CEP-Controle-Estatistico-do-Processo-Analise-de-Desempenho-dos-Graficos-de-Controle

1 Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Num julgamento infelizmente um inocente pode ir pra cadeia assim como um criminoso pode ganhar a liberdade Dispondo a questão em teste de hipóteses têmse H0 o réu é inocente hipótese fundamental H1 o réu é culpado hipótese alternativa Os erros de julgamento poderiam ser condenar um réu inocente ou então absolver um réu culpado REALIDADE H0 verdadeira H0 falsa DECISÃO aceitar H0 decisão correta 1 erro tipo I rejeitar H0 erro tipo II decisão correta 1 3 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle A hipótese H0 é aceita como verdadeira todas as vezes que o valor de Xbarra cair dentro dos limites de controle Já a hipótese H1 é aceita como verdadeira sempre que o valor de Xbarra cair fora dos limites de controle Se o processo estiver sob controle H0 verdadeira 𝛼 é a probabilidade de se considerar esse processo fora de controle alarme falso LIC LSC ou X Pr X 0 X X LSC X Pr LIC 0 X X H0 0 H1 0 Portanto tudo se resume a um teste de hipóteses Por outro lado se o processo estiver fora de controle H1 verdadeira 𝛽 é a probabilidade de se considerar esse processo sob controle não detecção 4 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle REALIDADE H0 verdadeira H0 falsa DECISÃO aceitar H0 decisão correta 1 erro tipo I rejeitar H0 erro tipo II decisão correta 1 H0 o réu é inocente hipótese fundamental H1 o réu é culpado hipótese alternativa Consequências Erro Tipo II β Não Detecção não intervir no processo quando ele está sob influência de causas especiais Erro Tipo I α Alarme Falso intervir no processo quando ele está isento de causas especiais correndose o risco de desajustar um processo que estava ajustado 5 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Dado que o processo é considerado em controle H0 verdadeira quando Xbarra cai dentro dos limites do gráfico e fora de controle H0 falsa quando Xbarra está fora dos limites do gráficos as probabilidade de alarme falso α e de não detecção β são dadas por 𝛼 𝑃𝑟 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝑜𝑢 ത𝑋 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋𝜇 𝜇0 𝛽 𝑃𝑟 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋𝜇 𝜇0 𝐸 ത𝑋 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑋 𝜇 ത𝑋 𝜇 𝜎 ത𝑋 𝜎 𝑛 Definindo a variável aleatória Z como 𝑍 ത𝑋𝜇ഥ𝑋 𝜎ഥ𝑋 esta será N01 Quando o processo está em controle µ µ0 e σ σ0 Portanto 𝜇 ത𝑋 𝜇0 𝜎 ത𝑋 𝜎0 𝑛 6 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 𝛼 𝑃𝑟 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝑃𝑟 ത𝑋 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝑃𝑟 𝑍 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 𝜎 ത𝑋 𝑃𝑟 𝑍 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 𝜎 ത𝑋 Substituindo 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 por 𝜇0 3𝜎 ҧ𝑋 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 por 𝜇0 3𝜎 ത𝑋 e supondo o processo em controle 𝜇 ത𝑋 por 𝜇0 e 𝜎 ത𝑋 por 𝜎0 𝑛 chegase após simplificações imediatas a 𝛼 𝑃𝑟 𝑍 3 Para um processo sob controle a probabilidade de um ponto de ҧ𝑥 cair fora dos limites é dada por 𝛼 𝑃𝑟 𝑍 3 𝑃𝑟 𝑍 3 7 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Essa probabilidade encontrase tabelada Essa é a probabilidade de o valor de Xbarra cair na região de ação do gráfico acima de LSC ou abaixo do LIC ou seja a probabilidade de que cada amostra tem de gerar alarme falso O número médio de amostras até um alarme falso NMAF é igual a 1α Para z 3 o risco α é a área das caudas 000135 000135 00027 LM 0 n N X N 0 0 X X 10 N X Z X X n k LIC 0 0 k n k LSC 0 0 0 k 2 2 Tradicionalmente k300 X v a Z v a 8 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 15 30 45 60 75 90 105 Minutos n N X N 0 0 X X LM 0 n 3 LSC 0 0 Alarme falso n 3 LIC 0 0 Ocorrência de alarme falso no gráfico das médias Se o número médio de amostras até um alarme falso NMAF é 1α 100027 limites de 3sigma então teremos um alarme falso a cada 3704 pontos plotados no gráfico 9 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Caso se considere essa frequência de alarmes falsos inaceitável pode se alargar os limites de controle pela adoção de um valor maior para k onde k é o fator de abertura dos limites Por exemplo se desejarmos alargar os limites de k 3 para k 31 têmse 𝐿𝑆𝐶 ത𝑋 Ƹ𝜇0 𝒌 𝜎0 𝑛 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝜇 ത𝑋 𝒌 𝜎0 𝑛 Com k 31 o risco de alarme falso diminui para 𝛼 𝑃𝑟 𝑍 31 000097 ou 𝛼 000194 considerando as duas caudas Esse valor corresponde a um alarme falso a cada 516 amostras ou 129 horas de produção considerando a retirada de amostras a cada 15 min 10 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Quando H1 é verdadeira geralmente ocorre um deslocamento da média do processo É usual expressar esse deslocamento em unidade iguais ao desvio padrão da variável X de forma que o novo valor da média possa ser escrito como 0 0 1 Portanto 0 0 1 Poder detecção do gráfico das médias O sinal só ocorre quando o 5º valor de ҧ𝑥 é plotado Nesse caso H1 é verdadeira pois LM não coincide com 𝜇 ҧ𝑥 𝜇1 11 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Pd é a probabilidade de um valor de ҧ𝑥 cair acima do limite superior mais a probabilidade desse valor cair abaixo do limite inferior O tamanho da amostra para o cálculo de Pd é fundamental Poder detecção do gráfico das médias 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 0 LM n X N 0 0 0 N0 1 X Z X X n k LIC 0 0 n k LSC 0 0 0 0 0 X n k n k Pd X a v Z a v n 12 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Poder detecção do gráfico das médias 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 𝑃 𝑍 𝑘 𝛿 𝑛 Para k 3 n 4 e 𝛿 10 têmse 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 3 1 4 𝑃 𝑍 3 1 4 𝑃𝑑 𝑃 𝑍 1 𝑃 𝑍 5 01587 0 Portanto 𝑵𝑴𝑨𝑽 𝟏 𝟎𝟏𝟓𝟖𝟕 𝟔 𝟑 Assim são necessárias em média 63 amostras de tamanho n 4 para se detectar um deslocamento de 1𝝈 da média 𝑵𝑴𝑨𝑽 Número médio de amostras até um alarme verdadeiro 13 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Delta n 2 3 4 5 9 z Pd z Pd z Pd z Pd z Pd 0250 2646 0004 2567 0005 2500 0006 2441 0007 2250 0012 0500 2293 0011 2134 0016 2000 0023 1882 0030 1500 0067 0750 1939 0026 1701 0044 1500 0067 1323 0093 0750 0227 1000 1586 0056 1268 0102 1000 0159 0764 0222 0000 0500 1250 1232 0109 0835 0202 0500 0309 0205 0419 0750 0773 1500 0879 0190 0402 0344 0000 0500 0354 0638 1500 0933 2000 0172 0432 0464 0679 1000 0841 1472 0930 3000 0999 3000 1243 0893 2196 0986 3000 0999 3708 1000 6000 1000 Valores de Pd para diferentes combinações de n e delta para k 3 14 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 𝛼 1 𝑃𝑟 𝐿𝐼𝐶𝑅 𝑅 𝐿𝑆𝐶𝑅𝜎 𝜎0 Pr 0 R R LSC R LIC Teste de hipóteses para análise de desempenho dos gráficos de R Quando a hipótese H0 é verdadeira existe o risco 𝛼 de um valor de R cair fora dos limites de controle sinalizando erroneamente um estado de falta de controle Quando a hipótese H1 é verdadeira existe o risco 𝛽 de um valor de R cair dentro dos limites de controle não sinalizando o estado de falta de controle 𝐻0 𝜎 𝜎0 𝐻1 𝜎 𝜎0 15 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 2 R d 3 R d R Distribuição da amplitude de R 0 2 R d R 0 3 0 2 R 3d d LSC 3 0 2 0 3d d 0 0027 0 3 R d 0 LICR O risco de alarme falso é diferente de 00027 Na verdade é maior que esse valor Para n entre 2 e 6 LIC 0 e portanto LICR é fixado em zero O cálculo da probabilidade de uma amplitude R ser menor que dado valor R0 não é simples Contudo a variável 𝑊 𝑅𝜎 encontrase tabelada para diferentes w0 e n0 16 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 2 R d 0 R 3 0 2 R 3d d LSC 3 0 2 0 3d d 0 0027 0 3 R d LICR 0 Distribuição da amplitude de R limites de 3 sigma LSC R Pr LIC R R 0 1 3 3 0 Prmax 0 0 3 2 0 3 2 d d R d d 3 2 3 2 3 3 Pr max 0 d d W d d W R Amplitude relativa Dividindose todos os membros da dupla inequação por 𝜎 𝜎0 obtêmse simplesmente O risco 𝛼 associado ao gráfico de R com é calculado da seguinte forma 17 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 3 2 3 2 n n 3d d W 3d 0 d 1 Pr max Exemplos NMAF Número Médio de Amostras até um Alarme Falso Sendo 𝛼 alfa o risco de se ter um alarme falso no processo dados d2 d3 e n e sabendose que e que NMAF 1𝛼 preencha a seguinte tabela n d2 d3 máx0 d23d3 d23d3 𝛼 NMAF 2 1128 0853 4 2059 0880 5 2326 0864 18 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Wo W n W0 2 3 4 5 6 450 09985 09958 09920 09873 09817 455 09987 09963 09929 09887 09837 460 09989 09967 09937 09899 09855 465 09990 09971 09944 09911 09871 470 09991 09974 09951 09921 09885 475 09992 09977 09956 09930 09898 480 09993 09980 09962 09938 09910 485 09994 09982 09966 09945 09920 490 09995 09985 09970 09952 09930 495 09995 09986 09974 09958 09938 0 R 4 70 LSC ˆ 0 0 995 R w LSC ˆ 4 70 3 Pr 1 0 0 3 2 d d R Distribuição Acumulada da Amplitude Relativa W Depois de calculados d2 3d3 localizamse as probabilidades na tabela da Distribuição Acumulada da Amplitude Relativa W A tabela fornece Pr𝑊 𝑊0 19 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 3 2 3 2 n n 3d d W 3d 0 d 1 Pr max Exemplos continuação NMAF Número Médio de Amostras até um Alarme Falso Sendo 𝛼 alfa o risco de se ter um alarme falso no processo dados d2 d3 e n e sabendose que W3692 0991 W4704 0995 W4925 0995 e que NMAF 1𝛼 preencha a seguinte tabela n d2 d3 máx0 d23d3 d23d3 𝛼 NMAF 2 1128 0853 0 1431 0 369 109910 00090 100090 111 4 2059 0880 0 0581 0 470 109951 00049 100049 204 5 2326 0864 00266 0 492 109954 00046 100046 217 20 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 0 41 1 0 59 2 46 2 92 4 2 3d d W Pd 3 2 5 n Pr 0 0 3 2 2 3d d R W Pr 2 3d d W 3 2 Pr 0 0 3 2 R 2 3d d LSC R Pd Pr n W0 4 5 6 7 240 06748 05643 04663 03820 245 06932 05861 04899 04059 250 07110 06075 05132 04300 Gráfico de Controle de R Poder Pd A partir da mesma tabela é possível também obter o poder Pd do gráfico de R Supondo que o desvio padrão do processo dobre de 𝜎0 para 𝜎1 2𝜎0 então 21 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Gráfico de Controle de R Poder Pd 0 3 2 3 n n d d Pr W Pd Genericamente quando o desvio padrão sofre aumento de fator de 𝜆 o poder do gráfico R é dado por Exemplo Calcule Pd para 𝑛 2 e 𝑛 4 para 𝜆 2 W1842 08092 W2354 06559 𝑛 2 1128 3 0853 2 3687 2 18435 𝑃𝑑 1 08092 0 1908 𝑛 4 2059 3 0880 2 4699 2 23495 𝑃𝑑 1 06559 03441 22 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle Se há um deslocamento de 15 desvios padrão rapidamente um valor de ҧ𝑥 cairá fora dos limites de controle Curvas características foram geradas a partir do número de desvios padrão que a média pode se deslocar pg 71 23 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 24 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 25 Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle