Engenharia da Qualidade

Apêndice online A Tabelas estatísticas e provas Tabela A1 Soma das probabilidades binomiais r x 0 bx n p p n r 010 020 025 030 040 050 060 070 080 090 1 0 1 09000 10000 08000 10000 07500 10000 07000 10000 06000 10000 05000 10000 04000 10000 03000 10000 02000 10000 01000 10000 2 0 1 2 08100 09900 10000 06400 09600 10000 05625 09375 10000 04900 09100 10000 03600 08400 10000 02500 07500 10000 01600 06400 10000 00900 05100 10000 00400 03600 10000 00100 01900 10000 3 0 1 2 3 07290 09720 09990 10000 05120 08960 09920 10000 04219 08438 09844 10000 03430 07840 09730 10000 02160 06480 09360 10000 01250 05000 08750 10000 00640 03520 07840 10000 00270 02160 06570 10000 00080 01040 04880 10000 00010 00280 02710 10000 4 0 1 2 3 4 06561 09477 09963 09999 10000 04096 08192 09728 09984 10000 03164 07383 09492 09961 10000 02401 06517 09163 09919 10000 01296 04752 08208 09744 10000 00625 03125 06875 09375 10000 00256 01792 05248 08704 10000 00081 00837 03483 07599 10000 00016 00272 01808 05904 10000 00001 00037 00523 03439 10000 5 0 1 2 3 4 5 05905 09185 09914 09995 10000 10000 03277 07373 09421 09933 09997 10000 02373 06328 08965 09844 09990 10000 01681 05282 08369 09692 09976 10000 00778 03370 06826 09130 09898 10000 00313 01875 05000 08125 09688 10000 00102 00870 03174 06630 09222 10000 00024 00308 01631 04718 08319 10000 00003 00067 00579 02627 06723 10000 00000 00005 00086 00815 04095 10000 6 0 1 2 3 4 5 6 05314 08857 09842 09987 09999 10000 10000 02621 06554 09011 09830 09984 09999 10000 01780 05339 08306 09624 09954 09998 10000 01176 04202 07443 09295 09891 09993 10000 00467 02333 05443 08208 09590 09959 10000 00156 01094 03438 06563 08906 09844 10000 00041 00410 01792 04557 07667 09533 10000 00007 00109 00705 02557 05798 08824 10000 00001 00016 00170 00989 03446 07379 10000 00000 00001 00013 00159 01143 04686 10000 7 0 1 2 3 4 5 6 7 04783 08503 09743 09973 09998 10000 02097 05767 08520 09667 09953 09996 10000 01335 04449 07564 09294 09871 09987 09999 10000 00824 03294 06471 08740 09712 09962 09998 10000 00280 01586 04199 07102 09037 09812 09984 10000 00078 00625 02266 05000 07734 09375 09922 10000 00016 00188 00963 02898 05801 08414 09720 10000 00002 00038 00288 01260 03529 06706 09176 10000 00000 00004 00047 00333 01480 04233 07903 10000 00000 00002 00027 00257 01497 05217 10000 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 2 Tabela A1 continuação Soma das probabilidades binomiais r x 0 bx n p p n r 010 020 025 030 040 050 060 070 080 090 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 04305 08131 09619 09950 09996 10000 01678 05033 07969 09437 09896 09988 09999 10000 01001 03671 06785 08862 09727 09958 09996 10000 00576 02553 05518 08059 09420 09887 09987 09999 10000 00168 01064 03154 05941 08263 09502 09915 09993 10000 00039 00352 01445 03633 06367 08555 09648 09961 10000 00007 00085 00498 01737 04059 06846 08936 09832 10000 00001 00013 00113 00580 01941 04482 07447 09424 10000 00000 00001 00012 00104 00563 02031 04967 08322 10000 00000 00004 00050 00381 01869 05695 10000 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 03874 07748 09470 09917 09991 09999 10000 01342 04362 07382 09144 09804 09969 09997 10000 00751 03003 06007 08343 09511 09900 09987 09999 10000 00404 01960 04628 07297 09012 09747 09957 09996 10000 00101 00705 02318 04826 07334 09006 09750 09962 09997 10000 00020 00195 00898 02539 05000 07461 09102 09805 09980 10000 00003 00038 00250 00994 02666 05174 07682 09295 09899 10000 00000 00004 00043 00253 00988 02703 05372 08040 09596 10000 00000 00003 00031 00196 00856 02618 05638 08658 10000 00000 00001 00009 00083 00530 02252 06126 10000 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 03487 07361 09298 09872 09984 09999 10000 01074 03758 06778 08791 09672 09936 09991 09999 10000 00563 02440 05256 07759 09219 09803 09965 09996 10000 00282 01493 03828 06496 08497 09527 09894 09984 09999 10000 00060 00464 01673 03823 06331 08338 09452 09877 09983 09999 10000 00010 00107 00547 01719 03770 06230 08281 09453 09893 09990 10000 00001 00017 00123 00548 01662 03669 06177 08327 09536 09940 10000 00000 00001 00016 00106 00473 01503 03504 06172 08507 09718 10000 00000 00001 00009 00064 00328 01209 03222 06242 08926 10000 00000 00001 00016 00128 00702 02639 06513 10000 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 03138 06974 09104 09815 09972 09997 10000 00859 03221 06174 08389 09496 09883 09980 09998 10000 00422 01971 04552 07133 08854 09657 09924 09988 09999 10000 00198 01130 03127 05696 07897 09218 09784 09957 09994 10000 00036 00302 01189 02963 05328 07535 09006 09707 09941 09993 10000 00005 00059 00327 01133 02744 05000 07256 08867 09673 09941 09995 10000 00000 00007 00059 00293 00994 02465 04672 07037 08811 09698 09964 10000 00000 00006 00043 00216 00782 02103 04304 06873 08870 09802 10000 00000 00002 00020 00117 00504 01611 03826 06779 09141 10000 00000 00003 00028 00185 00896 03026 06862 10000 3 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A1 continuação Soma das probabilidades binomiais r x 0 bx n p p n r 010 020 025 030 040 050 060 070 080 090 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 02824 06590 08891 09744 09957 09995 09999 10000 00687 02749 05583 07946 09274 09806 09961 09994 09999 10000 00317 01584 03907 06488 08424 09456 09857 09972 09996 10000 00138 00850 02528 04925 07237 08822 09614 09905 09983 09998 10000 00022 00196 00834 02253 04382 06652 08418 09427 09847 09972 09997 10000 00002 00032 00193 00730 01938 03872 06128 08062 09270 09807 09968 09998 10000 00000 00003 00028 00153 00573 01582 03348 05618 07747 09166 09804 09978 10000 00000 00002 00017 00095 00386 01178 02763 05075 07472 09150 09862 10000 00000 00001 00006 00039 00194 00726 02054 04417 07251 09313 10000 00000 00001 00005 00043 00256 01109 03410 07176 10000 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 02542 06213 08661 09658 09935 09991 09999 10000 00550 02336 05017 07473 09009 09700 09930 09988 09998 10000 00238 01267 03326 05843 07940 09198 09757 09944 09990 09999 10000 00097 00637 02025 04206 06543 08346 09376 09818 09960 09993 09999 10000 00013 00126 00579 01686 03530 05744 07712 09023 09679 09922 09987 09999 10000 00001 00017 00112 00461 01334 02905 05000 07095 08666 09539 09888 09983 09999 10000 00000 00001 00013 00078 00321 00977 02288 04256 06470 08314 09421 09874 09987 10000 00000 00001 00007 00040 00182 00624 01654 03457 05794 07975 09363 09903 10000 00000 00002 00012 00070 00300 00991 02527 04983 07664 09450 10000 00000 00001 00009 00065 00342 01339 03787 07458 10000 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 02288 05846 08416 09559 09908 09985 09998 10000 00440 01979 04481 06982 08702 09561 09884 09976 09996 10000 00178 01010 02811 05213 07415 08883 09617 09897 09978 09997 10000 00068 00475 01608 03552 05842 07805 09067 09685 09917 09983 09998 10000 00008 00081 00398 01243 02793 04859 06925 08499 09417 09825 09961 09994 09999 10000 00001 00009 00065 00287 00898 02120 03953 06047 07880 09102 09713 09935 09991 09999 10000 00000 00001 00006 00039 00175 00583 01501 03075 05141 07207 08757 09602 09919 09992 10000 00000 00002 00017 00083 00315 00933 02195 04158 06448 08392 09525 09932 10000 00000 00004 00024 00116 00439 01298 03018 05519 08021 09560 10000 00000 00002 00015 00092 00441 01584 04154 07712 10000 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 4 Tabela A1 continuação Soma das probabilidades binomiais r x 0 bx n p p n r 010 020 025 030 040 050 060 070 080 090 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 02059 05490 08159 09444 09873 09978 09997 10000 00352 01671 03980 06482 08358 09389 09819 09958 09992 09999 10000 00134 00802 02361 04613 06865 08516 09434 09827 09958 09992 09999 10000 00047 00353 01268 02969 05155 07216 08689 09500 09848 09963 09993 09999 10000 00005 00052 00271 00905 02173 04032 06098 07869 09050 09662 09907 09981 09997 10000 00000 00005 00037 00176 00592 01509 03036 05000 06964 08491 09408 09824 09963 09995 10000 00000 00003 00019 00093 00338 00950 02131 03902 05968 07827 09095 09729 09948 09995 10000 00000 00001 00007 00037 00152 00500 01311 02784 04845 07031 08732 09647 09953 10000 00000 00001 00008 00042 00181 00611 01642 03518 06020 08329 09648 10000 00000 00003 00022 00127 00556 01841 04510 07941 10000 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 01853 05147 07892 09316 09830 09967 09995 09999 10000 00281 01407 03518 05981 07982 09183 09733 09930 09985 09998 10000 00100 00635 01971 04050 06302 08103 09204 09729 09925 09984 09997 10000 00033 00261 00994 02459 04499 06598 08247 09256 09743 09929 09984 09997 10000 00003 00033 00183 00651 01666 03288 05272 07161 08577 09417 09809 09951 09991 09999 10000 00000 00003 00021 00106 00384 01051 02272 04018 05982 07728 08949 09616 09894 09979 09997 10000 00000 00001 00009 00049 00191 00583 01423 02839 04728 06712 08334 09349 09817 09967 09997 10000 00000 00003 00016 00071 00257 00744 01753 03402 05501 07541 09006 09739 09967 10000 00000 00002 00015 00070 00267 00817 02018 04019 06482 08593 09719 10000 00000 00001 00005 00033 00170 00684 02108 04853 08147 10000 5 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A1 continuação Soma das probabilidades binomiais r x 0 bx n p p n r 010 020 025 030 040 050 060 070 080 090 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 01668 04818 07618 09174 09779 09953 09992 09999 10000 00225 01182 03096 05489 07582 08943 09623 09891 09974 09995 09999 10000 00075 00501 01637 03530 05739 07653 08929 09598 09876 09969 09994 09999 10000 00023 00193 00774 02019 03887 05968 07752 08954 09597 09873 09968 09993 09999 10000 00002 00021 00123 00464 01260 02639 04478 06405 08011 09081 09652 09894 09975 09995 09999 10000 00000 00001 00012 00064 00245 00717 01662 03145 05000 06855 08338 09283 09755 09936 09988 09999 10000 00000 00001 00005 00025 00106 00348 00919 01989 03595 05522 07361 08740 09536 09877 09979 09998 10000 00000 00001 00007 00032 00127 00403 01046 02248 04032 06113 07981 09226 09807 09977 10000 00000 00001 00005 00026 00109 00377 01057 02418 04511 06904 08818 09775 10000 00000 00001 00008 00047 00221 00826 02382 05182 08332 10000 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 01501 04503 07338 09018 09718 09936 09988 09998 10000 00180 00991 02713 05010 07164 08671 09487 09837 09957 09991 09998 10000 00056 00395 01353 03057 05187 07175 08610 09431 09807 09946 09988 09998 10000 00016 00142 00600 01646 03327 05344 07217 08593 09404 09790 09939 09986 09997 10000 00001 00013 00082 00328 00942 02088 03743 05634 07368 08653 09424 09797 09942 09987 09998 10000 00000 00001 00007 00038 00154 00481 01189 02403 04073 05927 07597 08811 09519 09846 09962 09993 09999 10000 00000 00002 00013 00058 00203 00576 01347 02632 04366 06257 07912 09058 09672 09918 09987 09999 10000 00000 00003 00014 00061 00210 00596 01407 02783 04656 06673 08354 09400 09858 09984 10000 00000 00002 00009 00043 00163 00513 01329 02836 04990 07287 09009 09820 10000 00000 00002 00012 00064 00282 00982 02662 05497 08499 10000 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 6 Tabela A1 continuação Soma das probabilidades binomiais r x 0 bx n p p n r 010 020 025 030 040 050 060 070 080 090 19 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 01351 04203 07054 08850 09648 09914 09983 09997 10000 00144 00829 02369 04551 06733 08369 09324 09767 09933 09984 09997 10000 00042 00310 01113 02631 04654 06678 08251 09225 09713 09911 09977 09995 09999 10000 00011 00104 00462 01332 02822 04739 06655 08180 09161 09674 09895 09972 09994 09999 10000 00001 00008 00055 00230 00696 01629 03081 04878 06675 08139 09115 09648 09884 09969 09994 09999 10000 00000 00004 00022 00096 00318 00835 01796 03238 05000 06762 08204 09165 09682 09904 09978 09996 10000 00000 00001 00006 00031 00116 00352 00885 01861 03325 05122 06919 08371 09304 09770 09945 09992 09999 10000 00000 00001 00006 00028 00105 00326 00839 01820 03345 05261 07178 08668 09538 09896 09989 10000 00000 00003 00016 00067 00233 00676 01631 03267 05449 07631 09171 09856 10000 00000 00003 00017 00086 00352 01150 02946 05797 08649 10000 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 01216 03917 06769 08670 09568 09887 09976 09996 09999 10000 00115 00692 02061 04114 06296 08042 09133 09679 09900 09974 09994 09999 10000 00032 00243 00913 02252 04148 06172 07858 08982 09591 09861 09961 09991 09998 10000 00008 00076 00355 01071 02375 04164 06080 07723 08867 09520 09829 09949 09987 09997 10000 00000 00005 00036 00160 00510 01256 02500 04159 05956 07553 08725 09435 09790 09935 09984 09997 10000 00000 00002 00013 00059 00207 00577 01316 02517 04119 05881 07483 08684 09423 09793 09941 09987 09998 10000 00000 00003 00016 00065 00210 00565 01275 02447 04044 05841 07500 08744 09490 09840 09964 09995 10000 00000 00003 00013 00051 00171 00480 01133 02277 03920 05836 07625 08929 09645 09924 09992 10000 00000 00001 00006 00026 00100 00321 00867 01958 03704 05886 07939 09308 09885 10000 00000 00001 00004 00024 00113 00432 01330 03231 06083 08784 10000 7 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A2 Soma das probabilidades de Poisson r x 0 px µ µ r 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 1 2 3 4 5 6 09048 09953 09998 10000 08187 09825 09989 09999 10000 07408 09631 09964 09997 10000 06703 09384 09921 09992 09999 10000 06065 09098 09856 09982 09998 10000 05488 08781 09769 09966 09996 10000 04966 08442 09659 09942 09992 09999 10000 04493 08088 09526 09909 09986 09998 10000 04066 07725 09371 09865 09977 09997 10000 µ r 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 1 2 3 4 5 03679 07358 09197 09810 09963 09994 02231 05578 08088 09344 09814 09955 01353 04060 06767 08571 09473 09834 00821 02873 05438 07576 08912 09580 00498 01991 04232 06472 08153 09161 00302 01359 03208 05366 07254 08576 00183 00916 02381 04335 06288 07851 00111 00611 01736 03423 05321 07029 00067 00404 01247 02650 04405 06160 6 7 8 9 10 09999 10000 09991 09998 10000 09955 09989 09998 10000 09858 09958 09989 09997 09999 09665 09881 09962 09989 09997 09347 09733 09901 09967 09990 08893 09489 09786 09919 09972 08311 09134 09597 09829 09933 07622 08666 09319 09682 09863 11 12 13 14 15 16 10000 09999 10000 09997 09999 10000 09991 09997 09999 10000 09976 09992 09997 09999 10000 09945 09980 09993 09998 09999 10000 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 8 Tabela A2 continuação Soma das probabilidades de Poisson r x 0 px µ µ r 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0 1 2 3 4 5 00041 00266 00884 02017 03575 05289 00025 00174 00620 01512 02851 04457 00015 00113 00430 01118 02237 03690 00009 00073 00296 00818 01730 03007 00006 00047 00203 00591 01321 02414 00003 00030 00138 00424 00996 01912 00002 00019 00093 00301 00744 01496 00001 00012 00062 00212 00550 01157 00001 00008 00042 00149 00403 00885 6 7 8 9 10 06860 08095 08944 09462 09747 06063 07440 08472 09161 09574 05265 06728 07916 08774 09332 04497 05987 07291 08305 09015 03782 05246 06620 07764 08622 03134 04530 05925 07166 08159 02562 03856 05231 06530 07634 02068 03239 04557 05874 07060 01649 02687 03918 05218 06453 11 12 13 14 15 09890 09955 09983 09994 09998 09799 09912 09964 09986 09995 09661 09840 09929 09970 09988 09467 09730 09872 09943 09976 09208 09573 09784 09897 09954 08881 09362 09658 09827 09918 08487 09091 09486 09726 09862 08030 08758 09261 09585 09780 07520 08364 08981 09400 09665 16 17 18 19 20 09999 10000 09998 09999 10000 09996 09998 09999 10000 09990 09996 09999 10000 09980 09992 09997 09999 09963 09984 09993 09997 09999 09934 09970 09987 09995 09998 09889 09947 09976 09989 09996 09823 09911 09957 09980 09991 21 22 23 24 10000 09999 10000 09998 09999 10000 09996 09999 09999 10000 9 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A2 continuação Soma das probabilidades de Poisson r x 0 px µ µ r 100 110 120 130 140 150 160 170 188 0 1 2 3 4 5 00000 00005 00028 00103 00293 00671 00000 00002 00012 00049 00151 00375 00000 00001 00005 00023 00076 00203 00000 00002 00011 00037 00107 00000 00001 00005 00018 00055 00000 00002 00009 00028 00000 00001 00004 00014 00000 00002 00007 00000 00001 00003 6 7 8 9 10 01301 02202 03328 04579 05830 00786 01432 02320 03405 04599 00458 00895 01550 02424 03472 00259 00540 00998 01658 02517 00142 00316 00621 01094 01757 00076 00180 00374 00699 01185 00040 00100 00220 00433 00774 00021 00054 00126 00261 00491 00010 00029 00071 00154 00304 11 12 13 14 15 06968 07916 08645 09165 09513 05793 06887 07813 08540 09074 04616 05760 06815 07720 08444 03532 04631 05730 06751 07636 02600 03585 04644 05704 06694 01848 02676 03632 04657 05681 01270 01931 02745 03675 04667 00847 01350 02009 02808 03715 00549 00917 01426 02081 02867 16 17 18 19 20 09730 09857 09928 09965 09984 09441 09678 09823 09907 09953 08987 09370 09626 09787 09884 08355 08905 09302 09573 09750 07559 08272 08826 09235 09521 06641 07489 08195 08752 09170 05660 06593 07423 08122 08682 04677 05640 06550 07363 08055 03751 04686 05622 06509 07307 21 22 23 24 25 09993 09997 09999 10000 09977 09990 09995 09998 09999 09939 09970 09985 09993 09997 09859 09924 09960 09980 09990 09712 09833 09907 09950 09974 09469 09673 09805 09888 09938 09108 09418 09633 09777 09869 08615 09047 09367 09594 09748 07991 08551 08989 09317 09554 26 27 28 29 30 10000 09999 09999 10000 09995 09998 09999 10000 09987 09994 09997 09999 09999 09967 09983 09991 09996 09998 09925 09959 09978 09989 09994 09848 09912 09950 09973 09986 09718 09827 09897 09941 09967 31 32 33 34 35 10000 09999 10000 09997 09999 09999 10000 09993 09996 09998 09999 10000 09982 09990 09995 09998 09999 36 37 09999 10000 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 10 Tabela A3 Áreas sob a curva normal 0 z Área z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 34 33 32 31 30 00003 00005 00007 00010 00013 00003 00005 00007 00009 00013 00003 00005 00006 00009 00013 00003 00004 00006 00009 00012 00003 00004 00006 00008 00012 00003 00004 00006 00008 00011 00003 00004 00006 00008 00011 00003 00004 00005 00008 00011 00003 00004 00005 00007 00010 00002 00003 00005 00007 00010 29 28 27 26 25 00019 00026 00035 00047 00062 00018 00025 00034 00045 00060 00018 00024 00033 00044 00059 00017 00023 00032 00043 00057 00016 00023 00031 00041 00055 00016 00022 00030 00040 00054 00015 00021 00029 00039 00052 00015 00021 00028 00038 00051 00014 00020 00027 00037 00049 00014 00019 00026 00036 00048 24 23 22 21 20 00082 00107 00139 00179 00228 00080 00104 00136 00174 00222 00078 00102 00132 00170 00217 00075 00099 00129 00166 00212 00073 00096 00125 00162 00207 00071 00094 00122 00158 00202 00069 00091 00119 00154 00197 00068 00089 00116 00150 00192 00066 00087 00113 00146 00188 00064 00084 00110 00143 00183 19 18 17 16 15 00287 00359 00446 00548 00668 00281 00351 00436 00537 00655 00274 00344 00427 00526 00643 00268 00336 00418 00516 00630 00262 00329 00409 00505 00618 00256 00322 00401 00495 00606 00250 00314 00392 00485 00594 00244 00307 00384 00475 00582 00239 00301 00375 00465 00571 00233 00294 00367 00455 00559 14 13 12 11 10 00808 00968 01151 01357 01587 00793 00951 01131 01335 01562 00778 00934 01112 01314 01539 00764 00918 01093 01292 01515 00749 00901 01075 01271 01492 00735 00885 01056 01251 01469 00721 00869 01038 01230 01446 00708 00853 01020 01210 01423 00694 00838 01003 01190 01401 00681 00823 00985 01170 01379 09 08 07 06 05 01841 02119 02420 02743 03085 01814 02090 02389 02709 03050 01788 02061 02358 02676 03015 01762 02033 02327 02643 02981 01736 02005 02296 02611 02946 01711 01977 02266 02578 02912 01685 01949 02236 02546 02877 01660 01922 02206 02514 02843 01635 01894 02177 02483 02810 01611 01867 02148 02451 02776 04 03 02 01 00 03446 03821 04207 04602 05000 03409 03783 04168 04562 04960 03372 03745 04129 04522 04920 03336 03707 04090 04483 04880 03300 03669 04052 04443 04840 03264 03632 04013 04404 04801 03228 03594 03974 04364 04761 03192 03557 03936 04325 04721 03156 03520 03897 04286 04681 03121 03483 03859 04247 04641 11 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A3 continuação Área sob a curva normal z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 00 01 02 03 04 05000 05398 05793 06179 06554 05040 05438 05832 06217 06591 05080 05478 05871 06255 06628 05120 05517 05910 06293 06664 05160 05557 05948 06331 06700 05199 05596 05987 06368 06736 05239 05636 06026 06406 06772 05279 05675 06064 06443 06808 05319 05714 06103 06480 06844 05359 05753 06141 06517 06879 05 06 07 08 09 06915 07257 07580 07881 08159 06950 07291 07611 07910 08186 06985 07324 07642 07939 08212 07019 07357 07673 07967 08238 07054 07389 07704 07995 08264 07088 07422 07734 08023 08289 07123 07454 07764 08051 08315 07157 07486 07794 08078 08340 07190 07517 07823 08106 08365 07224 07549 07852 08133 08389 10 11 12 13 14 08413 08643 08849 09032 09192 08438 08665 08869 09049 09207 08461 08686 08888 09066 09222 08485 08708 08907 09082 09236 08508 08729 08925 09099 09251 08531 08749 08944 09115 09265 08554 08770 08962 09131 09279 08577 08790 08980 09147 09292 08599 08810 08997 09162 09306 08621 08830 09015 09177 09319 15 16 17 18 19 09332 09452 09554 09641 09713 09345 09463 09564 09649 09719 09357 09474 09573 09656 09726 09370 09484 09582 09664 09732 09382 09495 09591 09671 09738 09394 09505 09599 09678 09744 09406 09515 09608 09686 09750 09418 09525 09616 09693 09756 09429 09535 09625 09699 09761 09441 09545 09633 09706 09767 20 21 22 23 24 09772 09821 09861 09893 09918 09778 09826 09864 09896 09920 09783 09830 09868 09898 09922 09788 09834 09871 09901 09925 09793 09838 09875 09904 09927 09798 09842 09878 09906 09929 09803 09846 09881 09909 09931 09808 09850 09884 09911 09932 09812 09854 09887 09913 09934 09817 09857 09890 09916 09936 25 26 27 28 29 09938 09953 09965 09974 09981 09940 09955 09966 09975 09982 09941 09956 09967 09976 09982 09943 09957 09968 09977 09983 09945 09959 09969 09977 09984 09946 09960 09970 09978 09984 09948 09961 09971 09979 09985 09949 09962 09972 09979 09985 09951 09963 09973 09980 09986 09952 09964 09974 09981 09986 30 31 32 33 34 09987 09990 09993 09995 09997 09987 09991 09993 09995 09997 09987 09991 09994 09995 09997 09988 09991 09994 09996 09997 09988 09992 09994 09996 09997 09989 09992 09994 09996 09997 09989 09992 09994 09996 09997 09989 09992 09995 09996 09997 09990 09993 09995 09996 09997 09990 09993 09995 09997 09998 Tabela A4 Valores críticos da distribuição t v 040 030 020 015 010 005 0025 1 0325 0727 1376 1963 3078 6314 12706 2 0289 0617 1061 1386 1886 2920 4303 3 0277 0584 0978 1250 1638 2353 3182 4 0271 0569 0941 1190 1533 2132 2776 5 0267 0559 0920 1156 1476 2015 2571 6 0265 0553 0906 1134 1440 1943 2447 7 0263 0549 0896 1119 1415 1895 2365 8 0262 0546 0889 1108 1397 1860 2306 9 0261 0543 0883 1100 1383 1833 2262 10 0260 0542 0879 1093 1372 1812 2228 11 0260 0540 0876 1088 1363 1796 2201 12 0259 0539 0873 1083 1356 1782 2179 13 0259 0538 0870 1079 1350 1771 2160 14 0258 0537 0868 1076 1345 1761 2145 15 0258 0536 0866 1074 1341 1753 2131 16 0258 0535 0865 1071 1337 1746 2120 17 0257 0534 0863 1069 1333 1740 2110 18 0257 0534 0862 1067 1330 1734 2101 19 0257 0533 0861 1066 1328 1729 2093 20 0257 0533 0860 1064 1325 1725 2086 21 0257 0532 0859 1063 1323 1721 2080 22 0256 0532 0858 1061 1321 1717 2074 23 0256 0532 0858 1060 1319 1714 2069 24 0256 0531 0857 1059 1318 1711 2064 25 0256 0531 0856 1058 1316 1708 2060 26 0256 0531 0856 1058 1315 1706 2056 27 0256 0531 0855 1057 1314 1703 2052 28 0256 0530 0855 1056 1313 1701 2048 29 0256 0530 0854 1055 1311 1699 2045 30 0256 0530 0854 1055 1310 1697 2042 40 0255 0529 0851 1050 1303 1684 2021 60 0254 0527 0848 1045 1296 1671 2000 120 0254 0526 0845 1041 1289 1658 1980 0253 0524 0842 1036 1282 1645 1960 13 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A4 continuação Valores críticos da distribuição t a v 002 0015 001 00075 0005 00025 00005 1 2 3 4 5 15894 4849 3482 2999 2757 21205 5643 3896 3298 3003 31821 6965 4541 3747 3365 42433 8073 5047 4088 3634 63656 9925 5841 4604 4032 127321 14089 7453 5598 4773 636578 31600 12924 8610 6869 6 7 8 9 10 2612 2517 2449 2398 2359 2829 2715 2634 2574 2527 3143 2998 2896 2821 2764 3372 3203 3085 2998 2932 3707 3499 3355 3250 3169 4317 4029 3833 3690 3581 5959 5408 5041 4781 4587 11 12 13 14 15 2328 2303 2282 2264 2249 2491 2461 2436 2415 2397 2718 2681 2650 2624 2602 2879 2836 2801 2771 2746 3106 3055 3012 2977 2947 3497 3428 3372 3326 3286 4437 4318 4221 4140 4073 16 17 18 19 20 2235 2224 2214 2205 2197 2382 2368 2356 2346 2336 2583 2567 2552 2539 2528 2724 2706 2689 2674 2661 2921 2898 2878 2861 2845 3252 3222 3197 3174 3153 4015 3965 3922 3883 3850 21 22 23 24 25 2189 2183 2177 2172 2167 2328 2320 2313 2307 2301 2518 2508 2500 2492 2485 2649 2639 2629 2620 2612 2831 2819 2807 2797 2787 3135 3119 3104 3091 3078 3819 3792 3768 3745 3725 26 27 28 29 30 2162 2158 2154 2150 2147 2296 2291 2286 2282 2278 2479 2473 2467 2462 2457 2605 2598 2592 2586 2581 2779 2771 2763 2756 2750 3067 3057 3047 3038 3030 3707 3689 3674 3660 3646 40 60 120 2123 2099 2076 2054 2250 2223 2196 2170 2423 2390 2358 2326 2542 2504 2468 2432 2704 2660 2617 2576 2971 2915 2860 2807 3551 3460 3373 3290 Tabela A5 Valores críticos da distribuição quiquadrado v 0995 099 098 0975 095 090 080 075 070 050 1 004393 003157 003628 003982 000393 00158 00642 0102 0148 0455 2 00100 00201 00404 00506 0103 0211 0446 0575 0713 1386 3 00717 0115 0185 0216 0352 0584 1005 1213 1424 2366 4 0207 0297 0429 0484 0711 1064 1649 1923 2195 3357 5 0412 0554 0752 0831 1145 1610 2343 2675 3000 4351 6 0676 0872 1134 1237 1635 2204 3070 3455 3828 5348 7 0989 1239 1564 1690 2167 2833 3822 4255 4671 6346 8 1344 1647 2032 2180 2733 3490 4594 5071 5527 7344 9 1735 2088 2532 2700 3325 4168 5380 5899 6393 8343 10 2156 2558 3059 3247 3940 4865 6179 6737 7267 9342 11 2603 3053 3609 3816 4575 5578 6989 7584 8148 10341 12 3074 3571 4178 4404 5220 6304 7807 8438 9034 11340 13 3565 4107 4765 5009 5892 7041 8634 9299 9926 12340 14 4075 4660 5368 5629 6571 7790 9467 10165 10821 13339 15 4601 5229 5985 6262 7261 8547 10307 11037 11721 14339 16 5142 5812 6614 6908 7962 9312 11152 11912 12624 15338 17 5697 6408 7255 7564 8672 10085 12002 12792 13531 16338 18 6265 7015 7906 8231 9390 10865 12857 13675 14440 17338 19 6844 7633 8567 8907 10117 11651 13716 14562 15352 18338 20 7434 8260 9237 9591 10851 12443 14578 15452 16266 19337 21 8034 8897 9915 10283 11591 13240 15445 16344 17182 20337 22 8643 9542 10600 10982 12338 14041 16314 17240 18101 21337 23 9260 10196 11293 11689 13091 14848 17187 18137 19021 22337 24 9886 10856 11992 12401 13848 15659 18062 19037 19943 23337 25 10520 11524 12697 13120 14611 16473 18940 19939 20867 24337 26 11160 12198 13409 13844 15379 17292 19820 20843 21792 25336 27 11808 12878 14125 14573 16151 18114 20703 21749 22719 26336 28 12461 13565 14847 15308 16928 18939 21588 22657 23647 27336 29 13121 14256 15574 16047 17708 19768 22475 23567 24577 28336 30 13787 14953 16306 16791 18493 20599 23364 24478 25508 29336 40 20707 22164 23838 24433 26509 29051 32345 3366 34872 39335 50 27991 29707 31664 32357 34764 37689 41449 42942 44313 49335 60 35534 37485 39699 40482 43188 46459 50641 52294 53809 59335 15 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A5 continuação Valores críticos da distribuição quiquadrado a v 030 025 020 010 005 0025 002 001 0005 0001 1 2 3 4 5 1074 2408 3665 4878 6064 1323 2773 4108 5385 6626 1642 3219 4642 5989 7289 2706 4605 6251 7779 9236 3841 5991 7815 9488 11070 5024 7378 9348 11143 12832 5412 7824 9837 11668 13388 6635 9210 11345 13277 15086 7879 10597 12838 14860 16750 10827 13815 16266 18466 20515 6 7 8 9 10 7231 8383 9524 10656 11781 7841 9037 10219 11389 12549 8558 9803 11030 12242 13442 10645 12017 13362 14684 15987 12592 14067 15507 16919 18307 14449 16013 17535 19023 20483 15033 16622 18168 19679 21161 16812 18475 20090 21666 23209 18548 20278 21955 23589 25188 22457 24321 26124 27877 29588 11 12 13 14 15 12899 14011 15119 16222 17322 13701 14845 15984 17117 18245 14631 15812 16985 18151 19311 17275 18549 19812 21064 22307 19675 21026 22362 23685 24996 21920 23337 24736 26119 27488 22618 24054 25471 26873 28259 24725 26217 27688 29141 30578 26757 28300 29819 31319 32801 31264 32909 34527 36124 37698 16 17 18 19 20 18418 19511 20601 21689 22775 19369 20489 21605 22718 23828 20465 21615 22760 23900 25038 23542 24769 25989 27204 28412 26296 27587 28869 30144 31410 28845 30191 31526 32852 34170 29633 30995 32346 33687 35020 32000 33409 34805 36191 37566 34267 35718 37156 38582 39997 39252 40791 42312 43819 45314 21 22 23 24 25 23858 24939 26018 27096 28172 24935 26039 27141 28241 29339 26171 27301 28429 29553 30675 29615 30813 32007 33196 34382 32671 33924 35172 36415 37652 35479 36781 38076 39364 40646 36343 37659 38968 40270 41566 38932 40289 41638 42980 44314 41401 42796 44181 45558 46928 46796 48268 49728 51179 52619 26 27 28 29 30 29246 30319 31391 32461 33530 30435 31528 32620 33711 34800 31795 32912 34027 35139 36250 35563 36741 37916 39087 40256 38885 40113 41337 42557 43773 41923 43195 44461 45722 46979 42856 44140 45419 46693 47962 45642 46963 48278 49588 50892 48290 49645 50994 52335 53672 54051 55475 56892 58301 59702 40 50 60 44165 54723 65226 45616 56334 66981 47269 58164 68972 51805 63167 74397 55758 67505 79082 59342 71420 83298 60436 72613 8458 63691 76154 88379 66766 79490 91952 73403 86660 99608 Tabela A6 Valores críticos da distribuição F v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 16145 19950 21571 22458 23016 23399 23677 23888 24054 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1938 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 881 4 771 694 659 639 626 616 609 604 600 5 661 579 541 519 505 495 488 482 477 6 599 514 476 453 439 428 421 415 410 7 559 474 435 412 397 387 379 373 368 8 532 446 407 384 369 358 350 344 339 9 512 426 386 363 348 337 329 323 318 10 496 410 371 348 333 322 314 307 302 11 484 398 359 336 320 309 301 295 290 12 475 389 349 326 311 300 291 285 280 13 467 381 341 318 303 292 283 277 271 14 460 374 334 311 296 285 276 270 265 15 454 368 329 306 290 279 271 264 259 16 449 363 324 301 285 274 266 259 254 17 445 359 320 296 281 270 261 255 249 18 441 355 316 293 277 266 258 251 246 19 438 352 313 290 274 263 254 248 242 20 435 349 310 287 271 260 251 245 239 21 432 347 307 284 268 257 249 242 237 22 430 344 305 282 266 255 246 240 234 23 428 342 303 280 264 253 244 237 232 24 426 340 301 278 262 251 242 236 230 25 424 339 299 276 260 249 240 234 228 26 423 337 298 274 259 247 239 232 227 27 421 335 296 273 257 246 237 231 225 28 420 334 295 271 256 245 236 229 224 29 418 333 293 270 255 243 235 228 222 30 417 332 292 269 253 242 233 227 221 40 408 323 284 261 245 234 225 218 212 60 400 315 276 253 237 225 217 210 204 120 392 307 268 245 229 218 209 202 196 384 300 260 237 221 210 201 194 188 Reproduzida com base na Tabela 18 de Biometrika Tables for Statisticians vol I com permissão de ES Pearson e Biometrika Trustees 17 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A6 continuação Valores críticos da distribuição F f 005v1 v2 v2 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1 2 3 4 5 24188 1940 879 596 474 24391 1941 874 591 468 24595 1943 870 586 462 24801 1945 866 580 456 24905 1945 864 577 453 25010 1946 862 575 450 25114 1947 859 572 446 25220 1948 857 569 443 25325 1949 855 566 440 25431 1950 853 563 436 6 7 8 9 10 406 364 335 314 298 400 357 328 307 291 394 351 322 301 285 387 344 315 294 277 384 341 312 290 274 381 338 308 286 270 377 334 304 283 266 374 330 301 279 262 370 327 297 275 258 367 323 293 271 254 11 12 13 14 15 285 275 267 260 254 279 269 260 253 248 272 262 253 246 240 265 254 246 239 233 261 251 242 235 229 257 247 238 231 225 253 243 234 227 220 249 238 230 222 216 245 234 225 218 211 240 230 221 213 207 16 17 18 19 20 249 245 241 238 235 242 238 234 231 228 235 231 227 223 220 228 223 219 216 212 224 219 215 211 208 219 215 211 207 204 215 210 206 203 199 211 206 202 198 195 206 201 197 193 190 201 196 192 188 184 21 22 23 24 25 232 230 227 225 224 225 223 220 218 216 218 215 213 211 209 210 207 205 203 201 205 203 201 198 196 201 198 196 194 192 196 194 191 189 187 192 189 186 184 182 187 184 181 179 177 181 178 176 173 171 26 27 28 29 30 222 220 219 218 216 215 213 212 210 209 207 206 204 203 201 199 197 196 194 193 195 193 191 190 189 190 188 187 185 184 185 184 182 181 179 180 179 177 175 174 175 173 171 170 168 169 167 165 164 162 40 60 120 208 199 191 183 200 192 183 175 192 184 175 167 184 175 166 157 179 170 161 152 174 165 155 146 169 159 150 139 164 153 143 132 158 147 135 122 151 139 125 100 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 18 Tabela A6 continuação Valores críticos da distribuição F f 001v1 v2 v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 405218 9850 3412 2120 1626 499950 9900 3082 1800 1327 540335 9917 2946 1669 1206 562458 9925 2871 1598 1139 576365 9930 2824 1552 1097 585899 9933 2791 1521 1067 592836 9936 2767 1498 1046 598107 9937 2749 1480 1029 602247 9939 2735 1466 1016 6 7 8 9 10 1375 1225 1126 1056 1004 1092 955 865 802 756 978 845 759 699 655 915 785 701 642 599 875 746 663 606 564 847 719 637 580 539 826 699 618 561 520 810 684 603 547 506 798 672 591 535 494 11 12 13 14 15 965 933 907 886 868 721 693 670 651 636 622 595 574 556 542 567 541 521 504 489 532 506 486 469 456 507 482 462 446 432 489 464 444 428 414 474 450 430 414 400 463 439 419 403 389 16 17 18 19 20 853 840 829 818 810 623 611 601 593 585 529 518 509 501 494 477 467 458 450 443 444 434 425 417 410 420 410 401 394 387 403 393 384 377 370 389 379 371 363 356 378 368 360 352 346 21 22 23 24 25 802 795 788 782 777 578 572 566 561 557 487 482 476 472 468 437 431 426 422 418 404 399 394 390 385 381 376 371 367 363 364 359 354 350 346 351 345 341 336 332 340 335 330 326 322 26 27 28 29 30 772 768 764 760 756 553 549 545 542 539 464 460 457 454 451 414 411 407 404 402 382 378 375 373 370 359 356 353 350 347 342 339 336 333 330 329 326 323 320 317 318 315 312 309 307 40 60 120 731 708 685 663 518 498 479 461 431 413 395 378 383 365 348 332 351 334 317 302 329 312 296 280 312 295 279 264 299 282 266 251 289 272 256 241 19 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A6 continuação Valores críticos da distribuição F f 001v1 v2 v2 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1 2 3 4 5 605585 9940 2723 1455 1005 610632 9942 2705 1437 989 615728 9943 2687 1420 972 620873 9945 2669 1402 955 623463 9946 2660 1393 947 626065 9947 2650 1384 938 628678 9947 2641 1375 929 631303 9948 2632 1365 920 633939 9949 2622 1356 911 636586 9950 2613 1346 902 6 7 8 9 10 787 662 581 526 485 772 647 567 511 471 756 631 552 496 456 740 616 536 481 441 731 607 528 473 433 723 599 520 465 425 714 591 512 457 417 706 582 503 448 408 697 574 495 440 400 688 565 486 431 391 11 12 13 14 15 454 430 410 394 380 440 416 396 380 367 425 401 382 366 352 410 386 366 351 337 402 378 359 343 329 394 370 351 335 321 386 362 343 327 313 378 354 334 318 305 369 345 325 309 296 360 336 317 300 287 16 17 18 19 20 369 359 351 343 337 355 346 337 330 323 341 331 323 315 309 326 316 308 300 294 318 308 300 292 286 310 300 292 284 278 302 292 284 276 269 293 283 275 267 261 284 275 266 258 252 275 265 257 249 242 21 22 23 24 25 331 326 321 317 313 317 312 307 303 299 303 298 293 289 285 288 283 278 274 270 280 275 270 266 262 272 267 262 258 254 264 258 254 249 245 255 250 245 240 236 246 240 235 231 227 236 231 226 221 217 26 27 28 29 30 309 306 303 300 298 296 293 290 287 284 281 278 275 273 270 266 263 260 257 255 258 255 252 249 247 250 247 244 241 239 242 238 235 233 230 233 229 226 223 221 223 220 217 214 211 213 210 206 203 201 40 60 120 280 263 247 232 266 250 234 218 252 235 219 204 237 220 203 188 229 212 195 179 220 203 186 170 211 194 176 159 202 184 166 147 192 173 153 132 180 160 138 100 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 20 Tabela A7 Fatores de tolerância para distribuições normais n Intervalos bilaterais Intervalos unilaterais g 005 g 001 g 005 g 001 1 a 1 a 1 a 1 a 090 095 099 090 095 099 090 095 099 090 095 099 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 250 300 32019 8380 5369 4275 3712 3369 3136 2967 2839 2737 2655 2587 2529 2480 2437 2400 2366 2337 2310 2208 2140 2090 2052 2021 1996 1958 1929 1907 1889 1874 1825 1798 1780 1767 1645 37674 9916 6370 5079 4414 4007 3732 3532 3379 3259 3162 3081 3012 2954 2903 2858 2819 2784 2752 2631 2549 2490 2445 2408 2379 2333 2299 2272 2251 2233 2175 2143 2121 2106 1960 48430 12861 8299 6634 5775 5248 4891 4631 4433 4277 4150 4044 3955 3878 3812 3754 3702 3656 3615 3457 3350 3272 3213 3165 3126 3066 3021 2986 2958 2934 2859 2816 2788 2767 2576 160193 18930 9398 6612 5337 4613 4147 3822 3582 3397 3250 3130 3029 2945 2872 2808 2753 2703 2659 2494 2385 2306 2247 2200 2162 2103 2060 2026 1999 1977 1905 1865 1839 1820 1645 188491 22401 11150 7855 6345 5488 4936 4550 4265 4045 3870 3727 3608 3507 3421 3345 3279 3221 3168 2972 2841 2748 2677 2621 2576 2506 2454 2414 2382 2355 2270 2222 2191 2169 1960 242300 29055 14527 10260 8301 7187 6468 5966 5594 5308 5079 4893 4737 4605 4492 4393 4307 4230 4161 3904 3733 3611 3518 3444 3385 3293 3225 3173 3130 3096 2983 2921 2880 2850 2576 20581 6156 4162 3407 3006 2756 2582 2454 2355 2275 2210 2155 2109 2068 2033 2002 1974 1949 1926 1838 1777 1732 1697 1669 1646 1609 1581 1559 1542 1527 1478 1450 1431 1417 1282 26260 7656 5144 4203 3708 3400 3187 3031 2911 2815 2736 2671 2615 2566 2524 2486 2453 2423 2396 2292 2220 2167 2126 2092 2065 2022 1990 1965 1944 1927 1870 1837 1815 1800 1645 37094 10553 7042 5741 5062 4642 4354 4143 3981 3852 3747 3659 3585 3520 3464 3414 3370 3331 3295 3158 3064 2995 2941 2898 2863 2807 2765 2733 2706 2684 2611 2570 2542 2522 2326 103029 13995 7380 5362 4411 3859 3497 3241 3048 2898 2777 2677 2593 2522 2460 2405 2357 2314 2276 2129 2030 1957 1902 1857 1821 1764 1722 1688 1661 1639 1566 1524 1496 1476 1282 131426 17170 9083 6578 5406 4728 4285 3972 3738 3556 3410 3290 1189 3102 3028 2963 2905 2854 2808 2633 2516 2430 2364 2312 2269 2202 2153 2114 2082 2056 1971 1923 1891 1868 1645 185617 23896 12387 8939 7335 6412 5812 5389 5074 4829 4633 4472 4337 4222 4123 4037 3960 3892 1832 3001 3447 3334 3249 3180 3125 3038 2974 2924 2883 2850 2741 2679 2638 2608 2326 Adaptado de C Eisenhart MW Hastay e WA Wallis Techiniques of Statistical Analysis Capítulo 2 Nova York McGrawHill 1947 Usado com permissão da editora McGrawHill 21 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A8 Tamanhos de amostras para o teste t da média Teste unilateral Teste bilateral b 01 Nível do teste t a 0005 a 001 a 001 a 002 a 0025 a 005 a 005 a 01 01 05 1 2 5 01 05 1 2 5 01 05 1 2 5 01 05 1 2 5 Valor de D d s 005 010 015 020 025 110 139 90 128 99 64 139 101 122 70 45 030 035 040 045 050 100 115 92 75 125 97 77 63 134 99 77 62 51 78 58 45 37 30 110 90 101 81 66 109 85 68 55 115 85 68 55 46 63 47 37 30 25 117 93 76 109 84 67 54 119 88 68 54 44 90 67 51 41 34 45 34 26 21 18 101 80 65 122 90 70 55 45 97 72 55 44 36 71 52 40 33 27 32 24 19 15 13 055 060 065 070 075 83 71 61 53 47 63 53 46 40 36 53 45 39 34 30 42 36 31 28 25 26 22 20 17 16 75 63 55 47 42 55 47 41 35 31 46 39 34 30 27 39 347 30 27 24 21 18 16 14 13 63 53 46 40 35 45 38 33 29 26 37 32 27 24 21 28 24 21 19 16 15 13 12 10 9 54 46 39 34 30 38 32 28 24 21 30 26 22 19 17 22 19 17 15 13 11 9 8 8 7 080 085 090 095 100 41 37 34 31 28 32 29 26 24 22 27 24 22 20 19 22 20 18 17 16 14 13 12 11 10 37 33 29 27 25 28 25 23 21 19 24 21 19 18 16 21 19 18 16 14 12 11 10 9 9 31 28 25 23 21 22 21 19 17 16 19 17 16 14 13 15 13 12 11 10 9 8 7 7 6 27 24 21 19 18 19 17 15 14 13 15 14 13 11 11 12 11 10 9 8 6 6 5 5 5 11 12 13 14 15 24 21 18 16 15 19 16 15 13 12 16 14 13 12 11 14 12 11 10 9 9 8 8 7 7 21 18 16 14 13 16 14 13 11 10 14 12 11 10 9 12 11 10 9 9 8 7 6 6 6 18 15 12 11 13 12 14 9 8 11 10 10 8 7 9 8 9 7 6 6 5 7 10 15 13 11 8 9 11 10 8 7 7 9 8 77 5 6 7 6 6 16 17 18 19 20 13 12 12 11 10 11 10 10 9 8 10 9 9 8 8 8 8 8 7 7 6 6 6 6 5 12 10 11 10 10 9 9 9 8 8 7 9 8 8 7 7 5 7 7 6 6 10 9 8 7 8 8 7 7 6 7 6 6 6 5 6 6 5 8 8 6 6 7 7 6 5 6 5 6 21 22 23 24 25 10 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 7 6 6 6 6 8 8 7 7 8 7 7 7 8 7 7 6 6 5 6 6 6 7 7 6 6 6 5 6 6 6 6 5 30 35 40 7 6 6 6 5 5 5 6 6 5 5 5 Reproduzida com permissão de OL Davies ed Design and Analysis of Industrial Experiments Edimburgo Oliver Boyd 1956 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 22 Tabela A9 Tamanhos de amostra para o teste t da diferença entre duas médias Teste unilateral Teste bilateral b 01 Nível do teste t a 0005 a 001 a 001 a 002 a 0025 a 005 a 005 a 01 01 05 1 2 5 01 05 1 2 5 01 05 1 2 5 01 05 1 2 5 Valor de D d s 005 010 015 020 025 124 137 88 030 035 040 045 050 118 96 110 85 68 55 106 101 82 123 90 70 55 45 106 105 86 100 79 64 87 64 50 39 32 108 88 108 86 70 102 78 62 51 61 45 35 28 23 055 060 065 070 075 100 88 101 87 75 66 101 85 73 63 55 79 67 57 50 44 46 39 34 29 26 104 90 79 106 90 77 66 58 88 74 64 55 48 68 58 79 73 38 38 32 27 24 21 104 88 76 67 87 74 63 55 48 71 60 51 44 39 53 45 39 34 29 27 23 10 17 15 112 89 76 66 57 73 61 52 45 40 58 49 42 36 32 42 36 30 26 23 19 16 14 12 11 080 085 090 095 100 77 69 62 55 50 58 51 46 42 38 49 43 39 35 32 39 35 31 28 26 23 21 19 17 15 70 62 55 50 45 51 46 41 37 33 43 38 34 31 28 33 30 27 24 22 19 17 15 14 13 59 52 47 42 38 42 37 34 30 27 34 31 27 25 23 26 23 21 19 17 14 12 11 10 9 50 45 40 36 33 35 31 28 25 23 28 25 22 20 18 21 18 16 15 14 10 9 8 7 7 11 12 13 14 15 42 36 31 27 24 32 27 23 20 18 27 23 20 17 15 22 18 16 14 13 13 11 10 9 8 38 32 28 24 21 28 24 21 18 16 23 20 17 15 14 19 16 14 12 11 11 9 8 8 7 32 27 23 20 18 23 20 17 15 13 19 16 14 12 11 14 12 11 10 9 8 7 6 6 5 27 23 20 17 15 19 16 14 12 11 15 13 11 10 9 12 10 9 8 7 6 5 5 4 4 16 17 18 19 20 21 19 17 16 14 16 15 13 12 11 14 13 71 11 10 11 10 10 9 8 7 7 6 6 6 19 17 15 14 13 14 13 12 11 10 12 11 10 9 9 10 9 8 8 7 6 6 5 5 5 16 14 13 12 11 12 11 10 9 8 10 9 8 7 7 8 7 6 6 6 5 4 4 4 4 12 14 11 12 9 10 9 8 7 7 8 7 7 6 6 6 6 5 5 4 4 3 21 22 23 24 25 13 12 11 11 10 10 10 9 9 8 9 8 8 8 7 8 7 7 6 6 5 5 5 5 4 12 11 10 10 9 9 9 8 8 7 8 7 7 7 6 7 6 6 6 5 5 4 4 48 4 10 9 9 6 8 8 7 7 5 6 6 6 6 4 5 5 5 5 4 3 7 8 8 7 5 6 6 6 5 4 6 5 5 5 4 4 4 4 4 3 30 35 40 8 6 6 6 5 5 6 5 4 5 4 4 4 3 7 6 5 6 5 4 5 4 4 4 4 3 6 5 4 6 4 4 5 4 3 4 3 4 4 4 5 3 4 3 Reproduzida com permissão de OL Davies ed Design and Analysis of Industrial Experiments Edimburgo Oliver Boyd 1956 23 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A10 Valores críticos para o teste de Bartlett bk001n Número de populações k n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 01411 02843 03984 01672 03165 04304 03475 04607 03729 04850 03937 05046 04110 05207 05343 05458 05558 6 7 8 9 10 04850 05512 06031 06445 06783 05149 05787 06282 06676 06996 05430 06045 06518 06892 07195 05653 06248 06704 07062 07352 05832 06410 06851 07197 07475 05978 06542 06970 07305 07575 06100 06652 07069 07395 07657 06204 06744 07153 07471 07726 06293 06824 07225 07536 07786 11 12 13 14 15 07063 07299 07501 07674 07825 07260 07483 07672 07835 07977 07445 07654 07832 07985 08118 07590 07789 07958 08103 08229 07703 07894 08056 08195 08315 07795 07980 08135 08269 08385 07871 08050 08201 08330 08443 07935 08109 08256 08382 08491 07990 08160 08303 08426 08532 16 17 18 19 20 07958 08076 08181 08275 08360 08101 08211 08309 08397 08476 08235 08338 08429 08512 08586 08339 08436 08523 08601 08671 08421 08514 08596 08670 08737 08486 08576 08655 08727 08791 08541 08627 08704 08773 08835 08586 08670 08745 08811 08871 08625 08707 08780 08845 08903 21 22 23 24 25 08437 08507 08571 08630 08684 08548 08614 08673 08728 08779 08653 08714 08769 08820 08867 08734 08791 08844 08892 08936 08797 08852 08902 08948 08990 08848 08901 08949 08993 09034 08890 08941 08988 09030 09069 08926 08975 09020 09061 09099 08956 09004 09047 09087 09124 26 27 28 29 30 08734 08781 08824 08864 08902 08825 08869 08909 08946 08981 08911 08951 08988 09023 09056 08977 09015 09050 09083 09114 09029 09065 09099 09130 09159 09071 09105 09138 09167 09195 09105 09138 09169 09198 09225 09134 09166 09196 09224 09250 09158 09190 09219 09246 09271 40 50 60 80 100 09175 09339 09449 09586 09669 09235 09387 09489 09617 09693 09291 09433 09527 09646 09716 09335 09468 09557 09668 09734 09370 09496 09580 09685 09748 09397 09518 09599 09699 09759 09420 09536 09614 09711 09769 09439 09551 09626 09720 09776 09455 09564 09637 09728 09783 Reproduzido de D D Dyer e J Keating On the Determination of Critical Values for Barttlets Test J Am Stat Assoc 75 1980 com permissão da Diretoria Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 24 Tabela A10 Valores críticos para o teste de Bartlett bk001n Número de populações k n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 03123 04780 05845 03058 04699 05762 03173 04803 05850 03299 04921 05952 05028 06045 05122 06126 05204 06197 05277 06260 05341 06315 6 7 8 9 10 06563 07075 07456 07751 07984 06483 07000 07387 07686 07924 06559 07065 07444 07737 07970 06646 07142 07512 07798 08025 06727 07213 07574 07854 08076 06798 07275 07629 07903 08121 06860 07329 07677 07946 08160 06914 07376 07719 07984 08194 06961 07418 07757 08017 08224 11 12 13 14 15 08175 08332 08465 08578 08676 08118 08280 08415 08532 08632 08160 08317 08450 08564 08662 08210 08364 08493 08604 08699 08257 08407 08533 08641 08734 08298 08444 08568 08673 08764 08333 08477 08598 08701 08790 08365 08506 08625 08726 08814 08392 08531 08648 08748 08834 16 17 18 19 20 08761 08836 08902 08961 09015 08719 08796 08865 08926 08980 08747 08823 08890 08949 09003 08782 08856 08921 08979 09031 08815 08886 08949 09006 09057 08843 08913 08975 09030 09080 08868 08936 08997 09051 09100 08890 08957 09016 09069 09117 08909 08975 09033 09086 09132 21 22 23 24 25 09063 09106 09146 09182 09216 09030 09075 09116 09153 09187 09051 09095 09135 09172 09205 09078 09120 09159 09195 09228 09103 09144 09182 09217 09249 09124 09165 09202 09236 09267 09143 09183 09219 09253 09283 09160 09199 09235 09267 09297 09175 09213 09248 09280 09309 26 27 28 29 30 09246 09275 09301 09326 09348 09219 09249 09276 09301 09325 09236 09265 09292 09316 09340 09258 09286 09312 09336 09358 09278 09305 09330 09354 09376 09296 09322 09347 09370 09391 09311 09337 09361 09383 09404 09325 09350 09374 09396 09416 09336 09361 09385 09406 09426 40 50 60 80 100 09513 09612 09677 09758 09807 09495 09597 09665 09749 09799 09506 09606 09672 09754 09804 09520 09617 09681 09761 09809 09533 09628 09690 09768 09815 09545 09637 09698 09774 09819 09555 09645 09705 09779 09823 09564 09652 09710 09783 09827 09572 09658 09716 09787 09830 25 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A11 Valores críticos para o teste de Cochran a 001 n k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 37 145 2 3 4 09985 09669 09065 09750 08709 07679 09392 07977 06841 09057 07457 06287 08772 07071 05895 08534 06771 05598 08332 06530 05365 08159 06333 05175 08010 06167 05017 07880 06025 04884 07341 05466 04366 06602 04748 03720 05813 04031 03093 05000 03333 02500 5 6 7 08412 07808 07271 06838 06161 05612 05981 05321 04800 05441 04803 04307 05065 04447 03974 04783 04184 03726 04564 03980 03535 04387 03817 03384 04241 03682 03259 04118 03568 03154 03645 03135 02756 03066 02612 02278 02513 02119 01833 02000 01667 01429 8 9 10 06798 06385 66020 05157 04775 04450 04377 04027 03733 03910 03584 03311 03595 03286 03029 03362 03067 02823 03185 02901 02666 03043 02768 02541 02926 02659 02439 02829 02568 02353 02462 02226 02032 02022 01820 01655 01616 01446 01308 01250 01111 01000 12 15 20 05410 04709 03894 03924 03346 02705 03264 02758 02205 02880 02419 01921 02624 02195 01735 02439 02034 01602 02299 01911 01501 02187 01815 01422 02098 01736 01357 02020 01671 01303 01737 01429 01108 01403 01144 00879 01100 00889 00675 00833 00667 00500 24 30 40 03434 02929 02370 02354 01980 01576 01907 01593 01259 01656 01377 01082 01493 01237 00968 01374 01137 00887 01286 01061 00827 01216 01002 00780 01160 00958 00745 01113 00921 00713 00942 00771 00595 00743 00604 00462 00567 00457 00347 00417 00333 00250 60 120 01737 00998 0 01131 00632 0 00895 00495 0 00765 00419 0 00682 00371 0 00623 00337 0 00583 00312 0 00552 00292 0 00520 00279 0 00497 00266 0 00411 00218 0 00316 00165 0 00234 00120 0 00167 00083 0 Reproduzido de C Eisenhart M W Hastay e W A Wallis Techinques of Statistical Analysis Capítulo 15 Nova York McGrawhill 1947 Usado com permissão da McGrawHill Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 26 Tabela A11 continuação Valores críticos para o teste de Cochran a 005 n k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 37 145 2 3 4 09985 09669 09065 09750 08709 07679 09392 07977 06841 09057 07457 06287 08772 07071 05895 08534 06771 05598 08332 06530 05365 08159 06333 05175 08010 06167 05017 07880 06025 04884 07341 05466 04366 06602 04748 03720 05813 04031 03093 05000 03333 02500 5 6 7 08412 07808 07271 06838 06161 05612 05981 05321 04800 05441 04803 04307 05065 04447 03974 04783 04184 03726 04564 03980 03535 04387 03817 03384 04241 03682 03259 04118 03568 03154 03645 03135 02756 03066 02612 02278 02513 02119 01833 02000 01667 01429 8 9 10 06798 06385 66020 05157 04775 04450 04377 04027 03733 03910 03584 03311 03595 03286 03029 03362 03067 02823 03185 02901 02666 03043 02768 02541 02926 02659 02439 02829 02568 02353 02462 02226 02032 02022 01820 01655 01616 01446 01308 01250 01111 01000 12 15 20 05410 04709 03894 03924 03346 02705 03264 02758 02205 02880 02419 01921 02624 02195 01735 02439 02034 01602 02299 01911 01501 02187 01815 01422 02098 01736 01357 02020 01671 01303 01737 01429 01108 01403 01144 00879 01100 00889 00675 00833 00667 00500 24 30 40 03434 02929 02370 02354 01980 01576 01907 01593 01259 01656 01377 01082 01493 01237 00968 01374 01137 00887 01286 01061 00827 01216 01002 00780 01160 00958 00745 01113 00921 00713 00942 00771 00595 00743 00604 00462 00567 00457 00347 00417 00333 00250 60 120 01737 00998 0 01131 00632 0 00895 00495 0 00765 00419 0 00682 00371 0 00623 00337 0 00583 00312 0 00552 00292 0 00520 00279 0 00497 00266 0 00411 00218 0 00316 00165 0 00234 00120 0 00167 00083 0 27 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A12 Pontos de porcentagem superior da Distribuição de amplitude da Studentized Valores de q005kv Graus de liberdade v Número de tratamentos k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 180 609 450 393 364 270 533 591 504 460 328 980 683 576 522 372 1089 751 629 567 405 1173 804 671 603 431 1243 847 706 633 151 1303 885 735 658 471 1354 918 760 680 491 1399 946 783 699 6 7 8 9 10 346 334 326 320 315 434 416 404 395 388 490 468 453 442 433 531 506 489 476 466 563 535 517 502 491 589 559 540 524 512 612 580 560 543 530 632 599 577 560 546 649 615 592 574 560 11 12 13 14 15 311 308 306 303 301 382 377 373 370 367 426 420 415 411 408 458 451 446 441 437 482 475 469 465 459 503 495 488 483 478 520 512 505 499 494 535 527 519 513 508 549 540 532 525 520 16 17 18 19 20 300 298 297 296 295 365 362 361 359 358 405 402 400 398 396 434 431 428 426 424 456 452 449 447 445 474 470 467 464 462 490 486 483 479 477 503 499 496 492 490 505 511 507 504 501 24 30 40 60 120 292 289 286 283 280 277 353 348 344 340 336 332 390 384 379 374 369 363 417 411 404 398 392 386 437 430 423 416 410 403 454 446 439 431 424 417 468 460 452 444 436 429 481 472 463 455 447 439 492 483 474 465 456 447 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 28 Tabela A13 Amplitudes Studentized de menor significância rp005pv a 005 p v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 1797 6085 4501 3927 3635 1797 6085 4516 4013 3749 1797 6085 4516 4033 3797 1797 6085 4516 4033 3814 1797 6085 4516 4033 3814 1797 6085 4516 4033 3814 1797 6085 4516 4033 3814 1797 6085 4516 4033 3814 1797 6085 4516 4033 3814 6 7 8 9 10 3461 3344 3261 3199 3151 3587 3477 3399 3339 3293 3649 3548 3475 3420 3376 368 3588 3521 3470 3430 3694 3611 3549 3502 3465 3697 3622 3566 3523 3489 3697 3626 3575 3536 3505 3697 3626 3579 3544 3516 3697 3626 3579 3547 3522 11 12 13 14 15 3113 3082 3055 3033 3014 3256 3225 3200 3178 3160 3342 3313 3289 3268 325 3397 3370 3348 3329 3312 3435 3410 3389 3372 3356 3462 3439 3419 3403 3389 348 3459 3442 3426 3413 3493 3474 3458 3444 3432 3501 3484 3470 3457 3446 16 17 18 19 20 2998 2984 2971 2960 2950 3144 3130 3118 3107 3097 3235 3222 3210 3199 3190 3298 3285 3274 3264 3255 3343 3331 3321 3311 3303 3376 3366 3356 3347 3339 3402 3392 3383 3375 3368 3422 3412 3405 3397 3391 3437 3429 3421 3415 3409 24 30 40 60 120 2919 2888 2858 2829 2800 2772 3066 3035 3006 2976 2947 2918 3160 3131 3102 3073 3045 3017 3226 3199 3171 3143 3116 3089 3276 3250 3224 3198 3172 3146 3315 3290 3266 3241 3217 3193 3345 3322 3300 3277 3254 3232 3370 3349 3328 3307 3287 3265 3390 3371 3352 3333 3314 3294 Resumido de H L Harter Critical Values for Duncans New multiple Range Test Biometrics 16 n 4 1960 com permissão do autor e do editor 29 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A13 continuação Amplitudes Studentized de menor significância rp001pv a 001 p v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 9003 1404 8261 6512 5702 9003 1404 8321 6677 5893 9003 1404 8321 6740 5989 9003 1404 8321 6756 6040 9003 1404 8321 6756 6065 9003 1404 8321 6756 6074 9003 1404 8321 6756 6074 9003 1404 8321 6756 6074 9003 1404 8321 6756 6074 6 7 8 9 10 5243 4949 4746 4596 4482 5439 5145 4939 4787 4671 5549 5260 5057 4906 4790 5614 5334 5135 4986 4871 5655 5383 5189 5043 4931 5680 5416 5227 5086 4975 5694 5439 5256 5118 5010 5701 5454 5276 5142 5037 5703 5464 5291 5160 5058 11 12 13 14 15 4392 4320 4260 4210 4168 4579 4504 4442 4391 4347 4697 4622 4560 4508 4463 4780 4706 4644 4591 4547 4841 4767 4706 4654 4610 4887 4815 4755 4704 4660 4924 4852 4793 4743 4700 4952 4883 4824 4775 4733 4975 4907 4850 4802 4760 16 17 18 19 20 4131 4099 4071 4046 4024 4309 4275 4246 4220 4197 4425 4391 4362 4335 4312 4509 4475 4445 4419 4395 4572 4539 4509 4483 4459 4622 4589 4560 4534 4510 4663 4630 4601 4575 4552 4696 4664 4635 4610 4587 4724 4693 4664 4639 4617 24 30 40 60 120 3956 3889 3825 3762 3702 3643 4126 4056 3988 3922 3858 3796 4239 4168 4098 4031 3965 3900 4322 4250 4180 4111 4044 3978 4386 4314 4244 4174 4107 4040 4437 4366 4296 4226 4158 4091 4480 4409 4339 4270 4202 4135 4516 4445 4376 4307 4239 4172 4546 4477 4408 4340 4272 4205 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 30 Tabela A14 Valores de da2k v para as comparações bilaterais entre k tratamentos e um controle a 005 k número de médias de tratamento excluindo controle v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 257 245 236 231 226 303 286 275 267 261 329 310 297 288 281 348 326 312 302 295 362 339 324 313 305 373 349 333 322 314 382 357 341 329 320 390 364 347 335 326 397 371 353 341 332 10 11 12 13 14 223 220 218 216 214 257 253 250 248 246 276 272 268 265 263 289 284 281 278 275 299 294 290 287 284 307 302 298 294 291 314 308 304 300 297 319 314 309 306 302 324 319 314 310 307 15 16 17 18 19 213 212 211 210 209 244 242 241 240 239 261 259 258 256 255 273 271 269 268 266 282 280 278 276 275 289 287 285 283 281 295 292 290 289 287 300 297 295 294 292 304 302 300 298 296 20 24 30 40 60 209 206 204 202 200 238 235 232 229 227 254 251 247 244 241 265 261 258 254 251 273 270 266 262 258 280 276 272 268 264 286 281 277 273 269 290 286 282 277 273 295 290 286 281 277 120 198 196 224 221 238 235 247 244 255 251 260 257 265 261 269 265 273 269 Reproduzido de Charles W Dunnett New tables for Multiple Comparison with a control Biometrics 20 n 3 1964 com permis são do autor e do editor 31 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A14 continuação Valores de da2k v para as comparações bilaterais entre k tratamentos e um controle a 001 k número de médias de tratamento excluindo controle v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 403 371 350 336 325 463 421 395 377 363 498 451 421 400 385 522 471 439 417 401 541 487 453 429 412 556 500 464 440 422 569 510 474 448 430 580 520 482 456 437 589 528 489 462 443 10 11 12 13 14 317 311 305 301 298 353 345 339 333 329 374 365 358 352 347 388 379 371 365 359 399 389 381 374 369 408 398 389 382 376 416 405 396 389 383 422 411 402 394 388 428 416 407 399 393 15 16 17 18 19 295 292 290 288 286 325 322 319 317 315 343 339 336 333 331 355 351 347 344 342 364 360 356 353 350 371 367 363 360 357 378 373 369 366 363 383 378 374 371 368 388 383 379 375 372 20 24 30 40 60 285 280 275 270 266 313 307 301 295 290 329 322 315 309 303 340 332 325 319 312 348 340 333 326 319 355 347 339 332 325 360 352 344 337 329 365 357 349 341 333 369 361 352 344 337 120 262 258 285 279 297 292 306 300 312 306 318 311 322 315 326 319 329 322 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 32 Tabela A15 Valores de da2k v para as comparações unilaterais entre k tratamentos e um controle a 005 k número de médias de tratamento excluindo controle v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 202 194 189 186 183 244 234 227 222 218 268 256 248 242 237 285 271 262 255 250 298 283 273 266 260 308 292 282 274 268 316 300 289 281 275 324 307 295 287 281 330 312 301 292 286 10 11 12 13 14 181 180 178 177 176 215 213 211 209 208 234 231 229 227 225 247 244 241 239 237 256 253 250 248 246 264 260 258 255 253 270 267 264 261 259 276 272 269 266 264 281 277 274 271 269 15 16 17 18 19 175 175 174 173 173 207 206 205 204 203 224 223 222 221 220 236 234 233 232 231 244 243 242 241 240 251 250 249 248 247 257 256 254 253 252 262 261 259 258 257 267 265 264 262 261 20 24 30 40 60 172 171 170 168 167 203 201 199 197 195 219 217 215 213 210 230 228 225 223 221 239 236 233 231 228 246 243 240 237 235 251 248 245 242 239 256 253 250 247 244 260 257 254 251 248 120 166 164 193 192 208 206 218 216 226 223 232 229 237 234 241 238 245 242 Reproduzido de Charles W Dunnett A Multiple Comparison Procedure for Comparing several treatments with a control J Am Stat Assoc 50 1955 10961121 com permissão do autor e do editor 33 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A15 continuação Valores de da2k v para as comparações unilaterais entre k tratamentos e um controle a 001 k número de médias de tratamento excluindo controle v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 337 314 300 290 282 390 361 342 329 319 421 388 366 351 340 443 407 383 367 355 460 421 396 379 366 473 433 407 388 375 485 443 415 396 382 494 451 423 403 389 503 459 430 409 394 10 11 12 13 14 276 272 268 265 262 311 306 301 297 294 331 325 319 315 311 345 338 332 327 323 356 348 342 337 332 364 356 350 344 340 371 363 356 351 346 378 369 362 356 351 383 374 367 361 356 15 16 17 18 19 260 258 257 255 254 291 288 286 284 283 308 305 303 301 299 320 317 314 312 310 329 326 323 321 318 336 333 330 327 325 342 339 336 333 331 347 344 341 338 336 352 348 345 342 340 20 24 30 40 60 253 249 246 242 239 281 277 272 268 264 297 292 287 282 278 308 303 297 292 287 317 311 305 299 294 323 317 311 305 300 329 322 316 310 304 334 327 321 314 308 338 331 324 318 312 120 236 233 260 256 273 268 282 277 289 284 294 289 299 293 303 297 306 300 Tabela A16 Poder do teste de análise de variância v2 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 v1 1 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 099 098 097 096 095 094 092 090 080 070 060 050 040 030 020 010 2 3 4 5 15 2 25 3 35 φ para α 005 φ para α 005 Poder 1 β α 001 α 005 30 15 12 10 9 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 Reproduzido de ES Pearson e HO Hartley Charts of the Power Function for AnalysisofVariance Tests Derived from the Noncentral F Distribution Biometrika 38 1951 112130 com permissao do editor Tabela A16 continuação Poder do teste de análise de variância 099 098 097 096 095 094 092 090 080 070 060 050 040 030 020 010 1 2 3 1 2 3 4 5 φ para α 005 φ para α 005 α 005 α 001 30 15 10 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 v1 2 Poder 1 β v2 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 095 090 080 070 060 050 040 030 020 010 Tabela A16 continuação Poder do teste de análise de variância 099 098 097 096 095 094 092 090 080 070 060 050 040 030 020 010 1 2 3 1 2 3 4 5 φ para α 005 φ para α 005 α 005 α 001 30 15 10 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 v1 3 Poder 1 β v2 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 095 090 080 070 060 050 040 030 020 010 Tabela A16 continuação Poder do teste de análise de variância 099 098 097 096 095 094 092 090 080 070 060 050 040 030 020 010 1 2 3 1 2 3 4 φ para α 005 φ para α 005 α 005 α 001 30 15 10 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 30 15 12 10 9 8 7 6 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 v1 5 Poder 1 β v2 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 095 090 080 070 060 050 040 030 020 010 Tabela A16 continuação Poder do teste de análise de variância v2 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 v1 7 099 099 098 098 097 097 096 096 095 095 094 094 092 092 090 090 080 080 070 070 060 060 050 050 040 040 030 030 020 020 010 010 Poder 1 β α 005 8 30 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 α 001 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 1 2 3 4 1 2 3 φ para 005 φ para 005 Tabela A16 continuação Poder do teste de análise de variância v2 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 v1 8 099 099 098 098 097 097 096 096 095 095 094 094 092 092 090 090 080 080 070 070 060 060 050 050 040 040 030 030 020 020 010 010 Poder 1 β α 005 8 30 15 12 10 9 8 7 6 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 α 001 60 30 20 15 12 10 9 8 7 6 1 2 3 φ para α 005 Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 38 Tabela A17 Valores críticos para o teste de sinais ordenados v Unilateral α 001 Bilateral α 002 Unilateral α 0025 Bilateral α 005 Unilateral α 005 Bilateral α 01 5 6 7 8 9 10 0 2 3 5 1 2 4 6 8 1 2 4 6 8 11 11 12 13 14 15 7 10 13 16 20 11 14 17 21 25 14 17 21 26 30 16 17 18 19 20 24 28 33 38 43 30 35 40 46 52 36 41 47 54 60 21 22 23 24 25 49 56 62 69 77 59 66 73 81 90 68 75 83 93 101 26 27 28 29 30 85 9 102 111 120 98 107 117 127 137 110 120 130 141 152 Reproduzido de F Wilcoxon e R A Wilcox Some Rapid Approximate Statistical Procedures American Cyanamid Company Nova York Pearl River 1964 com permissão da American Cyanamid Company 39 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A18 Valores críticos para o teste de soma de postos de Wilcoxon Teste unicaudal em a 0001 ou teste bicaudal em a 0002 n2 n1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 1 2 0 2 3 5 1 2 3 5 7 0 1 3 5 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 15 0 2 4 7 9 12 14 17 20 1 3 5 8 11 14 17 20 23 26 1 3 6 9 12 15 19 22 25 29 32 1 4 7 10 12 17 21 24 28 32 36 40 2 5 8 11 15 19 23 27 31 35 39 43 48 0 2 5 9 13 17 21 25 29 34 38 43 47 52 57 0 3 6 10 14 18 23 27 32 37 42 46 51 56 61 66 0 3 7 11 15 20 25 29 34 40 45 50 55 60 66 71 77 0 3 7 12 16 21 26 32 37 42 48 54 59 65 70 76 82 88 Teste unicaudal em a 001 ou teste bicaudal em a 002 n2 n1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 1 2 3 0 1 3 4 6 0 2 4 6 8 10 1 3 5 6 9 11 14 1 3 6 8 11 13 16 19 1 4 7 9 12 15 18 22 25 2 5 8 11 14 17 21 24 28 31 0 2 5 9 12 16 20 23 27 31 35 39 0 2 6 10 13 17 22 26 30 34 38 43 47 0 3 7 11 15 19 24 28 33 37 42 47 51 56 0 3 7 12 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 0 4 8 13 18 23 28 33 38 44 49 55 60 66 71 77 0 4 9 14 19 24 30 36 41 47 53 59 65 70 76 82 88 1 4 9 15 20 26 32 38 44 50 56 63 69 75 82 88 94 101 1 5 10 16 22 28 34 40 47 53 60 67 73 80 87 93 100 107 114 Baseado parcialmente nas tabelas 1 35 e 7 de D Auble Extended Tables for the MannWhitney Statistics Bulletin of the Institute of Educational Research at Indiana Univeristy 1 n 2 1953 com permissão do diretor Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 40 Tabela A18 Valores críticos para o teste de soma de postos de Wilcoxon Teste unicaudal em a 0025 ou teste bicaudal em a 005 n2 n1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 1 2 1 2 3 5 1 3 5 6 8 0 2 4 6 8 10 13 0 2 4 7 10 12 15 17 0 3 5 8 11 14 17 20 23 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 2 8 13 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127 Teste unicaudal em a 005 ou teste bicaudal em a 01 n2 n1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 1 0 1 2 4 0 2 3 5 7 0 2 4 6 8 11 1 3 5 8 0 13 15 1 4 6 9 12 15 19 21 1 4 7 11 14 17 20 24 27 1 5 8 12 16 19 23 27 31 34 2 5 9 13 17 21 26 30 34 38 42 2 6 10 15 19 24 28 33 37 42 47 51 3 7 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 3 7 12 18 23 28 33 39 44 50 55 61 66 72 3 9 14 19 25 30 36 42 48 54 60 65 71 77 83 3 9 15 20 26 33 39 45 51 57 64 70 77 83 89 96 4 9 16 22 28 35 41 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 0 4 10 17 23 30 37 44 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 0 4 11 18 25 32 39 47 54 62 69 77 847 92 100 107 115 123 130 138 Baseado parcialmente nas tabelas 1 35 e 7 de D Auble Extended Tables for the MannWhitney Statistics Bulletin of the Institute of Educational Research at Indiana Univeristy 1 n 2 1953 com permissão do diretor 41 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A19 PV v quando H0 for verdadeira nos testes Runs v n1 n2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 24 25 26 27 28 29 210 0200 0133 0095 0071 0056 0044 0036 0030 0500 0400 0333 0286 0250 0222 0200 0182 0900 0800 0714 0643 0583 0533 0491 0455 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 33 34 35 36 37 38 39 310 0100 0057 0036 0024 0017 0012 0009 0007 0300 0200 0143 0107 0083 0067 0055 0045 0700 0543 0429 0345 0283 0236 0200 0171 0900 0800 0714 0643 0583 0533 0491 0455 1000 0971 0929 0881 0833 0788 0745 0706 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 44 45 46 47 48 49 410 0029 0016 0010 0006 0004 0003 0002 0114 0071 0048 0033 0024 0018 0014 0371 0262 0190 0142 0109 0085 0068 0629 0500 0405 0333 0279 0236 0203 0886 0786 0690 0606 0533 0471 0419 0971 0929 0881 0833 0788 0745 0706 1000 0992 0976 0954 0929 0902 0874 1000 1000 1000 1000 1000 1000 55 56 57 58 59 510 0008 0004 0003 0002 0001 0001 0040 0024 0015 0010 0007 0005 0167 0110 0076 0054 0039 0029 0357 0262 0197 0152 0119 0095 0643 0522 0424 0347 0287 0239 0833 0738 0652 0576 0510 0455 0960 0911 0854 0793 0734 0678 0992 0976 0955 0929 0902 0874 1000 0998 0992 0984 0972 0958 66 67 68 69 610 0002 0001 0001 0000 0000 0013 0008 0005 0003 0002 0067 0043 0028 0019 0013 0175 0121 0086 0063 0047 0392 0296 0226 0175 0137 0608 0500 0413 0343 0288 0825 0733 0646 0566 0497 0933 0879 0821 0762 0706 0987 0966 0937 0902 0864 77 78 79 710 0001 0000 0000 0000 0004 0002 0001 0001 0025 0015 0010 0006 0078 0051 0035 0024 0209 0149 0108 0080 0383 0296 0231 0182 0617 0514 0427 0355 0791 0704 0622 0549 0922 0867 0806 0743 88 89 810 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0009 0005 0003 0032 0020 0013 0100 0069 0048 0214 0157 0117 0405 0319 0251 0595 0500 0419 0786 0702 0621 99 910 1010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0003 0002 0001 0012 0008 0004 0044 0029 0019 0109 0077 0051 0238 0179 0128 0399 0319 0242 0601 0510 0414 Reproduzido de C Eisenhart e R Swed Tables for Testing Randomness of Grouping in a Sequence of Alternatives Ann Math Stat 14 1943 com permissão do editor Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 42 Tabela A19 continuação PV v quando H0 for verdadeira nos testes Runs v n1 n2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 24 25 26 27 28 29 210 33 34 35 36 37 38 39 310 44 45 46 47 48 49 410 55 56 57 58 59 510 1000 1000 1000 1000 1000 66 67 68 69 610 0998 0992 0984 0972 0958 1000 0999 0998 0994 0990 1000 1000 1000 1000 77 78 79 710 0975 0949 0916 0879 0996 0988 0975 0957 0999 0998 0994 0990 1000 1000 0999 0998 1000 1000 1000 88 89 810 0900 0843 0782 0968 0939 0903 0991 0980 0964 0999 0996 0990 1000 0999 0998 1000 1000 1000 1000 1000 99 910 1010 0762 0681 0586 0891 0834 0758 0956 0923 0872 0988 0974 0949 0997 0992 0981 1000 0999 0996 1000 1000 0999 1000 1000 1000 1000 1000 1000 43 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A20 Tamanho de amostra para os limites de tolerância bilaterais não paramétricos 1 g 1 a 050 070 090 095 099 0995 0995 099 095 090 085 336 168 34 17 11 488 244 49 24 16 777 388 77 38 25 947 473 93 46 30 1325 662 130 64 42 1483 740 146 72 47 080 075 070 060 050 9 7 6 4 3 12 10 8 6 5 18 15 12 9 7 22 18 14 10 8 31 24 20 14 11 34 27 22 16 12 Reproduzido com base na Tabela A 25d de Wilfrid J Dixon e Frank J Massey Jr Introduction to Statistical Analysis 3 ed Nova York McgrawHill 1969 Usado com permissão da McGrawHill Tabela A21 Tamanho de amostra para os limites de tolerância unilaterais não paramétricos 1 g 1 a 050 070 090 095 099 0995 0995 099 095 090 085 139 69 14 7 5 241 120 24 12 8 598 299 59 29 19 598 299 59 29 19 919 459 90 44 29 1379 688 135 66 43 080 075 070 060 050 4 3 2 2 1 6 5 4 3 2 14 11 9 6 5 14 11 9 6 5 21 7 13 10 7 31 25 20 14 10 Reproduzido com base na Tabela A25e de Wilfrid J Dixon e Frank J Massey Jr Introduction to Statistical Analysis 3 ed Nova York McgrawHill 1969 Usado com permissão da McGrawHill Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 44 Tabela A22 Valores críticos para o coeficiente de correlação de postos de Spearman n a 005 a 0025 a 001 a 0005 5 6 7 8 9 10 0900 0829 0714 0643 0600 0564 0886 0786 0738 0683 0648 0943 0893 0833 0783 0745 0881 0833 0794 11 12 13 14 15 0523 0497 0475 0457 0441 0623 0591 0566 0545 0525 0736 0703 0673 0646 0623 0818 0780 0745 0716 0689 16 17 18 19 20 0425 0412 0399 0388 0377 0507 0490 0476 0462 0450 0601 0582 0564 0549 0534 0666 0645 0625 0608 0591 21 22 23 24 25 0368 0359 0351 0343 0336 0438 0428 0418 0409 0400 0521 0508 0496 0485 0475 0576 0562 0549 0537 0526 26 27 28 29 30 0329 0323 0317 0311 0305 0392 0385 0377 0370 0364 0465 0456 0448 0440 0432 0515 0505 0496 0487 0478 Reproduzido de E G Olds Distribuition of Sum of Squares of Rank Differences for Small Samples Ann Math Stat 9 1938 com permissão do editor 45 Apêndice A Tabelas e provas estatísticas Tabela A23 Fatores para construção de gráficos de controle Gráfico para médias Gráfico para desviospadrão Gráfico para amplitudes Obs na amostra n Fatores para limites de controle Fatores para linha central Fatores para limites de controle Fatores para linha central Fatores para limites de controle A2 A3 c4 1c4 B3 B4 B5 B6 d2 1d4 d3 D3 D4 2 3 4 5 1880 1023 0729 0577 2659 1954 1628 1427 07979 08862 09213 09400 12533 11284 10854 10638 0 0 0 0 3267 2568 2266 2089 0 0 0 0 2606 2276 2088 1964 1128 1693 2059 2326 08865 05907 04857 04299 0853 0888 0880 0864 0 0 0 0 3267 2574 2282 2114 6 7 8 9 10 0483 0419 0373 0337 0308 1287 1182 1099 1032 0975 09515 09594 09650 09693 09727 10510 10423 10363 10317 10281 0030 0118 0185 0239 0284 1970 1882 1815 1761 1716 0029 0113 0179 0232 0276 1874 1806 1751 1707 1669 2534 2704 2847 2970 3078 03946 03698 03512 03367 03249 0848 0833 0820 0808 0797 0 0076 0136 0184 0223 2004 1924 1864 1816 1777 11 12 13 14 15 0285 0266 0249 0235 0223 0927 0886 0850 0817 0789 09754 09776 09794 09810 09823 10252 10229 10210 10194 10180 0321 0354 0382 0406 0428 1679 1646 1618 1594 1572 0313 0346 0374 0399 0421 1637 1610 1585 1563 1544 3173 3258 3336 3407 3472 03152 03069 02998 02935 02880 0787 0778 0770 0763 0756 0256 0283 0307 0328 0347 1744 1717 1693 1672 1653 16 17 18 19 20 0212 0203 0194 0187 0180 0763 0739 0718 0698 0680 09835 09845 09854 09862 09869 10168 10157 10148 10140 10133 0448 0466 0482 0497 0510 1552 1534 1518 1503 1490 0440 0458 0475 0490 0504 1526 1511 1496 1483 1470 3532 3588 3640 3689 3735 02831 02787 02747 02711 02677 0750 0744 0739 0734 0729 0363 0378 0391 0403 0415 1637 1622 1608 1597 1585 21 22 23 24 25 0173 0167 0162 0157 0153 0663 0647 0633 0619 0606 09876 09882 09887 09892 09896 10126 10119 10114 10109 10105 0523 0534 0545 0555 0565 1477 1466 1455 1445 1435 0516 0528 0539 0549 0559 1459 1448 1438 1429 1420 3778 3819 3858 3895 3931 02647 02618 02592 02567 02544 0724 0720 0716 0712 0708 0425 0434 0443 0451 0459 1575 1566 1557 1548 4541 Tabela A24 A função gama incompleta Fx α 0x 1Γα yα1 ey dy x α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 06320 02640 00800 00190 00040 00010 00000 00000 00000 00000 2 08650 05940 03230 01430 00530 00170 00050 00010 00000 00000 3 09500 08010 05770 03530 01850 00840 00340 00120 00040 00010 4 09820 09080 07620 05670 03710 02150 01110 00510 00210 00080 5 09930 09600 08750 07350 05600 03840 02380 01330 00680 00320 6 09980 09830 09380 08490 07150 05540 03940 02560 01530 00840 7 09990 09930 09700 09180 08270 06990 05500 04010 02710 01700 8 10000 09970 09860 09580 09000 08090 06870 05470 04070 02830 9 09990 09940 09790 09450 08840 07930 06760 05440 04130 10 10000 09970 09900 09710 09330 08700 07800 06670 05420 11 09990 09950 09850 09620 09210 08570 07680 06590 12 10000 09980 09920 09800 09540 09110 08450 07580 13 09990 09960 09890 09740 09460 09000 08340 14 10000 09980 09940 09860 09680 09380 08910 15 09990 09970 09920 09820 09630 09300 A25 Prova da média da distribuição hipergeométrica Para determinarmos a média da distribuição hipergeométrica escrevemos EX ΣxkxNkN k Σk1x1kx NknxNn k Σ kx1NkNn Já que Nk n1y N1k1 n1y e Nn NnNn Nn N1n1 considerando y x1 obtemos EX k Σk1Nkn1yNn nkN Σk1N1k1N1 nkN já que a soma representa o total de todas as probabilidades em um experimento hipergeométrico quando N1 itens são selecionados aleatoriamente de N1 do qual k1 são denominados sucessos A26 Prova da média e variância da distribuição de Poisson Considere μ λt EX Σ x eμμx x Σ x eμμx x μ Σ eμμx1 x1 Como a soma no último termo dado é a probabilidade total de uma variável aleatória de Poisson com média μ que pode ser facilmente vista ao considerar y x1 ela é igual a 1 Portanto EX μ Para calcular a variância de X note que EXX1 Σ xx1 eμ μx x μ² Σ eμ μx2 x2 Novamente considerando y x2 a soma do último termo dado é a probabilidade total de uma variável aleatória de Poisson com média μ Então obtemos σ² EX² EX² EXX1 EX EX² μ² μ μ² μ λt A27 Prova de que a Poisson é uma forma limitadora da binomial A distribuição binomial pode ser escrita como bx n p nx px qⁿx nxnx px 1pⁿx nn1nx1x px 1pⁿx Substituindo p μn bx n p nn1nx1x μn 1 μnⁿx 1 1 1n 1 x1n μxn 1 μnx Como n enquanto x e μ continuam constantes lim n 1 1 1n 1 x1n 1 lim n 1 μnx 1 e com base na definição de e lim n 1 μnn lim n 1 1nμ nμ eμ Então sob as condições de limitação dadas bx n p eμ μx x x012 A28 Prova da média e variância da distribuição gama Para encontrarmos a média e a variância da distribuição gama calculamos primeiro EXk 1βα Γα 0 xαk1 exβ dx βkα Γα kβα Γα 0 xαk1 exβ βkα Γα k dx para k012 Já que o integrando no último termo dado é uma função de densidade gama com parâmetros α k e β ele se iguala a 1 Portanto EXk βk ΓkαΓα Usando a fórmula de repetição da distribuição gama da página 194 obtemos μ β Γα1Γα αβ e σ² EX² μ² β² Γα2Γα μ² β² αα1 αβ² αβ² 1 Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Num julgamento infelizmente um inocente pode ir pra cadeia assim como um criminoso pode ganhar a liberdade Dispondo a questão em teste de hipóteses têmse H0 o réu é inocente hipótese fundamental H1 o réu é culpado hipótese alternativa Os erros de julgamento poderiam ser condenar um réu inocente ou então absolver um réu culpado REALIDADE H0 verdadeira H0 falsa DECISÃO aceitar H0 decisão correta 1 erro tipo I rejeitar H0 erro tipo II decisão correta 1 3 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle A hipótese H0 é aceita como verdadeira todas as vezes que o valor de Xbarra cair dentro dos limites de controle Já a hipótese H1 é aceita como verdadeira sempre que o valor de Xbarra cair fora dos limites de controle Se o processo estiver sob controle H0 verdadeira 𝛼 é a probabilidade de se considerar esse processo fora de controle alarme falso LIC LSC ou X Pr X 0 X X LSC X Pr LIC 0 X X H0 0 H1 0 Portanto tudo se resume a um teste de hipóteses Por outro lado se o processo estiver fora de controle H1 verdadeira 𝛽 é a probabilidade de se considerar esse processo sob controle não detecção 4 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle REALIDADE H0 verdadeira H0 falsa DECISÃO aceitar H0 decisão correta 1 erro tipo I rejeitar H0 erro tipo II decisão correta 1 H0 o réu é inocente hipótese fundamental H1 o réu é culpado hipótese alternativa Consequências Erro Tipo II β Não Detecção não intervir no processo quando ele está sob influência de causas especiais Erro Tipo I α Alarme Falso intervir no processo quando ele está isento de causas especiais correndose o risco de desajustar um processo que estava ajustado 5 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Dado que o processo é considerado em controle H0 verdadeira quando Xbarra cai dentro dos limites do gráfico e fora de controle H0 falsa quando Xbarra está fora dos limites do gráficos as probabilidade de alarme falso α e de não detecção β são dadas por 𝛼 𝑃𝑟 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝑜𝑢 ത𝑋 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋𝜇 𝜇0 𝛽 𝑃𝑟 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋𝜇 𝜇0 𝐸 ത𝑋 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑋 𝜇 ത𝑋 𝜇 𝜎 ത𝑋 𝜎 𝑛 Definindo a variável aleatória Z como 𝑍 ത𝑋𝜇ഥ𝑋 𝜎ഥ𝑋 esta será N01 Quando o processo está em controle µ µ0 e σ σ0 Portanto 𝜇 ത𝑋 𝜇0 𝜎 ത𝑋 𝜎0 𝑛 6 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 𝛼 𝑃𝑟 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝑃𝑟 ത𝑋 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝑃𝑟 𝑍 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 𝜎 ത𝑋 𝑃𝑟 𝑍 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 𝜎 ത𝑋 Substituindo 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 por 𝜇0 3𝜎 ҧ𝑋 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 por 𝜇0 3𝜎 ത𝑋 e supondo o processo em controle 𝜇 ത𝑋 por 𝜇0 e 𝜎 ത𝑋 por 𝜎0 𝑛 chegase após simplificações imediatas a 𝛼 𝑃𝑟 𝑍 3 Para um processo sob controle a probabilidade de um ponto de ҧ𝑥 cair fora dos limites é dada por 𝛼 𝑃𝑟 𝑍 3 𝑃𝑟 𝑍 3 7 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Essa probabilidade encontrase tabelada Essa é a probabilidade de o valor de Xbarra cair na região de ação do gráfico acima de LSC ou abaixo do LIC ou seja a probabilidade de que cada amostra tem de gerar alarme falso O número médio de amostras até um alarme falso NMAF é igual a 1α Para z 3 o risco α é a área das caudas 000135 000135 00027 LM 0 n N X N 0 0 X X 10 N X Z X X n k LIC 0 0 k n k LSC 0 0 0 k 2 2 Tradicionalmente k300 X v a Z v a 8 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 15 30 45 60 75 90 105 Minutos n N X N 0 0 X X LM 0 n 3 LSC 0 0 Alarme falso n 3 LIC 0 0 Ocorrência de alarme falso no gráfico das médias Se o número médio de amostras até um alarme falso NMAF é 1α 100027 limites de 3sigma então teremos um alarme falso a cada 3704 pontos plotados no gráfico 9 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Caso se considere essa frequência de alarmes falsos inaceitável pode se alargar os limites de controle pela adoção de um valor maior para k onde k é o fator de abertura dos limites Por exemplo se desejarmos alargar os limites de k 3 para k 31 têmse 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 Ƹ𝜇0 𝒌 𝜎0 𝑛 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 𝒌 𝜎0 𝑛 Com k 31 o risco de alarme falso diminui para 𝛼 𝑃𝑟 𝑍 31 000097 ou 𝛼 000194 considerando as duas caudas Esse valor corresponde a um alarme falso a cada 516 amostras ou 129 horas de produção considerando a retirada de amostras a cada 15 min 10 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Quando H1 é verdadeira geralmente ocorre um deslocamento da média do processo É usual expressar esse deslocamento em unidade iguais ao desvio padrão da variável X de forma que o novo valor da média possa ser escrito como 0 0 1 Portanto 0 0 1 Poder detecção do gráfico das médias O sinal só ocorre quando o 5º valor de ҧ𝑥 é plotado Nesse caso H1 é verdadeira pois LM não coincide com 𝜇 ҧ𝑥 𝜇1 11 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Pd é a probabilidade de um valor de ҧ𝑥 cair acima do limite superior mais a probabilidade desse valor cair abaixo do limite inferior O tamanho da amostra para o cálculo de Pd é fundamental Poder detecção do gráfico das médias 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 0 LM n X N 0 0 0 N0 1 X Z X X n k LIC 0 0 n k LSC 0 0 0 0 0 X n k n k Pd X a v Z a v n 12 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Poder detecção do gráfico das médias 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 Para k 3 n 4 e 𝛿 10 têmse 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 3 1 4 𝑃 𝑍 3 1 4 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 1 𝑃 𝑍 5 01587 0 Portanto 𝑵𝑴𝑨𝑽 𝟏 𝟎𝟏𝟓𝟖𝟕 𝟔 𝟑 Assim são necessárias em média 63 amostras de tamanho n 4 para se detectar um deslocamento de 1𝝈 da média 𝑵𝑴𝑨𝑽 Número médio de amostras até um alarme verdadeiro 13 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Delta n 2 3 4 5 9 z Pd z Pd z Pd z Pd z Pd 0250 2646 0004 2567 0005 2500 0006 2441 0007 2250 0012 0500 2293 0011 2134 0016 2000 0023 1882 0030 1500 0067 0750 1939 0026 1701 0044 1500 0067 1323 0093 0750 0227 1000 1586 0056 1268 0102 1000 0159 0764 0222 0000 0500 1250 1232 0109 0835 0202 0500 0309 0205 0419 0750 0773 1500 0879 0190 0402 0344 0000 0500 0354 0638 1500 0933 2000 0172 0432 0464 0679 1000 0841 1472 0930 3000 0999 3000 1243 0893 2196 0986 3000 0999 3708 1000 6000 1000 Valores de Pd para diferentes combinações de n e delta para k 3 14 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 𝛼 1 𝑃𝑟 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝑅 𝐿𝑆𝐶𝑅𝜎 𝜎0 Pr 0 R R LSC R LIC Teste de hipóteses para análise de desempenho dos gráficos de R Quando a hipótese H0 é verdadeira existe o risco 𝛼 de um valor de R cair fora dos limites de controle sinalizando erroneamente um estado de falta de controle Quando a hipótese H1 é verdadeira existe o risco 𝛽 de um valor de R cair dentro dos limites de controle não sinalizando o estado de falta de controle 𝐻0 𝜎 𝜎0 𝐻1 𝜎 𝜎0 15 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 2 R d 3 R d R Distribuição da amplitude de R 0 2 R d R 0 3 0 2 R 3d d LSC 3 0 2 0 3d d 0 0027 0 3 R d 0 LICR O risco de alarme falso é diferente de 00027 Na verdade é maior que esse valor Para n entre 2 e 6 LIC 0 e portanto LICR é fixado em zero O cálculo da probabilidade de uma amplitude R ser menor que dado valor R0 não é simples Contudo a variável 𝑊 𝑅𝜎 encontrase tabelada para diferentes w0 e n0 16 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 2 R d 0 R 3 0 2 R 3d d LSC 3 0 2 0 3d d 0 0027 0 3 R d LICR 0 Distribuição da amplitude de R limites de 3 sigma LSC R Pr LIC R R 0 1 3 3 0 Prmax 0 0 3 2 0 3 2 d d R d d 3 2 3 2 3 3 Pr max 0 d d W d d W R Amplitude relativa Dividindose todos os membros da dupla inequação por 𝜎 𝜎0 obtêmse simplesmente O risco 𝛼 associado ao gráfico de R com é calculado da seguinte forma 17 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 3 2 3 2 n n 3d d W 3d 0 d 1 Pr max Exemplos NMAF Número Médio de Amostras até um Alarme Falso Sendo 𝛼 alfa o risco de se ter um alarme falso no processo dados d2 d3 e n e sabendose que e que NMAF 1𝛼 preencha a seguinte tabela n d2 d3 máx0 d23d3 d23d3 𝛼 NMAF 2 1128 0853 4 2059 0880 5 2326 0864 18 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Wo W n W0 2 3 4 5 6 450 09985 09958 09920 09873 09817 455 09987 09963 09929 09887 09837 460 09989 09967 09937 09899 09855 465 09990 09971 09944 09911 09871 470 09991 09974 09951 09921 09885 475 09992 09977 09956 09930 09898 480 09993 09980 09962 09938 09910 485 09994 09982 09966 09945 09920 490 09995 09985 09970 09952 09930 495 09995 09986 09974 09958 09938 0 R 4 70 LSC ˆ 0 0 995 R w LSC ˆ 4 70 3 Pr 1 0 0 3 2 d d R Distribuição Acumulada da Amplitude Relativa W Depois de calculados d2 3d3 localizamse as probabilidades na tabela da Distribuição Acumulada da Amplitude Relativa W A tabela fornece Pr𝑊 𝑊0 19 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 3 2 3 2 n n 3d d W 3d 0 d 1 Pr max Exemplos continuação NMAF Número Médio de Amostras até um Alarme Falso Sendo 𝛼 alfa o risco de se ter um alarme falso no processo dados d2 d3 e n e sabendose que W3692 0991 W4704 0995 W4925 0995 e que NMAF 1𝛼 preencha a seguinte tabela n d2 d3 máx0 d23d3 d23d3 𝛼 NMAF 2 1128 0853 0 1431 0 369 109910 00090 100090 111 4 2059 0880 0 0581 0 470 109951 00049 100049 204 5 2326 0864 00266 0 492 109954 00046 100046 217 20 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 41 1 0 59 2 46 2 92 4 2 3d d W Pd 3 2 5 n Pr 0 0 3 2 2 3d d R W Pr 2 3d d W 3 2 Pr 0 0 3 2 R 2 3d d LSC R Pd Pr n W0 4 5 6 7 240 06748 05643 04663 03820 245 06932 05861 04899 04059 250 07110 06075 05132 04300 Gráfico de Controle de R Poder Pd A partir da mesma tabela é possível também obter o poder Pd do gráfico de R Supondo que o desvio padrão do processo dobre de 𝜎0 para 𝜎1 2𝜎0 então 21 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Gráfico de Controle de R Poder Pd 0 3 2 3 n n d d Pr W Pd Genericamente quando o desvio padrão sofre aumento de fator de 𝜆 o poder do gráfico R é dado por Exemplo Calcule Pd para 𝑛 2 e 𝑛 4 para 𝜆 2 W1842 08092 W2354 06559 𝑛 2 1128 3 0853 2 3687 2 18435 𝑃𝑑 1 08092 0 1908 𝑛 4 2059 3 0880 2 4699 2 23495 𝑃𝑑 1 06559 03441 22 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Se há um deslocamento de 15 desvios padrão rapidamente um valor de ҧ𝑥 cairá fora dos limites de controle Curvas características foram geradas a partir do número de desvios padrão que a média pode se deslocar pg 71 23 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 24 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 25 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle α pr X LSCX pr X LICX α prZ LSCX μX σX prZ LICX μX σX Como LSCX μ0 3σX LICX μ0 3σX μX μ0 e σX σ0 n Considerando o processo sob controle α pr Z μ0 3σ0 n μ0 σ0 n pr Z μ0 3σ0 n μ0 σ0 n α pr Z 3σ0 n σ0 n pr Z 3σ0 n σ0 n α pr Z 3 pr Z 3 α pr Z 3 1 Controle Estatístico do Processo Introdução aos Gráficos de Controle Exercícios Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 2 Exercício 1 Os dados da tabela abaixo são a média e a amplitude de 24 amostras de tamanho 5 tomadas de um processo de produção de eixos Determine os limites de controle para o gráfico de média e de amplitude Desenhe o gráfico de controle para este processo 3 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 2 Exercício 2 Os dados da tabela abaixo são valores de ത𝑋 e R de 25 amostras de tamanho n5 tomadas de um processo de produção Determine os limites dos gráficos de controle ത𝑋 e R para esse processo 4 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 2 Exercício 3 Os dados da tabela são a média amostral ത𝑋 e a amplitude amostral R de 30 amostras de tamanho 5 referente ao diâmetro de um eixo Calcule os limites de controle para os gráficos da amplitude R e da média ത𝑋 Plote o gráfico de controle para esse processo 1 EPRI 26 Engenharia da Qualidade Introdução aos Gráficos de Controle por variáveis Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 2 Introdução aos Gráficos de Controle Por que controlar um processo O Controle de Processos é condição básica para a manutenção da qualidade de bens e serviços Todo processo deve ser estável ou capaz de ser repetido e capaz de operar com pouca variabilidade ao redor do alvo ou dimensão nominal O CEP é uma ferramenta poderosa para encontrar essa estabilidade e melhorar a capacidade reduzindose a variabilidade 3 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo A variabilidade de um processo está ligada a causas ditas naturais ou aleatórias ou causas especiais Causas aleatórias variações de temperatura variações de umidade variações de precisão etc A variabilidade do processo tem a ver com as diferenças existentes entre as unidades produzidas Tais diferenças serão facilmente percebidas na ocorrência de grandes variabilidades e muito imperceptíveis em caso contrário X fX Tempo 4 T 3 T 1 T X X X 2 T fX fX fX 2 Introdução aos Gráficos de Controle 4 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Causas especiais perturbações maiores que têm o efeito de deslocar a distribuição da variável aleatória X tirando sua média do valoralvo Causas especiais setup incorreto desajuste de uma máquina rompimento de mangueiras lote de matériaprima com defeitos etc X fX Tempo 3 T 4 T 1 T X X X 2 T fX fX fX 2 Introdução aos Gráficos de Controle 5 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo X Tempo 3 T 4 T 1 T T2 X X X fX fX fX fX Existe ainda a possibilidade de além de deslocar a média haver um aumento na dispersão de dados aumentando a variabilidade do processo 2 Introdução aos Gráficos de Controle 6 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Causas aleatórias ou Causas especiais 2 Introdução aos Gráficos de Controle Atividade I Etapa I Grupo Nome Líder Média Variância D Padrão 1 Trem Gelado Marcelo Cotta 2 Chups chups Gourmet Vitória 3 Geladice Caroline 429 77 28 4 Qualitymaster Leonardo 325 103 32 7 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Custos dos processos Os custos com a qualidade são organizados em quatro categorias Custos de prevenção prevenção contra ocorrência de não conformidades Custos de avaliação custos com o propósito de monitorar a observância das especificações Custos de falhas internas itens não conformes descobertos antes de chegarem ao consumidor Custos de falhas externas ocorrem quando da venda de produtos ou serviços que não atendem às especificações 2 Introdução aos Gráficos de Controle 8 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Custos dos processos O monitoramento de processos gera custos de prevenção Entretanto os investimentos em avaliação e prevenção são compensados pelas reduções obtidas nos demais custos dos processos falhas internas ou falhas externas de modo que o custo total é bastante reduzido 2 Introdução aos Gráficos de Controle 9 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Em uma linha de empacotamento de leite se medirmos o volume de cada saquinho vamos nos certificar de que nenhum deles contém exatamente uma mesma quantidade Numa amostragem observamos que cada saquinho contém pouco a mais ou pouco a menos do produto em relação ao valor especificado 1000ml Entretanto observase que um pouco a mais implica estourar o saquinho facilmente seja no transporte seja no manuseio Também se observa que um pouco a menos pode gerar transtornos com os clientes e com a fiscalização Observemos um exemplo 2 Introdução aos Gráficos de Controle 10 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Na prática o que se espera é que o saquinho contenha em média 1000ml e que não exista grande variabilidade entre esses volumes O valor especificado é o valoralvo da variável aleatória X quantidade de leite em cada saquinho 2 Introdução aos Gráficos de Controle 11 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 9988 9949 10010 10051 10048 10069 9913 9991 10044 9957 9972 9932 9926 9961 9969 9915 9977 9984 10005 9985 9987 9985 10054 9997 9993 9979 10079 10035 10095 9974 10066 9936 10022 10036 10077 9997 9979 10027 9985 10030 9942 9966 9939 9985 9999 10001 9987 10088 9930 9971 9897 10058 9949 9974 10030 10019 10035 10024 9945 9955 10028 10013 9962 9990 10005 10022 10006 9964 10075 10019 10003 10033 10034 9975 9963 10044 9952 9938 10028 10026 10088 10058 10052 10005 10000 10018 9999 9958 9929 10033 10018 10025 10009 9959 10050 9988 9966 9967 9983 9982 Amostra de 100 saquinhos de leite de um mesmo lote Média 9998 Desvio Padrão 432 2 Introdução aos Gráficos de Controle 12 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 0 5 10 15 20 25 30 35 988 992 996 1000 1004 1008 Frequência X Histograma dos volumes de leite apurados A média dos volumes dos saquinhos de leite está bem próxima do valoralvo ҧ𝑥 9998 e a variabilidade do processo medida pelo desvio padrão amostral é pequena Pelo histograma observase que a distribuição de X parece ser bem representada por uma densidade de probabilidade normal 2 Introdução aos Gráficos de Controle 13 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Imagine que houve uma alteração indesejada da pressão de operação nas tubulações do sistema de empacotamento de leite 10102 10023 10038 10002 10088 9921 10089 9994 10113 10140 10105 9950 9940 10112 10081 10083 10176 10053 10038 10196 9950 10102 9999 10095 10179 10129 10085 10031 10105 10095 9941 9912 10016 10021 10105 10090 9923 10023 10127 10069 9948 9891 10025 10087 10146 10049 10022 10073 10024 10117 9802 9994 10020 10119 9978 9975 9866 10144 10240 10069 9920 10044 10053 10032 10165 10153 10033 9926 10131 10161 9972 9945 10069 10128 10145 10217 10072 9961 10088 10002 10045 9987 10024 10129 10111 10078 9942 10120 10178 10184 9882 9911 10043 10106 10099 10113 9899 10029 9975 10020 A média 10049 já não está tão próxima da média e a dispersão aumentou consideravelmente para s 855 2 Introdução aos Gráficos de Controle 14 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 0 5 10 15 20 25 990 995 1000 1005 1010 1015 1020 1025 Frequência X 2 Introdução aos Gráficos de Controle 15 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Monitoramento dos Processos por Gráficos de Controle Os processos devem ser permanentemente monitorados para se detectar a presença de causas especiais Detectadas causas especiais devese proceder a uma investigação para identificálas e intervir para eliminálas A principal ferramenta utilizada para monitorar os processos sinalizando a presença dessas causas especiais são os GRÁFICOS DE CONTROLE Os gráficos de controle de ത𝐱 e R também conhecidos como gráficos de média e amplitude servem para monitorar processos cuja característica de qualidade de interesse X é uma grandeza mensurável Diâmetro de um eixo Volume de leite em um saquinho Teor de carbono em uma liga metálica etc 2 Introdução aos Gráficos de Controle 16 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo O monitoramento é realizado através da análise periódica de amostras Procedimentos básicos A cada intervalo de tempo h por exemplo h 30 min selecionamse aleatoriamente 5 saquinhos n 5 cujos volumes são medidos Para cada amostra são calculadas a média dos volumes medidos e a amplitude amostral R que é a diferença entre o maior e o menor valores Os valores de média e amplitude das diversas amostras são marcados em seus respectivos gráficos Obs Esses gráficos possuem Limite Superior de Controle LSC Limite Inferior de Controle LIC e os pontos devem se distribuir em torno da Linha Média LM 2 Introdução aos Gráficos de Controle 17 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 1 Analisar o comportamento do processo em estudo a partir da coleta de um volume suficiente de dados por exemplo medidas de 100 saquinhos 2 Estabelecer as estatísticas descritivas desses dados tomando por base o valor alvo estabelecido para o processo 3 Identificar por alguma ferramenta específica se os possíveis desajustes do processo estão associados a causas especiais 4 Mitigar ou eliminar as causas especiais apontadas 5 Reavaliar o processo para definir se esse não se encontra sob a interferência de causas especiais considerar o processo sob controle 6 Especificar o novo valor alvo do processo e calcular os limites de controle a partir de novos dados agora extraídos a intervalos regulares 7 Gerar os gráficos de controle e iniciar o monitoramento do processo 2 Introdução aos Gráficos de Controle 18 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 2 Introdução aos Gráficos de Controle 1 Atividade Prática 1 Etapa 1 Quantidade 50 unidades Volume 40 ml Obs a a precisão do volume não é essencial e os saquinhos não deverão ser congelados nesse momento b o tempo despendido para a tarefa deve ser cronometrado 1 Analisar o comportamento do processo em estudo 19 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Os limites dos gráficos de controle são determinados com base na média e desvio padrão da variável X quando o processo está isento de causas especiais Portanto antes da sua construção devese conhecer estabilizar e ajustar o processo 975 985 995 1005 1015 1025 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Número das observações X ml Limites de especificação Volume dos saquinhos de leite processo instável Para monitorar o processo é necessário conhecêlo bem Para o exemplo em estudo podese coletar dados a intervalos regulares de tempo e plotálos sobre um eixo representativo do valor alvo do processo estabelecendose também limites aceitáveis superior e inferior 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 20 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 2 Introdução aos Gráficos de Controle 2 Estabelecer as estatísticas descritivas desses dados tomando por base o valor alvo estabelecido para o processo Atividade I Etapa I Grupo Nome Líder Média Variância D Padrão 1 Trem Gelado Marcelo Cotta 2 Chups chups Gourmet Vitória 3 Geladice Caroline 429 77 28 4 Qualitymaster Leonardo 325 103 32 21 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 2 Introdução aos Gráficos de Controle 3 Identificar por alguma ferramenta específica se os possíveis desajustes do processo estão associados a causas especiais 22 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 975 985 995 1005 1015 1025 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Número das observações X ml Limites de especificação Nesse caso o processo provavelmente está sob o efeito de diversas causas especiais Devemse identificálas e eliminálas 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 23 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo O Diagrama de Causa e Efeito é uma das ferramentas que podem ser utilizadas para se identificar possíveis causas especiais num processo Volume de leite Líquido Tubulação Impurezas Acúmulo de Gordura Entupimento do bocal 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 24 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Uma vez diagnosticadas as causas especiais procurase eliminálas por meio de ações corretivaspreventivas Causa especial Medida corretivapreventiva Impurezas no leite Utilização de filtros Gordura na tubulação Limpeza periódica da tubulação Entupimento do bocal Troca periódica do bocal 975 985 995 1005 1015 1025 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Número das observações X ml especificações Processo estável 2 Introdução aos Gráficos de Controle 4 Mitigar ou eliminar as causas especiais apontadas Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 25 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Atividade Prática III Em reunião com toda a equipe tente ajustar o processo de envase visando padronizar o processo e aumentar a sua precisão a Identificar e mitigareliminar causas especiais que vocês entendam que possam estar influindo nos resultados do processo de envase do produto b Padronizar os procedimentos de envasedesenvase do produto c Gerar relatório sobre essa atividade d Nova análise descritiva média moda mediana DP VAR e Histograma Alvo Quantidade 50 unidades Volume 40 ml Esse procedimento será o adotado na próxima Atividade Prática 2 Introdução aos Gráficos de Controle 5 Reavaliar o processo para definir se esse não se encontra sob a interferência de causas especiais considerar o processo sob controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 26 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Etapa 2 SUBGRUPOS RACIONAIS Vencida a Etapa 1 podemse construir os gráficos de controle média e amplitude Como µ e σ do processo são desconhecidos devemse estimálos Para superar a incerteza de que durante a produção o processo realmente permaneceu isento de causas especiais utilizase o conceito de Subgrupos Racionais que preconiza a retirada de pequenas amostras a intervalos de tempo regulares Ao invés de se retirarem os 50 saquinhos de uma vez retiramse amostras menores distanciadas no tempo 5 saquinhos a cada 30 min por exemplo Agindo assim minimizase a probabilidade de que uma amostra seja formada por elementos de diferentes populações 2 Introdução aos Gráficos de Controle 6 Especificar o novo valor alvo do processo e calcular os limites de controle a partir de novos dados agora extraídos a intervalos regulares Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 27 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Se ocorrer alguma perturbação decorrente de causas especiais haverá um aumento de variabilidade entre amostras Portanto a variância do processo deve ser estimada com base na dispersão dos valores dentro das amostras X fX Tempo 3 T 4 T 1 T X X X 2 T fX fX fX Variância Dentro Variância Entre 2 Introdução aos Gráficos de Controle 6 A Etapa 6 será descrita a seguir pelos slides 27 a 36 Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 28 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Existem várias maneiras de se estimar σ Observemos quatro delas chamaremos os estimadores resultantes de SA SB SC e SD Subgrupo i m8 Elemento j do subgrupo i n5 Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 Xi5 1 9929 10067 10027 10054 9983 2 10013 9953 9990 9991 9965 3 10012 10014 9990 9978 9942 4 9933 10021 9987 9936 9966 5 9968 10064 10069 9945 9984 6 10009 10042 9992 9978 9979 7 10002 10026 9983 10064 10058 8 10033 9961 10005 9952 10058 1 mn X X c 1 S m 1 i 2 n 1 j ij 4 A m X X m i i 1 n X X n j ij 1 Xij é o jésimo elemento do iésimo grupo n é o tamanho da amostra e m o número de subgrupos ESTIMANDO A VARIABILIDADE DO PROCESSO SA considera as m amostras de n unidades como única grande amostra com mn unidades 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 29 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo SB é baseado no desvio padrão das médias dos subgrupos n m X X c S m i i B 1 1 1 2 4 SC é baseado nos desvios padrão amostrais Si dos m subgrupos 1 1 2 n X X S n j i ij i S m S m i i 1 4c S SC R m R m i i 1 R d2 SD SD é baseado na amplitude amostral R ESTIMANDO A VARIABILIDADE DO PROCESSO 𝑅𝑖 é a amplitude do iésimo subgrupo 2 Introdução aos Gráficos de Controle 30 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo n 2 3 4 5 6 7 8 c4 0798 0886 0921 0940 0952 0959 0965 d2 1128 1693 2059 2326 2534 2704 2847 d3 0853 0888 0880 0864 0848 0833 0820 Valores de c4 d2 e d3 n 9 10 11 12 13 14 15 c4 0969 0973 0975 0978 0979 0981 0982 d2 2970 3078 3173 3258 3336 3407 3472 d3 0808 0797 0787 0778 0770 0763 0756 ESTIMANDO A VARIABILIDADE DO PROCESSO 2 Introdução aos Gráficos de Controle 31 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Subgrupo i Elemento j do subgrupo i Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 Xi5 i X i R i S 1 9929 10067 10027 10054 9983 2 10013 9953 9990 9991 9965 3 10012 10014 9990 9978 9942 4 9933 10021 9987 9936 9966 5 9968 10064 10069 9945 9984 6 10009 10042 9992 9978 9979 7 10002 10026 9983 10064 10058 8 10033 9961 10005 9952 10058 1 1 1 2 1 4 mn X X c S m i n j ij A n m X X c S m i i B 1 1 1 2 4 4c S SC R d2 SD SA 43 SB 43 SC 41 SD 39 10012 138 56 9982 60 24 9987 72 29 9969 88 37 10006 124 57 10000 64 27 10027 81 35 10002 106 46 ESTIMANDO A VARIABILIDADE DO PROCESSO 2 Introdução aos Gráficos de Controle 32 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Deslocamentos da média durante o período compreendido entre a retirada da primeira e da mésima amostra afetam drasticamente as estimativas SA e SB Motivo SA é baseada na dispersão de todos os pontos que obviamente aumenta quando a média do processo não se mantém estável SB é baseada justamente nas diferenças entre as médias amostrais Assim SC e SD são estimativas mais confiáveis pois se baseiam apenas na dispersão dos valores dentro das amostras sendo insensíveis a causas especiais ESTIMANDO A VARIABILIDADE DO PROCESSO 2 Introdução aos Gráficos de Controle 33 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Uma vez eliminadas as causas especiais e estabelecidas as medidas contra a sua reincidência podese iniciar a construção dos gráficos de controle Variável a ser controlada é contínua volume de leite em um saquinho Usualmente utilizamse o gráfico de Xbarra para monitorar a centralidade e de R para monitorar a dispersão Os limites para o gráfico de Xbarra dependem da estimativa de média e desvio os limites para o gráfico de R dependem apenas do desvio 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 34 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Os limites para o gráfico de R estão situados a três desvios padrão de afastamento da média Gráfico de R 𝜇𝑅 𝑑2𝜎 𝜎𝑅 𝑑3𝜎 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝜇𝑅 3𝜎𝑅 𝐿𝑀𝑅 𝜇𝑅 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝜇𝑅 3𝜎𝑅 Se a distribuição da variável X for normal então a distribuição da amplitude amostral R terá média e desvio padrão dados por 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 𝜎0 3𝑑3 𝜎0 𝐿𝑀𝑅 𝑑2 𝜎0 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝑑2 𝜎0 3𝑑3 𝜎0 Resultando em 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎0 𝐿𝑀𝑅 𝑑2 𝜎0 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎0 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 𝜎0 𝑆𝐷 ത𝑅 𝑑2 Sendo que 35 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 𝐿𝑆𝐶 ҧ𝑥 𝜇 ҧ𝑥 3𝜎 ҧ𝑥 𝐿𝑀 ҧ𝑥 𝜇 ҧ𝑥 𝐿𝐼𝐶 ҧ𝑥 𝜇 ҧ𝑥 3𝜎 ҧ𝑥 Gráfico de ത𝑋 Xbarra Supondo independência entre os valores da amostra A relação entre a variância das observações individuais é O desvio padrão é a raiz quadrada da variância 𝜇 ҧ𝑥 𝜇𝑥 𝜎 ҧ𝑥 2 𝜎𝑥2 𝑛 𝜎 ҧ𝑥 𝜎𝑥 𝑛 Os limites para o gráfico de ത𝑋 devem estar situados a três desvios padrão de afastamento da média a Linha Média está localizada na média de ത𝑋 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 36 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Obtenção da média e desvio padrão Os valores que interessam para média µ e desvio σ são aqueles obtidos quando o processo está sob controle µ0 e σ0 Como não são conhecidos utilizamse as suas estimativas Ƹ𝜇0 𝑒 𝜎0 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 Ƹ𝜇0 3 𝜎0 𝑛 𝐿𝑀 ത𝑋 Ƹ𝜇0 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 3 𝜎0 𝑛 Portanto 2 Introdução aos Gráficos de Controle Etapas para a construção dos Gráficos de Controle 𝜎0 𝑆𝐷 ത𝑅 𝑑2 Sendo que 37 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de R Construção dos Gráficos de Controle a partir dos seguintes subgrupos racionais 2 Introdução aos Gráficos de Controle 7 Gerar os gráficos de controle e iniciar o monitoramento do processo 38 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de R 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 𝜎0 3𝑑3 𝜎0 𝐿𝑀𝑅 𝑑2 𝜎0 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 𝜎0 3𝑑3 𝜎0 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎0 2326 3 0864 473 126 𝐿𝐼𝐶𝑅 000 𝐿𝑀𝑅 𝑑2 𝜎0 ሜ𝑅 110 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎0 2326 3 0864 473 2326 2 Introdução aos Gráficos de Controle 39 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de R O que fazer quando ocorre aumento na VARIABILIDADE DO PROCESSO Se é possível identificar a causa especial então Eliminase a amostra ou amostras da análise Se forem muitas essas amostras e restarem poucas para a estimativa inicial de Rbarra devese prolongar o período de coleta de amostras destinado à construção dos limites de controle Se não é possível identificar a causa especial então Manter o ponto e construir os limites a partir de todas as amostras ou Retirar o ponto com base na ideia de que o mais provável é que ele tenha sido obtido em um instante em que o processo estava sob a influência de uma causa especial OBS Tratandose de apenas um ponto mantêlo ou retirálo não afetará significativamente os limites de controle 2 Introdução aos Gráficos de Controle 40 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de R Supondo que a causa especial foi diagnosticada e confirmouse que a mesma afetou apenas o 12º grupo racional calculase os novos limites de controle desconsiderandose esse grupo 2220 ˆ 3d d LSC 0 3 2 R 10 5 R LM R 000 LIC 1 20 ˆ 3d d LIC R 0 3 2 R 4 514 326 2 5 10 2 0 d R S ˆ D 2 Introdução aos Gráficos de Controle 41 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de R 105 2221 00 50 100 150 200 250 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Número da Amostra Amplitude R RESULTADO as amplitudes se distribuem aleatoriamente em torno da linha média e nenhum deles excede os limites de controle 2 Introdução aos Gráficos de Controle 42 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de R O Gráfico de R pode ser construído com o processo desajustado bastando que o mesmo esteja isento de causas especiais Isso porque o deslocamento da média do processo provoca um deslocamento de todas as observações fazendo com que a dispersão permaneça inalterada Essa é a razão pela qual começamos a construção dos gráficos de controle com gráfico de R O valor calculado Rbarrad2 será uma estimativa bastante confiável do valor em controle do desvio padrão do processo e será utilizado no cálculo do limites de controle para o Gráfico da Média 2 Introdução aos Gráficos de Controle 43 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de Xbarra Com base nos valores de Xij e ሜXi dos 24 subgrupos racionais de tamanho 5 m24 n5 bem como na média das médias ሜሜX e utilizandose as estimativas 𝜎0 4514 e 𝜇0 ሜሜ𝑋 10000 chegamos ao cálculo dos limites de controle para o Gráfico das Médias 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 Ƹ𝜇0 3 𝜎0 𝑛 𝐿𝑀 ത𝑋 Ƹ𝜇0 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 3 𝜎0 𝑛 n ˆ ˆ LSCX 1 1006 5 3 4 514 1000 0 3 0 0 ˆ LM X 0 1000 0 n ˆ ˆ LICX 9 993 5 3 4 514 1000 0 3 0 0 2 Introdução aos Gráficos de Controle 44 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de Xbarra 990 995 1000 1005 1010 1 4 7 10 13 16 19 22 25 Número da Amostra Xbarra 10060 10000 9940 Eliminase agora a média da 13ª amostra que está acima do limite superior de controle obtendose os novos limites a partir da média de 23 subgrupos racionais de tamanho 5 M23 n5 2 Introdução aos Gráficos de Controle 45 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráfico de Xbarra 8 1005 5 3 4 514 999 7 3 ˆ ˆ 0 0 n LSCX ˆ LM X 0 999 7 6 993 5 3 4 514 999 7 3 ˆ ˆ 0 0 n LICX 9936 10058 9997 9900 9940 9980 10020 10060 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Número da Amostra Xbarra Uma vez determinados os limites de controle esses não devem mais ser alterados a não ser que o processo produtivo sofra mudanças permanentes 2 Introdução aos Gráficos de Controle 46 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo RESUMO LSCr 2220 LMCr 1050 LICr 120 LSCx 100576 LMCx 99970 LICx 99364 Limites de Controle n m d2 d3 0864 1050 451419 99970 Dados 5 25 2326 2 Introdução aos Gráficos de Controle 47 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Atividade Prática III Após ajustar o processo devidamente de modo a consideralo sob controle com base nos dados tabulados da Atividade Prática III calcule os limites de controle adequadamente Com os limites de controle definidos iniciase o controle periódico do processo acompanhando o processo de envase sistematicamente Quantidade 50 unidades Volume 40 ml A cada 5 unidades envasadas calcule as estatísticas de controle e plote os resultados nos gráficos correspondentes Construa os Gráficos de Controle de Amplitude e Média 2 Introdução aos Gráficos de Controle 48 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo As constantes de referência de Montgomery para os Gráficos de Controle Como já apresentado os limites de controle para o Gráfico de Amplitude R é dado por 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎0 𝐿𝑀𝑅 𝑑2 𝜎0 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎0 Observase que o fator que muda nas expressões dos limites Superior e Inferior é o desvio padrão estimado no momento em que o processo se encontrava sob controle 𝜎0 Assim Montgomery 2016 propôs que se tabelassem os fatores constantes desses limites 𝑑2 3𝑑3 e 𝑑2 3𝑑3 gerando as constantes D1 e D2 𝐷1 𝑑2 3𝑑3 𝐷2 𝑑2 3𝑑3 Portanto E os limites do gráfico de R com valor de referência 𝜎 são 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝐷2𝜎 𝐿𝑀𝑅 𝑑2𝜎 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝐷1𝜎 2 Introdução aos Gráficos de Controle 49 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo As constantes de referência de Montgomery para os Gráficos de Controle Da mesma forma os limites para o gráfico de médias é dado por A quantidade 3Τ 𝑛 𝐴 digamos é uma constante que depende somente de n Consequentemente os limites de controle para esse gráfico pode ser descrito como 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 Ƹ𝜇0 3 𝜎0 𝑛 𝐿𝑀 ത𝑋 Ƹ𝜇0 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 3 𝜎0 𝑛 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝜇 𝐴𝜎 𝐿𝑀 ത𝑋 𝜇 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 𝐴𝜎 2 Introdução aos Gráficos de Controle 1 Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle Amplitude Móvel Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Amplitude Móvel Crie os gráficos de controle para as seguintes medidas de temperatura para um determinado tratamento térmico Nº Temperatura Nº Temperatura Nº Temperatura 1 9543 9 989 17 9761 2 9985 10 9692 18 9722 3 10009 11 957 19 10178 4 10173 12 9505 20 10332 5 10218 13 9781 21 10203 6 9837 14 9784 22 10402 7 10121 15 10309 23 9868 8 9626 16 9518 24 9838 3 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Há muitas situações em que o tamanho da amostra para monitoramento do processo é n1 isto é a amostra consiste de uma única medida Toda unidade fabricada é inspecionada não existindo razão para formar subgrupos racionais Os dados se tornam disponíveis muito lentamente tornando inconveniente acumular amostras de tamanho n1 Medidas repetidas do processo diferem apenas por causa de erro de laboratório ou análise como em muitos processos químicos Várias medidas são tomadas em uma mesma unidade de produto Medidas de alguns parâmetros diferem muito pouco e produzem um desviopadrão muito pequeno Os processos se constituem de transações negócios e serviços Amplitude Móvel 4 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Quando os subgrupos têm apenas um elemento há certa dificuldade em se definir a variabilidade e calcular a amplitude A solução é trabalhar com a amplitude móvel AM A AM é a diferença entre duas mensurações sequenciais 𝑀𝑅𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 com i 2m E os limites para Média e Amplitude Móvel são obtidos por 𝐿𝑆𝐶 ҧ𝑥 ҧ𝑥 3 𝜎 𝐿𝑀 ҧ𝑥 ҧ𝑥 𝐿𝐼𝐶 ҧ𝑥 ҧ𝑥 3 𝜎 O desvio estimado é dado por 𝜎 𝑀𝑅 𝑑2 onde 𝑀𝑅 σ𝑖2 𝑚 𝑀𝑅𝑖 𝑚1 Sendo AM baseada em 2 observações n2 então d2 1128 e d3 0853 Como a princípio trata se de processos com n 1 então 𝜎Τ 𝑛 não se aplica 𝐿𝑆𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎 𝐿𝑀𝑅 𝑀𝑅 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝑑2 3𝑑3 𝜎 Amplitude Móvel 5 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Amplitude Móvel Voltando ao exemplo inicial por se tratar de temperaturas não há como se utilizar o conceito de subgrupos racionais Portanto aplicase o gráfico de controle para a Amplitude Móvel Nº Temperatura 1 9543 2 9985 3 10009 4 10173 5 10218 6 9837 7 10121 8 9626 𝑀𝑅𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 2 𝑀𝑅2 9985 9543 442 𝑀𝑅3 10009 9985 024 𝑀𝑅4 10173 10009 164 𝑀𝑅5 10218 10173 045 𝑀𝑅6 9837 10218 381 𝑀𝑅7 10121 9837 284 𝑀𝑅8 9626 10121 495 𝑀𝑅𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 com i 2m 6 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Nº Temperatura Amplitude Móvel Nº Temperatura Amplitude Móvel Nº Temperatura Amplitude Móvel 1 9543 442 9 9890 198 17 9761 039 2 9985 024 10 9692 122 18 9722 456 3 10009 164 11 9570 065 19 10178 154 4 10173 045 12 9505 276 20 10332 129 5 10218 381 13 9781 003 21 10203 199 6 9837 284 14 9784 525 22 10402 534 7 10121 495 15 10309 791 23 9868 030 8 9626 264 16 9518 243 24 9838 Total 5863 Amplitude Móvel 𝑀𝑅 5863 23 255 𝑟 𝑚 1 23 𝑛 2 𝑑2 1128 𝜎 𝑀𝑅 𝑑2 255 1128 226 7 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Nº Temperatura Amplitude Móvel Nº Temperatura Amplitude Móvel Nº Temperatura Amplitude Móvel 1 9543 442 9 9890 198 17 9761 039 2 9985 024 10 9692 122 18 9722 456 3 10009 164 11 9570 065 19 10178 154 4 10173 045 12 9505 276 20 10332 129 5 10218 381 13 9781 003 21 10203 199 6 9837 284 14 9784 525 22 10402 534 7 10121 495 15 10309 791 23 9868 030 8 9626 264 16 9518 243 24 9838 Média 9911 255 𝐿𝑆𝐶𝑋 9911 3 226 10589 𝐿𝑀𝑋 9911 𝐿𝐼𝐶𝑋 𝜇𝑅 3 226 92328 𝐿𝑆𝐶𝑀𝑅 1128 3 0853 226 833 𝐿𝑀𝑀𝑅 255 𝐿𝐼𝐶𝑀𝑅 1128 3 0853 226 0 Amplitude Móvel 1 Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle Regras Suplementares de Decisão Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão Padrões em gráficos de controle devem ser avaliados Montgomery 2016 A única regra de decisão avaliada até aqui diz que um ponto amostral dentro dos limites de controle indica que o operador não deve intervir no processo um ponto fora porém indica que o operador deve investigar o processo em busca de causas especiais que estejam atuando sobre o processo desestabilizandoo Entretanto quando os pontos plotados exibem algum padrão de comportamento não aleatório podem indicar um condição de fora de controle Observe o gráfico de ҧ𝑥 ao lado Embora os 25 pontos estejam dentro dos limites de controle notamos que 19 dos 25 pontos se localizam abaixo da linha central Em um esperado comportamento aleatório haveria uma distribuição mais equilibrada deles acima e abaixo da linha central Observase também sequências crescentes e decrescentes que podem indicar problemas 3 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão Com o propósito de acelerar a detecção de alterações no processo novas regras de decisão foram sugeridas e podem ser utilizadas são as chamadas Regras Suplementares de Decisão ou Regras Sensibilizantes As Regras Suplementares de Decisão em geral são definidas apenas para o gráfico de ҧ𝑥 e tentam acurar a percepção intuitiva do operador de que algo no processo pode estar fora de ordem Devese observar entretanto que adotandose Regras Suplementares de Decisão a proteção contra alarmes falsos decai ou seja o risco 𝜶 aumenta 4 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão As regras suplementares nos auxiliam a identificar padrões de comportamento não aleatórios dos gráficos de controle de ҧ𝑥 Sequências definimos sequência como uma fila de observações do mesmo tipo Além das sequências crescentes e decrescentes slide anterior poderíamos definir os tipos de observações como aquelas acima ou abaixo da linha central de modo que 2 pontos em fila acima da linha central formariam uma sequência de comprimento 2 Uma sequência de 8 ou mais pontos tem probabilidade muito pequena de ocorrer em uma amostra aleatória Consequentemente qualquer tipo de sequência de comprimento 8 ou mais é sempre considerada como um sinal de condição fora de controle 5 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão Considere o gráfico de controle de ҧ𝑥 a seguir Note que as médias amostrais marcadas exibem um comportamento cíclico embora estejam todas dentro dos limites de controle Tal padrão pode indicar um problema com o processo tal como fadiga do operador falhas na entrega da matériaprima acúmulo de calor ou tensão e assim por diante Embora o processo não esteja realmente fora de controle a produção pode ser melhorada pela eliminação ou redução das fontes de variabilidade que estejam causando esse comportamento cíclico 6 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão O reconhecimento de padrão isto é o reconhecimento de padrões sistemáticos não aleatórios no gráfico de controle não é trivial Para auxiliar na identificação desses padrões O Statistical Quality Control Handbook 1956 da Western Electric sugere um conjunto de regras de decisão para sua detecção Especificamente sugere que se conclua que o processo está fora de controle se 1 Um ponto se localiza fora dos limites de controle de três sigmas 2 Dois em três pontos consecutivos se localizam além dos limites de alerta de dois sigmas 3 Quatro em cinco pontos consecutivos se localizam a uma distância de um sigma ou mais em relação à linha central ou 4 Oito pontos consecutivos se localizam de um mesmo lado da linha central 7 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão As regras da Western Electric por vezes são chamadas de Regras de Zona para gráficos de controle pois divide o gráfico em três zonas de um sigma cada em ambos os lados do gráfico conforme a figura abaixo LSC LIC LM 8 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão Adicionalmente às regras de Western Electric ouras regras foram incorporadas a fim de atribuir maior sensibilidade aos gráficos de controle Assim a lista de regras suplementares que são largamente utilizadas na prática é 1 Um ponto se localiza fora dos limites de controle de três sigmas 2 Dois em três pontos consecutivos se localizam além dos limites de alerta de dois sigmas 3 Quatro em cinco pontos consecutivos se localizam a uma distância de um sigma ou mais em relação à linha central ou 4 Oito pontos consecutivos se localizam de um mesmo lado da linha central 5 Seis pontos em uma sequência sempre crescente ou decrescente 6 Quinze pontos em sequência na zona C acima ou abaixo da LM 7 Quatorze pontos em sequência alternadamente para cima ou para baixo 8 Oito pontos em sequência de ambos os lados com nenhum na zona C 9 Um padrão não usual ou não aleatório nos dados 10Um ou mais pontos perto de um limite de alerta ou de controle Western Electric Regras Adicionais 9 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Notação para descrição das regras suplementares de decisão Cn L m a b No gráfico de ҧ𝑥 um sinal ocorre sempre que dentre os m últimos pontos ao menos L estiver entre De acordo com essa notação a regra básica um ponto fora dos limites de controle é expressa como C1 1 1 K ou 1 1 K 𝝁𝟎 𝒂𝝈 ሜ𝑿 𝝁𝟎 𝒃𝝈 ሜ𝑿 4 Regras Suplementares de Decisão 10 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo de algumas regras suplementares C2 2 2 2 ou 2 2 2 C3 2 3 2 ou 2 3 2 4 Regras Suplementares de Decisão 11 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo de algumas regras suplementares C4 3 4 16 ou 3 4 16 4 Regras Suplementares de Decisão 12 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo de algumas regras suplementares C5 8 8 0 ou 8 8 0 4 Regras Suplementares de Decisão 13 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo de algumas regras suplementares C6 10 10 0 ou 10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 XBarra 4 Regras Suplementares de Decisão 14 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão Regras Utilizadas Probabilidade de Alarme Falso Frequência Esperada de Alarmes Falsos C1 00027 1 a cada 3704 inspeções C1 e C2 00036 1 a cada 2780 inspeções C1 e C3 00044 1 a cada 2255 inspeções C1 e C4 00035 1 a cada 2862 inspeções C1 e C5 00065 1 a cada 1528 inspeções C1 e C6 00037 1 a cada 2738 inspeções Regras Utilizadas Novo Valor para k C1 3 C1 e C2 31274 C1 e C3 33492 C1 e C4 31072 C1 e C5 C1 e C6 31316 Frequência de alarmes falsos no gráfico de ഥ𝒙 com regras suplementares Valores de k que garantem 𝜶 𝟎 𝟎𝟎𝟐𝟕 15 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo 4 Regras Suplementares de Decisão MONTGOMERY D C Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade 7ª Ed LTC 2016 Referências WESTERN ELECTRIC CO Statistical Quality Control Handbook Western Electric Co 1956 KONRATH A C Influência do processo de medição no controle estatístico de processos Tese Doutorado em Engenharia Mecânica UFSC Florianópolis SC 2008 Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W A tabela fornece PrW W0 área sombreada W0 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 005 00282 00007 010 00564 00028 00001 015 00845 00062 00004 020 01125 00110 00010 00001 025 01403 00171 00020 00002 030 01680 00245 00034 00004 035 01955 00332 00053 00008 040 02227 00431 00079 00014 045 02497 00543 00111 00022 00004 00001 050 02763 00666 00152 00033 00007 00002 055 03027 00800 00200 00048 00011 00003 060 03286 00944 00257 00068 00017 00004 00001 065 03542 01099 00322 00092 00026 00007 00002 070 03794 01263 00398 00121 00036 00011 00003 00001 075 04041 01436 00483 00157 00050 00016 00005 00002 080 04284 01616 00578 00200 00068 00023 00008 00002 085 04522 01805 00682 00250 00090 00032 00011 00004 00001 090 04755 02000 00797 00308 00117 00044 00016 00006 00002 095 04983 02201 00922 00375 00150 00059 00023 00009 00003 100 05205 02407 01057 00450 00188 00078 00032 00013 00005 105 05422 02618 01201 00535 00234 00101 00043 00018 00008 110 05633 02833 01355 00629 00287 00129 00058 00025 00011 115 05839 03052 01517 00733 00348 00163 00075 00035 00016 120 06039 03272 01688 00847 00417 00203 00098 00047 00022 125 06232 03495 01867 00970 00495 00249 00125 00062 00030 130 06420 03719 02054 01104 00583 00304 00157 00080 00041 135 06602 03943 02248 01247 00680 00366 00195 00103 00054 140 06778 04168 02448 01400 00787 00437 00240 00131 00071 145 06948 04392 02654 01562 00904 00516 00292 00164 00092 150 07112 04614 02865 01733 01031 00606 00353 00204 00117 155 07269 04835 03080 01913 01168 00705 00421 00250 00148 160 07421 05053 03299 02101 01315 00814 00499 00304 00184 165 07567 05269 03521 02296 01473 00934 00587 00366 00227 170 07707 05481 03745 02498 01639 01064 00684 00437 00278 175 07841 05690 03970 02706 01815 01204 00792 00517 00336 180 07969 05894 04197 02920 02000 01355 00910 00607 00403 185 08092 06094 04423 03138 02193 01516 01039 00707 00479 190 08209 06290 04649 03361 02394 01686 01178 00818 00565 195 08321 06480 04874 03587 02602 01867 01329 00939 00661 265 Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W continuação A tabela fornece PrW W0 área sombreada W0 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 200 08427 06665 05096 03816 02816 02056 01489 01072 00768 205 08528 06845 05317 04046 03035 02254 01661 01216 00886 210 08624 07019 05534 04277 03260 02460 01842 01371 01015 215 08716 07187 05748 04508 03489 02673 02032 01536 01155 220 08802 07349 05957 04739 03720 02893 02232 01712 01307 225 08884 07505 06163 04969 03955 03118 02440 01899 01470 230 08961 07655 06363 05196 04190 03348 02656 02095 01645 235 09034 07799 06559 05421 04427 03582 02878 02300 01829 240 09103 07937 06748 05643 04663 03802 03107 02514 02025 245 09168 08069 06932 05861 04899 04059 03341 02735 02229 250 09229 08195 07110 06075 05132 04300 03579 02963 02443 255 09286 08315 07282 06283 05364 04541 03820 03198 02665 260 09340 08429 07448 06487 05592 04782 04064 03437 02894 265 09390 08537 07607 06685 05816 05022 04310 03680 03130 270 09438 08640 07759 06877 06036 05259 04555 03927 03372 275 09482 08737 07905 07063 06252 05494 04801 04175 03617 280 09523 08828 08045 07242 06461 05725 05045 04425 03867 285 09561 08915 08177 07415 06665 05952 05286 04675 04119 290 09597 08996 08304 07581 06863 06174 05525 04923 04372 295 09630 09073 08424 07739 07055 06391 05760 05171 04625 300 09661 09145 08537 07891 07239 06601 05991 05415 04878 305 09690 09212 08645 08036 07416 06806 06216 05656 05129 310 09716 09275 08746 08174 07587 07003 06436 05892 05378 315 09741 09334 08842 08305 07750 07194 06649 06124 05623 320 09763 09388 08931 08429 07905 07377 06856 06350 05864 325 09784 09439 09016 08546 08053 07553 07055 06569 06099 330 09804 09487 09095 08657 08194 07721 07055 06569 06099 335 09822 09531 09168 08761 08327 07881 07432 06988 06553 340 09838 09572 09237 08859 08454 08034 07609 07186 06769 345 09853 09610 09302 08951 08573 08179 07778 07376 06978 350 09867 09644 09361 09037 08685 08316 07938 07558 07180 355 09879 09677 09417 09117 08790 08446 08091 07732 07373 360 09891 09706 09468 09192 08889 08568 08236 07898 07558 365 09901 09734 09516 09261 08981 08683 08372 08055 07735 370 09911 09759 09560 09326 09067 08790 08501 08204 07903 375 09920 09782 09600 09386 09147 08891 08622 08345 08062 380 09928 09803 09637 09441 09222 08985 08736 08477 08212 385 09935 09822 09672 09493 09291 09073 08842 08602 08355 390 09942 09840 09703 09540 09355 09155 08941 08718 08488 395 09948 09856 09732 09583 09415 09230 09034 08827 08614 266 Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W continuação A tabela fornece PrW W0 área sombreada Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W continuação A tabela fornece PrW W0 área sombreada Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W continuação A tabela fornece PrW W0 área sombreada Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W continuação A tabela fornece PrW W0 área sombreada W0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 300 04382 03927 03511 03134 02792 02484 02207 01959 01736 305 04639 04186 03769 03387 03039 02723 02436 02177 01944 310 04895 04446 04029 03645 03292 02969 02675 02407 02163 315 05150 04706 04291 03907 03551 03223 02922 02646 02394 320 05401 04965 04554 04171 03814 03483 03177 02894 02634 325 05649 05222 04817 04437 04080 03748 03438 03151 02884 330 05893 05475 05078 04703 04348 04016 03704 03413 03142 335 06131 05725 05337 04967 04617 04286 03974 03681 03407 340 06363 05970 05592 05230 04885 04557 04246 03953 03676 345 06589 06209 05842 05489 05150 04827 04519 04227 03950 350 06807 06442 06087 05744 05413 05096 04792 04502 04226 355 07017 06668 06326 05994 05672 05362 05063 04777 04504 360 07220 06886 06558 06237 05926 05624 05332 05051 04781 365 07414 07096 06782 06474 06173 05881 05597 05322 05056 370 07600 07298 06999 06704 06414 06132 05856 05588 05329 375 07776 07491 07206 06925 06648 06376 06110 05850 05598 380 07944 07675 07406 07138 06874 06613 06357 06106 05861 385 08103 07850 07596 07342 07090 06842 06596 06355 06118 390 08254 08016 07777 07537 07298 07062 06827 06596 06369 395 08395 08173 07948 07723 07497 07273 07050 06829 06611 400 08528 08321 08111 07899 07686 07474 07263 07053 06845 405 08653 08460 08264 08066 07866 07666 07466 07268 07070 410 08769 08590 08408 08223 08036 07848 07660 07472 07285 415 08878 08712 08543 08371 08196 08021 07844 07667 07491 420 08978 08826 08669 08509 08347 08183 08018 07852 07686 425 09072 08931 08787 08639 08488 08336 08182 08027 07871 430 09158 09029 08896 08760 08620 08479 08336 08191 08046 435 09238 09120 08998 08872 08744 08613 08480 08346 08210 440 09312 09204 09092 08976 08858 08737 08615 08490 08364 445 09379 09281 09178 09073 08964 08853 08740 08625 08508 450 09441 09352 09258 09162 09062 08960 08856 08750 08643 455 09498 09417 09332 09244 09153 09060 08964 08867 08768 460 09550 09476 09399 09319 09236 09151 09064 08975 08884 465 09597 09530 09460 09388 09313 09235 09155 09074 08991 470 09639 09579 09516 09451 09382 09312 09240 09165 09089 475 09678 09624 09567 09508 09446 09383 09317 09249 09180 480 09713 09665 09614 09560 09505 09447 09387 09326 09263 485 09745 09702 09656 09608 09557 09505 09452 09396 09339 490 09774 09735 09694 09650 09605 09559 09510 09460 09409 270 154 Tabela B Distribuição acumulada da amplitude relativa W continuação A tabela fornece PrW W0 área sombreada W0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 495 09799 09765 09728 09689 09649 09607 09563 09518 09472 500 09822 09791 09759 09724 09688 09650 09611 09571 09529 505 09843 09816 09786 09756 09723 09690 09655 09618 09581 510 09862 09837 09811 09784 09755 09725 09694 09661 09628 515 09878 09856 09833 09809 09783 09757 09729 09700 09670 520 09893 09874 09853 09832 09809 09785 09760 09735 09708 525 09906 09889 09871 09852 09832 09811 09789 09766 09742 530 09917 09903 09887 09870 09852 09833 09814 09794 09773 535 09928 09915 09901 09886 09870 09854 09836 09819 09800 540 09937 09925 09913 09900 09886 09872 09856 09841 09824 545 09945 09935 09924 09913 09900 09888 09874 09860 09846 550 09952 09943 09934 09924 09913 09902 09890 09878 09865 555 09958 09951 09942 09933 09924 09914 09904 09893 09882 560 09964 09957 09950 09942 09934 09925 09916 09907 09897 565 09969 09963 09956 09950 09943 09935 09927 09919 09910 570 09973 09968 09962 09956 09950 09944 09937 09930 09922 575 09976 09972 09967 09962 09957 09951 09945 09939 09932 580 09980 09976 09972 09967 09963 09958 09952 09947 09941 585 09982 09979 09976 09972 09968 09963 09959 09954 09949 590 09985 09982 09979 09976 09972 09968 09964 09960 09956 595 09987 09985 09982 09979 09976 09973 09969 09966 09962 600 09989 09987 09984 09982 09979 09977 09974 09971 09967 605 09990 09989 09987 09985 09982 09980 09977 09975 09972 610 09992 09990 09989 09987 09985 09983 09981 09978 09976 615 09993 09992 09990 09989 09987 09985 09983 09981 09979 620 09994 09993 09992 09990 09989 09987 09986 09984 09982 625 09995 09994 09993 09992 09990 09989 09988 09986 09985 630 09996 09995 09994 09993 09992 09991 09990 09988 09987 635 09996 09996 09995 09994 09993 09992 09991 09990 09989 640 09997 09996 09996 09995 09994 09993 09992 09992 09991 645 09997 09997 09996 09996 09995 09994 09994 09993 09992 650 09998 09997 09997 09996 09996 09995 09995 09994 09993 655 09998 09998 09997 09997 09996 09996 09995 09995 09994 660 09998 09998 09998 09997 09997 09997 09996 09996 09995 665 09999 09998 09998 09998 09997 09997 09997 09996 09996 670 09999 09999 09998 09998 09998 09998 09998 09997 09997 675 09999 09999 09999 09998 09998 09998 09998 09997 09997 680 09999 09999 09999 09999 09998 09998 09998 09998 09998 685 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09998 09998 09998 690 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09998 09998 695 10000 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 271