Análise por Resposta em Frequência - Aula 05

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 05 Analise por Resposta em Frequˆencia Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 105 O Conceito de Resposta em Frequéncia Vamos analisar a resposta de um sistema dindmico LIT continuo a uma entrada senoidal Sabemos que a saida é dada por Ys GsUs onde Gs é a funcdo de transferéncia do sistema e Us é a entrada do sistema Como a entrada é senoidal temse w ut sinwt Us Paw e entao w w Ys Gs Gs 9 CaF 2 SOG F ie Expandindose Ys em frades parciais temse nh fo Ys SS termos com origem nos pédlos de Gs sJo stja 2105 O Conceito de Resposta em Frequˆencia Calculandose os resıduos r1 e r2 r1 lim sjωs jωY s lim sjωs jωGs ω s jωs jω Gjω j2 r2 lim sjωs jωY s lim sjωs jωGs ω s jωs jω Gjω j2 Uma vez que Gjω e um numero complexo obtido ao se fazer a substituicao s jω em Gs e colocandoo na forma polar Gjω Gjωejθ Gjω Gjωejθ temos r1 Gjωejθ j2 r2 Gjωejθ j2 Vamos assumir agora que o sistema e estavel Isto significa que a parte real de todos os polos de Gs e negativa e consequentemente na Transformada de Laplace Inversa de Y s os termos com origem nos polos de Gs tendem a zero quando t Logo Y s Gjωejθ j2 1 s jω Gjωejθ j2 1 s jω 3 105 O Conceito de Resposta em Frequéncia Aplicandose a Transformada de Laplace Inversa em Ys iQ jo yt GUwle vt IGUwle e vt J2 J2 yt GGw ce elton J2 elwt e twt4 tGi a yt 6 yt GUjw sinwt 8 Odesenvolvimento anterior mostra que ao se aplicar um sinal senoidal de frequéncia w em um sistema LIT continuo a saida em regime permanente também sera um sinal senoidal de mesma frequéncia w porém sua amplitude é multiplicada por Gjw e sua fase somada a 6 argGjw Dizse entao que Gjw é a Resposta em Frequéncia do sistema uma vez que a mudana na amplitude e fase do sinal senoidal de saida depende da frequéncia do sinal senoidal de entrada e claro do proprio sistema 4105 O Conceito de Resposta em Frequˆencia Utilizando a notacao fasorial temos Y jω Y jω Gjω Gjω Ujω Ujω onde Xjω e a amplitude e Xjω a fase do sinal senoidal xt de frequˆencia ω e desta forma temos Y jω GjωUjω Gjω Y jω Ujω Y jω Gjω Ujω Gjω Y jω Ujω Poderıamos entao obter a resposta em frequˆencia de um determinado sistema LIT inserindo na sua entrada sinais senoidais de amplitude Au e fase ϕu para diferentes frequˆencias ω e medindose a amplitude Ay e a fase ϕy da saıda construindo uma tabela ou grafico que ilustram a relacao de modulo e fase em funcao da frequˆencia Entretanto esta maneira empırica de se obter a resposta em frequˆencia de um sistema e restrita as suas limitacoes fısicas lentidao do sistema amplitude dos sinais de entrada naolinearidade inerente etc 5 105 O Conceito de Resposta em Frequˆencia Na representacao grafica da resposta em frequˆencia podemos expressar a dependˆencia do modulo e da fase em funcao da frequˆencia de duas maneiras com a frequˆencia explıcita e com a frequˆencia implıcita Ainda assim vemos que para cada frequˆencia ω a funcao Gjω e um numero complexo e portanto pode ser representada atraves da notacao retangular parte real e imaginaria e polar modulo e fase Sendo assim existem basicamente trˆes formas ou expressoes graficas principais da resposta em frequˆencia 1 Um grafico de modulo e fase separadamente com a frequˆencia explıcita esta representacao e conhecida como Diagrama de Bode 2 Um grafico unico de parte real e imaginaria com a frequˆencia implıcita esta representacao e conhecida como Diagrama de Nyquist 3 Um diagrama de modulo e fase unico com a frequˆencia implıcita esta representacao e conhecida como Diagrama de Nichols 6 105 Diagramas de Bode O Diagrama de Bode e a descricao grafica da resposta em frequˆencia de um sistema por meio da relacao de modulo e fase em funcao da frequˆencia explıcita Em geral no Diagrama de Bode a escala para o modulo e linear em decibeis dB para a fase e linear em graus e para a frequˆencia e logarıtmica em rads Para uma quantidade A que possui interpretacao fısica de amplitude a escala em decibeis e AdB 20 log10 A Analiticamente podemos obter o Diagrama de Bode de um sistema dinˆamico LIT a partir de sua representacao em funcao de transferˆencia Gs fazendose a substi tuicao s jω e entao obtendose as expressoes de modulo e fase em funcao de ω Considere por exemplo o seguinte sistema dinˆamico LIT Gs s 2 s 1s 3 7 105 Diagramas de Bode e Pelo conceito matematico da resposta em frequéncia temse Jw2 G W a a iw jw 1Jw 3 e A expressao de mddulo é u 4 OQ Ss Vlu02V9u2 e Ja a expressdo de fase é Gjw tan 5 tanw tan e A partir das duas expressoes anteriores calculamos 0 mddulo e a fase para cada frequéncia w de interesse e entao obtemos o diagrama de Bode 8105 Diagramas de Bode 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 50 40 30 20 10 0 Frequência rads Módulo dB Diagrama de Bode de Gs s2s1s3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 100 80 60 40 20 0 Frequência rads Fase graus 9 105 Diagramas de Bode Exemplo 51 Dado o diagrama de Bode de um determinado sistema dinˆamico LIT slide a seguir determine a expressao do sinal senoidal de saıda yt em regime permanente se na entrada ut sao aplicados os seguintes sinais a ut 0 2 sin0 4t 90 b ut 5 cos3t 45 c ut 0 1 sin2100t 30 10 105 Diagramas de Bode Diagrama de Bode do Exemplo 51 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 150 120 90 60 30 0 30 Frequência rads Módulo dB Diagrama de Bode Exemplo 62 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 270 225 180 135 90 45 0 Frequência rads Fase graus 11 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 51 a Para a frequˆencia ω 0 4 rads temos que Gj0 4 20 dB 10 Gj0 4 45 Sendo assim a amplitude e fase do sinal de saıda serao Ay Gj0 4Au 10 0 2 2 ϕy Gj0 4 ϕu 45 90 45 Logo yt 2 sin0 4t 45 12 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 51 b Para a frequˆencia ω 3 rads temos que Gj3 0 dB 1 Gj3 160 Sendo assim a amplitude e fase do sinal de saıda serao Ay Gj3Au 1 5 5 ϕy Gj3 ϕu 160 45 115 Logo yt 5 cos3t 115 Em seno yt 5 sin3t 25 13 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 51 c Identidade trigonometrica sin2 θ 1 cos 2θ 2 Logo ut 0 1 sin2100t 30 0 1 2 1 cos200t 60 ut 0 1 sin2100t 30 0 1 2 1 sin200t 150 Podemos entao decompor o sinal de saıda em duas componentes uma componente dc e uma senoide de frequˆencia ω 200 rads Vemos no diagrama de Bode que a componente dc frequˆencia tendendo a zero possui uma amplificacao de 20 dB e logo a componente dc sera ydc Gj0udc 10 0 1 2 1 2 Para a componente senoidal de frequˆencia ω 200 rads temos Gj200 100 dB 105 Gj200 270 14 105 Diagramas de Bode Continuacao da Resolucao do Exemplo 51 c Sendo assim a amplitude e fase do sinal da componente senoidal da saıda serao Ay Gj200Au 105 0 1 2 106 2 ϕy Gj200 ϕu 270 150 420 60 Logo a componente senoidal sera ysen 106 2 sin200t 60 Finalmente yt ydc ysen yt 1 2 106 2 sin200t 60 15 105 Diagramas de Bode Embora hoje haja softwares capazes de construir o Diagrama de Bode com fidelidade e interessante conhecer os aspectos basicos de sua construcao Considere que sistema descrito atraves de sua funcao de transferˆencia Gs possa ser de composto em varios fatores ou subfuncoes Gis Gs G1sG2s Gns Tomandose a resposta em frequˆencia da equacao anterior e decompondo a equacao en contrada em outras duas de modulo e fase temos Gjω G1jωG2jω Gnjω Gjω G1jω G2jω Gnjω Entretanto como geralmente o modulo e expresso em decibeis dB e sabendose a seguinte propriedade de logaritmos logxab logxa logxb onde x e uma base qualquer podemos expressar a equacao de modulo como 20 logGjω 20 logG1jω 20 logG2jω 20 logGnjω A base 10 foi suprimida na equacao anterior para efeito de simplificidade 16 105 Diagramas de Bode Os seguintes fatores podem aparecer no esboco do Diagrama de Bode Ganho proporcional Polo na origem Zero na origem Polo real e finito Zero real e finito Polos ComplexoConjugados Zeros ComplexoConjugados Atraso de transporte Os trˆes primeiros sao mutuamente exclusivos e um deles sempre ocor rera Polos e zeros na origem ou reais e finitos podem ocorrer em multiplos Polos ou zeros complexoconjugados multiplos embora pos sam ocorrer em teoria sao bastante incomuns em sistemas reais 17 105 Diagramas de Bode Fator Ganho Proporcional Funcao de transferˆencia Gs K Na resposta em frequˆencia Gjω K Equacoes de modulo e fase Gjω K Gjω 0 Se K 1 entao o ganho em dB e positivo e se 0 K 1 o ganho em dB e negativo A curva de fase se mantem em 0 18 105 Diagramas de Bode Fator Ganho Proporcional Figura Diagrama de Bode de um Ganho Proporcional 19 105 Diagramas de Bode Fator Polo na Origem com ganho K Funcao de transferˆencia Gs K s Na resposta em frequˆencia Gjω K jω j K ω Equacoes de modulo e fase Gjω K ω Gjω 90 20 105 Diagramas de Bode Fator Polo na Origem com ganho K Analisandose a expressao de modulo quando ω tende a zero o modulo tende a infinito e quando ω tende a infinito o modulo tende a zero Logo o grafico de modulo comeca em dB e termina em dB A cada aumento de dez vezes na frequˆencia uma decada o modulo diminui em dez vezes ou seja 20 dB Logo dizemos que a curva de modulo decai a 20 dBdec A analise da equacao de fase sugere que a curva de fase e constante em 90 A frequˆencia na qual a curva de modulo cruza a linha de 0 dB ganho unitario e K ωu 1 ωu K 21 105 Diagramas de Bode Fator Polo na Origem com ganho K Figura Diagrama de Bode de um Polo na Origem com um Ganho K 22 105 Diagramas de Bode Fator Polo na Origem com ganho K Caso o fator possua mais de um polo na origem ou seja N polos na origem as equacoes de modulo e fase se tornam respectivamente Gjω K ωN Gjω N90 Isto significa que a curva de modulo decai a N20 dBdec e a curva de fase e constante em N90 A frequˆencia de cruzamento de ganho deve ser corrigida para ωu K 1 N N K 23 105 Diagramas de Bode Fator Zero na Origem com ganho K Funcao de transferˆencia Gs Ks Na resposta em frequˆencia Gjω jKω Equacoes de modulo e fase Gjω Kω Gjω 90 24 105 Diagramas de Bode Fator Zero na Origem com ganho K Analisandose a expressao de modulo quando ω tende a zero o modulo tende a zero e quando ω tende a infinito o modulo tende a infinito Logo o grafico de modulo comeca em dB e termina em dB A cada aumento de dez vezes na frequˆencia uma decada o modulo aumenta em dez vezes ou seja 20 dB Logo dizemos que a curva de modulo cresce a 20 dBdec A analise da equacao de fase sugere que a curva de fase e constante em 90 A frequˆencia na qual a curva de modulo cruza a linha de 0 dB ganho unitario e Kωu 1 ωu 1 K 25 105 Diagramas de Bode Fator Zero na Origem com ganho K Figura Diagrama de Bode de um Zero na Origem com um Ganho K 26 105 Diagramas de Bode Fator Zero na Origem com ganho K Caso o fator possua mais de um zero na origem ou seja N zeros na origem as equacoes de modulo e fase se tornam respectivamente Gjω KωN Gjω N90 Isto significa que a curva de modulo cresce a N20 dBdec e a curva de fase e constante em N90 A frequˆencia de cruzamento de ganho deve ser corrigida para ωu K 1 N 1 N K 27 105 Diagramas de Bode Fator Pdlo Real e Finito Funcao de transferéncia 1 Gs 1 Wp Na resposta em frequéncia 1 Gjw j 1 Wp Equades de médulo e fase 1 Gj0 G 4 Wp Gjw tan 2 tan tan 1 Wp Wp 28 105 Diagramas de Bode Fator Polo Real e Finito Analisandose a expressao de modulo quando ω tende a zero o modulo tende a unidade e quando ω tende a infinito o modulo tende a zero Logo o grafico de modulo comeca em 0 dB e termina em dB Quando ω ωp ou seja e igual a frequˆencia do polo o modulo e igual a 1 2 que equivale a aproximadamente 3 dB Em uma decada antes da frequˆencia do polo o modulo equivale a aproximadamente 0 dB e em uma frequˆencia depois a aproximadamente 20 dB Logo dizemos que a curva de modulo e constante em 0 dB ate a frequˆencia do polo e depois decai a 20 dBdec apos a frequˆencia do polo Analisandose a expressao de fase quando ω tende a zero a fase tende a 0 e quando ω tende a infinito a fase tende a 90 Quando ω ωp ou seja e igual a frequˆencia do polo a fase e igual a 45 Em uma decada antes da frequˆencia do polo a fase equivale a aproximadamente 0 na realidade 5 7 e em uma frequˆencia depois a aproximadamente 90 na realidade 84 3 Logo dizemos que a curva de fase e constante em 0 ate uma decada anterior a frequˆencia do polo depois decai a 45 dec a partir desta frequˆencia e para de cair uma decada apos a frequˆencia do polo ficando constante em 90 29 105 Diagramas de Bode Fator Polo Real e Finito Figura Diagrama de Bode de um Polo Real e Finito 30 105 Diagramas de Bode Fator Polo Real e Finito Caso o fator possua um polo real e finito de multiplicidade N a taxa de decaimento da curva de modulo e multiplicada por N e todos os valores de fase na curva de fase sao multiplicados por N isto e a taxa de decaimento e N45 dec e a fase final e N90 31 105 Diagramas de Bode Fator Zero Real e Finito Fundo de transferéncia dd1 Gs on Na resposta em frequéncia w jw j1 GUiw i Equacdes de modulo e fase w 2 w 1 ie 2 Gjw tan We 32 105 Diagramas de Bode Fator Zero Real e Finito Analisandose a expressao de modulo quando ω tende a zero o modulo tende a unidade e quando ω tende a infinito o modulo tende a infinito Logo o grafico de modulo comeca em 0 dB e termina em dB Quando ω ωz ou seja e igual a frequˆencia do zero o modulo e igual a 2 que equivale a aproximadamente 3 dB Em uma decada antes da frequˆencia do zero o modulo equivale a aproximadamente 0 dB e em uma frequˆencia depois a aproximadamente 20 dB Logo dizemos que a curva de modulo e constante em 0 dB ate a frequˆencia do zero e depois cresce a 20 dBdec apos a frequˆencia do zero Analisandose a expressao de fase quando ω tende a zero a fase tende a 0 e quando ω tende a infinito a fase tende a 90 Quando ω ωz ou seja e igual a frequˆencia do zero a fase e igual a 45 Em uma decada antes da frequˆencia do zero a fase equivale a aproximadamente 0 na realidade 5 7 e em uma frequˆencia depois a aproximadamente 90 na realidade 84 3 Logo dizemos que a curva de fase e constante em 0 ate uma decada anterior a frequˆencia do polo depois cresce a 45 dec a partir desta frequˆencia e para de crescer uma decada apos a frequˆencia do zero ficando constante em 90 33 105 Diagramas de Bode Fator Zero Real e Finito Figura Diagrama de Bode de um Zero Real e Finito 34 105 Diagramas de Bode Fator Zero Real e Finito Caso o fator possua um zero real e finito de multiplicidade N a taxa de crescimento da curva de modulo e multiplicada por N e todos os valores de fase na curva de fase sao multiplicados por N isto e a taxa de crescimento e N45 dec e a fase final e N90 35 105 Diagramas de Bode Fator Pélos ComplexoConjugados Fundo de transferéncia 1 Gs 2 s 1s Wn Wn ondeOQ 1 Na resposta em frequéncia 1 Gjw 3 19 4 joc we Wn Equacdes de mddulo e fase 1 G ju we jw 03 405 LGjw tan 5 we w 36 105 Diagramas de Bode Fator Polos ComplexoConjugados Analisandose a expressao de modulo quando ω tende a zero o modulo tende a unidade e quando ω tende a infinito o modulo tende a zero Logo o grafico de modulo comeca em 0 dB e termina em dB Quando ω ωn ou seja e igual a frequˆencia natural do polo o modulo e igual a 12ζ Este ponto e conhecido como pico de ressonˆancia e quanto menor o valor de ζ mais proximo de zero maior e o pico de ressonˆancia Quando ζ 0 sem amortecimento o pico de ressonˆancia e infinito Observe tambem que quando 0 ζ 12 o pico de ressonˆancia e positivo pois o modulo e maior que a unidade maior que 0 dB Quando ζ 12 o pico de ressonˆancia e exatamente igual a 0 dB e quando 12 ζ 1 o pico de ressonˆancia e negativo Quando ω 10ωn ou seja uma decada apos a frequˆencia natural dos polos o modulo equivale a aproximadamente 0 01 40 dB Logo dizemos que a curva de modulo e constante em 0 dB ate a frequˆencia natural dos polos e depois decai a 40 dBdec apos a frequˆencia natural dos polos 37 105 Diagramas de Bode Fator Polos ComplexoConjugados O esboco por linha retas da curva de modulo do Diagrama de Bode de polos complexoconjugados so produz resultados satisfatorios quando 24 ζ 22 ou seja quando o pico de ressonˆancia esta confinado entre 3 dB e 3 dB Observe que isto nao siginifica que o esboco nao possa ser tracado mas apenas que caso ζ nao esteja na faixa mencionada a regiao proxima a frequˆencia natural dos polos podera apresentar um grande erro Analisandose a expressao de fase quando ω tende a zero a fase tende a 0 e quando ω tende a infinito a fase tende a 180 Quando ω ωn a fase e igual a 90 O esboco por linhas retas da curva de fase nunca apresenta bons resultados para polos complexoconjugados Na proxima figura a curva em azul representa o esboco para ζ 0 05 a curva em vermelho para ζ 0 1 a curva em verde para ζ 0 4 e a curva em laranja para ζ 0 7 38 105 Diagramas de Bode Fator Polos ComplexoConjugados Figura Diagrama de Bode de Polos ComplexoConjugados ζ 0 05 ζ 0 1 ζ 0 4 ζ 0 7 39 105 Diagramas de Bode Fator Zeros ComplexoConjugados Funcdo de transferéncia 2 oy1 4205 2 Wn Wn ondeO 1 Na resposta em frequéncia w w jw 1 4 2 Gjw ae TIC Equacdes de médulo e fase uw 2 uw j 77 4 27 iota f 253 Hace Gjw tan 5 wh Ww 40 105 Diagramas de Bode Fator Zeros ComplexoConjugados Analisandose a expressao de modulo quando ω tende a zero o modulo tende a unidade e quando ω tende a infinito o modulo tende a infinito Logo o grafico de modulo comeca em 0 dB e termina em dB Quando ω ωn ou seja e igual a frequˆencia natural do zero o modulo e igual a 2ζ Este ponto e conhecido como pico de ressonˆancia e quanto menor o valor de ζ mais proximo de zero menor e o pico de ressonˆancia Quando ζ 0 sem amortecimento o pico de ressonˆancia e zero dB Observe tambem que quando 0 ζ 12 o pico de ressonˆancia e negativo pois o modulo e menor que a unidade menor que 0 dB Quando ζ 12 o pico de ressonˆancia e exatamente igual a 0 dB e quando 12 ζ 1 o pico de ressonˆancia e positivo Quando ω 10ωn ou seja uma decada apos a frequˆencia natural dos zeros o modulo equivale a aproximadamente 100 40 dB Logo dizemos que a curva de modulo e constante em 0 dB ate a frequˆencia natural dos zeros e depois cresce a 40 dBdec apos a frequˆencia natural dos zeros 41 105 Diagramas de Bode Fator Zeros ComplexoConjugados O esboco por linha retas da curva de modulo do Diagrama de Bode de zeros complexoconjugados so produz resultados satisfatorios quando 24 ζ 22 ou seja quando o pico de ressonˆancia esta confinado entre 3 dB e 3 dB Observe que isto nao siginifica que o esboco nao possa ser tracado mas apenas que caso ζ nao esteja na faixa mencionada a regiao proxima a frequˆencia natural dos zeros podera apresentar um grande erro Analisandose a expressao de fase quando ω tende a zero a fase tende a 0 e quando ω tende a infinito a fase tende a 180 Quando ω ωn a fase e igual a 90 O esboco por linhas retas da curva de fase nunca apresenta bons resultados para polos complexoconjugados Na proxima figura a curva em azul representa o esboco para ζ 0 05 a curva em vermelho para ζ 0 1 a curva em verde para ζ 0 4 e a curva em laranja para ζ 0 7 42 105 Diagramas de Bode Fator Zeros ComplexoConjugados Figura Diagrama de Bode de Zeros ComplexoConjugados ζ 0 05 ζ 0 1 ζ 0 4 ζ 0 7 43 105 Diagramas de Bode Exemplo 52 Faca o esboco do Diagrama de Bode da resposta em frequˆencia curva de modulo e fase da seguinte funcao de transferˆencia Gs 1000s 3 ss 12s 50 44 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 52 Reescrevendo a fundo de transferéncia de forma mais conveniente para evidenciar os fatores 5 3 1 68 Ty San 35 1 55 3 Tomandose a resposta em frequéncia 5 F 1 Gjw iy Je js jw 1 1 Logo o diagrama de Bode serd composto de quatro termos fatores Pélo na origem com ganho K 5 w 5 rads Zero real e finito com frequéncia wz 3 rads Pélo real e finito com frequéncia wp 12 rads Pélo real e finito com frequéncia wp 50 rads 45 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 52 Esboco do diagrama de Bode 46 105 Diagramas de Bode Exemplo 53 Faca o esboco do Diagrama de Bode da resposta em frequˆencia curva de modulo e fase da seguinte funcao de transferˆencia Gs 200s 1 s 102 47 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 53 Reescrevendo a fundo de transferéncia de forma mais conveniente para evidenciar os fatores 2s 1 s Ss 1 30 Tomandose a resposta em frequéncia 2jw 1 35 4 Logo o diagrama de Bode sera composto de trés termos fatores Ganho proporcional com K 2 6 dB Zero real e finito com frequéncia wz 1 rads Pélo real e finito com frequéncia w 10 rads de multiplicidade 2 48 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 53 Esboco do diagrama de Bode 49 105 Diagramas de Bode Exemplo 54 Faca o esboco do Diagrama de Bode da resposta em frequˆencia curva de modulo e fase da seguinte funcao de transferˆencia Gs 40s s2 32s 400 50 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 54 Reescrevendo a funcao de transferˆencia de forma mais conveniente para evidenciar os fatores Gs 0 1s s2 400 1 6 s 20 1 Tomandose a resposta em frequˆencia Gjω j0 1ω ω2 400 j1 6 ω 20 1 Logo o diagrama de Bode sera composto de dois termos fatores Zero na origem com ganho K 0 1 ωu 10 rads Polos complexoconjugados com frequˆencia natural ωn 20 rads e fator de amortecimento ζ 0 8 51 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 54 Esboco do diagrama de Bode 52 105 Diagramas de Bode Exemplo 55 A partir da curva de modulo do diagrama de Bode da figura a seguir estime a funcao de transferˆencia deste sistema 53 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 55 A analise em baixa frequˆencia indica que o sistema nao possui nem polos na origem e nem zeros na origem entao o termo que existe e ganho proporcional O valor do modulo 20 dB indica que K 10 A analise de alta frequˆencia indica que a taxa de decaimento da curva e 20 dBdec o que significa que o sistema tem um polo a mais que zeros Vemos que a curva de modulo e constante em 20 dB e depois comeca a cair 20 dBdec o que indica a presenca de um polo real e finito Partindose de onde a curva comeca a cair 20 dBdec verificase que a frequˆencia que corresponde a uma queda adicional de 3 dB e 1 rads Logo a frequˆencia do polo deve ser ωp 1 rads Vemos que a curva de modulo depois da frequˆencia do polo anterior tende a deixar de cair indicando a presenca de um zero Partindose de onde a curva para de cair 20 dBdec verificase que a frequˆencia que corresponde a uma queda adicional de 3 dB e 50 rads Logo a frequˆencia do zero deve ser ωz 50 rads Vemos que a curva de modulo depois da frequˆencia do zero volta a cair 20 dBdec indicando a presenca de outro polo real e finito Partindo de onde a curva e 20 dBdec e marcando o ponto na qual ela passa a cair com esta taxa a frequˆencia que corresponde a 3 dB a mais e 200 rads e logo a frequˆencia do polo deve ser ωp 200 rads 54 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 55 Logo a fundo de transferéncia é 10 1 Gs 50 s1 55 1 200 Reescrevendo a funcdo de transferéncia de forma convencional temos 40s 50 Gs s s 1s 200 A figura a seguir ilustra o esboco de cada fator separadamente junto com a curva real em azul e a curva aproximada em vermelho tracejada 55 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 55 Esboco dos fatores e da curva de modulo do diagrama de Bode e a curva real 56 105 Diagramas de Bode Exemplo 56 A partir da curva de modulo do diagrama de Bode da figura a seguir estime a funcao de transferˆencia deste sistema 57 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 56 A analise em baixa frequˆencia indica que o sistema possui um polo na origem pois a curva de ganho parte do dB com uma taxa de inclinacao 20 dBdec Estendendose a curva verificase que ela cruzaria o 0 dB na frequˆencia de 50 rads portanto o ganho K e 50 A analise de alta frequˆencia indica que a taxa de decaimento da curva e 20 dBdec o que significa que o sistema tem um polo a mais que zeros Vemos que a curva de modulo tende a parar de cair a 20 dBdec indicando a presenca de um zero real e finito A partir do ponto no qual a curva para de cair e tomandose 3 dB abaixo verificase que esta frequˆencia e 0 2 rads Logo a frequˆencia do zero e ωz 0 2 rads Vemos que a curva de modulo depois da frequˆencia do zero volta a cair 20 dBdec indicando a presenca de outro polo real e finito Partindo de onde a curva e 20 dBdec e marcando o ponto na qual ela passa a cair com esta taxa a frequˆencia que corresponde a 3 dB acima e 200 rads e logo a frequˆencia do polo deve ser ωp 200 rads 58 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 56 Logo a funao de transferéncia é 50 5 1 02 505 1 Reescrevendo a funcdo de transferéncia de forma convencional temos 50000s 0 2 Gs s ss 200 A figura a seguir ilustra o esboco de cada fator separadamente junto com a curva real em azul e a curva aproximada em vermelho tracejada 59 105 Diagramas de Bode Resolucao do Exemplo 56 Esboco dos fatores e da curva de modulo do diagrama de Bode e a curva real 60 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist De maneira a entender o criterio de estabilidade de Nyquist vamos fazer algumas consideracoes sobre mapeamento e funcoes de variavel complexa Seja s C uma variavel complexa e Fs uma funcao da variavel complexa s definida como Fs s s0 onde s0 e uma constante possivelmente complexa Em termos de funcao de trans ferˆencia a funcao Fs corresponde a um zero Suponha que no planos se queira mapear um cırculo C uma curva fechada no sentido horario com centro em s0 e raio s s0 O mapeamento no planoFs tambem e um cırculo Γ tambem no sentido horario e de raio s s0 mas com centro na origem Para ver isto basta verificar que o ˆangulo θ do vetor indicado por s no planos na figura a seguir varia em uma quantidade de 360 conforme o ponto s se move no cırculo C e como Fs e uma funcao que preserva ˆangulos entao tambem deve variar 360 uma volta no sentido horario 61 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Figura Exemplo de mapeamento de um cırculo por um zero Logo concluımos que uma circulacao no sentido horario em torno de um zero no planos gera uma circulacao no sentido horario em torno da origem no planoFs 62 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Seja agora uma funcao Fs que e recıproca a funcao anterior Fs 1 s s0 Em termos de funcao de transferˆencia a funcao Fs corresponde a um polo Mapeandose agora no planos o cırculo C uma curva fechada no sentido horario com centro em s0 e raio s s0 isto resulta em um mapeamento no planoFs tambem em um cırculo Γ de raio s s0 com centro na origem mas agora no sentido antihorario Para ver isto basta verificar que o ˆangulo θ do vetor indicado por s no planos na figura a seguir varia em uma quantidade de 360 conforme o ponto s se move no cırculo C e como Fs e uma funcao que preserva ˆangulos mas e a inversa da anterior entao deve variar 360 uma volta no sentido antihorario 63 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Figura Exemplo de mapeamento de um cırculo por um polo Logo concluımos que uma circulacao no sentido horario em torno de um polo no planos gera uma circulacao no sentido antihorario em torno da origem no plano Fs 64 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Desta forma vemos que existe uma relacao entre o numero de polos e zeros circu lados pela curva C no planos e o numero de circulacoes e sentido da curva Γ no planoFs Muitos exemplos adicionais poderiam ser derivados para ilsutrar melhor esta relacao mas os resultados confirmariam o que e conhecido como Princıpio do Argumento de Cauchy no qual se baseia o criterio de estabilidade de Nyquist Princıpio do Argumento de Cauchy Seja Fs uma razao de dois polinˆomios em s variavel complexa Suponha que a curva fechada C no planos possa ser mapeada no plano complexo atraves do mapeamento Fs Se Fs e analıtica dentro e em C exceto em um numero finito de polos e que Fs nao possui nem polos nem zeros sobre a curva C entao N Z P onde Z e o numero de zeros de Fs dentro de C P e o numero de polos de Fs dentro de C e N e o numero de circulacoes em torno da origem no mesmo sentido adotado para C 65 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist A questao agora e como utilizar o Princıpio do Argumento de Cauchy ate entao algo puramente matematico para derivar um criterio que permite analisar estabilidade de sistemas de controle Para isso vamos voltar a malha de controle padrao Sabemos que a analise de estabilidade em malha fechada e feita a partir da equacao caracterıstica 1 GCsGPsHs 0 a qual deve possuir todas as raızes com parte real negativa isto e todas estarem no SPE excluindose o eixojω do plano complexos 66 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Sendo assim vamos considerar que a funcao de mapeamento a ser utilizada e a equacao caracterıstica ou seja Fs 1 GC sGPsHs Sendo assim os zeros de Fs sao as raızes da equacao caracterıstica em malha fechada polos em malha fechada e os polos de Fs sao os polos em malha aberta ou seja polos de GC sGPsHs Uma vez que a estabilidade em malha fechada implica em saber se ha polos no SPD uma possıvel curva fechada C a ser tomada a partir do Princıpio do Argumento de Cauchy seria um semicırculo de raio infinito que engloba todo o semiplano direito do planos Sabendose que na resposta em frequˆencia s jω vemos que cada valor de ω corresponde a um ponto no planos sobre o eixo imaginario Para ω 0 o ponto correspondente e 0 0 no planos e para um ω qualquer o ponto correspondente e 0 ω Quando ω tende ao infinito a curva tende a 0 Como a curva C deve ser fechada constroise um semicırculo de raio infinito em ω de modo que todo o semiplano a direita do plano complexos seja abrangido Ao final do semicırculo temos o ponto 0 que corresponde a ω tendendo a infinito Decrescendose ω ate ω 0 temos entao uma curva fechada C que abrange toda a regiao instavel do plano complexo Esta curva ilustrada no slide a seguir e conhecida como o Percurso de Nyquist em homenagem ao cientista que a propˆos 67 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Figura Percurso de Nyquist A regiao I corresponde a ω 0 a regiao II corresponde a 0 ω a regiao III corresponde a ω e a regiao IV corresponde a 0 ω 68 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Sendo assim para analisar a estabilidade em malha fechada devemos plotar a resposta em frequˆencia da funcao 1 GCjωGPjωHjω no diagrama polar real e imaginario no plano complexos e contabi lizar o numero de ciculacoes N em torno da origem Sabendose entao que Z P N onde Z e o numero de zeros de 1 GCsGPsHs polos em malha fechada no SPD P e o numero de polos de 1 GCsGPsHs polos em malha aberta no SPD e N o numero de circulacoes em torno da origem lembrese que todos os polos e zeros de Fs estao cobertos pelo Percurso de Nyquist positivo se horario e negativo caso contrario Para que o sistema seja estavel em malha fechada e necessario que Z 0 ou seja nao haja nenhum polo em malha fechada no SPD 69 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Muito embora esta ultima maneira de analisar seja possıvel em geral ela e modificada da seguinte forma em vez de representar o grafico da resposta em frequˆencia de 1 GCjωGPjωHjω plotase o grafico de GCjωGPjωHjω e ao inves de analisar as circulacoes em torno da origem analisase em torno do ponto 1 uma vez que todo o grafico 1 GCjωGPjωHjω nao muda e e apenas deslocado para a es querda Observe que o efeito e o mesmo e o que muda e apenas a forma de analisar Desta forma estaremos averiguando a estabilidade em malha fechada com base nos polos e resposta em frequˆencia da malha aberta 70 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Criterio de Estabilidade de Nyquist Seja o diagrama de Nyquist da malha aberta GCjωGPjωHjω Sabese que Z P N onde Z e o numero de polos no SPD na malha fechada Para que o sistema seja estavel em malha fechada Z deve ser igual a zero Observe como Z indica uma quantidade ele nao pode ser negativo P e o numero de polos no SPD na malha aberta Assim como Z P tambem e uma quantidade e entao nao pode ser negativo N e o numero de circulacoes no sentido horario em torno do ponto 1 lembrese que o Percurso de Nyquist e no sentido horario Caso as circulacoes sejam no sentido horario N e positivo Caso as circulacoes sejam no sentido antihorario N e negativo 71 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Algumas consideracoes Um sistema com P polos no SPD em malha aberta pode ser estavel na malha fechada Para isto deve haver P circulacoes no sentido antihorario em torno do ponto 1 ou seja N P no diagrama de Nyquist para que entao Z 0 Logo de maneira que o sistema seja estavel em malha fechada para cada polo no SPD em malha aberta deve haver uma circulacao no sentido antihorario do diagrama de Nyquist Um sistema estavel em malha aberta ou seja P 0 pode ser instavel na malha fechada ou seja Z 0 Para isto deve haver uma ou mais circulacoes no sentido horario de forma que N 0 Logo se o diagrama de Nyquist tem uma circulacao ou mais no sentido horario o sistema sera instavel nao importando o numero de polos em malha aberta no SPD 72 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Tambem e importante notar que caso a malha aberta apresente polos na origem ou polos puramente imaginarios o Percurso de Nyquist deve ser desviado uma vez que nao pode haver polos sobre a curva C Para isto criase um semicırculo de raio ρ 0 tao pequeno quanto se queira em torno do ponto singular A figura abaixo ilustra tal situacao para um polo na origem em malha aberta que e o caso mais comum Figura Percurso de Nyquist adaptado para um polo na origem em malha aberta 73 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Exemplo 57 Faca a analise de estabilidade do sistema em malha fechada via criterio estabilidade de Nyquist para o sistema que apresenta a seguinte funcao em malha aberta GCsGPsHs 5 s 13 74 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Diagrama de Nyquist de GCsGPsHs Exemplo 57 75 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Resolucao do Exemplo 57 Inspecionandose a funcao de transferˆencia da malha aberta do sistema vˆese que P 0 nao ha nenhum polo no SPD em malha aberta Analisandose o diagrama de Nyquist do sistema concluise que N 0 nao ha nenhuma circulacao em torno do ponto 1 Logo Z P N 0 0 0 e portanto concluise que o sistema e estavel em malha fechada 76 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Exemplo 58 Faca a analise de estabilidade do sistema em malha fechada via criterio estabilidade de Nyquist para o sistema que apresenta a seguinte funcao em malha aberta GCsGPsHs s2 2s 1 s2 0 5246s 1 3801s 0 7246 77 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Diagrama de Nyquist de GCsGPsHs Exemplo 58 78 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Resolucao do Exemplo 58 Inspecionandose a funcao de transferˆencia da malha aberta do sistema um dos polos esta em s 0 7246 portanto no SPE e os outros dois sao as raızes de s2 0 5246s 1 0 que sao s12 0 2623 j1 1451 portanto ambas no SPD Logo concluise que P 2 Analisandose o diagrama de Nyquist do sistema concluise que N 2 ha duas circulacoes no sentido antihorario em torno do ponto 1 Logo Z P N 2 2 0 e portanto concluise que o sistema e estavel em malha fechada 79 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Exemplo 59 Faca a analise de estabilidade do sistema em malha fechada via criterio estabilidade de Nyquist para o sistema que apresenta a seguinte funcao em malha aberta GCsGPsHs 2s 1 ss 1 80 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Diagrama de Nyquist de GCsGPsHs Exemplo 59 4 2 0 2 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 1 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 81 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Resolucao do Exemplo 59 Inspecionandose a funcao de transferˆencia da malha aberta do sistema um dos polos esta em s 0 portanto nao esta no SPD e outro esta em s 1 no SPD Logo concluise que P 1 Analisandose o diagrama de Nyquist do sistema concluise que N 1 ha uma circulacao no sentido antihorario em torno do ponto 1 Observe que em funcao do polo na origem em malha aberta ha um desvio no Percurso de Nyquist que gera um raio tendendo ao infinito no diagrama Porem para ω 0 vˆese que o diagrama parte de no eixo real Logo Z P N 1 1 0 e portanto concluise que o sistema e estavel em malha fechada 82 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Em geral nao basta saber se um sistema e estavel em malha fechada e necessario saber o quao estavel o sistema e em malha fechada Isto da origem ao conceito de estabilidade relativa Como o ponto crıtico de analise e o ponto 1 do plano complexos a estabilidade relativa nos diz o quao distante o diagrama de Nyquist esta deste ponto Isto pode ser medido de duas maneiras conforme veremos a seguir Seja a funcao GC jωGPjωHjω representada em suas notacoes retangular e polar res pectivamente GC jωGPjωHjω X jY MejN Multiplicandose GC jωGPjωHjω por um fator K R real e positivo teremos KGC jωGPjωHjω KX jKY KMejN Isto nos diz que para cada valor de ω o modulo de GC jωGPjωHjω sera multiplicado por K mas a fase ira se manter inalterada Isto nos diz que o formato do diagrama de Nyquist se mantera o mesmo porem o diagrama sera inflado se K 1 e murchado se 0 K 1 Multiplicandose GC jωGPjωHjω por um fator ejϕ onde ϕ π π rad teremos ejϕGC jωGPjωHjω ejϕX jejϕY MejNϕ Isto nos diz que para cada valor de ω o modulo de GC jωGPjωHjω se mantera o mesmo mas a fase sera modificada por um fator ϕ Isto nos diz que o formato do diagrama de Nyquist se mantera o mesmo porem o diagrama sera rotacionado em ϕ no sentido horario se 0 ϕ π e ϕ no sentido antihorario se π ϕ 0 83 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Dito isto o momento crıtico para a estabilidade e quando o diagrama de Nyquist toca o ponto 1 No momento em que o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo uma al teracao no ganho pode fazer com que o diagrama passe em cima do ponto 1 Como no momento em que o diagrama cruza o eixo real negativo o valor da fase de GCjωGPjωHjω e π teremos KMejπ 1 KMejπ 1ejπ KM 1 K 1 M onde M e o modulo de GCjωGPjωHjω quando a fase e igual a π na pratica a distˆancia entre o cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo e a origem Este valor de K e chamado de margem de ganho que iremos denotar por MG Observe que de maneira equivalente temos M 1 K M 1 MG 84 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist No momento em que o diagrama de Nyquist cruza o cırculo de raio unitario uma alteracao na fase pode fazer com que o diagrama passe em cima do ponto 1 Como no momento em que o diagrama cruza o cırculo de raio unitario o valor do modulo de GCjωGPjωHjω e 1 teremos ejϕejN 1 ejϕN 1ejπ ϕ N π ϕ π N onde N e a fase de GCjωGPjωHjω quando o modulo e unitario na pratica o ˆangulo formado pelo eixo real negativo e a reta que liga a origem e o ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist e o cırculo unitario Este valor de ϕ e chamado de margem de fase que iremos denotar por MF Desta forma quanto maiores forem os valores de margem de ganho e margem de fase mais distante do ponto 1 o diagrama de Nyquist estara e mais distante da instabilidade o sistema estara 85 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Visualizacao grafica das margens de estabilidade relativa no diagrama de Bode Figura Margens de estabilidade relativa no diagrama de Nyquist Observacao ωcg e ω180 sao conhecidas como frequˆencia de cruzamento de ganho e frequˆencia de cruzamento de fase e iremos abordalas na sequˆencia 86 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Exemplo 510 Determine por meio do criterio de estabilidade de Nyquist a faixa de ganhos de K que estabiliza o sistema em malha fechada cuja funcao em malha aberta e GCsGPsHs K s 1s 2s 3 87 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Diagrama de Bode de GCsGPsHs para K 8 Exemplo 510 12 1 08 06 04 02 0 01 005 0 005 01 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Gs 88 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Resolucao do Exemplo 510 Pelo criterio de Nyquist o sistema sera estavel em malha fechada se Z 0 Ana lisando a funcao em malha aberta temse que P 1 pois ha um polo no SPD o polo s 1 Logo como Z P N temos que 0 1 N ou seja para que o sistema seja estavel em malha fechada precisamos de N 1 uma circulacao no sentido antihorario em torno de 1 do diagrama de Nyquist Para K 8 ganho para o qual o diagrama foi gerado temse que N 1 entao o sistema e instavel Entretanto notase que o diagrama intercepta o eixo real negativo em duas opor tunidades em 1 3333 logo na partida do diagrama e em 0 8 e isto nos da duas margens de ganho MG1 1 1 3333 0 75 MG2 1 0 8 1 25 Desta forma se multiplicassemos o ganho atual que e 8 em 0 75 vezes ou em 1 25 vezes o diagrama passaria pelo ponto 1 e o sistema seria instavel 89 105 Criterio de Estabilidade de Nyquist Resolucao do Exemplo 510 Se o ganho atual for aumentado em mais do que 1 25 vezes ou seja K 10 o diagrama infla de modo que ira forcar uma circulacao no sentido horario em torno de 1 do diagrama e aı terıamos N 1 e consequentemente Z 2 ou seja dois polos no SPD em malha fechada consequentemente instabilizando o sistema em malha fechada Por outro lado se o ganho atual for diminuido em menos do que 0 75 vezes ou seja K 6 o diagrama murcha de modo que nao havera nenhuma circulacao em torno de 1 do diagrama e aı terıamos N 0 e consequentemente Z 1 ou seja um polo no SPD em malha fechada consequentemente tambem instabilizando o sistema em malha fechada Portanto para que o sistema seja estavel em malha fechada e necessario que 6 K 10 Observe abaixo o Lugar das Raızes deste sistema que claramente mostra as possibilidades de se ter 0 1 ou 2 polos no SPD em malha fechada 8 6 4 2 0 2 6 4 2 0 2 4 6 Real Axis gain 0 450949 Imaginary Axis Root Locus of Gs asymptotes locus open loop poles 90 105 Criterio de Estabilidade de Bode Definicao Sistemas de Fase Mınima Um sistema e dito de fase mınima se a relacao entre modulo e fase e unica para toda a resposta em frequˆencia Em outras palavras o termo fase mınima se refere ao fato que um sistema proprio possui o mınimo atraso de fase possıvel para um deter minado modulo Gjω Zeros no SPD e atrasos de transporte contribuem com um atraso de fase adicional quando comparados a um sistema de fasemınima com o mesmo ganho e sao por esta razao chamados de sistemas de fase naomınima 91 105 Criterio de Estabilidade de Bode Para ilustrar o conceito de sistemas de fase mınima considere os trˆes seguintes sistemas G1s 1 G2s s a s a G3s eτs Todos os sistemas possuem modulo constante igual a 1 na resposta em frequˆencia O sistema G1s possui fase constante igual a 0 rad o sistema G2s possui fase igual a 2 tanωa rad e o sistema G3s possui fase igual a ωτ rad na resposta em frequˆencia Vemos entao que a relacao modulofase so e constante para o sistema G1s pois para o sistema G2s a fase para um mesmo modulo pode variar em ate π rad e para o sistema G3s infinitamente Desta forma G2s e G3s sao considerados sistemas de fase naomınima O criterio de estabilidade de Bode que veremos a seguir so e aplicavel a sistemas em malha aberta que nao possuem polos no SPD e sao de fasemınima 92 105 Criterio de Estabilidade de Bode As margens de estabilidade relativas vistas anteriormente pelo diagrama de Nyquist podem ser mais facilmente determinadas atraves do diagrama de Bode conforme pode ser visto abaixo Figura Margens de Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode 93 105 Criterio de Estabilidade de Bode A frequˆencia de cruzamento de ganho ωu e a frequˆencia na qual a curva de modulo do diagrama de Bode cruza o eixo de 0 dB ou seja e a frequˆencia na qual o modulo de GCjωGPjωHjω e igual a 1 ωu ω GCjωGPjωHjω 1 A frequˆencia de cruzamento de fase ω180 e a frequˆencia na qual a curva de fase do diagrama de Bode cruza a linha de 180 ou seja e a frequˆencia na qual a fase de GCjωGPjωHjω e igual a 180 ω180 ω GCjωGPjωHjω 180 Em tese a frequˆencia de cruzamento de fase tambem poderia ser definida a partir da linha de 180 porem como em geral GCsGPsHs possui mais polos que zeros e cada polo contribui com ate 90 para a curva de fase a tendˆencia e a de que a curva de fase se aproxime da linha de 180 94 105 Criterio de Estabilidade de Bode Para sistemas de fasemınima sem zeros no SPD eou atrasos de transporte e tambem sem polos no SPD a estabilidade em malha fechada pode ser diretamente averiguada a partir do diagrama de Bode analisandose as margens de estabilidade relativa dando origem ao criterio de estabilidade de Bode Criterio de Estabilidade de Bode Para sistemas de fasemınima e sem polos no SPD o sistema em malha fechada sera estavel se a margem de fase e positiva Alem disso a frequˆencia de cruzamento de ganho deve ser unica e o sentido do cruzamento deve ser da amplificacao para atenuacao O criterio de estabilidade de Bode embora seja bastante simples e utiliza o digrama de Bode que e muito mais comum do que o de Nyquist e bastante controverso na literatura e nunca deve ser utilizado como analise definitiva da estabilidade fora das condicoes mencionadas 95 105 Criterio de Estabilidade de Bode Lembremos que um ganho proporcional altera apenas a curva de modulo do Dia grama de Bode enquanto a curva de fase se mantem intacta Logo o efeito do aumento do ganho proporcional e deslocar a curva de modulo para cima e o efeito da diminuicao do ganho proporcional e deslocar a curva de modulo para baixo Logo se a curva de fase do Diagrama de Bode de um determinado sistema esta sempre abaixo dos 180 e impossıvel estabilizar este sistema pois nao ha ganho proporcional capaz de fazer com que a margem de fase seja positiva Por outro lado se a curva de fase do Diagrama de Bode de um determinado sistema esta sempre acima dos 180 e impossıvel instabilizar este sistema pois nao ha ganho proporcional capaz de fazer com que a margem de fase seja negativa Conforme veremos na proxima aula algumas caracterısticas da resposta ao degrau estao relacionadas com caracterısticas da resposta em frequˆencia margem de fase e frequˆencia de cruzamento de ganho Desta maneira assim como vimos no Lugar das Raızes a compensacao por ganho proporcional e limitada uma vez que este modifica apenas a curva de modulo e entao nem sempre e possivel compensar o sistema pra atingir as duas especificacoes no domınio da frequˆencia 96 105 Criterio de Estabilidade de Bode Exemplo 511 Faca a analise de estabilidade do sistema em malha fechada via criterio de Bode para o sistema que apresenta a seguinte funcao em malha aberta GCsGPsHs s 30 s 102s 1 Encontre a margem de fase margem de ganho e justifique a sua analise 97 105 Criterio de Estabilidade de Bode Diagrama de Bode de GCsGPsHs Exemplo 511 98 105 Criterio de Estabilidade de Bode Resolucao do Exemplo 511 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima e sem polos no SPD o que torna possıvel a analise via criterio de Bode Frequˆencia de cruzamento de ganho ωu 18 rads A frequˆencia e unica e o cruzamento e no sentido da amplificacao para atenuacao Na frequˆencia de cruzamento de ganho a fase de GCjωGPjωHjω e aproxi madamente igual a 118 Logo a margem de fase e positiva e aproximadamente MF 62 Portanto concluise que o sistema e estavel em malha fechada A frequˆencia de cruzamento de fase nao existe porem a fase e sempre maior que 180 Logo a margem de ganho e infinita ou seja MG dB Isto significa que o ganho pode ser aumentado ou diminuıdo quantas vezes se queira que o sistema nunca sera instavel em malha fechada 99 105 Criterio de Estabilidade de Bode Exemplo 512 Faca a analise de estabilidade do sistema em malha fechada via criterio de Bode para o sistema que apresenta a seguinte funcao em malha aberta GCsGPsHs 1 ss 1s 10 Encontre a margem de fase margem de ganho e justifique a sua analise 100 105 Criterio de Estabilidade de Bode Diagrama de Bode de GCsGPsHs Exemplo 512 101 105 Criterio de Estabilidade de Bode Resolucao do Exemplo 512 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima e sem polos no SPD o que torna possıvel a analise via criterio de Bode Frequˆencia de cruzamento de ganho ωu 0 1 rads A frequˆencia e unica e o cruzamento e no sentido da amplificacao para atenuacao Na frequˆencia de cruzamento de ganho a fase de GCjωGPjωHjω e aproxi madamente igual a 95 Logo a margem de fase e positiva e aproximadamente MF 85 Portanto concluise que o sistema e estavel em malha fechada Frequˆencia de cruzamento de fase ω180 3 rads Nesta frequˆencia o modulo de GCjωGPjωHjω e aproximadamente igual a 40 dB Logo a margem de ganho e positiva e aproximadamente MG 40 dB 100 vezes Isto significa que o ganho pode ser diminuıdo em quantas vezes se queira ou aumentado em ate 100 vezes que o sistema sera estavel em malha fechada 102 105 Criterio de Estabilidade de Bode Exemplo 513 Faca a analise de estabilidade do sistema em malha fechada via criterio de Bode para o sistema que apresenta a seguinte funcao em malha aberta GCsGPsHs 1 s2s 10 Encontre a margem de fase margem de ganho e justifique a sua analise 103 105 Criterio de Estabilidade de Bode Diagrama de Bode de GCsGPsHs Exemplo 513 104 105 Criterio de Estabilidade de Bode Resolucao do Exemplo 513 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima e sem polos no SPD o que torna possıvel a analise via criterio de Bode Frequˆencia de cruzamento de ganho ωu 0 3 rads A frequˆencia e unica e o cruzamento e no sentido da amplificacao para atenuacao Na frequˆencia de cruzamento de ganho a fase de GCjωGPjωHjω e aproxima damente igual a 182 Logo a margem de fase e negativa e aproximadamente MF 2 Portanto concluise que o sistema e instavel em malha fechada A frequˆencia de cruzamento de fase nao existe e a fase de GCjωGPjωHjω e sempre menor que 180 Isto significa que nao ha ganho capaz de estabilizar o sistema em malha fechada pois por mais que ele altere a curva de modulo nao ha como alterar a curva de fase e a margem de fase sera sempre negativa 105 105