuito considerando duas situações a ele U ele b ele Volt NA 21 izlt t eu 1H idtt E hr v 2 9 Resposta a Funções Causais Considere o circuito abaixo em que o capacitor está inicialmente descarregado e se deseja determinar eltt r ilha ilt Es R Ir C 1 ele s t 2 5 Primeira Parte ter Es R C IF ele O para te 2 Segunda Parte Zetas idt ides LKC ielt izlt 4 4A R C LKT ielt fizltldt O dirlt isle 4 dt Solução Homogênea D 1 IIH t O s iria l t Ke 11 t 2 para 2 ctcs Solução Particular flt 4 irplt 4 para ZCECS Solução Geral ide Ke It 2 4 Determinação de K t 2T Id id Í e 21 e 2 O 4A 3g R C Ii 21 K 40 K 4 Logo irlt 4 é t 2 4 para ZCECS Terceira Parte tis idt ir ele hee H 2 4 para Zetas R c e 5 38 V eds eds 138 V LKT isle pide de 380 didt ide oO para t 5 dt Solução Geral isle ke ele s Determinação de K E 3 idst ida ILCS 1 K 38 o K 38 SR c 38N Logo irltl 38C t s para tss ele 38 e to s para t 5 µ a Agregando as três partes enfiei ae 38 e tt s tss 5 Energia do capacitor se Fonte de corrente carrega o capacitor dissipa no resistor Outro modo de resolver Pode se observar que a entrada iltt é uma soma de funções singulares Por se tratar de um circuito linear sem energia inicialmente armazenada tem se que Se a entrada é uma soma de funções singulares a saída pode ser calculada pela superposição dos efeitos de cada componente da entrada Para o exemplo anterior Htt n 4 xlt ele 4 U ele 2 4 U e t s s t E Soma de degraus 2 5 Como a entrada é uma soma de degraus a saída será a soma dos eleitos de cada degrau Deste modo a resposta do circuito será ele 4 r t 2 4 rlt 5 Logo observe que basta determinar a resposta ao degrau unitário Observações i Caso a entrada não seja exatamente uma soma de funções singulares por exemplo A Pode se representá la como a Trem de degraus µ t tz ta Xlt a b Trem de impulsos Nt µ Ao n AÍ À ftpyees A o A Az As s t t e ta tz Xltt Ao volt AI Volt td Az Volt tz As voltas ylt Ao htt As htt te Azhlt tz Azhlt tz 210 Teorema da Convolução Considere a entrada XIN onde A representa o tempo HA n A I S µ Ai e s OR Dividindo se a entrada em setores de acordo com o passo OX tem se de torna aproximada que xld Ai l h Ri i Considerando um instante t qualquer xld É Ai volt Ai i Note que se Od por pequeno tem se Ai O dela Combinando xltt E xl N Vale de od i Observe que é uma soma de impulsos Logo a saída pode ser escrita como a superposição dos efeitos dos impulsos da entrada yltt E XIN htt xD oh i Tomando DA sdd vem que t Ílshlt d da A Integral de Convolução Este resultado mostra que para um circuito linear sem energia inicialmente armazenada pode se determinar por esta integral a resposta a qualquer entrada XIH desde que seja conhecida a resposta ao impulso Pode se também mostrar que ylt tdxlrlrlt d dd dd Conclusão Conhecendo a resposta ao degrau rlt ou a resposta ao impulso htt pode se determinar a resposta a qualquer entrada Deseja se calcular para o circuito a saída elt para qualquer instante tsss para a entrada r dela ilt Es R ir C 1 F ele s t 2 5 Para usar a integral de convolução ylt À N htt A DA s resposta ao impulso entrada Do exercício anterior tem se a resposta ao degrau HHA htt n 1 1 t rlt 1 e t U el t htt é tu ele Montando a integral htt d é tt xld il N eltl f ÍINHH d da seltt ae dt Í é dt ftae dt 5 elt É e tt dt se IH 4 e t e clt 38 é tt s para tss Para qualquer instante t entre 2 e 5 Clt da é dt É e dt se IH 4 é tci É eltt 4 4 ele A resposta de um circuito linear ao degrau unitário é rlt 10C St para tso Determine a resposta para um instante t qualquer entre 1 e 3 segundos considerando a entrada XIH a 1 Do Teorema da Convolução tem se ylttjftdxldirtNdd dt é a j ç isst 1 Derivando a entrada dxl d DA A 1A t P I s A 2 4 5 1 Da resposta ao degrau rlt d 10 éstt d os rft d 10 estes ylt ÍOCN 10 éste dx Í 1 10 e stes da C o ÚOIX e DA Esse produto só é diferente de zero em A o onde Voto ao e eso 1 Logo a área 1 a Propriedade da amostragem do impulso Uol d a f d dd f a a Assim ylt 10 é 91 10 e St çst çs 10 é st ze stts 3 Método Operacional para Análise de Transitórios em Circuitos lineares 3 1 Introdução O método operacional utiliza a Transformada de Laplace para permitir a solução de transitórios sem o uso de equações diferenciais Neste caso obtém se a resposta completa Transformada de Laplace Por definição a Transformada de Laplace TL de uma função Htt é Ihe stdt Fls Onde S Ttjw é conhecida como frequência complexa A aplicação da TL a um sistema de equações diferenciais no domínio do tempo resulta em um sistema de equações algébricas no domínio da frequência que possui solução mais simples Assim para conhecer as soluções no domínio do tempo deve se aplicar a transformada inversa de La placa Como a operação da transtornada inversa é muito complexa as transformadas inversas serão obtidas por meio de uma tabela de Pares de Transtornadas f A Fls Volt 1 U elt L 15 U elt a e as 1 Is e at U alt 11 s a EUelt U zlt 1 Isa te at U alt 16 a Sen wt U elt WKS wa coswt U elt wz Propriedades a Llfslttxfzlt Fels Fds b LLAHH AFIS c Llfltt SFIS Ho LLÉIHI sans SHOI Ho 3 2 Aplicação da TL em Análise de circuitos MG Modelo da resistência NA Vls RIIS R Its s Modelada indutância JA Vls SLIIS Lilo SL Lilo s Its Equivalente de Thévenin sm SL Ils ICS Vls ilo SL s Equivalente de Norton ilo Modelada capacitância se Ils Ils Vls Colo 1 Equivalente de Norton coco SC s vcs 1 IIS tolo t 1 vfo Ils SC s Equivalente dsethévenin Determine irlt no circuito sabendo que não há energia inicialmente armazenada no indutor irlt ihlt E E I R L Circuito transformado nirls nils E E R SL Equacionamento LKC IRLS IL s I s S LKT R IRIS SLIL s O RIR s LI SLIRLS O s Ir s I S t R L Transtornada Inversa irlt L I IL 1 Ie rkt U ele St R St R L L irlt Iérkt Us E Nem sempre a solução no domínio da frequência terá uma forma fácil de obter a TI Nesses casos pode se usar a decomposição em frações parciais A solução no domínio da frequência é do tipo F s Pls Qls Para facilitar a obtenção da TI deve se determinar os polos de FCS Supondo Qls um polinômio do segundo grau podem ocorrer três situações Dois polos reais e distintos Fls ke Kz S Pe S Pz Dois polos reais e iguais F s KI Kz S P s p Dois polos complexos Fls g g g JB Determine volt para tso sabendo que ida 1A e vc a ZV NA NN odeia 0 ser 2H zgzr 24 V ORSF Mt Mr CKT transformado 10 ZS ZV Its 4 24 S Es 2 S 2 Ils s Equacionamento 24 102 s Ir s 2 4 Irb 4 Ir s 2 O S S S S 2 4 Ir s 4 tds 2 Izls O S S S Iz s s2 7 s 24 53352 125 Transtornada Inversa Os polos de Iz s são Se O Sz 3 e Ss 4 527 St 24 Izls gtz 4 slstzllst 4 Ke 2 Kz 4 e Kz 3 Iz s 2 4 3 S stz s 14 izlt 2 4 est ze 4T U elt volte 4 8 e st Gent U alt Determine ioltl IF 1H iolt EIzar 4A 12 V 3 3 Função de Transferência Em análise de circuitos pelo método operacional a função de transferência de uma rede linear é definida como a relação entre a saída e a entrada Xls Yls H s YCS Hls s entrada saída X s Observações i Note que nos domínios do tempo e da frequência tem se XIH Rede ylt Xls YCS s s Hls s vou linear hlt LIUOHD LLHIHI Contudo pela definição de função de transferência HCS LL htt Llhlt LIGA 1 A função de transferência é a Transformada de Laplace da resposta ao impulso Hls L htt ii No domínio do tempo pode se determinar a resposta a qualquer entrada xtt resolvendo se a integral de convolução ylt ftxlxlhlt A da O No domínio da frequência Y s H l s X l s Note então que no domínio da frequência a resposta a qualquer entrada pode ser determinada conhecendo se a função de transferência A resposta ao impulso de uma rede linear é hlttetult Determine a saída para a entrada xlt 10 é Hutt Volt e tu alt Convolução s Rede s 10eztult ylt Rede s ylt oftoé e H da sylt Ioétçj ylt 10 é tle t 1 ylt 10 é zt loét para tso Função de Transferência Xls YCS Rede s HCS LCHIH s Hls L e tu dt s HIS 1 St 1 Xls L lxlt s Xls L 10eztult Xls 10 St 2 YCS HIS Xls s YCS 10 STI St 2 10 A B s 10 SCA 1 B ZATB A 10 s 11 s 2 51 St 2 B 10 YCS 10 10 St1 S 12 ylthLYYHJylttliELifEzyltt1Oet1Oe2t para tso iii A torna da resposta livre de uma rede é determinada pelas raízes da equação característica que são idênticas aos polos da função de transferência Determine a função de transferência e conclua sobre o tipo de amortecimento da rede NA mh Cor 1H vlt 04 F Como se deseja a função de transferência deve se alimentar o circuito com uma fonte de LV e determinar a corrente que será a própria função de transferência Tomando o circuito transformado NM m Cor sr IV 25 r S LKT 1 I s 6 se 255 O s s Ils Os Sr 25 O I s s s H s S SZ GS 25 S t Os 25 Polos de H l s Ser 3 tj 4 s Sistema Sub amortecido