Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados - Engenharia da Qualidade

1 Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados Baseado nas obras de Costa Epprecht e Capinetti 2012 e Montgomery 2016 Imagens obtidas das obras citadas e outras disponíveis na Internet 2 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados Notadamente a aplicação de gráficos de controle está sujeita às suposições usuais de normalidade e independência Quando satisfeitas aplicamse os gráficos de controle convencionais Mesmo quando a suposição de normalidade é violada em grau moderado esses gráficos de controle ainda funcionam razoavelmente bem A suposição mais importante relativa aos gráficos de controle é a da independência das observações pois a presença de níveis de correlação ainda que baixos poderão causar equívocos no gráficos convencionais principalmente quanto ao demasiado número de alarmes falsos Geralmente quando diante de processos com medidas consecutivas de determinada característica não raro essas podem se apresentar altamente correlacionadas Nesses processos um valor de xi que está acima da média a longo prazo tende a ser seguido por outros valores acima da média enquanto um valor abaixo da média tende a ser seguido por outros valores análogos Assim uma observação relativamente baixa sobre x no instante t 1 tende a ser seguida por outro valor baixo no instante t Esse tipo de comportamento indica uma autocorrelação positiva nas observações 3 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados Podemos medir o nível de autocorrelação A autocorrelação ao longo de uma série de observações orientadas no tempo chamada série temporal é medida pela função de autocorrelação 𝜌𝑘 𝐶𝑜𝑣𝑥𝑡 𝑥𝑡𝑘 𝑉𝑥𝑡 𝑘 0 1 Em que 𝐶𝑜𝑣𝑥𝑡 𝑥𝑡𝑘 é a covariância de observações separadas por k períodos de tempo e onde supusemos que as observações tenham variância constante dada por 𝑉𝑥𝑡 Estimamse os valores de 𝜌𝑘 com a função de autocorrelação amostral n i i n k i i k i k X x X x X x r 1 2 1 4 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados EXEMPLO 150 medidas sucessivas espaçadas de três minutos da temperatura de um banho químico cujo valor alvo é 225 C foram registrados gerando o gráfico a seguir A primeira medida foi realizada às 8h a segunda às 8h03 e assim por diante Observase que entre uma medida e outra há certa tendência descendente ou ascendente ou poderia demonstrar dependência ou correlação entre os dados Temperatura 200 210 220 230 240 250 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Número da Medida 5 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados A tabela a seguir apresenta na primeira coluna parte das 150 medidas coletadas A segunda coluna é construída a partir do 2º elemento da primeira coluna a terceira coluna é construída a partir do 3º elemento da primeira coluna que por sua vez é o 1º elemento da segunda coluna e assim por diante i xi xi1 xi2 xi3 1 23759 23440 23366 23742 2 23440 23366 23742 23254 3 23366 23742 23254 23370 4 23742 23254 23370 23520 5 23254 23370 23520 23236 6 23370 23520 23236 22921 7 23520 23236 22921 23197 8 23236 22921 23197 22702 9 22921 23197 22702 22942 10 23197 22702 22942 22765 Dados medidos a cada 3 minutos A tabela seguinte apresenta os cálculos intermediários necessários para obtenção do coeficiente de correlação amostral com base nos valores observados xi e seus subsequentes xi1 6 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados O cálculo do coeficiente de autocorrelação amostral rk para a defasagem k 1 considera os valores observados xi e seus subsequentes xi1 Os coeficientes de correlação para as demais defasagens r2 r3 r4 são calculados de maneira idêntica Número da Medida i i X i 1 X Xi X X X i 1 X XX X i 1 i 2 i X X 1 23759 23440 1227 909 111547 150635 2 23440 23366 909 835 75852 82601 3 23366 23742 835 1211 101083 69655 4 23742 23254 1211 722 87485 146691 5 23254 23370 722 838 60547 52175 148 22909 22995 378 464 17530 14301 149 22995 22364 464 167 7737 21487 150 22364 167 2786 X 22531 6196093 6937056 n i i n k i i k i k X x X x X x r 1 2 1 𝑟1 6196093 6937056 08932 r1089 Autocorrelação positiva muito alta 7 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados À medida que a defasagem aumenta reduzse a dependência da variável xi em relação a xik de modo que rk vai se reduzindo à medida que k aumenta Para k 2 tomamse xi e xik O resultado pode ser observado pela tabela abaixo k rk k rk 1 0893 7 0465 2 0793 3 0714 15 0217 4 0638 16 0194 8 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados Como determinar o intervalo de tempo mínimo necessário Calcular a função de autocorrelação das observações r2 r3 r4 para diversos espaçamentos de tempo e verificar o menor valor de K a partir do qual 𝒓𝒌 𝟐 𝑵 onde N é o número de observações individuais Recomendase N 80 Para o exemplo N 150 Portanto 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟎 𝟏𝟔𝟑 r19 0155 é o primeiro valor de rk menor que 0163 Portanto como a série contém observações espaçadas a cada 3 minutos o espaçamento mínimo entre observações deve ser 19 x 3 57 min Definido o intervalo mínimo entre observações separamse os dados respeitandose esse intervalo e procedese à construção do Gráfico de Controle para Observações Individuais já estudado anteriormente 9 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo em Excel Os dados da Tabela a seguir apresentam as medidas de um processo autocorrelacionado observadas a cada 5 minutos 1 Calcule o intervalo de tempo mínimo para garantir a independência dos dados 2 Calcule os coeficientes de correlação para os K conjuntos de dados necessários e aponte suas conclusões para cada rk 3 Encontre os limites do gráfico para Observações Individuais e gere os gráficos de ҧ𝑥 e MR Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados 10 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo tabela de dados Obs Valor Obs Valor Obs Valor Obs Valor 1 4960 29 4953 57 4953 85 4963 2 4957 30 4944 58 4960 86 4963 3 4954 31 4940 59 4959 87 4952 4 4946 32 4937 60 4958 88 4961 5 4950 33 4930 61 4948 89 4972 6 4956 34 4929 62 4944 90 4984 7 4957 35 4935 63 4957 91 4977 8 4958 36 4940 64 4948 92 4975 9 4958 37 4947 65 4951 93 4962 10 4958 38 4950 66 4964 94 4953 11 4953 39 4956 67 4969 95 4945 12 4951 40 4961 68 4960 96 4952 13 4947 41 4967 69 4951 97 4959 14 4942 42 4965 70 4949 98 4964 15 4938 43 4952 71 4951 99 4969 16 4929 44 4948 72 4959 100 4976 17 4930 45 4940 73 4963 101 4970 18 4927 46 4938 74 4960 102 4982 19 4935 47 4940 75 4952 103 4975 20 4937 48 4946 76 4955 104 4971 21 4937 49 4953 77 4962 105 4961 22 4939 50 4960 78 4960 106 4970 23 4940 51 4961 79 4969 107 4980 24 4940 52 4973 80 4961 108 4979 25 4950 53 4982 81 4956 109 4977 26 4971 54 4970 82 4950 110 4975 27 4965 55 4963 83 4949 111 4974 28 4955 56 4960 84 4960 112 4972 11 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo tabulação dos dados de xi até xik Xi Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 Xi5 Xi6 4960 4957 4954 4946 4950 4956 4957 4957 4954 4946 4950 4956 4957 4958 4954 4946 4950 4956 4957 4958 4958 4946 4950 4956 4957 4958 4958 4958 4950 4956 4957 4958 4958 4958 4953 4956 4957 4958 4958 4958 4953 4951 4957 4958 4958 4958 4953 4951 4947 4958 4958 4958 4953 4951 4947 4942 4958 4958 4953 4951 4947 4942 4938 4958 4953 4951 4947 4942 4938 4929 4953 4951 4947 4942 4938 4929 4930 4951 4947 4942 4938 4929 4930 4927 4947 4942 4938 4929 4930 4927 4935 4942 4938 4929 4930 4927 4935 4937 4938 4929 4930 4927 4935 4937 4937 𝒓𝒌 𝟐 𝑵 𝟐 𝟏𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟖𝟗 12 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo cálculo dos diversos rk 𝒓𝒌 𝟐 𝑵 𝟐 𝟏𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟖𝟗 Soma 00190 Soma 0016210812 Soma 0012321643 K1 0855046155 K2 0649910254 Xi Xbarra Xi Xbarra2 Xi1 Xbarra Produto Xi2 Xbarra Produto 00040 00000161 00010 404472E06 00020 798206E06 00010 00000 00020 200885E06 00100 100803E05 00020 00000 00100 198929E05 00060 119287E05 00100 00001 00060 598572E05 00000 89206E08 00060 00000 00000 534917E08 00010 604456E06 00000 00000 00010 900829E09 00020 179369E08 00010 00000 00020 202687E06 00020 202687E06 00020 00000 00020 403579E06 00020 403579E06 00020 00000 00020 403579E06 00030 600885E06 00020 00000 00030 600885E06 00050 100267E05 00030 00000 00050 149287E05 00090 268929E05 00050 00000 00090 448751E05 00140 698304E05 00090 00001 00140 0000125795 00180 0000161759 00140 00002 00180 0000251714 00270 0000377634 00180 00003 00270 0000485598 00260 0000467607 Correlação positiva forte Correlação positiva moderada 13 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo gráficos de correlação 𝒓𝒌 𝟐 𝑵 𝟐 𝟏𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟖𝟗 4920 4930 4940 4950 4960 4970 4980 4990 4920 4930 4940 4950 4960 4970 4980 4990 k1 4920 4930 4940 4950 4960 4970 4980 4990 4920 4930 4940 4950 4960 4970 4980 4990 k6 14 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo gráficos de controle 0000 0005 0010 0015 0020 0025 0030 0035 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Gráfico de MR Série1 Série2 Série3 Dados 4900 4910 4920 4930 4940 4950 4960 4970 4980 4990 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Gráfico de Médias Série1 Série2 Série3 Dados 15 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo em Minitab A análise de autocorrelação no Minitab é obtida a partir da avaliação de Séries Temporais Está disponível em StatTime SeriesAutocorrelation Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados No Minitab não é necessário gerar as k colunas de dados desejadas e o cálculo de um número k suficiente é realizado internamente e obtido pela expressão n4 16 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo em Minitab O resultado é demonstrado pelo gráfico de Autocorrelação Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 10 08 06 04 02 00 02 04 06 08 10 Lag Autocorrelation Autocorrelation Function for xi with 5 significance limits for the autocorrelations Observe que os resultados são similares aos produzidos pelo Excel O coeficiente de correlação rk para k1 apresenta forte correlação 08 e diminui à medida que k aumenta Com k6 observase um coeficien te relativamente peque no 02 que garan tiria medidas indepen dentes 17 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo em Minitab Para análise do gráfico de Autocorrelação alguns padrões são descritos Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados 18 Disciplina de Engenharia da Qualidade Controle Estatístico do Processo Exemplo Completo em Minitab Também na Session é possível verificar esses valores Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados